Mécanique du point : Cours mecanique point et systeme de points materiels
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Amal BERRADA Professeurs à la Faculté des Sciences Université Mohammed V Rabat Cours de Point et système de points matériels A L’USAGE DES ETUDIANTS DU 1
ER CYCLE UNIVERSITAIRE FACULTES DES SCIENCES, FACULTES DES SCIENCES ET TECHNIQUES, CLASSES PREPARATOIRES AUX ECOLES D’INGENIEURS PRESENTATION Ce document présente l’enseignement de « Mécanique du point et du système de points matériels », dispensé pendant quelques années par les auteurs à la Faculté des Sciences de Rabat. Certes, les ouvrages de qualité consacrés à cette même partie de la physique classique sont nombreux et chacun d’eux comporte généralement son originalité qui traduit la signature de ses auteurs. C’est justement ce cachet, fruit d’une expérience pédagogique qui fait que nous avons privilégié dans le développement du document tel aspect sur tel autre tout en restant à l’intérieur des contours des programmes de mécanique classique généralement enseignés. C’est donc pour faire partager ces ‘’petits errements’’ aux étudiants, aux collègues, et autres concernés que nous avons été encouragés à publier ce cours. Les lecteurs
remarqueront que le présent document a insisté de manière particulière sur quelques aspects mathématiques ou physiques à travers lesquels on peut découvrir quelques fondements de la mécanique du point et du système de points matériels. On peut citer notamment le problème du repérage, le trièdre de Frenet , la notion de référentiel, le pendule de Foucault et autres applications liées à la dynamique terrestre, les collisions élastiques et inélastiques, les oscillateurs harmoniques, le problème à deux corps etc... Ce document n’est sûrement pas exempt d’imperfections ou de ‘’coquilles’’ qui ont pu échapper à notre attention ; les lecteurs nous en excuseront volontiers et toutes leurs remarques seront les bienvenues. Les auteurs
Chapitre I I- Repérage d'un point matériel. Systèmes de coordonnées, surfaces et
courbes coordonnées. L'espace physique est décrit par un espace euclidien (dimension 3) où sont définis les angles et les distances. La position de tout point matériel M dans cet espace est définie par rapport à un (ou plusieurs) objet(s) appelé(s) repère. Pour caractériser cette position c'est à dire pour repérer le point M, il suffit en général de déterminer 3 paramètres réels q1 , q2 ,q 3
ou coordonnées du point. A cet effet on définit un système de coordonnées cohérent qui peut engendrer un espace dans lequel on associe à tout point M trois nombres q1 , q2 ,q3 de manière unique. 1- Systèmes de coordonnées a- Coordonnées cartésiennes
Soit un point origine O et un système d'axes (Oxyz) sur lesquels on considère trois vecteurs unitaires 1e r, 2e r, 3e r supposés constituer une base orthonormée directe. Tout point M de l'espace peut être caractérisé par ses coordonnées cartésiennes q
1 = x, q2 = y, q3 = z qui sont les projections de →
OM sur les axes →
Ox, →
Oy et →
Oz respectivement (figure I.1) , c'est-à-dire : →
OM= x 1e r
+ y 2e r
+ z 3e r
x = 1
Omest l'abscisse du point M, y = 2
Oml'ordonnée et z = 3
Om la cote avec
x , y , z ∈ ] - ∞ ; + ∞ [. zy x M(x,y,z)O m1 m2 m1 1e r2 er 3e r
Fig. I.1 b- Coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques tout point M peut être caractérisé de manière également unique par la connaissance des trois paramètres r,φ ,z : q
1 = r = →
Om ≥ 0
(rayon vecteur)→ Om q
2 = φ = (→ Ox,→ OM) ∈ [0,2π[
(angle polaire) q
3 = z = '
Om ∈ ] -∞,+∞ [
