Mécanique du point : Cours mecanique du point h
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Merzouki SALHI
Professeur de l’enseignement supérieur Département de Physique 'M 'M M rV Vυ V 0rV 0υ V υυ β 1M 0M O
P F r Tangente à la terre Satellite Terre 0 V 1
Première partie : Rappels mathématiques et Notations Chapitre-I : Notions Mathématiques. I-1 Dérivées – Différentielles I-1-1 Dérivées partielles d’une fonction à plusieurs variables. Soit ),,(zyxf une fonction de trois variables (x,y,z), le calcul de la dérivée dite partielle par rapport à l’une des trois variables s’effectue en considérant les autres variables comme constantes, donc comme si la fonction ),,(zyxf ne dépendait que de cette variable. On notera alors/ ,x fzy
ou tout simplementx f la dérivée partielle par rapport à la variable x, et elle se calcule comme une dérivée normale dx
df tout en considérant y et z comme constantes. Exemple. )( cos
)( sin ),,(22 22zy.x xf zy.xzyxf
(1.1) I-1-2 Différentielle totale d’une fonction de plusieurs variables. La différentielle d’une variable (ou d’une fonction) représente un accroissement infinitésimal de celle-ci. Si l’on considère simultanément des variations de chaque variable, l’accroissement df de la fonction ),,(zyxf est appelée différentielle totale, et a pour valeur : dzz fdy yf dxx fdf (1.2) 2 I-1-3
Dérivées partielles logarithmiques – Différentielles logarithmiques.
Quand une fonction est de la forme d’un produit ou d’un quotient de plusieurs variables, il est parfois plus intéressant de calculer les dérivées partielles et la différentielle totale par l’intermédiaire des dérivées partielles logarithmiques et la différentielle totale logarithmique. Soit
une fonction positive, continue et dérivable dans un certain domaine. On peut donc définir son logarithme )],,(log[zyxf qui est lui-même une fonction continue et dérivable ) log( ),,( fzyx . La dérivée partielle de par rapport à x vaut : xf ff xx 1 )(log
, et représente la dérivée partielle logarithmique de f par rapport à x. On définit ainsi les dérivées partielles par rapport aux autres variables, et la différentielle totale logarithmique s’écrit: ][
1 )(1 dzz fdy yf dxx ff dfff df (1.3) Remarque. Si 0),,(zyxf
, on considérait la fonction ),,(zyxf pour avoir la même expression. Exemple. Soient, V, R et i sont respectivement la d.p, la résistance, et l’intensité électrique, et qui sont liés par la relation :i diR dRdiR Ri VV loglog VlogV (1.4) I-2- Notations L’espace considéré est l’espace Euclidien où l’on a défini un produit scalaire. On désignera par i e une base orthonormée. Dans tout ce qui suit, on se bornera aux bases directes, c’est à dire formant un trièdre direct. Les relations d’orthonormalité s’écrivent ijijji δδeeoù
désigne le symbole de Kronecker défini par : jiji δ
ij si 0 si 1
(1.5) 3 Convention d’Einstein Si i
v désigne la composante du vecteur V suivant la direction du vecteur unitairei e , V s’écrit sous la forme : 31 ii ievV (1.6) Ou d’après la convention d’Einstein,
V peut s’écrire sous une forme plus contractée: ii evV
Dans ce cas, i serait un indice muet et la sommation sur celui-ci est automatique. I-3- Vecteurs I-3-1-
Définition Un vecteur ABU
est un être mathématique associé à un couple de points (A,B), dont A est l’origine et B est l’extrémité, il est défini par : - La direction de son support)( - Son sens - Son module ou sa norme noté ////U ou U tout cours et défini comme étant le produit scalaire (qui sera défini au chapitre suivant) de
U par lui-même : 2 U.UU
I-3-2 Types de vecteurs I-3-2-1- Vecteur lié Un vecteur lié U ,est un vecteur dont on a précisé l’origine(A), c’est donc l’ensemble),( UA ,cas du vecteur vitesse d’une particule M par exemple),( VM . I-3-2-2- Vecteur glissant ou glisseur. C’est un vecteur dont on a précisé le support
