Examen optique geometrique khouribga pdf

Optique : Examen optique geometrique khouribga

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Optique Géométrique : Étude d'un Dioptre Sphérique

Introduction au Dioptre Sphérique

Un dioptre sphérique D est un élément optique essentiel, caractérisé par son centre C, son sommet S, son foyer objet F et son foyer image F'. Il sépare deux milieux d'indices de réfraction différents. Dans cet exemple, le milieu objet a un indice n = 1,5 et le milieu image un indice n' = 1. La distance focale image f' est donnée comme étant de 4 cm. Les calculs sont effectués dans les conditions de l'approximation de Gauss, qui simplifie l'étude des rayons paraxiaux.

Calcul de la Vergence (V)

La vergence V d'un dioptre sphérique, exprimée en dioptries (δ), est une mesure de sa puissance optique. Elle est définie par la relation :

V = n'/f'

Avec n' = 1 (indice du milieu image) et f' = 4 cm = 0,04 m, la vergence est :

V = 1 / 0,04 = 25 dioptries (δ).

Calcul de la Distance Focale Objet (f)

La distance focale objet f est liée à la vergence par la relation V = -n/f, ou directement à la distance focale image par la relation de conjugaison n'/f' = -n/f.

En utilisant V = -n/f :

f = -n / V = -1,5 / 25 = -0,06 m = -6 cm.

Alternativement, avec n'/f' = -n/f :

f = -f' * (n / n') = -4 cm * (1,5 / 1) = -6 cm.

Le signe négatif indique que le foyer objet F est situé du côté de l'image par rapport au dioptre.

Formule de Conjugaison avec Origine aux Foyers

La formule de conjugaison de Newton, qui utilise les foyers F et F' comme origines, est une relation clé pour les dioptres sphériques dans l'approximation de Gauss :

F A * F'A' = f * f'

où F A représente la position de l'objet A par rapport au foyer objet F, et F'A' représente la position de l'image A' par rapport au foyer image F'. Il est impératif de respecter les conventions de signes pour les distances algébriques.

Détermination de la Position de l'Image A'

L'objet ponctuel A est situé sur l'axe optique à une distance F A = f/2.

En utilisant la formule de conjugaison aux foyers (F A * F'A' = f * f'), nous substituons la valeur de F A :

(f/2) * F'A' = f * f'

Comme f est non nul, nous pouvons simplifier par f :

F'A' / 2 = f'

D'où :

F'A' = 2 * f'

Puisque f' = 4 cm, on a :

F'A' = 2 * 4 cm = 8 cm.

L'image A' est donc située à 8 cm du foyer image F'.

Calcul du Grandissement Linéaire (γ)

Le grandissement linéaire γ est un facteur qui indique la taille et le sens de l'image par rapport à l'objet. Pour un dioptre sphérique, il est donné par la relation :

γ = n * S A' / (n' * S A)

Pour l'appliquer, nous devons d'abord trouver les positions de l'objet A (S A) et de l'image A' (S A') par rapport au sommet S du dioptre.

Nous savons que f = -6 cm et F A = f/2 = -3 cm.

La position de l'objet A est : S A = S F + F A = f + F A = -6 cm + (-3 cm) = -9 cm.

Nous savons que f' = 4 cm et F'A' = 8 cm.

La position de l'image A' est : S A' = S F' + F'A' = f' + F'A' = 4 cm + 8 cm = 12 cm.

Maintenant, nous pouvons calculer le grandissement :

γ = (1,5 * 12 cm) / (1 * (-9 cm)) = 18 / (-9) = -2.

Caractéristiques de l'Image A'B'

L'objet A B a une hauteur de 1 cm. Avec un grandissement linéaire γ = -2, nous déterminons les caractéristiques de l'image A'B' :

La taille de l'image A'B' est :

A'B' = γ * A B = -2 * 1 cm = -2 cm.

Les caractéristiques sont les suivantes :

Taille : |A'B'| = 2 cm. L'image est deux fois plus grande que l'objet.
Sens : Le signe négatif de γ indique que l'image est inversée par rapport à l'objet.
Nature : Comme S A' = 12 cm est positif, l'image se forme dans le milieu image et est donc réelle.

Calcul du Rayon de Courbure (R) du Dioptre

Le rayon de courbure R du dioptre est lié à la vergence V et aux indices de réfraction des milieux par la formule :

V = (n' - n) / R

D'où, pour calculer R :

R = (n' - n) / V

Avec n = 1,5, n' = 1 et V = 25 δ :

R = (1 - 1,5) / 25 = -0,5 / 25 = -0,02 m = -2 cm.

