Mécanique du point : Examen mecanique du point systeme l.m.d. st
Télécharger PDFExamen de Mécanique – 1ère Année ST (Licence-Master-Doctorat)
Introduction
Ce fascicule rassemble des examens de mécanique du point pour les étudiants de première année du système Licence-Master-Doctorat (L.M.D.) en Sciences et Technologies (S.T.). Il a été préparé par une équipe d'enseignants composée de :
- F. Mekideche-Chafa
- A. Chafa
- A. Dib
- A. Derbouz
- M. Hachemane
- F. Kaouah
Ce document inclut des sujets d’examen couvrant la période de 2007 à 2011, accompagnés de leurs corrections respectives. Il propose également un rappel des concepts clés abordés dans le module de physique 1 (mécanique). L'objectif est d'aider les étudiants à maîtriser l'analyse et la résolution de problèmes en mécanique du point.
Méthodologie pour traiter un sujet d’examen
Voici une méthode suggérée pour aborder efficacement les exercices de mécanique :
- Lire attentivement le sujet avant de commencer toute rédaction.
- Identifier et souligner les mots-clés et les données essentielles.
- Commencer par l’exercice qui semble le plus simple.
- Si une question pose problème, passer à une autre et revenir plus tard.
- Éviter de perdre trop de temps à rédiger au brouillon.
- Relire et vérifier les réponses avant de rendre la copie.
Sujet 1 : Deux corps reliés par un fil inextensible
Deux corps A et B de masses respectives mA et mB sont connectés par un fil inextensible passant par une poulie de masse négligeable. Le corps B est initialement à une hauteur h du sol et est lâché sans vitesse initiale. Le contact entre le corps A et le plan horizontal est caractérisé par des coefficients de frottement statique (μs) et dynamique (μg). On suppose que le corps B s'immobilise en touchant le sol.
Partie I : Analyse du graphe vitesse-temps
1. Tracer le diagramme de l'accélération en fonction du temps.
2. Déterminer la nature de chaque phase et justifier.
3. Calculer la distance parcourue par A dans la première phase.
4. Calculer la distance parcourue par A dans la seconde phase.
5. Représenter le vecteur vitesse de A par rapport à B aux instants t1 = 1 s et t2 = 2,5 s, puis calculer son module.
Partie II : Mouvement du système
1. Calculer la masse minimale mBmin pour que le système se mette en mouvement.
2. Pour mB = 4 kg, analyser le mouvement jusqu'à l'arrêt :
- Représenter qualitativement les forces agissant sur A et B dans chaque phase.
- Déduire l'expression des accélérations dans chaque phase et donner leurs valeurs.
- Exprimer et calculer la vitesse à la fin de la première phase.
Partie III : Considérations énergétiques
1. En utilisant des considérations énergétiques, déterminer l'expression et la valeur du coefficient de frottement dynamique μg entre la table et le corps A si la vitesse à la fin de la première phase est de 4 m/s.
Sujet 2 : Bloc glissant sur un plan incliné
Exercice 1 : Énergie potentielle et mécanique
Un bloc de masse m glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle θ, comprime un ressort de raideur k, puis le ressort se détend. Les frottements entre la masse et le sol sont négligeables.
- Montrer que l'énergie potentielle élastique Epe du ressort s'écrit Epe = (1/2)kx2.
- Rappeler le théorème de l'énergie mécanique totale et discuter de son évolution pour le système étudié.
- Calculer les énergies totales aux points A et C.
- Déduire l'expression de la constante de raideur k en fonction de m, θ, L et d.
- Exprimer la hauteur maximale atteinte par la masse m si un coefficient de frottement dynamique μg est introduit.
Exercice 2 : Mouvement avec frottement
Deux corps M et M' de masses m et m' sont reliés par un fil inextensible passant par une poulie. Le corps M' est lâché sans vitesse initiale à une hauteur h du sol. Le contact entre M et le plan horizontal est caractérisé par μs et μg.
- Donner l'expression de la masse minimale m'min pour que le système se mette en mouvement.
- Pour m' = 4 kg, analyser les deux phases du mouvement de M jusqu'à son arrêt :
- Déterminer la nature du mouvement et justifier.
- Calculer l'accélération dans la première phase.
- Déduire la vitesse à la fin de cette phase.
- Calculer l'accélération dans la deuxième phase.
- Déterminer la distance totale D parcourue par M.
Sujet 3 : Chariot sur une piste verticale
Exercice 1 : Trajectoire circulaire et rectiligne
Un chariot de masse m = 1 kg se déplace sur une piste verticale composée de segments circulaires et rectilignes. Les frottements sont caractérisés par un coefficient μd dans la partie BCD. Le chariot est abandonné sans vitesse en A.
- Déterminer la vitesse du chariot au point B.
- Calculer l'angle θ pour lequel le chariot quitte la piste au point B.
- Déterminer le coefficient de frottement dynamique μd dans la partie BD pour que le chariot s'arrête au point D.
- Calculer vB et μd pour θ = 30°, g = 10 m/s2 et R = 1 m.
- Si le chariot arrive au point D avec une vitesse de 3 m/s, déterminer l'angle θ pour lequel il arrive au point E avec une vitesse nulle.
Exercice 2 : Comète en mouvement
La position d'une comète est donnée par l'équation :
OM(t) = (t2 - 1)i + 2tj.
- Déterminer les composantes du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a.
- Démontrer la relation : 3v2 = an × ρ2 et en déduire le rayon de courbure ρ en fonction de t.
- Déterminer l'expression de l'accélération tangentielle at.
- En déduire celle de l'accélération normale an.