)( , c’est donc l’ensemble),( U - Cas du vecteur tension
T d’un fil (inextensible) sous l’action d’une charge. I-3-2-3- Vecteur libre. Ni l’origine, ni le support ne sont fixés, on le notera tout simplement U . I-3-2-4- Vecteur unitaire (ou unité ) C’est un vecteur dont la norme (module) est égale à l’unité, 1 U
. 4 I-4- Produit scalaire. I-4-1- Définition. On appelle produit scalaire de deux vecteurs 21
et
VV le scalaire noté21
VV et défini par: θVVVVcos2121 (1.7) où
θ désigne l’angle formé par les deux vecteurs, obtenu après translation dans un même plan. Remarque Deux vecteurs orthogonaux) 2( π
θ , leur produit scalaire est nul, et inversement. N.B le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire et non pas un vecteur. I-4-2- Propriétés i) 1221 VVVV
, commutativité ou symétrie. ii) 3121321
)(VVVVVVV
, distributivité par rapport à l’addition vectorielle. j) )()(2121
VVλVVλ
, distributivité par rapport à la multiplication par un scalaire. jj) )0 si 0( 0111 21
VVVV
Ces propriétés montrent que le produit scalaire est une application linéaire, symétrique et définie positive. I-4-3- Expression analytique du produit scalaire. Dans le cas où les deux vecteurs 21 et VV sont exprimés en fonction de leurs composantes par rapport à un trièdre de référence orthonormé de base ),,( kji
, le produit scalaire de 21
et VV est défini par : 21212121
zzyyxxVV (1.8) où les deux triplets ),,(et ),,(222111 zyxzyx sont les composantes de 21 et VV par rapport au trièdre de référence. 5 I-5- Produit vectoriel (ou extérieur) I-5-1- Définition On appelle, produit vectoriel de deux vecteurs 21 et VV le vecteur W
noté 21 VV , défini par : i) Sa direction qui est la normale au plan des deux vecteurs, donc perpendiculaire à 21 àet VV
. ii) Son sens qui est tel que le trièdre
), ,(21
WVV soit direct, avec 21VVW iii) Son module ou sa norme définie par : θVVWWsin ////21 (1.9
où θ désigne l’angle formé par 21
et VV
Remarque Deux vecteurs non nuls, qui sont parallèles, leur produit vectoriel est nul et inversement. I-5-2- Interprétation géométrique W2 V CO B //// ////21 VVWS OABCO 1 VA La norme ou le module du produit vectoriel des deux vecteurs 21
et VV est égal à l’aire du parallélogramme ayant pour cotés 21 et VV soit:
2V A
B θVVVVWsin // //// //2121 Oθ H 1V DC Le rectangle ABCH a pour surface // //.// // AHAB 6
////////
sin ////////1 2 VABet θVAHord’où θVVVVWS
ABCD sin // //// //2121 (1.10) De plus le parallélogramme OABD construit sur 21 et VV
a pour surface : ABCHDACOAHABCHOABD
SSSSS
où DACOAH
SS étant les aires des deux triangles isométriques OAH et DAC. Et par conséquent ////21 VVS OABD
(1.11) et on peut écrire : kSWOABD où
k est le vecteur unitaire de la normale au plan ),(21 VV I-5-3- Propriétés - 1221VVVV anticommutativité ou antisymétrie - 3121321
)(VVVVVVV
distributivité par rapport à l’addition vectorielle. - Le produit vectoriel (contrairement au produit scalaire), n’est pas invariant par tout changement de base. I-5-4- Expression Analytique du produit vectoriel. Pour deux vecteurs 21 et VV exprimés en fonction de leurs composantes par rapport à un trièdre de référence, leur produit vectoriel est donné par : - Soit par la valeur du déterminant suivant : kxyyx jzxxziyzzy zyxzyx kjiVV det 21212121 2121222 11121
(1.12) où ),,(111 zyx
et ),,(222 zyx sont les composantes des vecteurs 21 et VV et ),,( kji sont les vecteurs unitaires portés par les axes du trièdre de référence orthonormé : 7 - Soit par la méthode dite « Gama ». kxyyxjzxxz iyzzyzz yyxx VV2121 21212121 2121 2121 (1.13) I-6- Produit mixte On appelle produit mixte des trois vecteurs
wvu,, le scalaire noté ),,( wvu
défini par : ) x ( ),,( wv.uwvu
