Mécanique du point : Td 2 mecanique du point
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2014/2015 Mécanique du point TD N° 2 I. Dans un repère (O,£i , £ j,£ k ), on donne : £U = 2 £i + 3£ j – 4£ k et £V =5 £i - £ j +2£ k , calculer :£ U ∧ £V II. Répondre par vrai ou faux : Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,£i , £ j,£ k ),on considère deux points A et B distincts. Pour tout point M(x,y,z) de l’espace, on a : 1) (_MA ∧ _AB)._AB = 0 2) (_MA ∧ _MB)._AB = 0 3) Si _MA ∧ _MB = 0, alors M appartient à la droite (AB) 4) Si _MA ∧ _AB = 0 , alors M appartient à la droite (AB) 5) _MA ∧ _AB, a pour coordonnées (1,0,0) alors M appartient à la droite (AB) III. Soit (O,£i , £ j,£ k ) un repère orthonormé direct. On pose £U =£ i , £V = £i +£ j et £W =£ j , calculer : (£U £V ) £W puis £U (£V £W) , conclure. IV. Dans le repère (O,£i , £ j,£ k ) un repère orthonormé direct, soient A(6,2,4), B(2,1,1) et C(,3,7) trois points de l’espace où est un nombre réel. 1) A quelle condition le vecteur _OC est-il unitaire ? 2) A quelle condition (_AC ∧ _BO).£k = 1 ? 3) A quelle condition les points A, B et C sont-ils alignés ? 4) A quelle condition _OA et _AC sont-ils perpendiculaires ? V. Rappeler : 1) La formule du double produit vectoriel. 2) La formule du produit mixte VI. A l'aide de la formule du double produit vectoriel, déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que : £u (£v £w) (£u £v) £w VII. a ) Montrer l’égalité de Lagrange :
(£u .£ v)
2 ||£ u £v ||
2 ||£ u ||² ||£ v ||² b) Si désigne l'angle géométrique entre £ u et£ v, montrer qu’on a :
||£ u £v || ||£ u || ||£ v || sin , ([0, ]) VIII. Dans la base orthonormée (O,£i , £ j,£ k ), , soit £v = (α, β, 0) un vecteur unitaire. 1) Déterminer les composantes du vecteur £U défini tel que £U ∧ £v = £k 2) Déterminer l’équation de la droite perpendiculaire au vecteur £v et passant par le point P de coordonnées(x p , y
p , 0) IX. Trouver une équation cartésienne du plan P passant par le point A (2 ; 1 ; -3) dont un vecteur normal est £n (1 ; 1 ; 2). X. Montrer que tout cercle de centre C(x
0 ; y0 ) et de rayon R admet une équation de la forme : (x - x0 )
2 + (y - y0 )2 = R2 XI. Montrer que toute sphère S de centre (x
0 ; y
0 ; z0 ) et de rayon R admet une équation de la forme : (x - x0 )
2 + (y - y0 )
2 + (z - z0 )
2 = R
2