Le signe négatif de R indique que le dioptre est concave du côté du milieu d'où provient la lumière incidente.

Construction Géométrique de l'Image A'B'

Pour réaliser la construction géométrique de l'image A'B', on utilise généralement trois rayons principaux issus de l'objet B (point hors axe) :

Tout rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant (ou en semblant passer) par le foyer image F'.
Tout rayon incident passant (ou semblant passer) par le foyer objet F émerge parallèlement à l'axe optique.
Tout rayon incident passant par le centre de courbure C du dioptre n'est pas dévié.

L'intersection de ces rayons (ou de leurs prolongements) détermine la position du point image B'. Le point A' est alors la projection de B' sur l'axe optique.

Réfraction de la Lumière à travers un Cube de Glace

Contexte du Problème

Cette section explore le comportement d'un rayon lumineux traversant le coin d'un cube de glace d'indice de réfraction n = 4/3. Le rayon se propage dans le plan de section principale du cube, un plan perpendiculaire à son arête, ce qui simplifie l'analyse géométrique. Nous allons appliquer les lois de l'optique pour comprendre les phénomènes de réfraction et de déviation.

Application des Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes régissent la réfraction de la lumière à chaque interface.

À la face d'entrée en I (passage de l'air au cube de glace, avec n_air ≈ 1 et n_glace = n) :

sin(i) = n * sin(r)

où i est l'angle d'incidence et r est l'angle de réfraction.

À la face de sortie en I' (passage du cube de glace à l'air) :

n * sin(r') = sin(i')

où r' est l'angle d'incidence interne et i' est l'angle de réfraction externe.

Relation Géométrique entre les Angles r et r'

Pour un coin de cube formant un angle de 90° et si le rayon se propage dans le plan de section principale, la relation géométrique entre les angles de réfraction internes r et r' est la suivante :

r + r' = 90° (ou π/2 radians)

Cette relation fondamentale est dérivée de la géométrie du trajet lumineux à l'intérieur du prisme formé par le coin du cube.

Calcul des Déviations D_I et D_I'

La déviation est l'angle de changement de direction du rayon lumineux à chaque interface. Elle est calculée comme la valeur absolue de la différence entre l'angle incident et l'angle réfracté.

À la face d'entrée en I :

D_I = |i - r|

À la face de sortie en I' :

D_I' = |i' - r'|

Expression de la Déviation Totale D

La déviation totale D du rayon lumineux après avoir traversé le coin du cube est la somme algébrique des déviations à chaque interface, en tenant compte de l'angle du prisme (A). Pour un prisme, la déviation totale est donnée par :

D = i + i' - A

Puisque le coin du cube forme un angle A = 90°, la déviation totale est :

D = i + i' - 90° (si les angles sont en degrés)

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que l'approximation de Gauss en optique géométrique ?

L'approximation de Gauss, également appelée approximation des conditions de Gauss ou conditions paraxiales, est un ensemble d'hypothèses simplificatrices utilisées en optique géométrique. Elle stipule que tous les rayons lumineux considérés sont très proches de l'axe optique et font de petits angles avec celui-ci. Dans ces conditions, les sinus des angles peuvent être approximés par les angles eux-mêmes (sin θ ≈ θ), ce qui permet de linéariser les calculs et de n'utiliser que des formules simples pour la formation des images.

Pourquoi le grandissement linéaire est-il négatif pour une image inversée ?

Le grandissement linéaire (γ) est une grandeur algébrique qui indique à la fois le rapport des tailles de l'image et de l'objet, et leur orientation. Un grandissement positif (γ > 0) signifie que l'image a le même sens que l'objet (droite). Un grandissement négatif (γ < 0) indique que l'image est inversée par rapport à l'objet. Par exemple, si l'objet est vertical vers le haut, une image inversée sera verticale vers le bas.

Quelle est la signification d'un rayon de courbure négatif pour un dioptre sphérique ?

Le signe du rayon de courbure (R) d'un dioptre sphérique est une convention qui dépend du sens de propagation de la lumière. Généralement, un rayon de courbure R positif indique que le dioptre est convexe par rapport au sens de la lumière incidente (le centre de courbure C est après le sommet S). Un rayon de courbure R négatif signifie que le dioptre est concave par rapport au sens de la lumière incidente (le centre de courbure C est avant le sommet S).