(1.14) On note ainsi que : - Si les vecteurs sont liés, alors le produit mixte est nul. - Le module/),,/(
wvu représente le volume du parallélépipède ayant
wvuet , pour cotés. - Le produit mixte est le scalaire équivalent au déterminant de la matrice ),,( wvu
soit : 333222 111det ),,(wvu wvuwvu wvuwvukjiijk
(1.15) où ijk
ε est le symbole ou « tenseur alterné fondamental » représente les 27 quantités définies par : ),,(εkji ijkkkk avec ),,(321 kkk une base orthonormée directe Et où
cas autres les tousdans 0
)3,2,1( de impairen permutatio uneest ),,( si 1
)3,2,1( de pairen permutatio uneest ),,( si 1ε kji kjiijk I-7- Dérivée d’une fonction vectorielle. Si le vecteur considéré )(tV
est fonction d’un paramètre scalaire t, alors, celui-ci peut être écrit sous la forme :
)( )( )( //)( // )(tutVtutVtV
où )( tu
désigne le vecteur unitaire de la direction de V
. 8 La dérivée de cette fonction vectorielle sera : dtud Vtudt dVdt Vd )(
(1.16) et on déduit alors que : dtud V est nul si )(tu est constant, le vecteur
V est de direction constante. )( tudt dV est nul si V est constant, le vecteur
V est de module constant ( cas d’un vecteur unitaire). De plus dans ce cas on a : cteVVV 2
. . ce qui donne, Vdt Vddt VdV 02 (1.17) Et on conclut alors, que la dérivée d’un vecteur de module constant est un vecteur orthogonal à celui-ci (cas des vecteurs d’une base orthonormale). On note ainsi qu’en général, on doit spécifier le repère dans lequel on dérive la grandeur vectorielle, pour savoir le mouvement du vecteur unitaire par rapport au repère considéré. I-8- Champs de scalaires et de vecteurs. I-8-1- Définitions. I-8-1-1- champ de scalaires : C’est une fonction scalaire de plusieurs variables qui, à chaque point
),,(zyxM de l’espace fait correspondre un scalaire ),,(zyxU
I-8-1-2- champ de vecteurs : C’est une fonction vectorielle de plusieurs variables qui, à chaque point ),,(zyxM
de l’espace fait correspondre un vecteur
),,(zyxV I-8-1-2-1- opérateur Nabla
Un opérateur est un être mathématique qui, appliqué à une grandeur, la transforme en une autre grandeur. L’opérateur
est défini par : k zj yi x
(1.18) C’est donc un opérateur vectoriel, qui doit être traité comme un vecteur, ),,(zyx
étant les 9 variables dont dépend le scalaire ou le vecteur duquel est appliqué l’opérateur
. ),,( kji
les vecteurs unitaires des axes de référence. Cet opérateur
peut être appliqué à un champ de scalaire ou à un champ de vecteurs. I-8-2- Cas d’un champ de scalaires I-8-2-1- gradient Par application de l’opérateur à un champ de scalaires
),,(zyxU
on obtient un champ de vecteurs appelé: gradient de U et noté )(Ugrad k zU jy Ui xU UgradU )( )(
(1.19) Donc c’est un vecteur de composantes : ),,()(z Uy Ux UUgrad (1.20) I-8-2-2- Différentielle totale Rappelons que pour un champ scalaire U on a : dzz Udy yU dxx UdU
(1.21) qui peut s’écrire sous la forme : )
).( ( kdzjdyidxkz Uj yU ix UdU (1.22) soit
).(
dMUgraddUoù
kdzjdyidxdM
(1.23) est le vecteur déplacement élémentaire de M. Remarque
0 . )(
0 , dMUgraddUcteUsi
(1.24) U est appelé surface de niveau et )( Ugrad
est perpendiculaire à cette surface (cas des équipotentielles) 10 I-8-2-3- Laplacien. Si l’opérateur est appliqué deux fois à un champ de scalaires
),,(zyxU
, on obtient un autre champ de scalaires appelé: Laplacien, et noté U
(cas de l’équation de Laplace de la chaleur) : ²² ²² ²² )( ))(.(z Uy Ux UUU (1.25) En effet, kz jy ix et kz Uj yU ix U
UgradU )( )(
ce qui donne ²² ²² ²² )( ))(())(.(z Uy Ux U
UUgrad.gradU
I-8-3- Cas d’un champ de vecteurs. I-8-3-1- Divergence. Le produit scalaire de l’opérateur
avec un champ de vecteurs ),,(zyxV
conduit à un champ de scalaires, celui-ci est appelé Divergence de
V , et noté )( Vdivz Vy Vx VVdivV zy x
)( .
