Optique : Cours optique geometrique s1 g et s1 sm d
Télécharger PDFCOURS D’OPTIQUE GEOMETRIQUE
modules S1 G et S1 SM-d
1999-2000
Yves Georgelin
en collaboration avec Marcelle L’Huillier
Table des mati` eres
IPRINCIPES FONDAMENTAUX1
1Introduction.22 Principes de l’optique g ́
eom ́
etrique.33 V ́
erifications exp ́
erimentales et commentaires.43.1 Principe.1.....................................................4 3.2
Principe.2.....................................................5 3.3
Principe.3 : Lois de Snell-Descartes.................................5 3.3.1
R ́
eflexion.................................................6 3.3.2
R ́
efraction................................................7 4
Propri ́
et ́
es des indices.105 Construction du rayon r ́
efl ́
echi et du rayon r ́
efract ́e.11 5.1n 2
>n1 ....................................................... 115.2 n2 <n1 ....................................................... 12
IIAPPLICATIONS AUX SYST` EMES PLANAIRES14
6Miroirs plans.156.1 Image d’un point................................................ 156.2 Images et objets r ́
eels et virtuels.................................... 167 Dioptres plans.197.1 Image d’un point lumineux........................................ 197.2 Formules du dioptre plan dans l’approximation stigmatique............... 218 Lames` a faces parall` eles.238.1 Marche d’un rayon lumineux....................................... 238.2 D ́
eplacement lat ́
eral dans le casn1 =n3 :............................. 248.3 Image (approch ́
ee) d’un point lumineux (n1 =n3 )....................... 259 Prisme.279.1 Marche d’un rayon lumineux....................................... 289.2 Conditions d’ ́
emergences......................................... 299.3 Cas des petits angles............................................. 31
IIICONDITIONS de GAUSS32
10D ́
efinition.3311 Image d’un point lumineux.34
IVLE DIOPTRE SPH ́
ERIQUE37
12D ́
efinitions.3813 Conventions.391 14Relations fondamentales du dioptre sph ́
erique.4015 Exercices et remarques.42
VLENTILLES MINCES43
16D ́
efinitions.4417 Lentilles minces.4518 Bords des lentilles minces.4619 Lentilles convergentes, lentilles divergentes4720 Position de l’image.4821 Points particuliers de l’axe optique.4922 Construction de l’image d’un petit objetAB.5123 Formules des lentilles minces.5324 Vergence.5425 Syst` eme de lentilles.55
VIPRINCIPE de FERMAT56
26Chemin optique.5727 Principe de Fermat.5828 Mise en garde.602 Premi` ere partie
PRINCIPES FONDAMENTAUX1 1Introduction.
La lumi` ere naturelle (par ex. la lumi` ere solaire) est une superposition d’ondes ́
electromagn ́etiques delongueurs d’ondes
λdiff ́
erentes.
RadiationsγRayonsX VisibleU.V. I.R.
λen m
Ondes Radio1 10�2 10�4 10�6 10�8 10�10 10�12 10�14 FIG. 1 – Spectre des ondes ́electromagn ́etiques.
On sait aussi que cette onde est quantifi ́
ee : Existence de “grains de lumi` ere” appel ́
es :
Photons.
En principe, pour n’importe quelle longueur d’onde ces deux aspects coexistent tou-
jours. Cependant, pour les tr` es grandes longueurs d’onde (ondes radio et plus...), la nature
corpusculairede la lumi` ere est difficilement d ́
ecelable. Aux tr` es petites longueurs d’onde(rayons γ), c’est au contraire la nature corpusculaire qui est le plus facilement mise en ́
evidence (collisions directes de photons avec d’autres particules en physique des parti-
cules). La lumi` ere visible est en quelque sorte` a mi-chemin : l’aspect ondulatoire peuty ˆ
etre aussi important que l’aspect corpusculaire ; tout d ́
epend du type de ph ́enom `
enes ́
etudi ́es. Dans l’ ́
etude de la lumi` ere rencontrant les objets d’ ́
echelle macroscopique, la petitesse
des longueurs d’onde (λ10 �7
cm) du visible vis` a vis des grandeurs des objets qu’elle
rencontre (L
1cm et plus) a permis d’ ́
elaborer une th ́
eorie g ́
eom ́
etrique de la propagation
des ondes lumineuses :L’optique g ́
eom ́
etrique.2 2Principes de l’optique g ́
eom ́
etrique.
