Mécanique du point : Cours mecanique du point materiel
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Année Universitaire 2012‐20131
CIP 14:
Université Chouaib Doukkali
Ecole Nationale Des Sciences Appliquées El Jadida
MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL
Pr. M. EL MOUDEN
Année Universitaire 2013 - 2014
DÉFINITION
9Mécanique:Science qui étudie l’équilibre et le
mouvement des corps.
9Point matériel :Tout corps peut être assimilé
géométriquementàunpointdans leproblèmeétudié. Exemple :
Problème étudié : Mouvement de la Terre par rapport au SoleilR T
≈6400km, DT-S ≈150.106 km
⇒Terre ≡point matériel.2 PLAN DU COURS
3Chapitre 1 :Complément mathématique
3Chapitre 2 :Cinématique du point matériel
3Chapitre 3 :Dynamique du point matériel
3Chapitre 4 :Théorèmes généraux
3Chapitre 5 :Chocs
3Chapitre 6 :Oscillateurs harmoniques
3Chapitre 7:Gravitation3 CHAPITRE 1 :
Complément Mathématique:
Opérations Vectorielles4 1) Vecteurs:
¾En Mécanique, Il y a deux types de grandeurs : Grandeurs scalaires(masse, volume, ...) et Grandeurs vectorielles.
¾Une grandeur vectorielle est définie par:gp
™Direction,™Sens, ™Module ou norme.
¾Elle est représentée par un vecteur.5 Exemple:Force
‰La force pour tirer le corps a pour:
™Direction: Fil,
™Sens: de Avers B,
™Module: Intensité de l’effort li fi6 musculaire fourni.
‰La force est représentée par le vecteur :
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Année Universitaire 2012‐20132
2) Décomposition d’un vecteur:Soit un repère orthonormé.
2.1. Dans un espace à 2 dimensions:() 12
,,Oi iGJG (A
1 , A2 ): composantes de AOPOH HP==+
JJJG JJJJG JJJJGG AG 7
Remarque:
112 2AAi A i⇒= +
JG JJGG N.B: D’après Pythagore :22 12AAA=+ G() ()1 2cos sinAA AAθ θ⎧ =⎪ ⎨⎪ =⎩ GG ()()12 cossinAAi iθθ⎡⎤ ⎣⎦⇒=+ JGJJG GGSoit un repère orthonormé.
2.2. Dans un espace à 3 dimensions:() 123
,, ,Oi i iGJGJG H: Projection orthogonale de Psur x1 Ox2 I: Projection orthogonale de Hsur Ox1 AOPOI IHHP
JJJG JJJG JJJG JJJJGG 8
AOPOI IHHP+==+
112 23 3AAi A iA i+⇒= +
JGJJGJJGG 1122 33OI IHOR HPOQ AiAi Ai= == == JJJGJG
JJJG JJJG JJG
JJJJG JJJJGJJG
OPH est un triangle rectangle, donc:2 22OHHPA+= G
Or:HP=Aet22222 OHOIIHAA=+=+
Or: HP = A
3 etD’où: 12
OHOIIHAA=+=+2 222123 AAAA=++G 222123 AAAA⇒=++G 3) Opérations sur les vecteurs:Soit et 3.1. Egalité:11 2 2
3 3
BetB etBAB AAA====⇔G G
112 23 3
AAi Ai Ai+=+
JGJJGJJGG 112 23 3
BBBi B ii+=+
JG JJGJJGG 32Sd210 CAB=+GG G
3.2. Somme de 2 vecteurs:
()()( )
112 23 3123 BB BCA iA
i A
i+++ ++⇒=
JGJJGJJGG *λ∈\ 3.3. Multiplication par un scalaire :
()()( )
12 3123 AAi Ai Aiλλ λ λ++=
JGJJGJJGG SoitAAλλ⋅= GG
3.4. Produit scalaire:n cos,ABABAB⎛⎞ ⎜⎟⎝⎠ ⋅=
GG G
GG G
Le produit scalaire de 2 vecteurset est le scalaire défini par:A GB G11 N.B:n 0,0,0,ABABABselonAB⎛⎞ ⎜⎟⎝⎠ ⋅> ⋅< ⋅=
GGG G
GGG G
