Optique : Examen optique géométrique smia physique 4
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Cet article présente les problèmes et les solutions d'un examen d'optique géométrique, couvrant la construction d'images, la réfraction à travers un prisme et l'analyse de systèmes optiques complexes comme une demi-boule en cristal.
Exercice 1 : Construction d'images
Construire les images des objets représentés sur les figures (a), (b), (c) et (d) par les systèmes optiques donnés (non visibles ici). La lumière se propage de la gauche vers la droite. Sur la figure (e), construire l'image finale A2B2 de A1B1 donnée par deux miroirs M1 et M2, en considérant d'abord une réflexion sur le miroir M1 puis ensuite une réflexion sur le miroir M2.
Exercice 2 : Réfraction à travers un prisme
- Compléter le chemin du rayon lumineux à travers le prisme (figure (f)).
- Calculer l'angle de déviation.
On donne les indices de réfraction : nair = 1 et nprisme = 1,52.
Exercice 3 : Demi-boule en cristal
Partie A : Dioptre sphérique et dioptre plan
On considère une demi-boule en cristal d'indice n = 3/2 (soit 1,5) placée dans l'air. Elle est formée par l'association d'un dioptre sphérique de sommet S et de rayon R, et d'un dioptre plan (figure (g)). Soit un rayon lumineux incident parallèle à l'axe optique, provenant d'un objet A (situé à l'infini) et tombant sur le dioptre sphérique en I.
- Trouver la position de A1, image de A à travers le dioptre sphérique.
- Déterminer la position de A', image de A1 donnée par le dioptre plan. Que représente ce point pour la demi-boule ?
- Tracer la marche du rayon lumineux à travers la demi-boule.
- En utilisant le principe du retour inverse de la lumière, trouver la position du foyer objet F de cette demi-boule.
Partie B : Face plane argentée (Miroir sphérique)
On argente maintenant la face plane, la lumière pénétrant par la face sphérique (figure (h)). On se place dans les conditions de l'approximation de Gauss. Trouver le centre, le sommet et le rayon du miroir équivalent.
Correction des Exercices
Correction Exercice 1 : Construction d'images
Pour cet exercice, les solutions nécessitent des schémas optiques détaillés. En optique géométrique, la construction des images pour des lentilles ou des miroirs utilise des rayons particuliers :
- Le rayon passant par le centre optique (pour une lentille) ou le centre de courbure (pour un miroir) n'est pas dévié.
- Le rayon parallèle à l'axe optique passe par le foyer image après réfraction ou réflexion.
- Le rayon passant par le foyer objet ressort parallèle à l'axe optique après réfraction ou réflexion.
Pour des systèmes composés de plusieurs éléments optiques (comme les deux miroirs M1 et M2), l'image formée par le premier élément agit comme l'objet pour le second élément, permettant une construction séquentielle.
Correction Exercice 2 : Réfraction à travers un prisme
-
Marche d'un rayon lumineux :
Pour déterminer le chemin d'un rayon lumineux à travers un prisme, il faut appliquer la loi de Snell-Descartes à chaque interface du prisme.
À la première interface (entrée dans le prisme), la loi de réfraction est nair × sin(i) = nprisme × sin(r).
Si l'angle d'incidence i est de 30° :
1 × sin(30°) = 1,52 × sin(r)
sin(r) = 0,5 / 1,52 ≈ 0,3289
r = arcsin(0,3289) ≈ 19,2° (soit 19°12'). Cet angle est l'angle de réfraction interne.
Pour les angles internes du prisme, la relation A = r + r' lie l'angle du sommet du prisme (A) aux angles de réfraction internes. Si A est l'angle au sommet du prisme (souvent 60°), alors r' = A - r. Dans cet exercice, il est déduit que l'angle d'incidence interne sur la deuxième face est r'.
Donc, r' = 40,8° (soit 40°48').
À la deuxième interface (sortie du prisme), la loi de réfraction est nprisme × sin(r') = nair × sin(i').
1,52 × sin(40,8°) = 1 × sin(i')
sin(i') = 1,52 × sin(40,8°) ≈ 0,9931
i' = arcsin(0,9931) ≈ 83,3° (soit 83°16'). Cet angle est l'angle d'émergence.
-
Angle de déviation (D) :
L'angle de déviation total est la somme des déviations à chaque surface du prisme. La formule pour l'angle de déviation est D = (i - r) + (i' - r').
D = (30° - 19,2°) + (83,3° - 40,8°)
D = 10,8° + 42,5° = 53,3° (soit 53°16').
Cet angle D représente la déviation angulaire totale subie par le rayon lumineux après avoir traversé le prisme.
Correction Exercice 3 : Demi-boule en cristal
Partie A : Dioptre sphérique et dioptre plan
1. Position de A1, image de A à travers le dioptre sphérique :
Pour un dioptre sphérique de sommet S, de rayon de courbure R, d'indice n2 (milieu 2) précédé d'un milieu d'indice n1 (milieu 1), la relation de conjugaison est :
(n2/SA1) - (n1/SA) = (n2 - n1)/SC
Ici, n1 = nair = 1 et n2 = ncristal = 3/2. Le rayon de courbure est SC = R (le dioptre est convexe pour un objet à gauche). L'objet A est à l'infini (SA = -∞), donc n1/SA = 0.
L'équation devient : (n2/SA1) = (n2 - n1)/R
SA1 = n2 × R / (n2 - n1) = (3/2) × R / ((3/2) - 1) = (3/2) × R / (1/2) = 3R.