On oublie l’aspect ondulatoire et corpusculaire de la lumi` ere et on montre qu’un tr` es
grand nombre de ph ́enom `
enes lumineux observ ́
es peut se d ́
eduire des principes suivants :
Principe.1.Il existe desrayons lumineuxqui restent ind ́
ependants les uns des autres (pas
d’interaction entre eux).
Principe.2.Dans un milieuhomog` ene, transparentetisotrope, les rayons lumineux sont
deslignes droites.
Principe.3.` A la surface de s ́
eparation de deux milieux, les rayons lumineux ob ́eissent aux lois deSnell-Descartes.3 3V ́
erifications exp ́
erimentales et commentaires.
3.1Principe.1.
D ́
efinition.On appellerayon lumineux, toute courbe suivant laquelle se propage lalumi `ere. Remarque.1.Un rayon lumineux n’a pas d’existence r ́
eelle car pour isoler un rayon
lumineux, il faudrait faire passer la lumi` ere par une ouverture de plus en plus petite et par
cons ́
equent d’une dimension devenant du mˆ eme ordre de grandeur que la longueur d’onde
de cette lumi` ere ; ce qui contredit nos hypoth` eses. D’ailleurs, si on fait l’exp ́
erience, on
obtient un nouveau ph ́enom `
ene :La Diffraction, qui ne peutˆ etre d ́
ecrite uniquement` a
partir des principes de l’optique g ́
eom ́
etrique (fig.2).xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
Lumi`ere diffract ́eeF IG. 2 – Diffraction de la lumi`ere.
Propri ́
et ́
e.Deux rayons lumineux se rencontrant, n’interagissent pas (un rayon lumi-
neux ne peut pasˆ etre d ́
evi ́
e par un autre rayon lumineux).
Remarque.2.Ceci contredit bien sˆ ur la nature “corpusculaire” qu’on attribue par ailleurs` a la lumi` ere, et en fait elle s’est av ́
er ́
ee fausse car on peut r ́
ealiser actuellement des colli-
sions entre photons dans les lasers.
Remarque.3.Cette propri ́
et ́
e qu’a la lumi` ere d’ˆ etre d ́
ecrite par des rayons n’est paspropre `
a l’onde lumineuse. Des ultrasons aux longueurs d’onde tr` es courtes par rapport
aux dimensions des objets qu’ils rencontrent peuventˆ etre aussi d ́
ecrits par des rayons
g ́
eom ́
etriques (approximation eikonale) ; d’o` u la remarque suivante :4 Remarque.4.Il faut se garder de dire que la description g ́
eom ́
etrique de la lumi` ere
sous forme de rayons de lumi` ere r ́ev `
ele la nature corpusculaire de celle-ci.Les rayons delumi `
ere ne sont pas les trajectoires des photons. En fait un photon n’est pas localisable et
ne poss` ede pas de trajectoire au sens de la m ́
ecanique classique du point mat ́
eriel !
3.2Principe.2.
Lorsque le milieu esttransparent, homog` ene, isotrope, les rayons lumineux sont des
droites.
Nous savons qu’il est impossible d’isoler un seul rayon lumineux` a cause des ph ́enom `enes de diffraction. On a donc en pratique, des ensembles de rayons lumineux constitu ́
es en
faisceauxlumineux se propageant` a travers des ouvertures de tailles vari ́
ees : lesdia-
phragmes.Onn ́
egligera toujours la diffraction. Les diff ́
erents types de faisceaux lumineux
sont repr ́
esent ́
es sur la figure.3.
ConvergentDivergent
Faisceaux Coniques
Faisceau
Cylindrique
FIG. 3 – Diff ́erents faisceaux lumineux.
3.3Principe.3 : Lois de Snell-Descartes.
Exp ́
erience. Faisons arriver un faisceau cylindrique de lumi` ere de longueur d’onde
donn ́
ee (Lumi` ere monochromatique)` a la surface de l’eau additionn ́
ee de fluoresc ́eine contenue dans une cuve, rendant ainsi visible les trajets lumineux.