Le produit scalaire de 2 vecteurset est le scalaire défini par:1) 2)3) 4) Propriétés:
AB BA⋅=⋅GG GGA GB G() AB C AB AC⋅+=⋅+⋅
GGG GGGG 0ABA et B sont orthogonales⋅=⇔GG GG() ()() AB A BABλλλ=⋅=⋅⋅GGG GGG) 12
Expression analytique:
et 112 23 3
AAi Ai Ai+=+
JGJJGJJGG 112 23 3
BBBi B ii+=+
JG JJGJJGG Soit
un repère orthonormé.() 123
,, ,Oi i iGJGJG 1223 310 00 iiii ii⋅= ⋅=⋅= JGJJGJJGJJG JJGJG11 2233 11 1ii iiii ⋅=⋅= ⋅=JGJG JJGJJGJJGJJG 112 23 3
BBBAB AAA++⇒⋅=G G
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Année Universitaire 2012‐20133
Exercice:n 1,iAα ⎛⎞⎜⎟ ⎝⎠= GG n2 ,iAβ⎛⎞ ⎜⎟⎝⎠ =JG Gn 3,iAγ ⎛⎞⎜⎟ ⎝⎠= JGG 133 ,γ⎜⎟ ⎝⎠
1- Montrer que: 2- Montrer que:()()() 123
coscoscosAAiiiαβγ⎡⎤ ⎣⎦=++ JGJJGJJGGG ()() ()222 coscoscos1αβγ=++
Solution:
1- On Sait que:
112 23 3
AAi Ai Ai=++JGGJGJG ()() ()11 22cos coscos AAi A
AAi A
AAi Aα βγ =⋅==⋅= =⋅=
JGG JG
JG JGJG
JG JGJG14 D’où: ()()()123 coscoscosAAi i iαβγ⎡⎤ ⎣⎦=++ JGJJGJJGGG ()()()222 coscoscos1αβγ⇒=++() 33
cosAAi Aγ=⋅=2- ()() ()22 222
coscoscosAAαβγ⎡⎤ ⎣⎦=++ GG
est le vecteur
défini par:™ ™
Direction de
: ⊥au plan ™Sens de: trièdre direct 3.5. Produit vectoriel:n sin,CABAB⎛⎞ ⎜⎟⎝⎠ =
GG GGG AB∧G GC GC G() ,ABG GC G() ,,ABCGG G15 ()1) 2)3) Propriétés:
AB B A∧=−∧GG GG() ABC AB AC∧+=∧+∧GGGGG GG() ()() ABA BABλλλ=∧=∧∧
GG G
GG G
1- Si
: 2-
=aire du parallélogramme formé par et .0AB∧= GGG Démonstration:
Remarques:AB GG &AB∧ GG AG BG iAhG 16n () sin,a ireAhAB ABAB =×=× =∧GG GGG G
Expression analytique:
12 3231 31 2
ii iiii iii∧= ∧=∧= JG JJGJJG
JJGJJGJG
JJGJGJJG11 2233 00 0ii iiii ∧=∧= ∧=
JG JGG JJGJJGG JJGJJGG 17()() 112 23 3112 23 3
123132213231312321
AB Ai Ai AiBi Bi Bi
AB iAB iA BiA B iABiAB i
∧= + + ∧ + +=−−++− GJGJGGJGJGG G
JGJGJGGJGG()()() 2332 11331 21221 3
ABABABi ABABi ABABi∧= − − − + −GJGJG GG Ecriture Symbolique: Sous forme d’un déterminant123 123
ii i
AB A A A∧=
GJG JGG G18 ()()()123 231312 1232313 12
2332 11331 21221 3
BB BAA AAAA iiiBB BBBB ABAB iABAB iABAB i=−+ =− −− +−GJGJG GJGJG
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Le produit mixte des 3 vecteurs
pris dans cet ordre et que l’on noteest: 3.6. Produit mixte:() ,,ABCGG G
Définition:,,ABC GGG ()()
,,ABCABC=⋅ ∧
GGG GGG 19
Le produit mixte est invariant par permutation circulaire des 3.
Propriété:()() ,,CC()()() ,,,,,,ABCBC AC AB==
G G GG GGGG G
= le volume du parallélépipède formé par ,et .
Démonstration:
Remarque:() ,,ABCGG GA GB GC GvolB Ch=∧×G G20 ()() n( )() cos, cos,,, volBCh hA
AB CvolB CAA BC ABCθ θ=∧× =×=∧ ⇒=∧××∧ =G GGG GG G GGG GGG Expression analytique:() 123AAA GGG 21() 123123 ABC B B B
CC C⋅∧= Le D.P.V de 3 vecteurs
pris dans cet ordre est:
3.7. Double Produit Vectoriel (D.P.V):
Définition:,,ABC GGG ()ABC∧∧ GGG 22
On montre analytiquement que:
Propriété:
()()( )ABC ACB ABC∧∧=⋅ −⋅
GGGG GGGGG Soit:
: un vecteur fonction d’un paramètre t.