- Tracer la trajectoire y = f(x) pour 0 ≤ t ≤ 4 s et représenter les vecteurs vitesses et accélérations à t = 0 et t = 2 s.
Sujet 4 : Mouvement d'un point matériel
Exercice 1 : Trajectoire et accélération
Un point M est repéré par ses coordonnées x(t) = t2 - 1 et y(t) = 2t.
- Donner l'expression de la trajectoire du point M.
- Donner l'expression de la vitesse du point M.
- Donner l'expression de l'accélération du point M.
- Déterminer la nature du mouvement et justifier.
- Calculer la composante tangentielle de l'accélération.
- En déduire la composante normale de l'accélération.
- Calculer le sinus de l'angle α = (Ox, v).
- Retrouver l'expression de la composante normale de l'accélération à l'aide de l'accélération et de l'angle α.
Exercice 2 : Bloc glissant sur un rail
Un bloc de masse m glisse sans frottement sur un rail composé d'une partie curviligne AB et d'une boucle circulaire de rayon R.
- Déterminer la vitesse VB du bloc au point B.
- Exprimer la vitesse VM du bloc au point M en fonction de h, R et θ.
- Utiliser la relation fondamentale de la dynamique pour déterminer la force de contact C au point M.
- Si VM = 4 m/s, en déduire l'angle θo pour lequel le bloc quitte le rail.
Exercice 3 : Particule et énergie potentielle
Une particule de masse m se déplace selon l'axe Ox sous l'effet d'une force dérivant d'un potentiel. La courbe de son énergie potentielle en fonction de x est donnée.
- Déterminer les positions d'équilibre et préciser leur nature.
- Représenter sur la figure le graphe de l'énergie cinétique en fonction de x si l'énergie mécanique totale est de 2 J.
- Discuter le mouvement de la particule dans les différentes régions de x.
Sujet 5 : Boule et ressort sur une piste
Exercice 1 : Mouvement avec frottement et ressort
Une boule B de masse m, accrochée à un fil inextensible de longueur l, est écartée d'un angle α et abandonnée sans vitesse initiale. Elle percute un corps A de même masse et s'arrête. Le corps A glisse sur une piste OCD avec une partie horizontale rugueuse (OC = d, μd) et une partie inclinée lisse (CD = L, β = 30°).
- Dessiner les forces exercées sur le corps A entre O et C.
- Calculer l'accélération de A entre O et C et en déduire la nature du mouvement.
- Donner l'expression de la vitesse de la boule B juste avant de toucher A.
- Utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour déterminer la vitesse de A après l'interaction.
- Exprimer la vitesse de A au point C en fonction de g, l, d, α et μd.
- Déterminer l'angle αm pour lequel A arrive en C avec une vitesse nulle.
- Analyser le mouvement de A sur la partie CD avec une vitesse nulle et un ressort de raideur k.
Exercice 2 : Comète en mouvement plan
La position d'une comète est donnée par :
x(t) = t2 - 1 et y(t) = 2t.
- Déterminer les composantes et le module du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a.
- Déterminer l'expression de l'accélération tangentielle at.
- En déduire celle de l'accélération normale an.
- Donner le rayon de courbure ρ de la trajectoire en fonction de t.
Sujet 6 : Mouvement rectiligne et forces
Exercice 1 : Diagramme vitesse-temps
Le diagramme des vitesses d'un mobile A en mouvement rectiligne est donné. Tracer le diagramme de l'accélération en fonction du temps et analyser les différentes phases du mouvement.
- Tracer le graphe de l'accélération.
- Déterminer les phases du mouvement et leur nature.
- Calculer la position de A aux instants t = 6 s, t = 10 s et t = 20 s.
- Déterminer l'instant où A rebrousse chemin.
- Déterminer l'instant où A passe par l'origine.
- Représenter les vecteurs position, vitesse et accélération à t = 10 s.
- Calculer la vitesse de A par rapport à B à t = 20 s.
Exercice 2 : Système de poulies avec frottement
Deux masses m1 et m2 sont liées par un fil inextensible passant par une poulie fixe. La masse m1 glisse sur un plan incliné d'angle α = 30° avec des coefficients de frottement μs = 0,7 et μg = 0,3.
- Déterminer la masse maximale m2max pour que le système reste au repos.
- Représenter les forces agissant sur m1 et m2 pour m2 = m2max.
- Pour m2 = 1,5 kg, lâchée sans vitesse initiale à une hauteur h = 20 cm :
- Calculer les accélérations, la tension T et la force de contact C.
- Calculer les vitesses des deux masses lorsque m2 heurte le sol.
- Déterminer la nouvelle accélération de m1 après l'arrêt de m2.
- Déduire la distance totale parcourue par m1 avant de s'arrêter.
Sujet 7 : Particule en mouvement plan
Exercice 1 : Vecteurs vitesse et accélération
Le mouvement d'une particule M est décrit par :
x(t) = t cos(t) et y(t) = t sin(t), avec t variant entre 0 et 2π.
- Déterminer les composantes du vecteur vitesse et son module.
- Déterminer les composantes du vecteur accélération et son module.
- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t1 = 0 s et t2 = π s.
- Déterminer les composantes intrinsèques at et an de l'accélération en fonction de t.
- Déduire le rayon de courbure de la trajectoire en fonction de t.
Exercice 2 : Solide glissant sur un plan incliné
Un solide S de masse m = 0,1 kg glisse le long d'un plan incliné d'angle α = 20°. Le parcours AB est de 2 m.
- Déterminer la nature du mouvement de S sans frottement et justifier.
- Calculer la durée du parcours AB.
- Si la durée réelle est de 1,3 s avec frottement, déterminer le coefficient μg.
- Représenter les forces agissant sur S avec frottement.