On observe :
a-Un faisceau cylindriquer ́
efl ́
echipar la surface de l’eau.
b-Un faisceau cylindriquer ́
efract ́e `
a travers la surface de l’eau.5 Faisceau Incident
Faisceau Réfléchi
SURFACE DE L'EAU
Faisceau
Réfracté
FIG.4–R ́eflexion et r ́efraction.
Les lois relatives` a ces deux ph ́enom `
enes : lar ́
eflexionet lar ́
efractiond ́
ecrivant le com-
portement des rayons lumineux,` alas ́
eparation de deux milieux, s’appellent les lois de
Snell-Descartes.
3.3.1R ́
eflexion
Consid ́
erons un rayon lumineuxAIincidentarrivant sur la surface de s ́
eparationSde
deux milieux.
Il lui correspond un rayonr ́
efl ́
echiIR. Menons la droite normaleIN` a la surfaceSenIet
situ ́
ee du mˆ eme cˆ ot ́
edeSque le rayon incidentAI. Le plan d ́
efini par le rayon incidentAI
et la normaleINs’appelle leplan d’incidence, l’angled NIR=restl’angle de r ́
eflexion.
Lois de la r ́
eflexion:6 AI NR Si rF IG. 5 – Loi de la r ́eflexion.
1.Le rayon r ́
efl ́
echi est dans le plan d’incidence.
2.L’angle de r ́
eflexionrest ́egal `
a l’angle d’incidencei.i =r
3.3.2R ́
efraction
Soient deux milieux transparents isotropes s ́
epar ́
es par une surfaceS.` A un rayon inci-
dentAIsitu ́
e dans le premier milieu correspond dans le second milieu un rayonIR0 appel ́e rayon r ́
efract ́
e. Menons la droite normaleIN` a la surfaceS. Le plan d ́
efini parAIetINest
le plan d’incidence, l’angled AIN=i1 est l’angle d’incidence et l’angled N0 IR0 =i 2
s’appelle
l’angle de r ́
efraction.
Remarque importante.` A la surface de s ́
eparation de deux milieux transparents, il existe
toujours un rayon r ́
efl ́
echi d` es qu’il existe un rayon r ́
efract ́
e ; le rayon r ́
efract ́
e par contre
n’existe pas toujours mˆ eme si le rayon r ́
efl ́
echi existe !7 AI NN 0R 0S i2 i1 FIG. 6 – Loi de la r ́efraction.
Lois de la r ́
efraction
1.Le rayon r ́
efract ́
e est dans le plan d’incidence.
2.Pour deux milieux donn ́
es et une lumi` ere de longueur d’onde donn ́ee λ, il existe un
rapport constant entre le sinus de l’angle d’incidencei1 et le sinus de l’angle de
r ́
efractioni2 sini1 sini2 =n(λ)o `
unest une constante d ́
ependant deλ, on l’appellel’indice de r ́
efractiondu milieu
2 par rapport au milieu 1.
Exemple : L’indice de r ́
efraction de l’eau par rapport` a l’air est pour la lumi` ere verte
d’environ 4=3. Remarque. Les lois de Snell-Descartes sont relatives` alar ́
eflexion et` alar ́
efraction
de rayons lumineux et ne sont donc pas v ́
erifiables directement. On ne peut qu’en faire
une grossi` ere v ́
erification en utilisant des faisceaux cylindriques ́
etroits. Nous admettrons
ces lois comme hypoth` eses fondamentales justifi ́
ees par leurs cons ́
equences, lesquelles8 se trouventˆ etre en bon accord avec les exp ́
eriences rentrant dans le cadre del’optique
g ́
eom ́
etrique.9 4Propri ́
et ́
es des indices.
1.L’indicen
(λ)d’un milieu 2 par rapport` a un milieu 1 est ́
egal au rapport des vitessesv 1etv 2
de l’onde lumineuse dans les milieux 1 et 2n (λ)=v 1(λ) v2 (λ)
(Rappelons` a ce propos que la vitesse de l’onde lumineusev(λ)dans un milieu quel-
conque est toujours inf ́erieure `
a ce qu’elle serait dans le vide.) On aura donc pour
trois milieux 1, 2 et 3 o` u les vitesses respectives de la lumi` ere sontv1 ,v2 etv3 , les
indices de ces milieux pris deux` a deuxn 2;1= v1 v2 n3;1 =v 1v 3n 3;2= v2 v3 d’o` un3;2 =n 3;1n 2;1
2.L’indice relatif de deux milieux est ́
egal au rapport de leurs indices relatifs` a une mˆ eme
substance. Si on prend comme milieu de comparaisonle vide, on obtientl’indiceabsolu. Exemple:` A 0 degr ́
e sous une pression de 76 centim` etres de mercure, l’indice absolu de
l’air pour la lumi` ere jaune du sodium vaut 1,000292 .
