Mécanique du point : Cours puissance travail energie
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Télécharger packPuissance, travail et énergies 1/ 6 P
UISSANCE, TRAVAIL ET ENERGIE 1) PUISSANCE D’UNE FORCE 2) TRAVAIL D’UNE FORCE 3) THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE 4) ENERGIE POTENTIELLE 5) ENERGIE MECANIQUE 6) CONDITION D’EQUILIBRE. STABILITE Puissance, travail et énergies 2/ 6 PUISSANCE, TRAVAIL ET ENERGIE 1) PUISSANCE D’UNE FORCE Définition : Soit un point matériel M de masse m dans un repère R, animé d’une vitesse )(MV
R et soumis à une force F alors nous appellerons puissance de force P à l’instant t, le scalaire : )(.MVFPR =
L’unité de la puissance est le Watt (W). 2) TRAVAIL D’UNE FORCE Définition : Dans le repère R, le travail de la force F s’exerçant sur M entre les instants t
1 et t
2 est : ∫∫∫=== 21 21 21 .)(.M Mt tR tt dlFdtMVFdtPW
L’unité du travail est le Joule (J). Remarques : - Le travail élémentaire de la force F dans R est dlFdtMVFWR .)(.==δ Tout comme la puissance, le travail dépend du référentiel choisi (Galiléen ou pas). On peut écrire aussi le travail élémentaire de la force F
αδcosdlFW=
α est l’angle formé entre F et dl
Puissance, travail et énergies 3/ 6 Le travail est positif (moteur) si 20 πα <≤
Le travail est négatif (résistant) si παπ ≤<2 Le travail est nul si 2π α= - Le travail de la résultante de plusieurs forces pour un même déplacement est égal à la somme algébrique des travaux des différentes forces. - Cas d’une force constante ()212121 ,cos...2 12 1
MMFMMFMMFdlFdlFWM MM M== ==∫∫ Dans le référentiel R, le travail ne dépend pas, dans ce cas, du chemin suivi. - Cas d’une force dérivant d’une fonction de forces Si le travail élémentaire est une différentielle exacte, c.-à-d. qu’il existe une fonction U tel que dUW=δ , on dit que le champ de forces F dérive d’une fonction de forces U. On aura donc UgradF= et )()(12 MUMUW−=
Le travail ne dépend pas du chemin suivi (trajectoire pour aller de M
1 à M2 ). Rappel : Désignons par f(x,y,z) un champ scalaire et par yf xf ∂∂ ∂∂ ,et zf ∂∂ les dérivées partielles par rapport à x, y et z. Le gradient du champ scalaire est par définition le vecteur kz fj yf ix fffgrad ∂∂ +∂ ∂+ ∂∂ =∇=
, avec zk yj xi ∂∂ +∂ ∂+ ∂∂ =∇
3) THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE Soit R repère Galiléen, et soit M un point matériel de masse m, en mouvement dans R et soumis à la résultante des forces F
. Le principe fondamental de la dynamique donne : Puissance, travail et énergies 4/ 6 RR dtMVd mF)( =
, or on a )(.)( )(.MVdt MVdmMVFP RR RR ==
, d’où []dt dEMVm dtd Pc R= =2 )(2 1
, ce qui permet d’écrire 12cccc EEWdEWdEdtP−=⇒=∂⇒=
D’où le théorème de l’énergie cinétique : Dans un référentiel Galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel entre deux instants, est égale au travail de la somme des forces s’exerçant sur lui entre ces deux instants. 4) ENERGIE POTENTIELLE Soit M un point matériel de masse m, en mouvement dans R repère Galiléen. Le point est soumis à la résultante des forces F
. On dit que F dérive d’une fonction de force U, si est seulement si la puissance peut de mettre sous la forme dtdU P=
. L’énergie potentielle est par définition UEP −=
D’où dtdE Pp −
= autrement dit 21ppp EEWdEWdtP−=⇒−==δ Le travail élémentaire est une différentielle totale. Dans ce cas particulier E
P est une fonction seulement du point M, position de la particule à l’instant t ; la résultante F est dite conservative dans ce référentiel. Nous avons dans ce cas les propositions équivalentes suivantes : - F est conservative - Le travail de F
est indépendant du chemin suivi - Le travail de F
sur un parcours fermé est nul - F
peut s’écrire sous la forme p
EgradF−=
- 0=Frot
Rappel : On appelle rotationnel d’un vecteur ),
,(zyxV le vecteur Vrot
défini par Puissance, travail et énergies 5/ 6 ky xx yj xz zx iz yy zVVrot ∂∂ −∂ ∂+ ∂∂ −∂ ∂+ ∂∂ −∂ ∂=∧∇= Exemple de force conservative : Le poids gm() dtOMgmd dtOMd gmPR ..== Donc gm dérive d’une fonction de force cteOMgmU+=. c. -à-d. cteOMgmEP +−=.
Soit Oz l’axe vertical ascendant du repère R. On trouve ctezgmEP +=
5) ENERGIE MECANIQUE Nous étudions le mouvement d’un point matériel, dans le référentiel Galiléen, soumis à un champ de force F
conservatif. Appliquons le théorème de l’énergie cinétique ()
0=+⇒−=∂=pcpc EEddEWdE
, c.-à-d. 00pc EEcteEEPc +==+0 c
E et 0p E sont fixées par les conditions initiales. Cette quantité Em =Ec +Ep , qui se conserve au cours du mouvement, est l’énergie mécanique du point matériel. Elle exprime une intégrale première du mouvement puisqu’elle relie les dérivées premières des coordonnées par rapport au temps. Cas de forces non conservatives : le frottement par exemple Décomposant la résultante des forces F en une force conservative c
F qui effectue un travail 21ppc EEW−= et une force dissipative d
F qui effectue un travail dW . Le théorème de l’énergie cinétique, valable dans tous les cas, s’écrit donc 12cccd EEWWW−=+=
, soit () () () ()
1211222112
mmpcpcppccd
EEEEEEEEEEW−=+−+=−−−=
La perte de l’énergie mécanique est mesurée par le travail des forces dissipatives. Puissance, travail et énergies 6/ 6 6) CONDITIONS D’EQUILIBRE. STABILITE On sait que la condition nécessaire d’équilibre d’un point matériel M dans un repère R est que la force appliquée soit nulle. Lorsque les forces dérivent d’une énergie potentielle E
p (fonction de la coordonnée xi ), la condition d’équilibre est équivalente à 0=i pdx dE
. Si E
p est minimale, l’équilibre est stable, dans ce cas 02 2
>i dxEd p
Si E
p est maximale, l’équilibre est instable, dans ce cas 02 2
<i dxEd pE px ix i0E px ix i0