(1.26) avec ),,(zyx VVV sont les composantes du vecteur V
. Remarque. Le produit scalaire de l’opérateur nabla
avec un champ de forces conservatives qui dérivent du potentiel U, s’écrit : )( ))((
)( .2 22 22 2U zU yU xU Ugraddivz Fy Fx FFdivF zy x
I-8-3-2- Rotationnel. Le produit vectoriel de l’opérateur avec un champ de vecteurs ),,(zyxV , conduit à un champ de vecteurs appelé: rotationnel de
V et noté, ) ( Vrot . 11 zyxVVV zyxkji V
det
(1.27) Remarque. On peut facilement montrer les deux propriétés suivantes : ))(( )(. ).( 0 ))(( 0 ))((
UgraddivUgradUU
VVrotdiv
UUgradrot
(1.28) 12 Chapitre-II : Equations différentielles Une équation différentielle, est une équation reliant la variable indépendante, une fonction de cette variable et certaines de ses dérivées. II-1- Equation du premier ordre Soit
0 ),,.........,,()()1( n xxxtF
On appelle équation différentielle du premier ordre une relation de la forme : 0 ),,()1( xxtF
(2.1) où x est fonction inconnue de la variable t (par exemple), et où )1(xx désigne la dérivée )(dt dxx
. La théorie des équations différentielles montre que la solution la plus générale d’une équation du premier ordre met en jeu une constante arbitraire C. pour obtenir une solution concrète bien déterminée, on doit avoir des conditions supplémentaires qui sont en général des
conditions
initialesdans lecas des
fonctionsà variable
temporelle ) )(, )((ooo xtxaonttàtx
, ou des conditions aux limites dans le cas des fonctions à variable spatiale
) )(, )((ooo yxyaonxxàxy
. Parmi tous les types possibles d’équations du premier ordre, nous distinguons plus particulièrement les trois types suivants : II-2- Equations à variables séparables (ou séparées) C’est les équations qui peuvent se ramener à la forme : dttfdxxgoùdxg tfdt dx
)( )(' )(
)(
(2.2) C’est à dire dans chaque membre, il ne figure que l’une ou l’autre des deux variables x ou t. et à ce moment on a le droit d’intégrer chaque membre d’où la nouvelle égalité :
dttfdxxg)( )(
(2.3) Soit
CtFxG)( )(
où G et F désignent des primitives de f et g et C une constante d’intégration. 13 Exemple. Soit un mobile M qui se déplace sur l’axe Ox tel que sa vitesse vérifie la relation : tx dtdx V 11 (2.4) Trouver l’équation horaire du mouvement, sachant qu’à l’instant 0 t
, le mobile se trouvait à l’origine O(
0 ox ) Solution. tdt xdx tx dtdx 1 11 1
(2.5) Donc c’est une équation différentielle du premier ordre à variables séparables d’où : ctx )1log()1 1log( (2.6) 0
1log 1log' 00 00 ccoùd xaontPour
Et l’équation horaire est : ttx 11 1 )(
(2.7) II-3- Equations homogènes C’est les équations qui peuvent prendre la forme : )(t xf dtdx
(2.8) Par un changement de variable tx u , l’équation précédente prend sa nouvelle forme : )( ufdt dutu (2.9) out dtuuf du
)(
On est donc ramené à résoudre une équation à variables (u,t) séparables. 14 Exemple. Soit à résoudre l’équation différentielle :0 avec
0 )(- 22t xtdt dxtx (2.10) En divisant par t
2 l’équation (2.10) prend la forme : 0 ))( 1(2 t x -dt dxt x
(2.11) Ou) )()( 1( 2t xt xdt dx , c’est une équation homogène. On pose tx uudu tdt
, et par intégration on obtient : /ct/ k /t/ uloglog 22
(2.12) où l’on a posé
)log( ck
Et finalement
/2log/ct u2 ou /log/ 2 cttx
(2.13) II-4- Equations linéaires (0),,,(
xxtF ; etdt dxxx
figurent au premier degré) Elles sont de la forme : )( )(
)( )( )(121 tgtxfdt dxou tgxtaxta (2.14) Considérons tout d’abord l’équation sans second membre (SSM), c’est à dire l’équation obtenue en posant g = 0, d’où l’on a : dttfx dxtxf dtdx )()(
(2.15) C’est une équation à variables séparées(x et t) dont la résolution conduit à : ))(exp( tFCx
