Exercices chapitre 2 avec corrigé succinct mécanique du point pdf

Mécanique du point : Exercices chapitre 2 avec corrigé succinct

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Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct

Exercice II.1

Les applications f₁(x) = |x|, f₂(x) = √x, f₃(x) = ¹/ₚ(x² + 1) sont-elles des applications de ℝ dans ℝ ?

Solution : f₁ : oui, f₂ : non (f₂ n’est définie que sur ℝ⁺), f₃ : oui.

Exercice II.2

Soit la fonction f : ℝ → ℝ, f : x ↦ √x. Donner son domaine de définition D. Puis, considérant f comme une application de D dans ℝ, donner l’image de cette application.

Solution : D = ℝ⁺. Im(f) = ℝ⁺ (le démontrer par double inclusion, sachant que si y ∈ ℝ⁺, il peut s’écrire y = √(y²)).

Exercice II.3

Soit f : ℝ⁺ → ℝ définie par f(x) = √x. Cette application est-elle injective ? surjective ? bijective ? Que faudrait-il modifier pour qu’elle devienne bijective ?

Solution : Elle est injective car √x₁ = √x₂ ⇒ x₁ = x₂. Elle n’est pas surjective car Im(f) = ℝ⁺ et non pas ℝ, donc elle n’est pas bijective. Elle serait bijective si on prenait f : ℝ⁺ → ℝ⁺.

Exercice II.4

Montrer, en utilisant les résultats du chapitre 1, que la négation de l’implication ∀x ∈ E, ∀x′ ∈ E, {f(x) = f(x′) ⇒ x = x′} est ∃x ∈ E, ∃x′ ∈ E, {x ≠ x′ et f(x) = f(x′)}.

En déduire qu’une application n’est pas injective si ∃x ∈ E, ∃x′ ∈ E, {x ≠ x′ et f(x) = f(x′)}.

Solution : On sait que non (P ⇒ Q) s’écrit (P et non Q), d’où non {∀x ∈ E, ∀x′ ∈ E, (f(x) = f(x′)) ⇒ (x = x′)} ⇔ {∃x ∈ E, ∃x′ ∈ E, (f(x) = f(x′)) et (x ≠ x′)}.

Exercice II.5

En utilisant les résultats du chapitre 1, montrer que {(f(x) = f(x′)) ⇒ (x = x′)} ⇔ {(x ≠ x′) ⇒ (f(x) ≠ f(x′))}. En déduire qu’une application f : E → F est injective si et seulement si ∀x ∈ E, ∀x′ ∈ E, {(x ≠ x′) ⇒ (f(x) ≠ f(x′))}.

Solution : Il suffit d’appliquer : (P ⇒ Q) ⇔ {(non Q) ⇒ (non P)}.

Exercice II.6

Soit E = ℝ \ {−2} et soit f : E → ℝ, x ↦ x + 1 / x + 2. Trouver F = Im(f). Montrer que f est bijective de E sur F. Même question avec D = ℝ⁺*.

Solution : Après calculs, on montre que tout y ≠ 1 admet un unique antécédent qui s’écrit x = 1 − 2y / y − 1, d’où (y ∈ Im(f)) ⇔ (y ≠ 1) et donc Im(f) = ℝ \ {1}.

Lorsque le domaine de définition de f est limité à ℝ⁺*, on a x > 0 ⇔ 1 − 2y / y − 1 > 0 ⇔ y ∈ ]½, 1[.

Exercice II.7

Soient E et F deux ensembles, et soit f une application de E dans F. Montrer que la composition i_dF ◦ f est valide et que i_dF ◦ f = f.

Solution : i_dF ◦ f : E → F → F et i_dF ◦ f(x) = i_dF(f(x)) = f(x).

Exercice II.8

Soient les applications f : ℝ⁺* → ℝ⁺* et g : ℝ⁺* → ℝ définies par f(x) = 1/x et g(x) = (x − 1)/(x + 1). Montrer que g ◦ f = −g sur ℝ⁺*.