A1 est donc le foyer image du dioptre sphérique S, situé à une distance 3R du sommet S.
2. Position de A', image de A1 donnée par le dioptre plan :
Le dioptre plan est la face arrière de la demi-boule. Le sommet S du dioptre sphérique peut être pris comme origine (S=0). Le dioptre plan est situé au centre de courbure C de la face sphérique, donc à SC = R.
La relation de conjugaison pour un dioptre plan est : (n2/CA') - (n1/CA1) = 0.
Ici, la lumière vient du cristal (n1 = 3/2) vers l'air (n2 = 1). L'objet pour le dioptre plan est A1. Sa position par rapport à S est SA1 = 3R. Par rapport au dioptre plan C, sa position est CA1 = SC - SA1 = R - 3R = -2R.
Donc : (1/CA') - ( (3/2) / (-2R) ) = 0
1/CA' = (3/2) / (-2R) = -3/(4R)
CA' = -4R/3.
A' est situé à une distance de -4R/3 du dioptre plan C, ce qui signifie qu'il est du côté de l'air (milieu d'indice 1) et à gauche du dioptre plan. Ce point A' représente le foyer image F' de la demi-boule, car il est l'image finale d'un objet initialement à l'infini (et d'un rayon incident parallèle à l'axe).
3. Marche du rayon lumineux :
La marche du rayon lumineux s'effectue en deux étapes de réfraction :
- Le rayon incident, parallèle à l'axe optique, entre dans la demi-boule par la face sphérique.
- Il est réfracté une première fois et converge vers le point A1 (foyer image du dioptre sphérique) situé à 3R de S.
- Avant d'atteindre A1, le rayon traverse la face plane (située à R de S) et est réfracté une seconde fois en sortant de la demi-boule vers l'air.
- Le rayon émergent passe alors par le point A', le foyer image final de la demi-boule, situé à -4R/3 du dioptre plan C.
4. Position du foyer objet F de cette demi-boule :
Le principe du retour inverse de la lumière permet de déduire la position du foyer objet F. Pour un foyer objet F, l'image formée par le système est à l'infini. D'après le corrigé, la position du foyer objet F de la demi-boule est SF = -2R. Cela signifie que le foyer objet est situé à 2R à gauche du sommet S.
Partie B : Face plane argentée (Miroir sphérique)
Lorsque la face plane de la demi-boule est argentée, le système devient un catadioptre. La lumière entre par la face sphérique, est réfractée, puis réfléchie par la face plane argentée, et enfin réfractée à nouveau en ressortant par la face sphérique. Le système se comporte alors comme un miroir équivalent.
Les propriétés clés pour un miroir sont :
- Un rayon incident passant par le centre de courbure du miroir est réfléchi sur lui-même.
- Un rayon passant par le sommet du miroir est réfléchi symétriquement par rapport à l'axe.
Le corrigé indique que le "foyer objet F1 du dioptre sphérique" (qui est à SF1 = -2R d'après la question A.4) devient normal à la face plane. Un rayon issu de F1 (objet) et traversant le dioptre sphérique émerge parallèlement à l'axe optique (image à l'infini). Ce rayon parallèle frappe la face plane (située en C) perpendiculairement (si le plan est perpendiculaire à l'axe optique). Il est alors réfléchi sur lui-même et revient sur ses pas, repassant par F1. Par conséquent, F1 est le centre Ω du miroir équivalent.
Donc, le centre Ω du miroir équivalent est situé à SΩ = -2R (par rapport au sommet S de la face sphérique).
Le corrigé stipule ensuite que "C est le sommet du miroir équivalent". C est le point où se situe la face plane, à une distance SC = R du sommet S. Cette position est considérée comme le sommet de ce miroir équivalent.
Le rayon du miroir équivalent (Rm) est la distance entre son sommet et son centre.
Rm = |Sm - Cm| = |SC - SΩ| = |R - (-2R)| = |3R| = 3R.
Ainsi, le miroir équivalent a son centre à -2R de S, son sommet à R de S, et un rayon de courbure de 3R.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Qu'est-ce qu'un dioptre sphérique et un dioptre plan ?
Un dioptre est une surface de séparation entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents. Un dioptre sphérique est une surface de séparation ayant la forme d'une sphère, tandis qu'un dioptre plan est une surface plane. Ils sont des éléments fondamentaux en optique géométrique pour la formation des images par réfraction.
2. Comment calcule-t-on l'angle de déviation d'un prisme ?
L'angle de déviation (D) d'un prisme est l'angle entre la direction du rayon lumineux incident et celle du rayon émergent. Il est calculé en appliquant la loi de Snell-Descartes aux deux faces du prisme. La formule générale est D = i + i' - A, où i est l'angle d'incidence, i' l'angle d'émergence, et A l'angle du sommet du prisme.
3. Qu'est-ce que l'approximation de Gauss en optique géométrique ?
L'approximation de Gauss, aussi appelée conditions de Gauss, est un ensemble de conditions sous lesquelles les formules de l'optique géométrique peuvent être simplifiées pour des systèmes centrés. Elle suppose que les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (rayons paraxiaux) et qu'ils sont proches de cet axe. Cela permet d'utiliser des approximations linéaires pour les fonctions trigonométriques (sin(θ) ≈ θ, cos(θ) ≈ 1) et de simplifier les calculs de formation d'images.