Cons ́
equence 1.Deuxi` eme forme de la loi de la r ́
efraction de Snell-Descartes : Soitn1 etn2 les indices absolus de deux substances, alorsn=n 2n 1
est l’indice du second par
rapport au premier etsini 1=nsini 2= n2 n1 sini2 D’o` un 1sini 1=n 2sini 2
Avec les indices absolusn1 (λ)etn2 (λ), la deuxi` eme loi de la r ́
efraction prend donc
une forme compl` etement sym ́
etrique.
Cons ́
equence 2.De la sym ́
etrie de la relation pr ́
ec ́
edente on d ́
eduit leprincipe du retour
inverse de la lumi` ere. Dans l’exp ́
erience de r ́
efraction, si un rayon arrive suivantR0 I,
il se r ́
efracte selonIA: Le trajet de la lumi` ere r ́
efract ́
ee ne d ́
epend pas de son sens
de propagation. En g ́
en ́
eral, lorsque deux rayons lumineux r ́
efract ́
es ont une partie de
trajet identique delongueur non nulle, ils sont alors superpos ́
es sur tout leur parcours
(une conclusion identique s’impose pour les rayons r ́
efl ́echis). 10
5Construction du rayon r ́
efl ́
echi et du rayon r ́
efract ́e. a.Pour le rayon r ́
efl ́
echi, il suffit de construire le rayon sym ́
etrique du rayon incident parrapport `
a la normale au point d’incidence.
b.Pour le rayon r ́
efract ́
e d’un milieu d’indicen1 vers un milieu d’indicen2 nous devons
envisager deux cas.5.1n 2
>n1 .
Soit 0i 1 π2 . Du pointI, trac ̧ons le planPtangent` aS. Deux cercles de rayons
respectifsn1 etn2 sont trac ́
es dans le plan contenant la normaleIN` aPet le rayon incident
AI. On a alors (fig.7)IH =IDsini1 =ID0 sini2 doncn 1sini 1=n 2sini 2c’est `
a dire la relation de Snell-Descartes.A IPH RS DD 0i 2i 1n 2n 1
FIG. 7 – Construction du rayon r ́efract ́e(n2 >n1 ).11 Remarque.1.Quelque soit 0i1 π 2
, le rayon r ́
efract ́
eexiste toujourset se rapproche
de la normale.
Remarque.2.Lorsquei1 devient pratiquement ́egal `
aπ=2, la relation de Snell-Descartes
montre que1 =sinπ 2= n2 n1 siniL o` u l’angleiL tel que siniL =n 1n 2
est l’anglemaximumque peut faire le rayon r ́
efract ́eIR avec la normale` a la surfaceS; le rayon incidentAIest alors tangent enI` aS.5.2n 2
<n1 .A IP HR SD D0 i2 i1 n2 n1 iL FIG. 8 – Construction du rayon r ́efract ́e(n2 <n1 ).
On r ́eit `
ere la construction pr ́
ec ́
edente quine donne un rayon r ́
efract ́
e que pouri 1
<iL o` uiL est tel que pouri2 =π 2
, ce qui correspond` a un rayon r ́
efract ́
e tangent enI` aS12 On auran 1sini L=n 2sin π2 =n2 d’o` ulad ́
efinition del’angle limiteiL que peut faire le rayon incident avec la normale` aSsini L= n2 n1 Remarque.1.Lorsque le rayon r ́
efract ́
e existe :il s’ ́
ecarte de la normale; on a toujours0 i2 π 2. Remarque.2.Pour un angle d’incidencei1 >iL ,iln’y a pasde rayon r ́
efract ́
e, seul
subsiste le rayon r ́
efl ́
echi:ilyar ́
eflexion totalede la lumi` ere` a la surface de s ́
eparation
des deux milieux. On a constitu ́
e ainsi un miroir parfait. Ceci veut dire qu’` a part la perte
d’intensit ́
e de la lumi` ere due aux rugosit ́
es plus ou moins importantes de la surface de
s ́
eparation des deux milieux toute l’ ́
energie lumineuse est r ́
efl ́
echie par la surface.