où F désigne une primitive de f et C une constante arbitraire. 15 Pour l’équation avec second membre (ASM), cherchons des solutions de la forme
))(exp( )( tFtCx
C’est à dire, on considère la solution de l’équation (SSM), mais avec la constante C comme variable d’où l’appellation « méthode de la variation de la constante », elle est aussi « la méthode de Lagrange »
Alors, considérons ))(exp( )( tFtCx
une solution de l’équation (ASM), qui doit satisfaire cette équation. En effet ; ))(exp()()())(exp( )( tFtftCtFtCdt dx
(2.16) )( ))()exp(()())()exp(()())(exp( )(tgtFtftCtFtftCtFtC (2.17) )( ))(exp( )(tgtFtC ))(exp( )()( tFtgdt dCtCou kdttFtgtCoùd))(exp()( )(' (2.18) Et enfin la solution de l’équation (ASM) est : )))(exp()())((exp( ))((e )( )( kdttFtgtFtFxptC t x
(2.19) Remarque. Le terme en C(t) doit toujours disparaître au cours de la détermination de C(t). II-5- Equations du second ordre Ce sont les équations de la forme : 0),,,( xxxtF
(2.20) La solution générale met en jeu deux constantes arbitraires
21 CetC
. Des conditions initiales ou aux limites permettent leurs déterminations d’où une solution concrète et unique (voir théorème d’existence et d’unicité), pour le moment on se limite aux cas des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Donc on ne considère que les équations de la forme : )(
tfcxxbxa (2.21) 16 Où a, b, c sont des constantes. On démontre (théorème) que la solution générale de l’équation (ASM) est la somme de la solution générale de l’équation (SSM) et d’une solution particulière de l’équation (ASM). II-5-1- Solution générale de l’équation (SSM) ou homogène. 0 cxxbxa (2.22) Pour cela on remarque que si )( (t)21 txetx sont deux solutions de l’équation (SSM), leur combinaison linéaire l’est aussi, telle que : )( )( )(22113 txCtxCtx
, avec 21 CetC sont deux constantes, cette solution est générale puisqu’elle contient deux constantes arbitraires. Cherchons
maintenantdeux solutions
indépendantes )( (t)21txetx sousla forme )exp( )(rttx où r une constante à déterminer. Pour que )exp( )(rttx soit solution de l’équation homogène, elle doit la satisfaire, et on aura ; 0; )exp ( )(2 2 cxbrxxr aetx r
xrxrtrtx
(2.23) d’où0 2
cbrar
C’est l’équation ou polynôme caractéristique associé à l’équation homogène. Nous distinguons ainsi les trois cas possibles suivant le signe de )4² (acb qui est tel que : -
)0 (
, l’équation caractéristique admet deux racines réelles )( (t)21 tretr telles que : 2a
4 2a
4 22 21 acb br acb br (2.24) Et la solution générale de l’équation homogène est: )exp( )exp(
)( C (t) C )(2211 2211trCtrC txxtx 17
2 )42 ( 2 2 )42 ( 1
2 )(e atac bC ea tacb Ct ab etx (2.25) - )0 ( , l’équation caractéristique admet dans ce cas deux racines complexes : ab βa b
avec iβ acb ib
r iβ acb ibr ac2 2 α α 2a
4 α 2a
4 42 22 21
(2.26) Et la solution générale de l’équation homogène s’écrit : 22 212211 )( )( )(e Ce CtxCtxCtxa ) tiβ(αa ) tiβ(α (2.27) ) ( )( 21 tαe Ce Ce tx2a tiβ2a tiβ
(2.28) qui peut s’écrire ainsi sous la forme : )cossin( )(α βtBβtAe txt
où A et B sont deux nouvelles constantes arbitraires, ou tout simplement, )sin(
)(cos )(α αψβt eK υβte Ktxt t
(2.29) -
)0 (
, l’équation (SSM) admet une racine double ;)( α ααα21 2,1ttt CeeCeCtxr
(2.30) ne peut être une solution générale puisqu’elle ne fait intervenir qu’une seule constante arbitraire C. Cherchons alors une solution de la forme etCtx tα )( )( selon la méthode de la variation de la constante. Après substitution dans l’équation homogène, on trouve : 21212 2