(cote) Les points m et m' sont les projections orthogonales de M respectivement sur le plan polaire (→ Ox,→ Oy) et sur l'axe →
Oz (voir FigI.2). xy zr mO m'
M ( r,φ,z )φ Fig. I.2 c- Coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques tout point M de l'espace (figure I.3) peut être
caractérisé de manière également unique par la connaissance des trois paramètres (ou coordonnées sphériques), ρ,θ,φ définis par : q
1 = ρ = |→ OM|∈ [0,+∞ [
(rayon vecteur) q
2 = θ = (→ Oz, →
OM) ∈ [0,π]
(colatitude )q 3 = φ = (→ Ox
, →Om ) ∈ [0,2π [
(longitude) Fig. I.3 Remarque :Si (q1 ,q2 ,q3 ) est un système de coordonnées cohérent, alors q1 ,q2 ,q3 peuvent être exprimées en fonctions des coordonnées d'un autre système. Ainsi nous pouvons avoir en fonction des coordonnées cartésiennes par exemple : q
1 = q1 (x,y,z) ; q2 = q2 (x,y,z) ; q3 = q3 (x,y,z) et inversement x= x (q1 ,q2 ,q3 ) ; y = y (q1 ,q2 ,q3 ) ; z = z (q1 ,q2 ,q3 ) dans les cas particuliers où nous prenons comme q1 ,q2 ,q
3 les coordonnées r,φ,z nous aurons des relations qui existent entre les deux systèmes de coordonnées cartésiennes et
cylindriques : x = r cos φ y = r sin φ z = z et inversement :r =x 2 + y
2 φ = Arctg yx ou Π + Arctg yx (selon les signes respectifs de x et de y)
z = z De la même manière nous avons entre les coordonnées sphériques et cartésiennes les relations :x =
ρ sin θ cos φy =
ρ sin θ sin φz =
ρ cos θ et inversement : ρ = x
2 + y
2 + z
2 θ = Arctg x
2 + y2 z
ou Π + Arctg x
2 + y2 z (selon le signe de z)
φ = Arctg yx ou Π + Arctg y
x (selon les signes respectifs de x et y) Enfin entre les coordonnées sphériques et cylindriques nous avons :r = ρ sin θ φ = φ
z = ρ cos θ et inversement : ρ = r
2 + z
2 θ = Arctg ρz ou Π + Arctg ρ
z (selon le signe de z)
φ = φ II- Surfaces coordonnées. Courbes coordonnées 1- Définitions a- Surface coordonnéeSoit (q1 ,q2 ,q3 ) un système de coordonnées, on appelle "surface coordonnée" l'ensemble des points où l'une des coordonnées qi est constante. On l'appelle également surface " iso q
i ". b- Courbe coordonnée
L'intersection de deux surfaces coordonnées quelconques est une courbe où seule la troisième coordonnée varie; on appelle cette courbe une courbe coordonnée "q
i variable". Ainsi l'intersection des surfaces " iso q1 " et
" iso q
2 " est la courbe coordonnée "q3 variable". Remarques : * Dans un système de coordonnées (q1 ,q2 ,q3 ) quelconque tout point M(q1 ,q2 ,q3 ) est à l'intersection des trois surfaces coordonnées " iso qi " i = 1,2,3 comme il est également à l'intersection des trois courbes q
i variable associés à i = 1,2,3. * On dit que les courbes coordonnées sont orthogonales au point M(q1 ,q2 ,q3 ) si les tangentes en M aux trois courbes "qi variable" pour i = 1,2,3 sont perpendiculaires deux à deux (voir figure II.1). q variable3 q variable2 1
q variableT 3T 1
T 2M Fig. II.1 2- Application au cas de systèmes de coordonnées simples
Il s'agit de déterminer les surfaces et les courbes coordonnées que nous avons définies précédemment dans les cas des coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques successivement. a- Surfaces et courbes coordonnées en coordonnées cartésiennes. Soit un point M(x,y,z) défini par ses coordonnées cartésiennes; la surface x = x
1 = cte (" iso x ") est le plan (π1 ) parallèle au plan (Oy,Oz) passant par le point A
1 d'abscisse x1 sur l'axe Ox. De même la surface y = y
1 = cte (" iso y ") est le plan (π2 ) parallèle au plan (Ox,Oz) et passant par le point B
1 d'ordonnée y
1 sur l'axe Oy. Enfin la surface z = z
1 = cte (" iso z ") est le plan (π3 ) parallèle au plan (Ox,Oy) et passant par le point C
1 de l'axe Oz et de cote z
