Mécanique du point : Td 6 mecanique deflexion particule lourde
Télécharger PDFÉtude de la mécanique : Choc entre particules et modèle de Bohr
Exercice 1 : Déviation d'une particule lourde par une particule légère
Une particule lourde de masse M, représentée par un point M, est animée d'une vitesse V par rapport à un référentiel L lié au laboratoire et supposé galiléen. Cette particule heurte une particule légère, au repos, de masse m, représentée par un point m.
Données : M = 3, m = 1, V = 2 m/s
Échelles :
positions : 1 m ⇔ 2 cm
vitesses : 1 m/s ⇔ 1 cm
quantités de mouvement : 1 unité de masse × 1 m/s ⇔ 1 cm
Le repère associé à L sera tel que le vecteur x soit dans la direction de V.
Partie A : Étude du choc dans le référentiel L
1. Déterminer, avant le choc, la position et la vitesse par rapport à L du centre de masse G du système, constitué par les deux particules, supposé isolé. Représenter sur le schéma (I) G et V(G).
2. La particule M heurte et est déviée de sa trajectoire. Soient V' et v' les vitesses respectives de M et m après le choc par rapport à L. Écrire les relations que l'on obtient lors d'un choc élastique entre M et m, en déduire la vitesse du centre de masse après le choc V'(G).
3. Montrer que les trois vecteurs V, V', et v' sont dans un même plan.
4. Projeter la relation vectorielle précédente ; on notera :
α l'angle formé par x et V'
β l'angle formé par x et v'
Comparer le nombre de relations obtenues avec le nombre de variables inconnues et en déduire qu'une de ces dernières peut être choisie arbitrairement.
5. Parmi tous les chocs possibles, on en choisit un. Sur le schéma (II), on a représenté la position C de ce choc dans L ainsi que la position de la masse M à un instant t' = 1 s après le choc. Tracer sur ce schéma :
la position du centre de masse après le choc,
sa vitesse V'(G),
la position de la masse m après le choc.
Déduire de la construction les normes de V' et de v'. Tracer ces deux vitesses ainsi que les quantités de mouvement MV' et mv'. Vérifier la conservation de la quantité de mouvement lors du choc.
Exercice 2 : Atome d'hydrogène selon le modèle de Bohr
Données : mp = 1,7 × 10−27 kg, me = 0,91 × 10−30 kg, h = 6,63 × 10−34 J.s, 1/(4πε0) = 9 × 109 S.I., e = 1,6 × 10−19 C.
Les parties A et B de ce problème sont indépendantes.
Partie A : Système proton-électron
1. Donner l'expression de la force FP→E exercée par le proton sur l'électron. Représenter sur un schéma les forces FE→P et FP→E.
2. La force de gravitation étant négligeable comparée à la force électrostatique, montrer que le système proton-électron peut être considéré comme isolé. Que peut-on en déduire au sujet de sa quantité de mouvement et de son énergie ?
3. Prendre une origine O quelconque et exprimer OG, le vecteur position du centre de masse G, en fonction des vecteurs position des deux particules.
Donner l'expression de la vitesse du centre de masse.
Dire pourquoi on peut associer à G un référentiel galiléen.
En utilisant les valeurs numériques des masses du proton et de l'électron, montrer que le point G peut être confondu avec le point P. Pour cela, on pourra calculer le rapport PG/PE.
4. Montrer que les quantités de mouvement du proton et de l'électron par rapport au référentiel du centre de masse (d'origine G) ont même norme et sont de sens opposés. En déduire (en utilisant les valeurs numériques des masses) que la vitesse du proton est très petite comparée à celle de l'électron.
Partie B : Mouvement de l'électron dans le référentiel centré sur le proton
1. Écrire, avec la nouvelle notation, l'expression de la force électrostatique f exercée par le proton sur l'électron.
2. Montrer que ce champ de force dérive d'une énergie potentielle Ep ; établir l'expression de cette énergie si on prend l'origine des potentiels à l'infini.
3. Montrer que le moment cinétique L de l'électron par rapport à O est constant ; en déduire que la trajectoire est plane ; soit Oxy ce plan. On utilisera alors la base cylindrique et on exprimera L dans cette base.
4. Une des hypothèses de Bohr suppose que cette trajectoire est circulaire. Montrer qu'elle est alors parcourue d'un mouvement uniforme. Établir l'expression de V = ||V|| en fonction du rayon r de la trajectoire.
5. Donner l'expression de l'énergie mécanique E de l'électron placé dans le champ de force créé par le proton lorsqu'il décrit une trajectoire circulaire de rayon r.
6. Une autre hypothèse de Bohr est la suivante : parmi les trajectoires circulaires possibles, celles qui sont effectivement décrites par l'électron sont celles qui vérifient la relation ||L|| = n h/(2π), où h est la constante de Planck et n un nombre entier ≥ 1 appelé nombre quantique principal.
Donner l'expression de :
r(n), rayon du cercle correspondant au nombre quantique n.
l'énergie de l'électron sur ce cercle. Vérifier qu'elle varie comme 1/n2. Calculer le rayon de l'orbite de l'atome d'hydrogène correspondant à n = 1.
7. L'énergie d'ionisation est l'énergie qu'il faut fournir à l'électron pour le faire passer de l'orbite correspondant à n = 1 en un lieu où il n'est plus soumis à l'attraction du proton.
Donner l'expression de cette énergie pour l'atome d'hydrogène ; la calculer. Comparer avec la valeur expérimentale qui est de 13,6 eV. Commenter alors la validité du modèle de Bohr.
FAQ : Questions fréquentes sur les exercices de mécanique et le modèle de Bohr
1. Qu'est-ce qu'un choc élastique ?
Un choc élastique est une collision entre deux objets où la quantité de mouvement et l'énergie cinétique sont conservées. Cela signifie que la somme des vitesses avant et après le choc reste inchangée, et que l'énergie totale du système ne change pas.
2. Pourquoi le centre de masse de l'atome d'hydrogène est-il confondu avec le proton ?
La masse du proton (mp) est environ 1836 fois plus grande que celle de l'électron (me). Ainsi, le centre de masse G est très proche du proton P, car la position de G dépend des masses des particules et de leur distance respective.
3. Comment Bohr a-t-il déterminé les orbites électroniques ?
Bohr a postulé que les orbites électroniques sont circulaires et que le moment cinétique de l'électron est quantifié, c'est-à-dire qu'il ne peut prendre que certaines valeurs discrètes. Ces hypothèses ont permis d'expliquer les raies spectrales de l'hydrogène et de déterminer les niveaux d'énergie.