: fonction vectorielle
à t, 3.8. Dérivé d’un vecteur:
Définition:() tAG ()tA JJJJG() tAJJJJG à t+Δt, 23
La variation de
entre tet t+Δtest
. La dérivé de
par rapport à test définie par: Notation:() ()
t+ tAΔ
JJJJJJJJGt dAd GA G()() t+ ttAAAΔ= Δ−
JJJJJJJJG JJJJGJJJG ()tA JJJJGt0 limt AΔ→ ΔΔ JJJG
Expression analytique:Soit: Al
11 2 2 3 3
()()()()AtA ti A ti
A ti=++
JJJJGGJGJGJG 24
Alors: 312 123dA dAdAdA iii
dtdtdtdt=++ JGGJGJG N.B: Ici
sont indépendant de t.123 ,,ii i
GJG JG
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3.9. Dérivé d’un produit scalaire:
On montre que:() dABdB dAAB dtdtdt⋅ =⋅ + ⋅
JG JGJGJG JGJG25 Si
= Constante, alors
. Propriété:A GdA Adt ⊥JG JGPreuve: ()2 dAAdA Adtdt ⋅=⋅ JG JGJG JG2 AA Acste⋅= =
JG JG JG() 020dAA dAA dtdtdA Adt ⋅
=⇒ ⋅ =⇒⊥ JG JGJG JGJG JG
3.10. Dérivé d’un produit vectoriel:
On montre que:() dA BdB dAAB ∧
=∧ + ∧JGJG JG JGJGJG 26AB dtdtdt
=∧ + ∧
Système de Coordonnées
‰Cartésiennes
‰Cylindriques
‰Sphériques27 Opérateurs Vectorielsp28 ‰Composantes du vecteur GRADIENT:
™Coordonnées Cartésiennes (x, y, z): Le gradient d’une fonction scalaire U(x, y, z) est définit comme:U⎡∂⎤ ⎛⎞⎜⎟ 29() ,,xyz eeex U
grad Uy Uz ⎡⎤⎛⎞ ⎜⎟⎢⎥ ∂⎝⎠ ⎢⎥⎢⎥ ⎛⎞∂ =⎢⎥ ⎜⎟∂ ⎝⎠⎢⎥ ⎢⎥∂ ⎛⎞⎢⎥ ⎜⎟∂ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦
JJGJJGJJGJJJJJG ™Coordonnées Cylindriques (ρ, φ, z): Le gradient d’une fonction scalaire U(ρ, φ, z) est définit comme:U ⎡⎤⎛⎞ ∂⎢⎥ ⎜⎟30 (),, 1z eeeU grad UU zρφ ρρφ ⎢⎥⎜⎟ ∂⎝⎠ ⎢⎥⎢⎥ ⎛⎞∂ ⎢⎥= ⎜⎟∂ ⎢⎥⎝⎠ ⎢⎥∂ ⎛⎞⎢⎥ ⎜⎟∂ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦
JJG JJGJJGJJJJJG Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
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™Coordonnées Sphériques (r, θ, φ): Le gradient d’une fonction scalaire U(r, θ, φ) est définit comme:U ⎡⎤∂ ⎛⎞⎢⎥ 31() ,,1 1sin r
ee eU rU grad Ur Ur θφθ θφ∂ ⎛⎞⎢⎥ ⎜⎟∂ ⎝⎠⎢⎥ ⎢⎥∂ ⎛⎞= ⎢⎥⎜⎟ ∂⎝⎠ ⎢⎥⎢⎥ ⎛⎞∂ ⎢⎥⎜⎟ ∂⎢⎥ ⎝⎠⎣⎦ JJGJJGJJGJJJJJG ‰Composantes du vecteur ROTATIONNEL:
™Coordonnées Cartésiennes (x, y, z): yz FF ⎡∂⎤⎛⎞ ⎛⎞∂ −⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ 32() ,,xyz xz yx eeeyz FF rot Fzx FF xy⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂⎝⎠ ⎝⎠⎢⎥ ⎢⎥∂ ∂⎛⎞ ⎛⎞⎢⎥ =−⎜⎟ ⎜⎟∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎢⎥⎢⎥ ∂⎛⎞ ⎛⎞∂ ⎢⎥− ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦
JJGJJGJJGJJJGJG ™Coordonnées Cylindriques (ρ, φ, z): 1z FF φ⎡⎤ ∂⎛⎞ ⎛⎞∂ ⎢⎥− ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥33 ()() ,,11 zz eeez FF rot Fz FF ρφρ φρ ρφρ ρ
ρρ ρφ⎜⎟ ⎜⎟⎢⎥ ∂∂⎝⎠ ⎝⎠⎢⎥ ∂⎛⎞ ⎛⎞⎢⎥∂ =−⎜⎟ ⎜⎟⎢⎥ ∂∂⎝⎠ ⎝⎠⎢⎥ ⎢⎥⎛⎞ ∂∂ ⎛⎞⎢⎥ ⎜⎟− ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦
JJG JJG JJGJJJGJG ™Coordonnées Sphériques (r, θ, φ): ()1 sinF Fθ θ⎡⎤ ⎡⎤
⎛∂ ⎞∂ ⋅−⎢⎥ ⎢⎥⎜⎟ 34() ()() (),, sinsin 11sin 1r rr eeeF rF rot Fr Frr FrF rrθφ φφ θθ θθφθφ θ⎢⎥ ⎢⎥⎜⎟ ∂∂⎝⎠ ⎣⎦⎢⎥ ⎢⎥⎡⎤ ∂∂⎢⎥ =−⋅⎢⎥ ∂∂⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥ ∂∂⎡⎤ ⎢⎥⋅− ⎢⎥⎢⎥ ∂∂⎣⎦ ⎣⎦
JJGJJGJJGJJJGJG Equations Différentielles du Second Ordre Linéaires àSecond Ordre Linéaires à Coefficients Constants35 ‰Forme Générale:
a.y’’ +b.y’+c.y = f(t)
(E) Où: y(t) est une fonction du temps t.
y’(t) est la dérivée première de y(t).
y’’(t)est la dérivée seconde dey(t)36 y(t) est la dérivée seconde de y(t). ‰Solution Générale:
y(t) = yh + yp Où: yp est une solution particulière de l’équation (E).y h
est la solution de l’équation sans second membre (ESSM) ou équation homogène (càd
f(t)=0 ).
