Optique : Cours physique optique ondulatoire ch 30
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I. Préliminaires
I.1. Notion de chemin optique
I.1.1. Définition
Dans un milieu caractérisé en chaque point M(x,y,z) par un indice de réfraction n(x,y,z), le chemin optique entre deux points A et B, le long d'une courbe (C), est défini par : LAB = ∫AB n(M) dl.
Le chemin optique LAB représente la distance que la lumière parcourrait dans le vide pendant le même intervalle de temps Δt qu'il lui faut pour traverser la courbe (C) dans le milieu. En effet, si v(M) est la vitesse de la lumière en M dans le milieu, on a v(M) = c/n(M), où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Ainsi, LAB = ∫AB n(M) dl = ∫AB (c/v(M)) dl = c ∫AB dt = c Δt.
Par ailleurs, LAB = LBA. Pour un milieu homogène (n constant), le chemin optique est donné par LAB = n × AB.
I.1.2. Surface d’onde et stigmatisme
Définition : Une surface d'onde (Σ), relative à une source ponctuelle S, est le lieu des points M tels que le chemin optique LSM est constant.
Lien avec les surfaces équiphases : Considérons une onde émise en S de la forme y(S,t) = AS exp(iωt). Pour deux points M et M', nous aurons y(M,t) = AM exp(iω(t - ΔtM)) et y(M',t) = AM' exp(iω(t - ΔtM')), où ΔtM = LSM/c et ΔtM' = LSM'/c. Si LSM = LSM', alors ΔtM = ΔtM', et y(M,t) est en phase avec y(M',t). Les surfaces d'ondes sont donc des surfaces équiphases.
Stigmatisme : Deux points A et B sont dits stigmatiques vis-à-vis d'un système optique (Σ) si le chemin optique LAB est indépendant du rayon lumineux ayant traversé le système (condition nécessaire et suffisante).
I.1.3. Théorème de Malus
Énoncé : Dans un milieu isotrope, après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, les rayons lumineux issus d'une même source ponctuelle demeurent perpendiculaires aux surfaces d'ondes.
Exemples : Pour une onde plane, les rayons sont parallèles entre eux et perpendiculaires aux plans d'ondes. Pour une onde sphérique, les rayons lumineux sont les rayons des sphères d'ondes.
Application : Considérons deux situations. Dans le premier cas, une source S est placée dans le plan focal objet d'une lentille (L). Les rayons lumineux émergent parallèles, formant un plan d'onde (Π). Conformément au théorème de Malus, les chemins optiques LSM1 et LSM2, pour deux points M1 et M2 sur le plan d'onde, sont égaux. Dans le second cas, des rayons parallèles convergent en un point P sur un écran (E) placé dans le plan focal image d'une lentille (L). Par le principe du retour inverse de la lumière, les chemins optiques LM1P et LM2P sont égaux. Il est important de noter que les ondes en M1 et M2 ne sont pas nécessairement en phase, et le plan (Π') n'est pas un plan d'onde. Cependant, toute différence de phase acquise entre les deux rayons avant le plan (Π') sera conservée jusqu'au point P.
I.2. Les différents modèles de la lumière
I.2.1. Le modèle géométrique
C'est le modèle qui, historiquement, s'est développé le premier. Il peut traiter de nombreux phénomènes, comme la formation des images dans les appareils photographiques, les télescopes, les microscopes, etc.
En revanche, il ne peut pas interpréter correctement les phénomènes d'interférences lumineuses et de diffraction.
I.2.2. Le modèle corpusculaire
Isaac Newton avait déjà proposé un modèle corpusculaire (inspiré de ses théories mécaniques) qui tentait d'interpréter la diffraction. Il envisageait même qu'un champ gravitationnel puisse modifier la trajectoire de ces 'particules de lumière pesantes', une idée qui évoque certains concepts de la relativité générale.
Le modèle plus moderne du photon (Albert Einstein, 1905) s'applique facilement à l'effet photoélectrique.
I.2.3. Le modèle ondulatoire
Celui-ci interprète facilement les phénomènes de diffraction et d'interférences : la lumière est alors considérée comme une onde électromagnétique de fréquence ν.
Il faut donc accepter une « dualité onde-corpuscule », où l'énergie E des photons est reliée à la fréquence ν de l'onde par la relation E = hν (où h est la constante de Planck).
I.2.4. Quel modèle utiliser ?
