Mécanique du point : Exercices chapitre 2 avec corrigé succinct
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Exercice II.1Ch2-Exercice1
Les applicationsf1 (x)=|x|,f2 (x)=p x,f3 (x)=1 px 2+1 sont-elles des applications deRdansR?
Solution:f1 : oui,f2 : non (f2 n’est définie que surR+ ),f3 : oui.
Exercice II.2Ch2-Exercice2
Soit la fonctionf:R→R,f:x7→p x. Donner son domaine de définitionD. Puis considérantfcomme
une application deDdansR, donner l’image de cette application.
Solution:D=R+ , Imf=R+ (le démontrer par double inclusion, sachant que siy∈R+ il peut s’écrirey= √y 2). Exercice II.3Ch2-Exercice3Soitf:R +
→Rdéfinie parf(x)=p x. Cette application est-elle injective ? surjective ? bijective ? Que
faudrait-il modifier pour qu’elle devienne bijective ?
Solution: Elle est injective carp x1 =p x2 ⇒x1 =x2 . Elle n’est pas surjective car Imf=R+ et non pasR, donc
elle n’est pas bijective. Elle serait bijective si on prenaitf:R+ →R+ .
Exercice II.4Ch2-Exercice4
Montrer, en utilisant les résultats du chapitre 1, que la négation de l’implication∀x∈E,∀x ′
∈E,{(f(x)=f(x′ ))⇒(x=x′ )}est ∃x∈E,∃x′ ∈E,{(x6=x′ )et(f(x)=f(x′ ))}.
En déduire qu’une application n’est pas injective si∃x∈E,∃x ′
∈E,{(x6=x′ )et(f(x)=f(x′ ))}.
Solution: On sait quenon(P⇒Q) s’écrit (Pet(nonQ), d’où
non{∀x∈E,∀x′ ∈E, (f(x)=f(x′ ))⇒(x=x′ )}⇔{∃x∈E,∃x′ ∈E, (f(x)=f(x′ ))et(x6=x′ )}
Exercice II.5Ch2-Exercice5
En utilisant les résultats du chapitre 1, montrer que( (f(x)=f(x′ ))⇒(x=x′ )) ⇔( (x6=x′ )⇒(f(x)6=f(x′ ))
En déduire qu’une applicationf:E→Fest injective si et seulement si∀x∈E,∀x ′∈E, ((x6=x ′
)⇒(f(x)6=f(x′ ))) .
Solution: Il suffit d’appliquer :
(P⇒Q)⇔{(nonQ)⇒(nonP)}.
Exercice II.6Ch2-Exercice6
SoitE=R\{−2} et soitf:E→R,x7→x+1 x+2
. TrouverF=Imf. Montrer quefest bijective deEsurF. Même
question avecD=R+ ∗. Solution: Après calculs on montre que touty6=1 admet un unique antécédent qui s’écritx= 1−2yy−1 d’où (y∈Imf)⇔(y6=1) et donc Imf=R\{1}.
Lorsque le domaine de définition defest limité àR+ ∗
, on a
x>0⇔1−2y y−1
>0⇔y∈]1 2
, 1[.
Exercice II.7Ch2-Exercice7
SoientEetFdeux ensembles, et soitfune application deEdansF. Montrer que la compositioni dF ◦f
est valide et quei dF ◦f=f.
Solution:i dF ◦f:E→F→Feti dF ◦f(x)=i dF (f(x))=f(x).
Exercice II.8Ch2-Exercice8
Soient les applicationsf:R+ ∗→R +∗ etg:R+ ∗
→Rdéfinies parf(x)=1 xetg(x)= x−1x+1 . Montrer queg◦f=−gsurR +∗ .
Solution: Tout d’abord, comme 0 et−1 sont exclus des domaines de définition, ces deux applications sont
effectivement bien définies. Il suffit ensuite de calculerg(f(x)). En effetg(f(x)=1 x−1 1x +1= 1−x1+x .
Exercice II.9Ch2-Exercice9
En vous souvenant de lnxetex , donner les ensembles de départ et d’arrivée permettant de dire que l’une
est l’application ré de l’autre.
Solution: lnx:R+ ∗→Rete x:R→R +∗ , doùelnx :R+ ∗→R +∗ et lnex :R→R.
Exercice II.10Ch2-Exercice10
SoientEetFdeux ensembles, et soitfdeEdansFqui admet une application réciproquef−1 . Montrer, à
partir de la définition def−1 quef−1 admet une application réciproque et que (f−1 )−1 =f.
