Mécanique du point : Exercices spectrometre masse
Télécharger PDFAnnée universitaire 2008/2009 – Mécanique du point – Formation PEIP
Devoir à la maison à rendre pour le 16 mars 2009
Exercice 1 : Spectromètre de masse et trajectoire des ions
Du méthane est décomposé à l’entrée d’un spectromètre de masse où la séparation des ions s’effectue grâce à un champ magnétique. Cet analyseur présente une forme demi-circulaire. Les ions pénètrent dans le spectromètre avec une vitesse de 3 × 106 m/s selon une direction horizontale, perpendiculaire à l’entrée du dispositif. Le champ magnétique constant, de 0,6 T, est orienté verticalement et perpendiculaire à la vitesse initiale des ions. À la sortie du spectromètre, un détecteur révèle la position des ions : deux tâches principales, distantes d’environ 10 cm, apparaissent sur ce détecteur.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la taille du spectromètre ainsi que les espèces ioniques détectées, en supposant que les ions sont chargés une seule fois.
1. Bilan des forces et équations du mouvement
Analysez les forces agissant sur un ion de charge q et de masse m dans le champ magnétique. Établissez les équations différentielles décrivant son mouvement en fonction du temps.
2. Équation du mouvement à partir des conditions initiales
À l’instant initial t = 0, l’ion se trouve à l’origine du repère (x = y = 0), avec une vitesse initiale vx = v0 selon l’axe horizontal et vy = 0. Déterminez les équations paramétriques du mouvement de l’ion.
3. Représentation graphique de la trajectoire
Tracez un schéma de la trajectoire y(x) des ions dans le spectromètre en fonction des paramètres calculés.
4. Application numérique
Données : 1 u.m.a. = 1,66 × 10-27 kg, q = 1,6 × 10-19 C.
Calculez le diamètre minimal que doit avoir le spectromètre pour que l’ion CH4+ puisse suivre une trajectoire semi-circulaire. Sachant que la seconde tâche est située à environ 10 cm, identifiez l’autre espèce ionique détectée.
Exercice 2 : Système ressort-perle sur un demi-cercle
On considère un référentiel galiléen ℜ de repère orthonormé (Oxyz), direct, avec des vecteurs unitaires de base (k, j, i). Le dispositif est composé d’un ressort R, d’un demi-cercle C et d’une perle P.
Le ressort R est parfait (sans masse) et exerce une force proportionnelle à son élongation, de coefficient K. Sa longueur à vide est notée l. Le demi-cercle C, de rayon a et de centre O, est fixe dans le référentiel et situé dans le demi-plan vertical xOy (avec x > 0), l’axe Ox étant vertical et descendant. La perle P, de masse M, se déplace sans frottement sur C. Le ressort est fixé à P et à un point fixe I de coordonnées (-a, 0, 0). La position de P est définie par l’angle θ = (OP, OI), compris entre -π/2 et π/2.
On note u le vecteur unitaire de OP et v le vecteur unitaire obtenu par rotation de π/2 autour de u. Le système est soumis à un champ de pesanteur d’accélération g constante. Les expressions vectorielles demandées doivent être données dans la base (v, u).
1. Expression du vecteur ΩP en fonction de a et θ
Déterminez l’expression vectorielle de ΩP (vitesse angulaire de P) en fonction du rayon a et de l’angle θ.
2. Module de ΩP en fonction de a et θ
Calculez le module PI de ΩP en fonction de a et θ, ou mieux, de θ/2, en utilisant l’identité trigonométrique : cos(2θ) = 2cos2(θ) - 1.
3. Expression du vecteur tension T du ressort
Établissez l’expression vectorielle de la tension T du ressort en fonction des paramètres a, K, l et θ, ou mieux, de θ/2, en utilisant les identités trigonométriques : cos(2θ) = cos2(θ) - sin2(θ) et sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).
4. Composantes de la résultante des forces extérieures F
Soit F la résultante des forces extérieures appliquées à la perle P de masse M. On note N le module de la réaction du demi-cercle C sur P. Exprimez les composantes de F dans la base (v, u) en fonction des paramètres a, g, K, l, M, N et θ.
5. Expression de l’énergie potentielle Ep
En déduisez l’expression de l’énergie potentielle Ep dérivant de la force F, en fonction des mêmes paramètres (sauf N).
6. Positions d’équilibre θ = θi
Déterminez les expressions des angles d’équilibre θ = θi possibles pour le système.
7. Inégalités pour l’existence d’un équilibre non nul
On souhaite qu’il existe une position d’équilibre pour un angle θi différent de zéro, compris entre 0 et π/2 (ce qui implique, par symétrie, une position équivalente entre 0 et -π/2). Écrivez les inégalités que cela impose sur les paramètres du problème.
8. Stabilité des équilibres obtenus
Analysez la stabilité des positions d’équilibre déterminées en utilisant une expression initiale en θ/2.
9. Application numérique
Données : K = 400 N/m, M = 2 kg, a = 20 cm, l = 25 cm.
Calculez l’angle θ pour lequel l’équilibre est obtenu. Tracez qualitativement la courbe de l’énergie potentielle en fonction de θ.
FAQ
Qu’est-ce qu’un spectromètre de masse et comment fonctionne-t-il ?
Un spectromètre de masse est un instrument utilisé pour mesurer la masse des ions. Dans ce cas, la séparation s’effectue grâce à un champ magnétique qui dévie les ions selon leur rapport charge/masse, permettant ainsi de les détecter à différentes positions.
Pourquoi les ions suivent-ils des trajectoires semi-circulaires dans un champ magnétique ?
Dans un champ magnétique perpendiculaire à leur vitesse initiale, les ions subissent une force centripète (force de Lorentz) qui les contraint à suivre une trajectoire circulaire. Si le champ est uniforme et limité à un demi-cercle, leur trajectoire est semi-circulaire.
Comment déterminer la stabilité d’un équilibre dans un système mécanique ?
La stabilité d’un équilibre se juge en analysant le comportement de l’énergie potentielle autour de cet équilibre. Si l’énergie potentielle présente un minimum local, l’équilibre est stable ; s’il s’agit d’un maximum, l’équilibre est instable.