Lorsque les dimensions des obstacles (objets, diaphragmes, etc.) que rencontre la lumière sont grandes par rapport à sa longueur d'onde λ, le modèle géométrique est suffisant.
Dans le cas contraire, et à condition de ne pas être dans une situation où une faible quantité de lumière interagit avec la matière (atome, électron, etc.), on optera pour le modèle ondulatoire. C'est le sujet d'étude de ce chapitre.
II. Interférences lumineuses
II.1. Notion de « vibration lumineuse »
II.1.1. Théorie scalaire de la lumière
La lumière est un champ électromagnétique (E, B). Certaines expériences montrent que les détecteurs usuels (rétine, pellicule photographique, capteurs CCD, etc.) sont sensibles principalement au champ électrique. À ce stade, un seul champ vectoriel est suffisant pour décrire la vibration lumineuse.
Dans la plupart des expériences d'interférences et de diffraction que nous allons étudier, les « rayons lumineux » (qui sont les tubes élémentaires du vecteur de Poynting) interféreront de manière quasi-parallèle. En un point M donné, les différents champs électriques (correspondant aux différents rayons) seront pratiquement contenus dans un même plan perpendiculaire à la direction commune de propagation. Il est alors possible de les décomposer sur des axes communs. Pour deux ondes de même polarisation rectiligne, l'axe de projection est unique.
La « vibration lumineuse » sera donc considérée comme une grandeur scalaire, représentant la projection sur un axe commun du vecteur champ électrique. Cette grandeur sera notée s(M,t). Remarque : Pour des ondes non polarisées rectilignement, il suffira de considérer deux grandeurs scalaires correspondant à deux axes de projection perpendiculaires entre eux.
Les détecteurs usuels sont dits « quadratiques » : ils sont sensibles à la valeur moyenne temporelle (sur des durées très supérieures à la période des ondes lumineuses, qui est de l'ordre de 10-15 seconde) du carré du module des champs électriques.
On définit alors la grandeur « éclairement » ou « intensité lumineuse » par : E = k <s2>t, où k est une constante multiplicative et < >t désigne la moyenne temporelle. Remarque : L'éclairement s'exprime en W.m-2 et est directement lié au module du vecteur de Poynting.
II.1.2. Composition de deux vibrations lumineuses
Considérons la composition de deux ondes lumineuses s1 et s2 se propageant selon des directions quasi-parallèles (vecteur unitaire ez). Les champs électriques étant perpendiculaires à ez, nous pouvons les projeter sur des axes (ex, ey) formant une base orthonormée avec ez. Si s1 = s1xex + s1yey et s2 = s2xex + s2yey, alors la vibration totale s = s1 + s2. L'éclairement total est la somme des éclairements correspondant aux deux directions de projection (selon ex et ey). Cela signifie que l'on peut simplifier l'étude en considérant la composition de deux vibrations lumineuses de même polarisation rectiligne.
Avec un choix approprié de l'origine des temps pour des ondes harmoniques, on peut écrire en un point M où les deux ondes se superposent : s1(M,t) = A1 exp(iωt) et s2(M,t) = A2 exp(i(ωt - φ)), où φ est une fonction de M représentant le déphasage. La vibration résultante est s(M,t) = s1(M,t) + s2(M,t). L'éclairement total E(M) est alors proportionnel à la moyenne temporelle de |s(M,t)|2, et est donné par : E(M) = E1(M) + E2(M) + 2 * √(E1(M)E2(M)) * cos(φ(M)) (1) Où E1(M) et E2(M) sont les éclairements dus à chaque onde prise isolément.
II.1.3. Notion de « cohérence »
Deux cas peuvent se produire : Si la moyenne temporelle de cos(φ(M)) est nulle (<cos(φ(M))>t = 0), la formule (1) indique que E(M) = E1(M) + E2(M). L'éclairement total est la somme des éclairements obtenus pour chaque onde prise séparément. Les vibrations lumineuses sont dites « incohérentes ». Si la moyenne temporelle de cos(φ(M)) n'est pas nulle (<cos(φ(M))>t ≠ 0), les vibrations sont dites « cohérentes », et une simple addition des éclairements ne suffit pas pour obtenir l'éclairement total.
En pratique, dans de nombreux cas d'interférences cohérentes, les deux ondes ont la même intensité. Si E1(M) = E2(M) = E0, l'éclairement total devient : E(M) = 2E0(1 + cos(φ(M))) (2). Remarque : On constate alors que l'éclairement peut être nul aux points où φ(M) = (2n+1)π (interférences destructives), et valoir 4E0 pour les points où φ(M) = 2nπ (interférences constructives), où n est un entier. L'éclairement n'est pas uniforme dans l'espace, ce qui donne naissance à des « franges d'interférences ».