La r ́
eflexion totale est largement mise` a profit dans certains appareils d’optique tels que
les jumelles o` u une disposition judicieuse de prismes permet de r ́
ealiser des r ́
eflexions
totales (fig.9). Un des avantages d’un tel dispositif est alors de r ́
eduire l’encombrement de
l’appareil.
Conditions :La r ́
eflexion totale n’est possible que lors du passage de la lumi` ere d’un
milieu plusr ́
efringentd’indicen1 vers un milieu moins r ́
efringent d’indicen2 . On obser-
vera la surface de l’eau d’une carafe d’eau par les cˆ ot ́
es et par en dessous.PrismeP 1PrismeP 2
FIG. 9 – Deux prismes `ar ́eflexion totaleP1 etP2 .13 Deuxi` eme partie
APPLICATIONS AUX SYST` EMES PLANAIRES14 6Miroirs plans.
D ́
efinition.Unmiroir planest une surface planeSr ́
efl ́
echissante (Existence d’un rayon
lumineux r ́
efl ́
echi d ́
ecelable).
Remarque.Toute r ́
eflexion sur une surface polie est accompagn ́
ee d’une perte de lumi` ere
soit par absorption, soit par diffusion, soit par r ́
efraction. Dans le cas d’une r ́
eflexion to-
tale, ce dernier ph ́enom `
ene disparaissant, il ne subsiste que les deux premiers ph ́enom `enes qui ne sont jamais totalement absents.
6.1Image d’un point.
SoitAun point lumineux, envoyant ses rayons sur un miroir planM. Un observateurO
est situ ́edum ˆ
eme cˆ ot ́
e du miroir queA.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxA OM F
IG. 10 – Exp ́erience du miroir plan.
Le pointAposs` ede uneimageA0 , observable par tout observateurOsitousles rayons
r ́
efl ́
echis parMissus deAsemblent provenir de ce pointA0 .D’apr `
es les lois de Snell-Descartes, le rayonAHperpendiculaire` aMest r ́
efl ́
echi sur lui-m ˆ
eme. Tout rayonAIpassant parIest r ́
efl ́
echi sym ́
etriquement par rapport` a la normale
INselonIR(i
=r). Pour un observateurOquelconque, le rayonIRsemble provenir d’unpointA 0
, sym ́
etrique deApar rapport` aM.15 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxA A0 HI MN ir F
IG. 11 – Image d’un point dans un miroir.
Propri ́
et ́
e.Un miroir plan donne d’un pointAune imageA0 sym ́
etrique par rapport au
plan du miroir : le miroir plan est ditstigmatique, car l’image de tout point de l’espace
est un point.
Remarque.C’est leseulsyst` eme optique` a poss ́
eder cette propri ́
et ́e. 6.2Images et objets r ́
eels et virtuels.
Consid ́
erons un objet ponctuel lumineuxA(fig.12) face au miroirM: c’est unobjet
r ́eel. Pour un observateurO, les faisceaux de lumi` ere issus deAsemblent en fait provenir
de l’imageA0 , or aucune ́
energie lumineuse n’est ́
emise enA0 (pas de signal lumineux
d ́
etectable enA0 ). On dit queA0 est uneimage virtuelle.
Inversement, consid ́
erons un faisceau de lumi` ereconiquede sommetA(fig13.)16 xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxx xxxxxx xxxxxx xxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxx xxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxx xxxxxx xxxxxx xxx xxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxx AA 0M OF IG. 12 – Objet r ́eel, image virtuelle.xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxxA A0 M
LentilleF IG. 13 – Objet virtuel, image r ́eelle.
Interposons un miroir dans le faisceau ; celui-ci est alors d ́
evi ́
e, r ́
efl ́
echi de telle sorte
qu’il se forme une image lumineuse enA0 . Le pointA0 est uneimage r ́
eelledeAcar
l’ ́
energie lumineuse se concentre r ́
eellement enA0 . Par contre, aucun signal lumineux
n’est d ́
etectable enA; le pointAest consid ́
er ́
e commeobjet virtuel.