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™Détermination de la solution homogène: P(r) = a.r2 +b.r+c37 9On cherche les racines du polynôme P(r) (càd résoudre P(r)=0 ). 9On distingue 3 cas:
)Δ>0 ⇒r1 etr2 sont des racines réelles distinctes:
)Δ=0 ⇒r1 =r2 =r,
rest une racine double:12 12()()() rtr th y tAeBef tf t=+=+() ()()()rt ytAt Be
ft ft=⋅+ = +38 )Δ<0 ⇒r1 etr2 sont des racines complexes conjuguées: r1 =α+iβetr2 =α-iβ
Où Aet Bsont deux constantes à déterminer par les conditions initiales et aux limites.() 12()()() h
ytAt Be
ft ft=⋅+ = +()() 12
()cossin()()t h
yt e At Btft ftα ββ=⋅+⋅=+⎡⎤⎣⎦ Autre forme de la solution quand Δ<0 :
Où Cet φsont des constantes.() ()cost h
yt Cetα βφ=⋅+⎡⎤⎣⎦ 39
Où Det ψsont des constantes.() ()sint h
yt Detα βψ=⋅+⎡⎤⎣⎦ ™Détermination d’une solution particulière: 9La forme de la solution particulière dépend de la nature de la fonction f(t).40 9Sif(t)estunpolynômePn (t)de degrénalors la solution
particulière est aussi un polynôme
Q(t)dont le degré est
déterminé comme suit:
ƒd°(Q) = d°(P)sic≠0
ƒd°(Q) = d°(P) + 1 sic=0 etb≠0
ƒd°(Q) = d°(P)+ 2 sic=0 etb=0
CHAPITRE 2 :
Cinématique du point matérielqp41 DÉFINITIONS
9Cinématique:Etude des mouvements sans s’occuper
des causes qui les produisent.
9Repère d’espace:C’est un corps à partir duquel on
obser elemoement
observelemouvement.
9Repère de temps:C’est une horloge.
9Référentiel:C’est Repère d’espace + Repère de temps.42 Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
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¾Choix du référentiel ℜ.
¾Choix d’un point Ode ℜ(origine de ℜ).
¾Exprimer
(Vecteur position)M 1) Repérage d’un point matériel M:OM JJJJGM O
¾L’expression de
dépend de la base choisie.43 OMJJJJG 2) Bases utilisées :
C’est une base orthonormée dont les vecteurs sont fixes/ℜ.
2.1. Base Cartésienne:z OMxiyj z k=++JJJJG GGG 44i Gj Gk GO My xSoit une base cartésienne de ℜ.
2.2. Base Cylindrique:() ,,ijkGGG m: Projection orthogonale de Msur xOyOm eOm ρ= JJJJGJJG JJJJGk GM zJJG ()Omρ= JJJJGn ()N.B: sont mobiles (fonction de φ)Alors base cylindrique45 iG jG kO My xe φG eρ JJGφ mn (),ie ρφ= JJGG telle queeeφρ ⊥JJGJJG ()
,,k base directeeeρφ JJG JJGG (),,kee ρφ
JJG JJGG ,eeρφ JJG JJG
ρ, φ, z: Coordonnées cylindriques de M.
ρ: rayon vecteurlli OMez kρ ρ=+
JJJJGJJGG [[0,ρ∈+∞ [[02 φ: angle polaire
z: côte
Remarque: Si le mouvement est plan (z=cte) ; ρ, φsont les coordonnées polaires. 46[[ 0,2φπ∈][ ,z∈−∞ + ∞
Relation entre x, y, z et ρ, φ, z ?φ eφ JJGy Ocosxρφ= ⎧⎪ 47φ eρ JJGx sinyzz ρφ⎪ =⎨ ⎪= ⎩
Relation entreet ?
cossineijρ φφ⎧ =+⎪ ⎪JJG GGG (),,kee ρφ
JJG JJGG (),,ijk GGG48 sincoseijkk φφφ ⎪⎪ =−+⎨ ⎪= ⎪⎩ JJGGG GG
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Année Universitaire 2012‐20139Soit une base cartésienne de ℜ.