Dans une source lumineuse, comme une lampe à incandescence ou une lampe spectrale, l'émission se produit par « trains d'ondes ». Un atome est excité et émet un train d'onde de courte durée (généralement de l'ordre de 10-8 à 10-9 seconde) en se désexçitant, puis le processus se répète de manière aléatoire. Pour deux sources lumineuses distinctes, les trains d'ondes émis auront donc des déphasages relatifs aléatoires. Les moyennes temporelles des formules (1) et (2) étant prises sur des durées très longues (par exemple, environ 0,1 s pour la rétine) par rapport à la durée des trains d'ondes, la valeur moyenne de cos(φ(M)) tendra vers zéro. Par conséquent, deux sources lumineuses distinctes sont incohérentes, ce qui soulève la question de comment obtenir des sources lumineuses cohérentes pour observer des interférences.
II.1.4. Notion d’ordre d’interférence
L'ordre d'interférence p en un point M est défini par : p(M) = φ(M) / (2π).
Si p est un entier, les interférences sont dites « constructives » et l'on obtient des « franges brillantes ». Si p est un demi-entier (par exemple, 0.5, 1.5, etc.), les interférences sont dites « destructives » et l'on obtient des « franges sombres ».
II.2. Interférences par division du front d'onde
II.2.1. Fonctionnement de principe en lumière monochromatique
Ce principe repose sur l'isolement spatial de parties d'un même front d'onde issu d'une source unique S. Par exemple, en perçant deux trous (S1 et S2) dans un écran opaque, ces trous agissent comme deux sources secondaires cohérentes. En effet, chaque train d'onde émis par la source S se divise en deux trains d'ondes "jumeaux" ayant la même référence de phase. Il suffit ensuite de faire se rencontrer les ondes issues de ces sources secondaires (S1 et S2) dans une certaine région de l'espace pour observer des interférences.
Remarque 1 : Lorsque la source S est ponctuelle, la figure d'interférence est observable dans tout le volume où les faisceaux issus de S1 et S2 se superposent. On parle alors d'interférences « non localisées ». Lorsqu'on étend progressivement la source, les franges deviennent moins contrastées et la région où elles restent visibles se réduit. Les interférences deviennent alors « localisées ».
Remarque 2 : Pour une onde monochromatique de longueur d'onde λ0 dans le vide, la forme des franges (c'est-à-dire le lieu des points M de même éclairement) est donnée par φ(M) = constante. Or, le déphasage φ(M) est lié à la différence de chemin optique (ou « différence de marche ») δ(M) entre les deux rayons par la relation φ(M) = (2π/λ0) * δ(M). Dans un milieu d'indice n (supposé constant et égal à 1 dans l'air ou le vide) et si les chemins optiques de S à S1 et de S à S2 sont égaux (LSS1 = LSS2), alors la différence de marche au point M est donnée par δ(M) = LS2M - LS1M. La forme des franges est donc définie par LS2M - LS1M = constante, ce qui correspond à une famille d'hyperboloïdes de révolution d'axe S1S2. Selon la direction et la taille du champ d'observation, les franges peuvent apparaître quasi-rectilignes, circulaires, etc.
II.2.2. Exemple du dispositif des trous d’Young
Dans le dispositif des fentes d'Young, une source principale S est placée sur la médiatrice du segment joignant les deux fentes secondaires S1 et S2. Les interférences sont observées sur un écran (E) situé à une distance D des fentes S1 et S2. Les fentes S1 et S2 sont séparées par une distance 'a'.
En pratique, on a D >> a, et les franges sont observées en des points M(x,y) proches de l'axe optique, c'est-à-dire pour x et y très petits par rapport à D.
La différence de chemin optique δ(M) entre les rayons issus de S2 et S1 et arrivant au point M est donnée par : δ(M) = LS2M - LS1M. Sachant que S est sur la médiatrice de S1S2, LSS1 = LSS2. En supposant les trajets dans un milieu d'indice n=1 (vide ou air), et avec une approximation au second ordre pour x, y, et a << D, on obtient : δ(M) ≈ ax/D (3). L'éclairement E(M) sur l'écran est alors : E(M) = 2E0(1 + cos( (2πax)/(λD) )) = 4E0 cos2( (πax)/(λD) ). À cet ordre d'approximation, les franges sont données par x = constante et apparaissent rectilignes, parallèles à l'axe Oy.