1 (figure II.2). Z( 2π ) )(3 π( 1π )Y y zM X 'X Y ' OC 1B 1
A 1 x Z '
Fig. II. 2 La courbe "x variable"est l'intersection des plans (π2 ) et (π3 ), par conséquent c'est la droite X'X . La courbe "y variable" est l'intersection de (π1 ) et (π3 ) c'est donc la droite Y'Y et la courbe "z variable" est l'intersection des plans (π1 ) et (π2 ), soit donc la droite Z ́Z. La figure II.3 présente ces courbes coordonnées au point M. ZZ' X'X YY' M
Fig. II.3 b- Surfaces et courbes coordonnées en coordonnées cylindriquesSoit M(r,φ,z) défini par ses coordonnées cylindriques (figure II.4); la surface r = r
1 = cte (" iso r ") est le cylindre (C) d'axe Oz et de rayon r = r
1 = |OM|. La surface φ = φ
1 = cte (" iso φ ") est le demi-plan (P) : (Oz ,Om). Enfin la surface
z = z
1 = cte (" iso z ") est le plan (P') parallèle au plan (Ox,Oy) et contenant le point M de cote z = z 1
. xφ M (r, φ, z)
Fig. II.4 Pour les courbes coordonnées, celle qui correspond à "r variable" est l'intersection de " iso φ " et " iso z "; donc c'est la demi droite O'M. La courbe coordonnée
"φ variable" est l'intersection de " iso r " et de " iso z " c'esu par conséquent le cercle de centre O' et de rayon O'M. Enfin la courbe coordonnée "z variable" est l'intersection des surfaces " iso r " et " iso φ ", c'est par conséquent la droite mM parallèle à Oz et passant par M. La figure II.5 représente de manière simplifiée les courbes coordonnées et le point M(r,φ,z) qui se trouve à leur intersection. O'
φ variable M (r,φ,z)
r variable
z variable
Fig. II.5 c- Surfaces et courbes coordonnées en coordonnées sphériques Soit un point M(ρ,θ,φ) défini par ses coordonnées sphériques (figure II.6). zy m'
(C' )m O(C) x
M(ρ,θ,φ)θ φ
demi plan méridien
plan parallèle
Fig. II.6 La surface ρ = ρ
0 = cte (" iso ρ ") est la sphère de centre O et de rayon OM = ρ
0 = cte; la surface θ = θ
0 = cte (" iso θ ") est le demi cône de sommet O et de demi angle au sommet θ = θ0 . Enfin la surface φ = φ
0 = cte (" iso φ ") est le demi plan méridien (Oz,Om).La courbe
coordonnées "ρ variable" est à l'intersection des surfaces " iso θ " (demi cône) et " iso φ " (demi plan méridien), c'est par conséquent (D) la demi-droite OM. La courbe coordonnée "q variable" est l'intersection des surfaces " iso ρ " et " iso φ " c'est-à-dire à l'intersection de la sphère et du demi-plan méridien, c'est par conséquent le demi-cercle (C) est appelé demi cercle méridien. Enfin la courbe coordonnée "φ variable" est à l'intersection des surfaces " iso ρ " '(sphère) et " iso θ " (demi cône), c'est donc le "cercle parallèle" (C') qui est parallèle au plan (Ox,Oy) de centre m' et de rayon m'M. La figure II.7 représente les courbes coordonnées au voisinage du point M(ρ,θ,φ). (D)
(C' )
M (ρ,θ,φ)(C) Fig. II.7 III- Systèmes d'axes locaux ("repères locaux") 1- Position du problèmeSoit )M(A
r un champ de vecteurs défini en un point M de l'espace ; en général ce point M est un point mobile qui décrit une trajectoire. A chaque instant on peut associer au point mobile M un système d'axes dont la direction varie d'un instant à l'autre avec le point. Ce système d'axes est appelé système d'axes locaux ou "repère local". Le champ de vecteurs )M(Ar pourra alors se décomposer à chaque instant sur les axes locaux.
A titre d'exemple un point matériel M en mouvement possède à chaque instant une vitesse )M(v
r (champ de vecteurs) ; cette vitesse peut s'écrire comme la résultante de ses composantes selon un système d'axes dont l'origine est placée en ce point M (ou en un point quelconque) et les directions dépendent de la position du point.