Solution : Tout d’abord, comme 0 et −1 sont exclus des domaines de définition, ces deux applications sont effectivement bien définies. Il suffit ensuite de calculer g(f(x)). En effet, g(f(x)) = (1/x − 1)/(1/x + 1) = (1 − x)/(1 + x).

Exercice II.9

En vous souvenant de ln(x) et exp(x), donner les ensembles de départ et d’arrivée permettant de dire que l’une est l’application réciproque de l’autre.

Solution : ln(x) : ℝ⁺* → ℝ et exp(x) : ℝ → ℝ⁺*, d’où ln(x) : ℝ⁺* → ℝ⁺* et exp(x) : ℝ → ℝ.

Exercice II.10

Soient E et F deux ensembles, et soit f de E dans F qui admet une application réciproque f⁻¹. Montrer, à partir de la définition de f⁻¹, que f⁻¹ admet une application réciproque et que (f⁻¹)⁻¹ = f.

Solution : f⁻¹ ◦ f = i_dE et f ◦ f⁻¹ = i_dF caractérisent (par définition) l’inverse de f⁻¹ qui est donc f.

Exercice II.11

Vous avez montré (dans un exercice précédent) que f : ℝ \ {−2} → ℝ \ {1}, f : x ↦ x + 1 / x + 2 est une bijection. Déterminer l’expression de f⁻¹(y).

Solution : On a déjà démontré que f⁻¹(y) = 1 − 2y / y − 1 en résolvant l’équation y = f(x).

Exercice II.12

Soient les applications f : ℝ⁺* → ℝ⁺* et g : ℝ⁺* → ]−1, 1[ définies par f(x) = 1/x et g(x) = (x − 1)/(x + 1). Donner f⁻¹, g⁻¹, puis (g ◦ f)⁻¹. Comparer avec le résultat de l’exercice II.8.

Solution : f⁻¹ : ℝ⁺* → ℝ⁺* et f⁻¹(y) = 1/y. g⁻¹ : ]−1, 1[ → ℝ⁺* et g⁻¹(y) = (1 + y)/(1 − y) (résoudre y = g(x)).

D’où (g ◦ f)⁻¹(y) = (f⁻¹ ◦ g⁻¹)(y) = 1/(1 + y)/(1 − y) = (1 − y)/(1 + y).

Il a été montré dans l’exercice 8 que (g ◦ f)⁻¹ = (−g)⁻¹ et l’on a bien (−g)⁻¹ = (1 − y)/(1 + y) (résoudre y = −g(x)).

Exercice II.13

Montrer que la loi « soustraction » est une loi de composition interne dans ℤ. Montrer que la loi « division » n’est pas une loi de composition interne dans ℤ \ {0} mais que cette loi est une loi de composition interne dans ℚ \ {0}.

Solution : La soustraction de deux entiers relatifs est un entier relatif. Le quotient de deux entiers relatifs peut ne pas être un entier relatif (exemple : 2/3 ∉ ℤ). Par contre, le quotient de deux rationnels non nuls est un rationnel non nul, car p/q ÷ p′/q′ = (p q′)/(q p′), les éléments p, q, p′, q′ étant tous des entiers non nuls.

Exercice II.14

Montrer que dans un groupe (E, ♦), l’élément neutre est unique, de même que l’élément inverse d’un élément quelconque de E. Enfin, montrer que la « règle de simplification » : si a ♦ c = b ♦ c, alors a = b, que vous connaissez bien pour l’addition dans ℤ, s’applique dans un groupe quelconque.

Solution : S’il existe deux éléments neutres e₁ et e₂, on a e₁ ♦ e₂ = e₁ et e₁ ♦ e₂ = e₂. Et si x a deux inverses x₁ et x₂, on a x ♦ x₁ ♦ x₂ = (x ♦ x₁) ♦ x₂ = e ♦ x₂ = x₂ et x ♦ x₁ ♦ x₂ = x ♦ (x₁ ♦ x₂) = x ♦ e = x₁, d’où x₁ = x₂.

On appelle c₁ l’inverse de c, alors a ♦ c = b ♦ c ⇒ (a ♦ c) ♦ c₁ = (b ♦ c) ♦ c₁ ⇒ a ♦ (c ♦ c₁) = b ♦ (c ♦ c₁) ⇒ a ♦ e = b ♦ e ⇒ a = b.