2.3. Base Sphérique:() ,,ijkGGG m: Projection orthogonale de Msur xOyrOM= JJJJGn ()iO JJJJGG Mz JJGr eJG θn ()kOMθ JJJJGG 49r rOMr eOM ==
JJJJG JGJJG JJJJG() ,iOmφ=() :,,r vecteur telle quebase directeeeeeφθφ JJGJJGJJGJJGO My xe φφ me θJJG rθ (),kOMθ= : Vecteur obtenu par rotation de +π/2 de
dans le plan balayé par θ(plan méridien) re JJGe θJJG 50
Figure plane:⊗ θe φJJG eθ JJGz re JJGM 51m ON.B: sont mobiles:Alors base sphérique() ,,r eeeθφ JJGJJGJJG,, reee θφ
JJGJJGJJG()()() ,, ,,r eeeθφ θφθφφ
JJGJJGJJG
r,θ,φ: Coordonnées sphériques de M.r OM
r e=JJJJGJG Expression de: OMJJJJG r: rayon vecteur
φ: longitude
θ: colatitude52 [[0,r∈+∞ [[
0, 2φπ∈[] 0,θπ∈
Relation entre x, y, z et r,θ,φ?
cossincosxy zrρφρφθ=== sinrρθ=53 sincos sinsin cosxr yrzr θφθφ θ= ⎧⎪ ⇒=⎨ ⎪= ⎩sinrρθ= Relation entreet ?() ,,r eeeθφ JJGJJGJJG() ,,ijkGGG ⊗θ JJGz re JJGM θk JGe ρJJG Ome Omρ =JJJJG JJGJJJJG Soitet sincoscossin r
ee keek ρθρ θθθθ =+=− JG JJGG JJGJJGG JJGGG 54
sincoseijφ φφ=−+JJG GGθ eρ JJGe θG mO kJG Or:
D’où (après calcul) cossineijρ φφ=+GG sincossin sincoscos coscos sinsinr eijkeijk θ
θφθφ θθφθφθ =++=+− JGG GGJJG GGG D’autre part: Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
Année Universitaire 2012‐201310
2.4. Base de Frénet:55 Tangente en M à (C):
Direction:
Sens: Sens du mouvement '
lim'MM MM→ '' lim' MMMM MMτ →= JJJJJGG JJJJJG⇒ Plan osculateur de (C) en M:
Soit (P) un plan formé par: Plan Osculateur:' lim ( )MM P→ ()
,'MMτ
JGJJJJJJG56 →
Remarque: Le Plan Osculateur peut être également défini de la façon suivante:
‰(C) Peut être décomposé en arcs de cercle.
‰Le Plan Osculateur en Mest le plan du
cercle obtenu à partir de l’arc tracé autour de M.
Normale principale:Soit ∈Plan Osculateur tel queet est dirigée vers la concavité
de (C). nJG nτ⊥JGJG nJG JG57 est appelé : Normale Principale.n Binormale:
C’est le vecteur
tel quedirect. : Base de Frénet.b JG() ,,nbτJGJGJG (),,nbτ JGJGJG
dépend du problème étudié.
Expression de: OMJJJJG Les composantes de
dans la base de Frénet: Composantes intrinsèques. OMJJJJG 58
OMR n=−JJJJGG Exemple:
Mouvement circulaire
3) Vecteur vitesse d’un point matériel:
3.1. Définition:
''m MMOMOMV tt− ==ΔΔ JJJJJGJJJJJG JJJJGJJG Vitesse moyenne:
Vitesse instantanée:M(t) M(t+∆t)O mV JJG
Remarque: Puisquealors 59
Vitesse instantanée:0 'lim tMM Vt Δ→= ΔJJJJJG JG
Notation:dOMdM Voudtdt =
JJJJGJJJGJG '' lim' MMMM MMτ →= JJJJJGG JJJJJG//Vτ JG G3.2. dans une base cartésienne:JG V() dOMdxdydzVMijk dtdtdtdtℜ ==++JJJJG JJJJJJJGG GG0 didjdk⎛⎞ ⎜⎟G GGG 60
()VM xi yj zkℜ =++
JJJJJJJGG GG 0 dtdtdt=== ⎜⎟⎝⎠ Notation:;; dxdydzxyz dtdtdt=== Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
Année Universitaire 2012‐2013113.3. dans une base cylindrique:JG V() dedOM VMezkdtdt ρρ ρρℜ ==++JJG JJJJG
JJJJJJJGJJGG OMezkρ ρ=+
JJJJGJJGG φφ eφ JJGe ρJJG yO 61
()VMee zkρφ ρρφℜ =+ +
JJJJJJJGJJGJJGG dededed dtddtdρρρ φφ φφ== JJGJJGJJG Or:x et:
cossineijρ φφ=+JJG GG
sincoseijφ φφ=−+JJG GGde ed ρφ φ⇒= JJGJJG 3.4.