Il s'agit donc de préciser ces directions ainsi que les autres caractéristiques du "repère local" dans le cas d'un système de coordonnées quelconques (q1 ,q2 ,q3 ), puis dans les cas particulier de systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. 2- Détermination du "repère local" dans le cas général a- Direction et sens des axes locaux
Soit un système de coordonnées (q1 ,q2 ,q3 ) et un point M(q1 ,q2 ,q3 ); ce point est à l'intersection des trois courbes coordonnées "q
i variables" (figure III.1). M
q 3
q 2
q 1
variable
variable
variable
Fig. III.1 Considérons un déplacement infinitésimal (→ dM)q 1 sur la courbe coordonnée q
1 variable et supposons que (→ dM)q 1
soit suffisamment petit pour qu'il soit confondu avec la tangente à la courbe en M(q1 ,q2 ,q3 ) Nous pouvons écrire : (→ dM)q 1 = (→ 1MM) avec M(q1 ,q2 ,q3 ) et M1 (q1 ,dq1 ,q2 ,q3 ) deux points sur cette tangente (figure III.2) ; l'élément différentiel (→ dM)q 1 s'écrit alors : (→ dM)q 1= 1q M∂ ∂r dq
1 ainsi 11 dqq)dM( →= 1q M∂ ∂r est un vecteur tangent en M à la courbe coordonnée "q
1 variable". 1q M (321 q,q,q) M1 (3211 q,q,dqq+) variable1 qM ∂∂ r
Fig. III.2 En considérant successivement deux autres déplacements infinitésimaux (→ dM)q 2
= (→ 2
MM) et (→ dM)q 3 = (→ 3
MM) respectivement sur les courbes coordonnées "q
2 variable" et "q3 variable", nous déduisons de la même manière que précédemment, que les vecteurs : 2q dq)dM( 2→ =2 qM ∂∂ r
et 3q dq)dM( 3→ = 3q M∂ ∂r sont tangents en M à ces deux courbes coordonnées (figure III.3). L'ensemble des trois vecteurs 1q M∂ ∂r , 2q M∂ ∂r , 3q M∂ ∂r qui dépendent de la position du pointM(q 1,q 2,q 3
) définit un système d'axes locaux ou "repère local" associé au système de coordonnées (q1 ,q2 ,q3 ). Le caractère "local" de ces axes vient du fait qu'ils dépendent justement de la position du point M(q1 ,q2 ,q3 ) à chaque instant. 3q M∂ ∂r 1q M∂ ∂r 2q M∂ ∂r 2q 1q variable variable 3q variable
Fig. III.3 Remarques : * Tout champ de vecteurs )M(Ar peut s'écrire comme la somme de trois composantes qui sont les projections de )M(Ar sur les axes locaux; ainsi nous pouvons écrire :)M(A r
= Ar q
1 + Ar q 2 + Ar q 3
avec Ar q
1 la projection de )M(Ar sur la direction 1q M∂ ∂r , c'est-à-dire sur la tangente en M à la courbe coordonnée "q
1 variable". * Si nous considérons un déplacement infinitésimal quelconque dMr de M(q1 ,q2 ,q3 ) nous pouvons donc écrire également : dM r
= (dMr )q 1 + (dMr )q 2 + (dMr )q 3
avec (dMr )q i =i qM ∂∂ r dqi projection de dM
r sur la tangente en M à la courbe coordonnée "qi variable". * L'origine d'un système d'axes locaux peut être placée en un point quelconque de l'espace une fois que leur direction a été déterminée à chaque instant. b- Vecteurs unitaires de base du système d'axes locaux Nous avons défini trois vecteurs indépendants 1q M∂ ∂r , 2q M∂ ∂r , 3q M∂ ∂r qui caractérisent les directions du système d'axes locaux. Nous pouvons leur associer des vecteurs unitaires de même sens et même direction en les normalisant. Ainsi, les vecteurs unitaires sur er qi sur la direction iq M∂ ∂r sont définis successivement par :e rq 1
= 11 qM qM ∂∂ ∂∂ rr er q2 = 22 qM qM ∂∂ ∂∂ r
r er q3 = 33 qM qM ∂∂ ∂∂ rr (er q1 , er q2 , er q3 ) est une base de vecteurs unitaires du "repère local". Remarques : * Si les courbes coordonnées sont orthogonales, c'est-à-dire si au point M les directions 1q M∂ ∂r , 2q M∂ ∂r , 3q M∂ ∂
r sont perpendiculaires deux à deux, alors la base (er q1 , er q
2 , er q3 ) est orthonormée. Nous avons alors : |er q
i | = 1 et er qi . er qj = 0
pour i ≠ j Si, en plus nous avons : er q1 Λ er q2 = er q
3 er q2 Λer q
3 = er q1 er q3 Λ er q1 = er q
2 la base (e rq 1
, er q
2 , er q3 ) est alors directe. * La base du système d'axes locaux étant définie,
nous pouvons écrire tout champ de vecteur )M(Ar sous la forme : )M(Ar = Aq 1e rq 1 + Aq 2e rq 2
+ Aq 3e rq 3 avec Ar q
1 = Aq 1e rq 1 et Aq 1 représentant la valeur algébrique de la projection de )M(Ar sur la direction de er qi , c'est-à-dire : )M(Ar = ()M(Ar .er q1 ) er q
1 + ()M(Ar .er q2 ) er q
2 + ()M(Ar .e rq 3
) er q3 3- Systèmes d'axes locaux en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques a- "Repère local" en coordonnées cartésiennes (q1 = x , q2 = y , q3 = z)
Soit un système de coordonnées cartésiennes (O,x y z)
et ir , jr , kr une base orthonormée directe associée à ce système. ZZ' X'X Y Y'z y xO ye rz e rx er M (x,y,z)j rk ri r
Fig. III.4 Soit M(x,y,z) un point de l'espace tel que : →
OM= x ir + y jr + z kr Nous nous proposons de déterminer le "repère local" en M en appliquant la démarche suivie au § III.2 précédent.
