Mécanique du point : Td 2 mecanique du point
Télécharger PDFExercices sur les produits vectoriels et scalaires en mécanique du point
I. Calcul du produit vectoriel
Dans un repère (O, i, j, k), on donne : U = 2i + 3j – 4k et V = 5i – j + 2k. Calculer U ∧ V.
II. Vrai ou faux sur les propriétés des produits vectoriels
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), on considère deux points A et B distincts. Pour tout point M(x, y, z) de l’espace, répondre par vrai ou faux :
- (MA ∧ AB) · AB = 0
- (MA ∧ MB) · AB = 0
- Si MA ∧ MB = 0, alors M appartient à la droite (AB)
- Si MA ∧ AB = 0, alors M appartient à la droite (AB)
- MA ∧ AB a pour coordonnées (1, 0, 0), alors M appartient à la droite (AB)
III. Calcul de produits vectoriels et conclusion
Soit (O, i, j, k) un repère orthonormé direct. On pose U = i, V = i + j et W = j. Calculer :
- (U ∧ V) ∧ W
- U ∧ (V ∧ W)
Conclure.
IV. Conditions sur les vecteurs et l’alignement des points
Dans le repère (O, i, j, k) un repère orthonormé direct, soient A(6, 2, 4), B(2, 1, 1) et C(α, 3, 7) trois points de l’espace où α est un nombre réel.
- À quelle condition le vecteur OC est-il unitaire ?
- À quelle condition (AC ∧ BO) · k = 1 ?
- À quelle condition les points A, B et C sont-ils alignés ?
- À quelle condition OA et AC sont-ils perpendiculaires ?
V. Rappel des formules
- La formule du double produit vectoriel.
- La formule du produit mixte.
VI. Condition nécessaire et suffisante
À l’aide de la formule du double produit vectoriel, déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que :
u · (v ∧ w) = (u ∧ v) · w.
VII. Égalité de Lagrange et norme du produit vectoriel
- Montrer l’égalité de Lagrange : (u · v)² + ||u ∧ v||² = ||u||² × ||v||².
- Si θ désigne l’angle géométrique entre u et v, montrer que ||u ∧ v|| = ||u|| × ||v|| sin θ, où θ ∈ [0, π].
VIII. Composantes et équation d’une droite
Dans la base orthonormée (O, i, j, k), soit v = (α, β, 0) un vecteur unitaire.
- Déterminer les composantes du vecteur U défini tel que U ∧ v = k.
- Déterminer l’équation de la droite perpendiculaire au vecteur v et passant par le point P de coordonnées (xp, yp, 0).
IX. Équation cartésienne d’un plan
Trouver une équation cartésienne du plan P passant par le point A(2, 1, -3) dont un vecteur normal est n(1, 1, 2).
X. Équation d’un cercle
Montrer que tout cercle de centre C(x0, y0) et de rayon R admet une équation de la forme : (x – x0)² + (y – y0)² = R².
XI. Équation d’une sphère
Montrer que toute sphère S de centre Ω(x0, y0, z0) et de rayon R admet une équation de la forme : (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = R².
FAQ
- Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ? Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.
- À quoi sert le produit vectoriel ? Le produit vectoriel permet de calculer un vecteur perpendiculaire à deux autres vecteurs donnés, utile pour déterminer des plans ou des normales.
- Quelle est la différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel ? Le produit scalaire donne un scalaire (nombre réel), tandis que le produit vectoriel donne un vecteur.