dans une base sphérique:JG V() rr dedOM
VMre rdtdt ℜ==+ JGJJJJG JJJJJJJGJG rOMre= JJJJGJG62 rrrdeee dddtdtdt θφθφ ∂∂=+ ∂∂
JGJG JG() ,r eθφ⇒JG ??rr eeθφ ∂∂== ∂∂JGJG On a:ikθθ+ JG JJGGθ eρ JJGr eJJG zO θe θJJG eρ JJGk JGk JGr ee θθ ∂= ∂JG JJG? re φ∂ =∂ JG63 ()sinr VM re re reθφ θφθℜ =+ +
JJJJJJJGJG JJGJJG sinr dee dρ θφφ ∂⇒= ∂JJG JGsincos reek ρθθ=+ sinr ee φθ φ∂ ⇒=∂ JGJJG D’où:ikθθ JJGJJGGr ee θθ ∂=− ∂JJG JG? eθ φ∂ =∂ JJG
Remarque:64 coscosde ee dρ θφ θθφφ ∂
⇒= =∂ JJGJJG JJG
cossineekθρ θθ=−3.5. dans une base de Frénet:JG V
Notion d’abscisse curviligne:65 Abscisse curvilignede M à l’instant t = longueur de l’arc de courbe. Notation: s(t). q0 MM
Expression de: VJG qq q0 0' ()lim
''lim 't tMM VMt MM MMt MMℜ Δ→Δ→ =Δ =Δ JJJJJG
JJJJJJJGJJJJJG 66q q00 ''limlim 'tt MMMMt MMΔ→Δ→ =×Δ JJJJJGq q() 0' lim0,''' tMM car quandtMMMM MMτ Δ→=Δ→= JJJJJGGJJJJJG q00 '()()limlim tt
MMsttstdsttdt Δ→Δ→
+Δ −== ΔΔ() dsVM dtτ ℜ= JJJJJJJGGD’où: Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
Année Universitaire 2012‐201312
Remarque:(car est dans le sens du mouvement)0 dsdt ;τ G() ds
VM Vdt ℜ
⇒= =
JJJJJJJG
Exemple:
Mouvement circulaire67 ()VM Rφτℜ =
JJJJJJJGG p
4) Vecteur accélération d’un point matériel:
L’accélération moyenne entre tet t’=t+Δt est:
4.1. Définition:
(') ()VM VM
JJJJJJJG JJJJJJJG
Accélération moyenne:68 (') ()() m
VM VMM tγ ℜℜℜ −= Δ
JJJJJJJJG
Accélération instantanée:2 20 ()lim ()m t
dVd OMMM dtdtγγ ℜℜΔ→ ===
JG JJJJG
JJJJJJJG JJJJJJJJG
Hodographe des vitesses:
Choisissons un point Aquelconque et reportons les vecteurs
en A:69 VJG Hodographedes vitesses
Remarques:
Exemples:
9Mouvement rectiligne:Hodographe = Segment ou point
9Mouvement circulaire:Hodographe = Cercle si le mouvement est uniforme70 q1) 2) Trajectoire = Hodographe des vecteurs positions.
Hodographe
Nous avons:Donc: est tangente à Hodographe des vitesses 0()lim tV Mt γℜ Δ→Δ =Δ JG
JJJJJJJG()Mγ ℜ
JJJJJJJG4.2. dans une base de Frénet:JG γ
Nous avons:() dsVM dtτ ℜ= JJJJJJJGG2 2() dsdsdM dtdt dtτ γτℜ ⇒=+G JJJJJJJGG? dτ= GGG 71? dt= ()() ()ddds cars t
dtds dtττ τ= GGG q' lim'MM dsMM→ =
Autour de M:
Arc de courbe ≡Arc de cercle Rayon du cercle ≡Rayon de courbure
Centre du cercle ≡Centre de courbure
Nous avons:c dsR dθ=? dd τθ =G 1c dd
dsR dττ θ= GG
Représentons les 4 vecteurs en un même point:dτ GG 722 22 1() cdsds MndtRdt γτℜ ⎛⎞⇒=+ ⎜⎟⎝⎠ JJJJJJJGG Gd nd τθ ⇒=D’où: 1c ddsn dtR dtτ =G GComme: dsv dt= 2() cdvv MndtR γτℜ =+
JJJJJJJGGGt γJG nγ JJG
Accélération tangentielle
Accélération normale
Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
Année Universitaire 2012‐201313
5) Changement de référentiel:
5.1. Position du problème:O ℜz M
ℜ: Référentiel absolu (Observateur dans ℜ)ℜ 1
: Référentiel relatif (ℜ
1 en mouvement par rapport à ℜ)73 Oy x
Relations entre:1 1()()? ()()?
VM etV MMetM γγℜℜ ℜℜ
JJJJJJJG JJJJJJJG
JJJJJJJG JJJJJJJG
5.2. Relation entreet :i ()VMℜ JJJJJJJG1 ()VMℜ JJJJJJJG
OMxiyjzk=++JJJJG GGG ()VM xi yj zkℜ ⇒=++
JJJJJJJGG GG 1111111 OMxiy jz k=+ +
JJJJG G JG JG1 11 111 11 1() dO M
VMxi yj zkdt ℜℜ ⎞⇒==++ ⎟⎠ JJJJG
JJJJJJJGG JG JG
JJJJGJJJJGJJJJG74 D’autre part, puisque:11 OMOOO M=+11 111
1111111111() ()
dOOdO MVM dtdt
did jdk
VO xyzxi yj zkdtdtdt ℜℜℜ ℜ⎞⎞ =+⎟⎟ ⎠⎠=++++++ JJJJGJJJJG
JJJJJJJGGJGJG JJJJJJJGGJGJG 1 ()VMℜ JJJJJJJG() eVM JJJJJJG() eVM JJJJJJG
: Vitesse d’entrainement de M. C’est la vitesse qu’aurait
Ms’il était fixepar rapport à ℜ1 Donc, nous avons:1 ()()() e
VM VM V Mℜℜ =+
JJJJJJJG JJJJJJG JJJJJJJG
Soit encore:75 ()
() ()aer VM VM VM=+
JJJJJJG JJJJJJG JJJJJJG
Vitesse Absolue
Vitesse d’Entrainement
Vitesse Relative=+ C’est la loi de composition des vitesses.