Conclusions.
a.Dans un miroir plan :17 1.Si l’objet est r ́
eel, l’image est virtuelle.
2.Si l’objet est virtuel, l’image est r ́eelle. b.On peut facilement se convaincre que dans un miroir un objet ́
etendu et son image ont
effectivement la sym ́
etrie ... miroir ! Ils ne sont donc pas superposables (fig.14).xxx xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx xxxxxx xxx xxx xxxx xxxxx xxxx xxx xxxxx xxx xxx xxxx xxxxx xxx xxx xxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx xxxxxx xxx xxx xxxx xxx xxxxx xxx xxxx xxx xxx xxxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxxx xxx xxxxxx xxxx xxxxx xxx xxx xxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxx xxxxxxx xxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxx xxx xxxxxx MIROIRF IG. 14 – Objet ”Gauche”, image ”Droit”.18 7Dioptres plans.
D ́
efinition.Undioptre planest constitu ́
e de deux milieux transparents, homog` enes,
d’indices diff ́
erents, s ́
epar ́
es par une surface plane.
7.1Image d’un point lumineux.Soitn 1etn 2
les indices des deux milieux, avecn1 >n2 par exemple (fig.15). Soit
d’autre part un point lumineux objetAdans le milieux 1. Montrons que ce pointAn’a
pas d’image.A A0 HIS n1 n2 i1 i2 FIG. 15 – Un point n’a pas d’image par r ́efraction.
L’image deA, si elle existait, serait sur la normaleAHd’apr` es les lois de Snell-Descartes.
Un second rayonAIissu deA,ser ́
efracte suivantIS. L’image deA, si elle existait, devrait
se trouver au pointA0 , intersection deAHet du prolongement deSI. Montrons que la
position deA0 d ́
ependdu rayonA0 I ́emis. Soiti1 eti2 les angles d’incidence et de r ́
efraction du rayonAI ́
emis. On aHI =HAtani1 etHI =HA0 tani2 19donc HAtani1 =HA0 tani2 ce qui donneHA 0=HA tani1 tani2 =HAsini 1sini 2cosi 2cosi 1
et en utilisant la relation de Snell-Descartesn 1sini 1=n 2sini 2
on aurasini 1sini 2= n2 n1 etcosi 2cosi 1= s1�sin 2i 21�sin 2i 1= vu ut 1�(n 1n 2) 2sin 2i 11�sin 2i 1
soit en reportantHA 0=HA n2 n1 vu ut 1�(n 1n 2) 2sin 2i 11�sin 2i 1
On voit sur cette expression que :a.HA 0
d ́
ependde l’angle d’incidencei1 . Ceci implique que l’image d’un point n’est pas
unique, ce n’est pas un point ! On voit donc que contrairement au miroir, le dioptre
plann’est pas un syst` eme optique stigmatiquepour un point quelconque de l’espace.b.HA 0
est ind ́
ependant dei1 siHA0 =0, alorsHA0 =0 ou bienHA!∞,etHA0 !∞:
Le dioptre plan est stigmatique pour les points de sa surface ou bien pour les pointstr `
es ́
eloign ́es. c.HA0 est pratiquement ind ́
ependant dei1 si les quantit ́
es sin2 i1 et(n 1n 2) 2sin 2i 1sont n ́
egligeables, donc, lorsquei1 '0 ; c’est-` a-dire pour des observateurs ne recevant
que desrayons voisins de la normale au plan du dioptre. Ces conditions constituent
un des termes del’approximation de Gaussque nous d ́
etaillerons par la suite. En
conclusion, le dioptre plan est approximativement stigmatique, seulement dans des
conditions particuli` eres.
V ́
erification exp ́
erimentale.
On consid` ere l’exp ́
erience d ́
ecrite sur la figure.16 : un bac transparent rempli d’eau
rec ̧oit un faisceau de lumi` ere qu’on dirige grˆ ace` a une lentille sur un miroir.20 aireau miroirP F
IG. 16 – Astigmatisme du dioptre plan.
En faisant pivoter le miroir on constate que :
1.Pour des faisceaux proches de la normale` a la surface de l’eau, l’image est un pointP
(stigmatisme).
2.Pour des faisceaux inclin ́
es par rapport` a la normale, l’image n’est plus un point, elle
devient floue (astigmat