Sur l'écran, les franges de même nature sont séparées par une distance Δx = i, appelée « interfrange ». L'interfrange est donnée par la relation : i = (λD)/a.
Remarque 1 : Les trous S1 et S2 peuvent être remplacés par des fentes (de très faible largeur selon l'axe Ox) parallèles à l'axe Oy. Les atomes de la source S (situés à des positions y différentes) émettent des trains d'ondes incohérents entre eux. Ainsi, les éclairements dus à chacun de ces atomes peuvent être additionnés sur l'écran. Comme l'éclairement ne dépend pas de la variable y, les intensités lumineuses se renforcent sans interférer de manière destructive, rendant le phénomène plus « lumineux ».
Remarque 2 : Typiquement, la distance D est de l'ordre du mètre, la distance 'a' de l'ordre du millimètre, et la longueur d'onde λ0 de l'ordre du micromètre. L'interfrange 'i' est alors de l'ordre du millimètre. C'est ainsi que Thomas Young, en 1804, a pu mesurer pour la première fois des longueurs d'onde de radiations lumineuses.
II.2.3. Autres dispositifs diviseurs du front d'onde
Décrivons le dispositif des « miroirs de Fresnel ». Il se compose de deux miroirs plans formant un dièdre d'angle α très petit. Une source S éclaire les miroirs sous incidence rasante. Les images S1 et S2 de la source S (par rapport aux plans des miroirs) agissent comme deux sources secondaires cohérentes, car elles sont issues du même front d'onde de S. Ces deux sources S1 et S2 produisent des interférences dans la région où leurs faisceaux se superposent.
Les sources virtuelles S1 et S2 sont situées sur un cercle de rayon R, où R est la distance de la source réelle S à l'arête du dièdre. La distance 'a' entre S1 et S2 est donnée par a = 2R sin(α). On peut alors appliquer une relation similaire à la formule (3) pour les fentes d'Young pour déterminer la forme des franges. Les franges obtenues sont rectilignes et parallèles à l'arête du dièdre, dans la région où les faisceaux issus de S1 et S2 se superposent.
Un autre dispositif « diviseur d'onde » n'utilisant qu'un seul miroir est le « miroir de Lloyd ».
II.2.4. Problème de la cohérence spatiale
Dans le dispositif des fentes d'Young, utilisé avec une lumière monochromatique de longueur d'onde λ0, nous allons étudier l'influence de la largeur 'b' de la fente source (axe O'X). Les atomes de la lampe, situés derrière les différents éléments de surface de la fente source, sont incohérents entre eux. On peut donc sommer les éclairements dus à chacun de ces éléments de surface sur l'écran.
Découpons la fente source en « bandes » de largeur élémentaire dX, parallèles à l'axe Oy. Pour chacune de ces sources élémentaires, il y aura interférence à travers les fentes secondaires S1 et S2. On peut alors écrire : dE(M) = k * dX * (1 + cos(φ)), où dE(M) représente la contribution de l'élément de largeur dX à l'éclairement total au point M de l'écran (E). Le déphasage φ au point M est donné par φ = (2π/λ) * δ, où δ est la différence de chemin optique entre les rayons issus du point P (sur la fente source) et passés respectivement par les fentes S1 et S2.
FAQ
Qu'est-ce que le chemin optique ?
Le chemin optique est une grandeur qui représente la distance que la lumière parcourrait dans le vide pendant le même temps qu'il lui faut pour parcourir un certain trajet dans un milieu donné. Il est calculé en multipliant la distance géométrique par l'indice de réfraction du milieu.
Quelle est la différence entre des vibrations lumineuses cohérentes et incohérentes ?
Des vibrations lumineuses sont dites cohérentes si la différence de phase entre elles reste constante dans le temps, ce qui permet l'observation de franges d'interférences stables. Elles sont incohérentes si cette différence de phase varie aléatoirement, entraînant la simple addition des éclairements sans formation de franges d'interférences visibles.
Comment fonctionne un dispositif à division du front d'onde pour créer des interférences ?
Un dispositif à division du front d'onde, comme les fentes d'Young, utilise une source lumineuse unique et la divise en deux (ou plusieurs) sources secondaires. Comme ces sources secondaires proviennent de la même source initiale, les ondes qu'elles émettent sont cohérentes entre elles, ce qui permet l'observation de phénomènes d'interférences.