)( ' )0( 0 CetCoùCtCtCoùddt CdC sont deux constantes arbitraires. La solution générale de l’équation homogène ou (SSM) est de la forme : eCtCtx t
) ( )(2 1
(2.31) 18 II-5-2- Résolution de l’équation (ASM) )(
tfcxxbxa (2.32) Il s’agit de chercher une solution particulière de l’équation (ASM) et de l’ajouter à la solution générale de l’équation (SSM). Pour cela, il n’y a pas de règles générales qui nous permettent de chercher cette solution particulière, et souvent on est guider par la forme du second membre f(t). -si )( )(tPtfn un polynôme de degré n en t, on cherche une solution particulière sous la forme d’un polynôme )(Q tn de même degré. Après substitution dans l’équation (ASM) on procèdera par identification pour déterminer les coefficients de ce polynôme
)(Q tn . -si
)Acos( )(υωttf une fonction circulaire de pulsation ω, on cherche une solution particulière sous la même forme )cos( )(ψωtBtx avec la même pulsation. Les constantes ψetB
seront déterminer après substitution dans l’équation et identification des termes semblables. 19
Deuxième partie : Cinématique du point Chapitre-III : Généralités Mathématiques – Grandeurs Cinématiques. III-1- Repérage La connaissance du mouvement d’un point matériel revient à celle de sa position en fonction du temps, d’où la nécessité de faire un repérage des positions et du temps : -repérage du temps : horloge, l’unité de temps est la seconde. -repérage de l’espace ou des positions : référentiel + choix du système de coordonnées. III-2- Référentiel - Repère. Un repère peut être défini comme l’ensemble d’au moins trois points non alignés et fixes les uns par rapport aux autres. En particulier tout solide macroscopique constitue un repère . Au repère précédent on peut adjoindre un système de trois axes Ox, Oy, Oz non coplanaires fixes par rapport à
et concourants en un point O (pris comme origine) de
. On nommera ce système « trièdre ou référentiel » et on notera )O,O,O(zyx
. A tout point matériel M , on pourra associer le vecteur OM dit « vecteur espace ou rayon vecteur » dont les projections orthogonales sur les axes Ox,Oy,Oz ont comme abscisses ),,(mmm ZYX
qui représentent à la fois « les composantes de OM » selon les axes )O,O,O(zyx
, et « les coordonnées cartésiennes de M» par rapport au référentiel
. Pour étudier le mouvement d’un mobile M, il suffit de prévoir ses différentes positions au cours du temps, et puisque ces positions sont déterminées par les abscisses ),,(mmm ZYX
qui sont des fonctions du temps (t), on peut dire qu’étudier le mouvement d’un mobile M, ça revient à étudier les variations des fonctions
)( )(),(tZettYtXmmm , qu’on appelées en général « équations horaires » du mouvement. III-3- Base orthonormale (ou orthonormée). Aux trois axes précédents, on peut associer trois vecteurs ),,( kji indépendants qui sont leurs vecteurs unitaires, ces trois vecteurs constituent une base de l’espace vectoriel 20 considéré (espace des vecteurs déplacements, des vitesses,....). En ce sens que tout élément V de cet espace peut se mettre de façon unique sous la forme :
kvjvivVkji (3.1) où les ) ,, (kji vvv représentent les composantes de V dans la base ),,( kjiB
. i) Si les vecteurs ),,( kji sont deux à deux orthogonaux, on dit que la base ),,( kjiB est orthogonale. ii) Si de plus les ),,( kji sont unitaires,
la base ),,( kjiB est dite orthonormale ou orthonormée (utilisée généralement en cas de dimension infinie). III-4- Systèmes de coordonnées. III-4-1- Coordonnées cartésiennes. Soit ),,( kjiB une base orthonormale et M le point mobile. Au mobile M on associe le vecteur espace OM
, que l’on exprime de façon unique sous la forme :