Le point M(x,y,z) est à l'intersection des trois droites X'X, Y'Y, Z'Z qui
correspondent respectivement aux trois courbes coordonnées " x variable " , " y variable " et " z variable " (figure III.4). Considérons sur la courbe " x variable " (droite X'X) un déplacement élémentaire (dM r) x ; celui-ci est porté par la tangente en M à la courbe coordonnée "x variable" (c'est-à-
dire la droite X'X passant par le point M est parallèle à Ox). Nous pouvons donc écrire :(d Mr )
x = dx ir Par ailleurs d'après ce qui précède (§ III.2) et en faisant q
1 = x nous avons : (dMr )
x = xM ∂∂ r
dx , avecx M∂ ∂r = i
r si on identifie les deux expressions de (dMr )x . Dans ce cas xM ∂∂ r
définit directement le premier vecteur unitaire xe r
du repère local, en effet : xe r
= xM xM ∂∂ ∂∂ rr =|i| ir r
= ir En refaisant de même sur les autres courbes coordonnées, nous obtenons : ye r
= jr etz er = k
r Le repère local en M(x,y,z) est donc défini à partir de ses vecteurs de base (x er ,y er ,z er ) qui constituent un trièdre orthonormé et direct. Remarques : * Tout champ de vecteur )M(Ar peut être décomposé à chaque instant selon ses composantes sur le "repère local" en coordonnées cartésiennes :)M(A r
= Ax xe r
+ Ay ye r
+ Az ze r
avec A
x = )M(Ar . xe r
; A
y = )M(Ar . ye r ; A
z = )M(Ar . ze r
* En particulier un déplacement élémentaire quelconque du point M dans l'espace s'écrit : dM r
= (dMr )
x + (dMr )
y + (dMr )z = dx xe r
+ dy ye r
+ dz ze rz er b- Repère local en coordonnées cylindriques (q
1 = r, q
2 = φ, q
3 = z)
Soit un point M(r,φ,z) défini par ses coordonnées cylindriques. Ce point est à l'intersection des trois courbes coordonnées"r variable","φ variable" et "z variable", (figure III.5) zy xr OM M' *e z
*e *e rφ φm Fig. III.5 La courbe " r variable " est la demi-droite M
'M . Considérons le vecteur unitaire re r
sur cette direction et orienté dans le sens croissant de r c'est-à-dire dans le sens croissant de l'axe →
M'M. Un déplacement élémentaire de M sur la courbe coordonnée " r variable " lorsque r varie de dr s'écrit : (Md r) r = dr re r
Par ailleurs nous avons : (Md r) r = rM ∂∂ r
dr en identifiant les deux expressions précédentes nous obtenons : rM ∂∂ r
= re r
ce qui permet d'avoir la direction d'un axe du " repère local " en l'occurence celle de rM ∂∂ r
qui est celle de re r
, et de définir le vecteur unitaire sur cette direction par rM rM ∂∂ ∂∂ rr , c'est-à-dire par re r
. Reprenons la même démarche pour la courbe coordonnée " φ variable " , c'est-à-
dire le cercle de centre M' et de rayon M'H = r. Nous définissons sur la tangente en M à ce cercle un vecteur unitaire φe r
orienté dans le sens croissant de φ (figure III.6). Soit (Md r) φ un déplacement élémentaire de M sur la courbe coordonnée " φ variable ", lorsque φ varie de dφ. Supposons que dφ est suffisamment petit pour que (Md r) φ soit porté par la tangente . M'r dφ φe rM Ainsi nous avons : (Md r) φ = r dφ φe r
par ailleurs (Mdr )
φ = φ∂∂M r
dφ d'où φ∂∂M r
= r dφ φe r
ce qui permet de déduire que la seconde direction du système d'axes locaux est celle de φe r
