Mécanique du point : Td 6 mecanique du point
Télécharger PDFMécanique du Point – Exercices Résolus
Exercice 1 : Ascenseur accéléré
Un ascenseur transporte 10 passagers sur une hauteur de 80 mètres. Chaque passager possède une masse de 80 kg et la cabine une masse de 1000 kg.
L’ascenseur démarre sans vitesse initiale et parcourt les premiers 40 mètres avec une accélération constante de 0,2 m/s². Ensuite, il décélère jusqu’à s’arrêter à la hauteur de 80 mètres.
Calculer la puissance maximale développée par le moteur durant le trajet.
Exercice 2 : Point mobile sans frottement sur une sphère
Un point matériel P de masse m est initialement placé au sommet S d’une sphère de rayon R et de centre O. Il glisse sans frottement et on lui imprime une vitesse initiale horizontale de norme v₀.
Déterminer la réaction R de la sphère sur le point P en fonction de l’angle θ = (→OS, →OP).
Trouver la valeur de l’angle θ pour laquelle le point P quitte la sphère.
Décrire le mouvement ultérieur de la masse m après son décrochage.
Exercice 3 : Retour à la fête foraine
Un chariot de masse m se déplace sans frottement sur une piste se terminant par une boucle circulaire de rayon r. Il est lâché sans vitesse initiale d’un point M₀ de cote z₀. La liaison chariot-piste est unilatérale (le chariot peut quitter la piste).
Analyser les différents mouvements possibles en fonction de la hauteur initiale z₀ : − Le mouvement est révolutif (le chariot effectue des tours complets sur la boucle). − Le mouvement est oscillatoire (le chariot reste dans la boucle sans pouvoir revenir sur la partie horizontale de la piste). − Le chariot quitte la boucle et tombe.
Dans les cas révolutif et oscillatoire, établir l’équation décrivant la dynamique de l’angle θ formé par la verticale et le vecteur →OM, où O est le centre de la boucle et M la position du chariot.
Identifier le système connu dont cette équation est analogue.
Exercice 4 : Choc élastique de particules identiques
Une particule en mouvement de vitesse →v entre en collision avec une particule identique immobile. Le choc est élastique.
Montrer que l’angle entre les vitesses des deux particules après le choc est égal à π/2, sauf dans des cas particuliers à discuter.
Exercice 5 : Choc inélastique, référentiel du centre de masse
Deux particules A (masse m) et B (masse M) ne subissent aucune force extérieure et entrent en collision.
Dans le référentiel du laboratoire RL, avant le choc, B est au repos et A a la vitesse →v_A. Après le choc, elles forment une particule unique (AB) de masse m + M et de vitesse →v'_AB.
1. Montrer que cette collision ne conserve pas l’énergie cinétique du système. Calculer la variation ΔE_cin (énergie cinétique finale moins énergie cinétique initiale) en fonction de m, M et de l’énergie cinétique E₀ de la particule A avant le choc.
2. Calculer la vitesse →v_G du centre de masse G dans le référentiel du laboratoire.
3. Calculer l’énergie cinétique de (AB) après le choc dans le référentiel RG du centre de masse.
4. Calculer l’énergie cinétique E* du système (A) + (B) avant le choc dans RG. L’exprimer en fonction de E₀ et la comparer à ΔE_cin.
FAQ
Q : Comment calculer la puissance maximale d’un ascenseur en mouvement accéléré ?
R : Utiliser la formule P = F × v, où F est la force motrice et v la vitesse instantanée. La force motrice s’obtient via F = m × a, avec m la masse totale et a l’accélération.
Q : Pourquoi un point matériel quitte-t-il une sphère en mouvement sans frottement ?
R : Le point quitte la sphère lorsque la réaction normale R devient nulle, ce qui survient lorsque la composante normale de la force centripète n’est plus suffisante pour maintenir le contact.
Q : Quel est le référentiel analogue à celui du chariot sur une boucle circulaire ?
R : Le mouvement du chariot sur la boucle est analogue à celui d’un pendule simple ou d’un pendule physique en rotation.