Quelles sont les propriétés que l’on a utilisées ?

Exercice II.15

Montrer que les lois « addition » et « multiplication » ne sont pas des lois internes dans l’ensemble des nombres irrationnels.

Solution : Par exemple, √2 + √2 = 2√2 et √2 × √2 = 2, or 2√2 et 2 ne sont pas des irrationnels.

Exercice II.16

Montrer que si x est irrationnel, p et q sont des entiers, p ≠ 0, alors p/x + q est irrationnel.

Solution : On peut raisonner par l’absurde : on suppose que x est irrationnel, p et q sont des entiers, p ≠ 0, et p/x + q est rationnel.

On a donc p/x + q = p′/q′. Ce qui implique que x = (p′ q − p q′)/(p q′), ce qui est absurde.

Exercice II.17

Montrer que la relation « < » n’est pas réflexive ni symétrique.

Solution : Quels que soient les réels x et y, les propriétés x < x et (x < y) ⇒ (y < x) sont clairement fausses.

Exercice II.18

Montrer que :

– i/ (a ≤ b) ⇔ (−b ≤ −a),

– ii/ {(a ≤ b) et (c ≤ d)} ⇒ (a + c ≤ b + d),

– iii/ {(a ≤ b) et (0 ≤ c)} ⇒ (a c ≤ b c),

– iv/ La propriété suivante de ℝ est équivalente à la propriété d’Archimède : ∀a > 0, ∀A ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ tel que n a > A.

Solution : Toutes ces inégalités se démontrent à partir des propriétés élémentaires de « ≤ ». Ainsi {(a ≤ b) et (c ≤ d)} ⇒ {(a + c ≤ b + c) et (b + c ≤ b + d)} ⇒ (a + c ≤ b + d).

Appelons P la propriété d’Archimède et Q la proposition ∀a > 0, ∀A ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ tel que n a > A.

On montre P ⇒ Q. Il suffit d’appliquer la propriété d’Archimède au nombre réel B = A/a.

On montre Q ⇒ P, il suffit d’appliquer la proposition Q avec a = 1.

Exercice II.19

Tracer le graphe de la fonction partie entière E : ℝ → ℝ.

Solution : On obtient une fonction en « escalier » (voir la figure 1.1).

Exercice II.20

Montrer que si M est un majorant de A, tout réel M′ ≥ M est aussi un majorant. De même, si m est un minorant de A, tout réel m′ ≤ m est aussi un minorant.

Solution : Puisque M ≤ M′, on a (x ≤ M) ⇒ (x ≤ M′) et donc M′ est un majorant de A. La démonstration est la même pour m′.

Exercice II.21

Montrer qu’une partie A de ℝ est bornée si et seulement si il existe un nombre M ≥ 0 tel que ∀x ∈ A, |x| ≤ M (on rappelle que |x| désigne la valeur absolue de x).

Solution : Si |x| ≤ M, alors −M ≤ x ≤ M et donc A est bornée.

Réciproquement, si α ≤ x ≤ β, on pose M = max{|α|, |β|} et l’on a −M ≤ x ≤ M.

Exercice II.22

Montrer que l’ensemble A = {x ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ, x = n/(n + 1)} est borné.

Solution : Comme n < n + 1, il est clair que ∀x ∈ A, on a 0 ≤ x ≤ 1.

Exercice II.23

Soit a < b, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, montrer que sup [a, b[ = b.

Solution : On utilise la caractérisation de la borne supérieure.

– ∀x ∈ [a, b[, on a x ≤ b, donc b est majorant de [a, b[.

– Soit c < b, deux cas peuvent alors se présenter :

c < a, ou a est un élément de [a, b[ donc c n’est pas majorant de [a, b[.

c ≥ a alors (c + b)/2 est un élément de [a, b[ qui est strictement supérieur à c, donc c n’est pas majorant de [a, b[.

On vient donc de démontrer que b est le plus petit des majorants de [a, b[.

Exercice II.24

Montrer que sup A = √2, si A = {x ∈ ℝ, x est rationnel et x² < 2}.