Expression de: ()e VMJJJJJJG a-ℜ
1 en Translation par rapport à ℜ:111 //
;//;//ii j j kk
GJG JGG GGcàd: z1 76O ℜz yx O1 ℜ1 y1 x1 1110 did jdkdtdtdt ===GJGJG Gici: 1()() e
VM V Oℜ ⇒=
JJJJJJG JJJJJJJGb-ℜ 1 en Rotation par rapport à ℜ(avecO1 ≡O etO1 z1 ≡Oz):() ()1 111 dijki dtdj kφφ==∧ G
JG G G JGGGJG z Oz 1y 177 ()() 111 10 djikj dtdk kkdt φφφ =− =∧ ==∧ JGGG G Oy xO 1x 1φ : Vecteur rotation de ℜ1 par rapport à ℜkωφ= JG G Posons:1 11 1di idt djj dtω ω=∧ =∧G JGGJG JGJGJG Alors:78 11 dkk dtω=∧ JGJG1 ()e VMOMω=∧
JJJJJJG JG JJJJG
()()( )
111 11 1() eVM xiyj zkωωω=∧+∧+∧
JJJJJJG JG G JG JG JG JGD’où: Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
Année Universitaire 2012‐201314c-ℜ 1 en mouvement quelconque par rapport à ℜ:
11 1111 ;;
did jdkijk dtdtdt
⊥⊥ ⊥
GJG JGGJGJG 1111111 ()()e did jdk
VM V Oxyz dtdtdtℜ =+++
GJG JG
JJJJJJG JJJJJJJGOr: 79dtdtdt 11121131 1
21 11231 1
31 132110 00 diiajak dtdj aij akdt dk
ai a jkdt ⎧
=+ +⎪ ⎪⎪ ⇒=++⎨ ⎪⎪ =+ +⎪ ⎩G GJGJGJG GJG JGJG GJGJG1 11213 121231 31321 10 00 didt iaa djaaj dtaa kdk ⎛⎞⎜⎟ ⎛⎞⎜⎟ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⇒=⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎜⎟ ⎝⎠⎜⎟ GG JGJG JGJG 80
De même, nous aurons:1 dt⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ D’autre part:11 1111
1221122100 0djdi ijiaa jdtdt aa
=⇒ + =⇒+=⇒=− JGG
GJGG JGiii 3113aa=− 3223aa=− et1 11 1di idt djj dtω ω=∧ =∧G JG GJG JG JGPosons: ()111 123231 312,, ijka aa ωωω ω= ⎛⎞⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟= ⎝⎠
JGJJGJJGJG Alors, on montre que:81 11 dkk dtω=∧ JG
JG JG
Soit encore:11 ()()e VM V OOMωℜ =+∧
JJJJJJG JJJJJJJGJGJJJJG()()() 111 1111()() e
VM V Oxi yjzkωωω ℜ=+∧+∧+∧ JJJJJJG JJJJJJJGJGG JGJG JGJGD’où: : Vecteur rotation de ℜ1 par rapport à ℜω JG
5.3. Relation entreet :()Mγ ℜ
JJJJJJJG1 ()Mγℜ JJJJJJJG111 1111111111() ()() dV MM dt
did jdkd
VO xyzxi yj zk
dtdtdtdtγ ℜℜ ℜℜ ⎞= ⎟⎠ ⎛⎞=++++++ ⎜⎟⎝⎠ JJJJJJJG
JJJJJJJGGJGJG JJJJJJJGG JG JG 82 22 2111 1111111111 22 2()2 dtdtdtdt
did jdkdidjdkOxyzxyz dtdtdtdtdtdtγ ℜℜ ⎝⎠⎛⎞ =+++ + ++⎜⎟ ⎝⎠
G JG JG
G JG JG
JJJJJJJG
111 11 1
xiyjzk++ +GJGJG 1()Mγ ℜ
JJJJJJJG() eMγ JJJJJJG() cMγ JJJJJJG
: Accélération d’entrainement de M =accélération qu’
auraitMs’il était fixepar rapport à ℜ1 : Accélération complémentaire (ou de Coriolis) de M
: Accélération relativede M() eMγ JJJJJJG() cMγ JJJJJJG1 ()Mγℜ JJJJJJJG
Donc, nous avons:1 ()() () ()ec MMMMγγγγℜℜ =++
JJJJJJJG JJJJJJJG JJJJJJG JJJJJJG83 Soit encore:() () () ()arec MMMMγγγγ=++
JJJJJJG JJJJJJG JJJJJJG JJJJJJG
C’est la loi de composition des accélérations.