Solution:f−1 ◦f=i dE etf◦f−1 =i dF caractérisent (par définition) l’inverse def−1 qui est doncf.
Exercice II.11Ch2-Exercice11
Vous avez montré (dans un exercice précédent) quef:R\{−2}→R\{1},f:x7→x+1 x+2
est une bijection. Dé-
terminer l’expression def−1 (y).
Solution: On a déjà démontré quef−1 (y)=1−2y y−1
en résolvant l’équationy=f(x).
Exercice II.12Ch2-Exercice12
Soient les applicationsf:R+ ∗→R +∗ etg:R+ ∗
→]−1, 1[ définies parf(x)=1 xetg(x)= x−1x+1 . Donnerf−1 ,g−1 puis (g◦f)−1 . Comparer avec le résultat de l’exercice II.8
Solution:f−1 :R+ ∗→R +∗ etf−1 (y)=1 y,g −1
:]−1, 1[→R+ ∗etg −1(y)= 1+y1−y (résoudrey=g(x)), d’où(g◦f) −1(y)=(f −1◦g −1)(y)= 11+y 1−y= 1−y1+y .
Il a été montré dans l’exercice 8 que (g◦f)−1 =(−g)−1 et l’on a bien (−g)−1 =1−y 1+y
(résoudrey=−g(x)).
Exercice II.13Ch2-Exercice13
Montrer que la loi "soustraction" est une loi de composition interne dansZ. Montrer que la loi "division"
n’est pas une loi de composition interne dansZ\{0} mais que cette loi est une loi de composition interne dansQ\{0}. Solution: La soustraction de deux entiers relatifs est un entier relatif. Le quotient de deux entiers relatifs
peut ne pas être un entier relatif (2 3
6∈Z). Par contre le quotient de deux rationnels non nuls est un rationnel
non nul, en effetp qp ′q ′= p q′ q p′ les élémentsp,q,p′ ,q′ étant tous des entiers non nuls.
Exercice II.14Ch2-Exercice14
Montrer que dans un groupe (E,♦) l’élément neutre est unique, de même que l’élément inverse d’un élé-
ment quelconque deE. Enfin, montrer que la “ règle de simplification ” : sia♦c=b♦c, alorsa=b, que vous
connaissez bien pour l’addition dansZ, s’applique dans un groupe quelconque.
Solution: S’il existe deux éléments neutrese1 ete2 , on ae 1♦e 2=e 1ete 1♦e 2=e 2. Et sixa deux inversesx1 etx2 , on ax 1♦x♦x 2=(x 1♦x)♦x 2=e♦x 2=x 2x 1♦x♦x 2=x 1♦(x♦x 2)=x 1♦e=x 1d’oùx 1=x 2. On appellec1 l’inverse dec, alors
a♦c=b♦c⇒(a♦c)♦c1 =(b♦c)♦c1 ⇒a♦(c♦c1 )=b♦(c♦c1 )⇒a♦e=b♦e⇒a=b
Quelles sont les propriétés que l’on a utilisées ?
Exercice II.15Ch2-Exercice15
Montrer que les lois "addition" et "multiplication" ne sont pas des lois internes dans l’ensemble des nombres
irrationnels.
Solution: Par exemplep 2−p 2=0 etp 2×p 2=2, or 0 et 2 ne sont pas des irrationnels !
Exercice II.16Ch2-Exercice16
Montrer que sixest irrationnel,p,qsont entiers,p6=0 alors
p xq est irrationnel.
Solution: On peut raisonner par l’absurde : on suppose quexest irrationnel,p,qsont entiers,p6=0 ,
p xq est
rationnel.
On a doncxest irrationnel,p,qsont entiers,p6=0 ,
p xq =p ′q ′. Ce qui implique quexest irrationnel,p,qsont entiers etx=p ′q q′ p
, ce qui est absurde.
Exercice II.17Ch2-Exercice17
Montrer que la relation "<" n’est pas réflexive ni symétrique.
Solution: Quels que soient les réelsxety, les propriétésx<xet (x<y)⇒(y<x) sont clairement fausses.
Exercice II.18Ch2-Exercice18
Montrer que :
– i/ (a≤b)⇔(−b≤−a),
– ii/ {(a≤b)et(c≤d)}⇒(a+c≤b+d),
– iii/ {(a≤b)et(0≤c)}⇒(ac≤bc),
– iv/ La propriété suivante deRest équivalente à la propriété d’Archimède :
∀a>0,∀A∈R;∃n∈Ntel quena>A.