et le vecteur unitaire sur cette direction est donné par φ∂∂ φ∂∂ MM rr , c'est-à-dire par φe r
. Enfin sur la courbe coordonnée " z variable " qui est la droite mM parallèle à oz, définissons un vecteur unitaire ze r
orienté dans le sens croissant de z, c'est-à-dire dans le sens croissant de l'axe →
mM. Soit (dMr )
z un déplacement élémentaire de M sur la courbe coordonnée " z variable " lorsque z varie de dz; nous avons alors :(d Mr )
z = dz ze r
par ailleurs nous avons :(dM r) z = zM ∂∂ r
dz d'où zM ∂∂ r
= ze r
et la dernière direction du système d'axes locaux est donc déterminée; c'est celle de ze r
, puisque le vecteur unitaire associé est zM zM ∂∂ ∂∂ rr = ze r Ainsi le "repère local" (système d'axes locaux) en coordonnées cylindriques est entièrement déterminé. La base de vecteurs unitaires (r er ,φ er ,z er ) que nous avons associée au repère local est orthonormée (les courbes coordonnées étant orthogonales en M) et directe. Remarques : * Tout champ de vecteurs )M(Ar peut s'écrire à l'aide de ses composantes dans le système d'axes locaux : )M(Ar = Ar re r
+ Aφ φe r
+ Az ze r
avec A
r = )M(Ar . re r
composante radiale A
φ = )M(Ar . φe r
composante orthoradiale A
z = )M(Ar . ze r
composante axiale * Un déplacement élémentaire quelconque Mdr s'écrit alors sous la forme d'une somme de ses trois composantes : Mdr = (Md r) r + (Md r) φ + (Md r) z
= dr re r
+ r dφ φe r
+ dz ze r
c- Repère local en coordonnées sphériques : (q1 = ρ , q
2 = θ, q
3 = φ) Soit un point M(ρ,θ,φ) défini par ses coordonnées sphériques. Ce point est à l'intersection des trois courbes coordonnées " ρ variable ", " θ variable " et
" φ variable " (figure III.7) . Fig. III.7La courbe
coordonnée
ρ variable est la demi-droite OM ; définissons ρe r
vecteur unitaire sur OM orienté dans le sens croissant de ρ = OM c'est-à-dire de O vers M . Soit un déplacement élémentaire (Mdr )
ρ sur cette courbe coordonnée lorsque ρ varie de dρ (Mdr )ρ = dρ ρe r (Mdr )ρ = ρ∂∂M r
d ρ en identifiant les deux expressions, nous déduisons : ρ∂∂M r
= ρe r
ce qui permet la détermination de la direction de ρ∂∂M r
, c'est-à-dire celle de l'axe local associé à la coordonnée ρ au point M. La courbe coordonnée " θ variable " est de demi cercle méridien (C) passant par M ; soit ρe r
le vecteur unitaire porté par la tangente en M au demi cercle (C) et tel que son sens correspond au sens croissant de l'angle (→→ OM,Oz) (figure III.8). zM O(C) dθ θθ er Fig. III.8Soit (Md r) θ un déplacement élémentaire sur la courbe (C) lorsque la variable θ varie de dθ ; nous avons : (Md r) θ = ρ dθ θe r
par ailleurs (Md r) θ = θ∂∂ Mr dθ d'où θ∂∂ Mr = ρ θe r La direction du second axe du "repère local" est donnée par celle deθ∂ ∂M r
, c'est-à-
dire par la direction de θe r et le vecteur unitaire associé est définipar θ∂∂ θ∂∂ MM rr = ρ ρθ er = θe r
Enfin pour la troisième direction du "repère local" nous considérons la courbe coordonnée " φ variable " qui est le cercle parallèle (C') de centre M'. Soit φe r
le vecteur unitaire porté par la tangente à (C') au point M et orienté dans le sens croissant de φ et soit (Mdr )
φ le vecteur déplacement élémentaire du point