Mécanique du point : Td 6 mecanique deflexion particule lourde
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Licence Sc. et Tech.1`ere année-S2
Mécanique
TD 6
Exercice 1
Dé exion d'une particule lourde par une particule légère
Une particule lourde de masseMreprésentée par un pointMest animée d'une vitesse−→ Vpar rapport à un référentielLlié au laboratoire et supposé galiléen. Cette particule
heurte une particule légère, au repos, de massem, représentée par un pointm.
Figure1 Données :M= 3, m= 1, V= 2m/s
Echelles : positions : 1 m⇐⇒2cm
vitesses : 1 m/s⇐⇒1 cm
quantités de mouvement : 1 unité de masse×1 m/s⇐⇒1 cm
Le repère associé àLsera tel que le vecteur̂xsoit dans la direction de−→ V.
A - Etude du choc dans le référentielL
1.Déterminer, avant le choc, la position et la vitesse par rapport àLdu centre de
masseGdu système, constitué par les deux particules, supposé isolé. Représenter sur
le schéma (I)Get−→ V(G).2. La particuleMheurtemet est déviée de sa trajectoire. Soient−→ V′ et−→ v' les vitesses
respectives deMetmaprès le choc par rapport àL. Ecrire les relations que l'on
obtient lors d'un choc élastique entreMetm, en déduire la vitesse deGaprès lechoc −→V ′(G). 3.
Montrer que les trois vecteurs−→ V,−→ V',−→ v' sont dans un même plan.4. Projeter la relation vectorielle précédente ; on notera :
αl'angle formé par̂xet−→ V'
βl'angle formé par̂xet−→ v'
Comparer le nombre de relations obtenues avec le nombre de variables inconnues et
en déduire qu'une de ces dernières peut être choisie arbitrairement.
5.Parmi tous les chocs possibles on en choisit un. Sur le schéma (II) on a fait gurer la
positionCde ce choc dansLainsi que la position de la masseMà un instantt′ = 1
s après le choc. Tracer sur ce schéma :
la position du centre de masse après le choc,
sa vitesse−→ V′ (G),
la position de la massemaprès le choc.
Déduire de la construction les normes de−→ V' et de−→ v'. Tracer ces deux vitesses ainsi
que les quantités de mouvementM−→ V' etm−→ v'. Véri er la conservation de la quantité
de mouvement lors du choc.
Exercice 2
Atome d'hydrogène : modèle de Bohr
On donne :m p
= 1,7 10−27 kg,me = 0,91 10−30 kg,
h= 6,63 10−34 J.s, 1/4π≤0 = 9 109 S.I.,e= 1,6 10−19 C.
Les parties A et B de ce problème sont indépendantes
A.L'atome d'hydrogène est constitué d'un proton et d'un électron interagissant entre eux
du fait de leur charge électrique.
Soient donc :
- un proton(P)de massemp et de charge+e.
- un électron(E)de masseme et de charge−e.
Les positions et les vitesses de ces particules seront dé nies par rapport au référentiel du
laboratoire supposé galiléen.
L'électron et le proton s'attirent ; la force électrostatique exercée par l'électron sur le
proton est :−→ FE→P =e 24π≤ 0−→ PE‖ −→PE‖ 3
1. Donner l'expression de la force−→ FP→E exercée par le proton sur l'électron. Représenter
sur un schéma les forces−→ FE→P et−→ FP→E .
2. La force de gravitation étant négligeable comparée à la force électrostatique, montrer
que le système proton-électron peut être considéré comme isolé. Que peut-on en déduire
au sujet de sa quantité de mouvement et de son énergie ?
3. Prendre une origineOquelconque et exprimer−→ OG, le vecteur position du centre de
masseG, en fonction des vecteurs position des deux particules.
Donner l'expression de la vitesse du centre de masse.
Dire pourquoi on peut associer àGun référentiel galiléen.
En utilisant les valeurs numériques des masses du proton et de l'électron, montrer que
le pointGpeut être confondu avec le pointP; pour cela, on pourra calculer le rapportPG/PE. 4. Montrer que les quantités de mouvement du proton et de l'électron par rapport au
référentiel du centre de masse (d'origineG), ont même norme et sont de sens opposés. En
déduire (en utilisant les valeurs numériques des masses) que la vitesse du proton est très
petite comparée à celle de l'électron.
B.D'après ce qui vient d'être montré dans la partie A, on voit que l'on peut confondre la
position du centre de masseGavec celle du proton supposé xe et centrer sur ce dernier
un référentiel galiléen.
Le proton sera donc placé enO, origine du repère, l'électron sera placé en un pointMet
on notera :OM=ret −−→OM=r̂r 1. Ecrire, avec la nouvelle notation, l'expression de la force électrostatique−→ fexercée par
le proton sur l'électron.
2. Montrer que ce champ de force dérive d'une énergie potentielleEp ; établir l'expression
de cette énergie si on prend l'origine des potentiels à l'in ni.
3. Montrer que le moment cinétique−→ `de l'électron par rapport àOest constant ; en dé-
duire que la trajectoire est plane ; soitOxyce plan. On utilisera alors la base cylindrique
et on exprimera−→ `dans cette base.
4. Une des hypothèses de Bohr suppose que cette trajectoire est circulaire. Montrer qu'elle
est alors parcourue d'un mouvement uniforme. Etablir l'expression deV=‖−→ V‖en fonc-
tion du rayonrde la trajectoire.
5. Donner l'expression de l'énergie mécaniqueEde l'électron placé dans le champ de force
créé par le proton lorsqu'il décrit une trajectoire circulaire de rayonr.
6. Une autre hypothèse de Bohr est la suivante : parmi les trajectoires circulaires possibles,
celles qui sont eectivement décrites par l'électron sont celles qui véri ent la relation‖ −→`‖=n h2π oùhest la constante de Planck etnun nombre entier≥1 appelé nombre
quantique principal. Donner l'expression de
-r(n), rayon du cercle correspondant au nombre quantiquen.
- l'énergie de l'électron sur ce cercle. Véri er qu'elle varie comme1/n2 . Calculer le rayon
de l'orbite de l'atome d'hydrogène correspondant àn= 1.
7. L'énergie d'ionisation est l'énergie qu'il faut fournir à l'électron pour le faire passer de
l'orbite correspondant àn= 1 en un lieu où il n'est plus soumis à l'attraction du proton.
Donner l'expression de cette énergie pour l'atome d'hydrogène ; la calculer. Comparer
avec la valeur expérimentale qui est de 13,6 eV. Commenter alors la validité du modèle
de Bohr.