Solution: Toutes ces inégalités se démontrent à partir des propriétés élémentaires de "≤". Ainsi
{(a≤b)et(c≤d)}⇒{(a+c≤b+c)et(b+c≤b+d)}⇒(a+c≤b+d).
AppelonsPla propriété d’Archimède,Qla proposition
∀a>0,∀A∈R;∃n∈Ntel quena>A.
On montreP⇒Q. Il suffit d’appliquer la propriété d’Archimède au nombre réelB=A a
On montreQ⇒P, il suffit d’appliquer la propositionQaveca=1.
Exercice II.19Ch2-Exercice19
Tracer le graphe de la fonction partie entièreE:R→R.
Solution: On obtient une fonction en "escalier" (voir la figure 1.1).
Exercice II.20Ch2-Exercice20
Montrer que siMest un majorant deAtout réelM′ ≥Mest aussi un majorant. De même simest un
minorant deAtout réelm′ ≤mest aussi un minorant.
Solution: PuisqueM≤M′ , on a (x≤M)⇒(x≤M′ ) et doncM′ est un majorant deA. La démonstration est
la même pourm′ .
-2-102311 2-2 FI G UR E1.1 – graphe de partie entière
Exercice II.21Ch2-Exercice21
Montrer qu’une partieAdeRest bornée si et seulement si il existe un nombreM≥0 tel que∀x∈A,|x|≤M
(on rappelle que|x|désigne la valeur absolue dex).
Solution: Si|x|≤M, alors−M≤x≤Met doncAest bornée.
Réciproquement, siα≤x≤β, on poseM=max{|α|,|β|} et l’on a−M≤x≤M. (Aidez-vous d’un dessin si cela
ne vous paraît pas évident car ce résultat est souvent utilisé).
Exercice II.22Ch2-Exercice22
Montrer que l’ensembleA={x∈R,∃n∈N,x=n n+1
} est borné.
Solution: Commen<n+1, il est clair que∀x∈A, on a 0≤x≤1.
Exercice II.23Ch2-Exercice23
Soita<b, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, montrer que sup [a,b[=b.
Solution: On utilise la caractérisation de la borne supérieure.
–∀x∈[a,b[, on ax≤b, doncbest majorant de [a, b[, montrons que c’est le plus petit.
– Soitc<b, deux cas peuvent alors se présenter
-c<a, oraest un élément de [a,b[ donccn’est pas majorant de [a,b[.
-c≥aalorsc+b 2
est un élément de [a,b[ qui est strictement supérieur àc, donccn’est pas majorant de[a,b[. On vient donc de démontrer quebest le plus petit des majorants de [a,b[.
Exercice II.24Ch2-Exercice24
Montrer que supA=p 2, siA={x∈R,xrationnel etx2 <2}.
Solution: On utilise la caractérisation de la borne supérieure.
–∀x∈A, on ax≤p 2
– Soitt<p 2, alors entre deux nombres réels il existe toujours un rationnel, d’où∃q∈Qtel quet<q<p 2 et
doncq∈Avérifie bient<q.
Exercice II.25Ch2-Exercice25
Montrer queaest le plus grand des minorants deI=[a,+∞[.
Solution: Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe un minorantmdeItel quea<m. Alors il
existe un réelαtel quea<α<met donc il existe un réelαappartenant àI(a<α) qui est strictement plus
petit quem, ce qui est absurde puisquemest un minorant deI.
Exercice II.26Ch2-Exercice26
En appliquant l’axiome de la borne supérieure, démontrer que toute partieAnon vide et minorée deR
admet une borne inférieure.
Solution: Soitmun minorant deA. Alors :
(x∈A)⇒(x≥m)⇒(−x≤−m).
Définissons l’ensembleB={y∈R,y=−x,x∈A}. AlorsBest majoré par−metBadmet une borne supérieure
(axiome de la borne supérieure)squi vérifie donc :
–∀y∈B, on ay≤s
– Soitt<s, alors∃y∈Btel quet<y.
Si l’on revient aux éléments deA(x=−y), on trouve
–∀x∈A, on ax≥−s
– Soit−t>−s, alors∃x∈Atel que−t>x.
Ceci est la caractérisation de "−s" est la borne inférieure deA.