Expression de:() eMγ JJJJJJG()()() 22 2111 1111
22 2
111 1111() ()() e
did jdk
MOx y zdtdtdt ddd
Oxi yj zkdtdtdt γγγωωω ℜℜ =+++
=+ ∧+ ∧+ ∧
GJG JG
JJJJJJG JJJJJJJG
JJJJJJJGJGGJGJGJGJG84 ()111 ()() ed MOOM OMdt ωγγωω ℜ⇒=+∧+∧∧ JG
JJJJJJG JJJJJJJG JJJJG JG JG JJJJG11 111111() dtdtdt
did jdd dOxiyjz dtdtdtdt
ωω ω
γω ωℜ ⎛⎞⎛ ⎞
=+ ∧+∧+∧+∧+
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠GJGJGJG JJJJJJJGGJG JGJG1 1dk kdtdt ω⎛⎞ ∧+∧⎜⎟ ⎝⎠JGJG JG JG
Pr. M. EL MOUDEN03/11/2013
Année Universitaire 2012‐20131511 ()()e VM V OOMωℜ =+∧
JJJJJJG JJJJJJJG JG JJJJG
Remarque:() ()e e
dV MM dtγ ℜ⎞ =⎟ ⎠JJJJJJG JJJJJJG
En effet:1 11() ()e dV MdO Md OOMdtdtdt ωγω ℜℜ ⎞⇒=+∧+∧ ⎟⎠ JJJJJJGJJJJGJG JJJJJJJG
JJJJG JG85 Si Mest considéré comme fixepar rapport à ℜ1 :1111111 OMxiy jz k=+ +
JJJJG G JG JG1111 11 11 dO Mdid jdk
xy z
dtdtdtdtOM ωℜ ⎞
=+ +⎟ ⎠=∧ JJJJGG JG JG
JG JJJJGℜ ⎠D’où: ()() ee dV MM dtγ ℜ⎞ =⎟ ⎠JJJJJJG JJJJJJG
Expression de:() cMγ JJJJJJG()()() ()111 11 1()2 c
did jdk
Mxy zdtdtdt γ⎛⎞ =++⎜⎟ ⎝⎠
GJG JGJJJJJJG GG GG GG86 ()()2() crMVMγω=∧ JJJJJJG JG JJJJJJG()()() ()
111 11 12xiy jz kωωω=∧+ ∧ + ∧
JG GJGJGJGJG D’où: 5.4. Relation entreet :dA dtℜ ⎞⎟ ⎠JG 1dA dtℜ ⎞⎟ ⎠JG 111
112 13 1123
did jdkdAdddd AiAjAk AAA⎞ =++ +⎟ ++GJGJG JGJJG JG JJG Soit un vecteur quelconque:
112 13 1AAi A j
A k+=+JJG JG JJGG 87
()( )( )1 111
112 13 1123
12 3
dtdtdtdtdA ijkdt j
AA Aωω ωℜ ℜ⎟ ⎠⎞ =+∧+∧+∧⎟ ⎠JG JG G JG JG JG JG() 11 /dAdA Adtdt ωℜℜ ⎞⎞=+ℜℜ∧ ⎟⎟⎠⎠ JG JGJGJG D’où:
6) Mouvements simples:
6.1. Mouvement rectiligne:OM xi=JJJJG G
()VM xiℜ ⇒=
JJJJJJJGG () Mxiγℜ ⇒=
JJJJJJJGG O xM iG 93V JG/ Mouvement uniforme:
Mouvement uniformément varié:
Si la vitesse est constante (càd si) xcte= Si
: Mouvement uniformément accéléréSi : Mouvement uniformément retardé 0x> VJG 2
0x< Exemple:
Lancement vertical d’un corpsz M()Mgkγ ℜ=− JJJJJJJGG zg⇒=− 00
zgtz gtv⇒=−+=−+ 1194 O0 vJJG D’où:22 00011 22
zgtvtz gtvt=−+ + =−+Pour donné, quelle est la hauteur maximale pour atteinte par M?0 vmax h
est obtenue quand0z= max h
est atteinte à0 vt g= D’où:
22 2
00 0max 21 22vvv hgggg =−+ =
OMR n=−JJJJGG ()VM Rφτℜ =
JJJJJJJGG 22 21 ()dsds Mnγτℜ ⎛⎞=+ ⎜⎟⎝⎠ JJJJJJJGG G
6.2. Mouvement circulaire:95 22 ()dtR dtRRn γ
φτ φℜ ⎜⎟⎝⎠ =+GG t γJG nγ JJGN.B: Appellation:
: vitesse angulaire (rad/s)
: accélération angulaire (rad/s 2) φ φ 000000 ouououou φφφφφφ ><=
><=