Magnétostatique : Td 1 physique ondes electromagnetiques
Télécharger PDFExercice 1 : Limites de validité de l’équation de Maxwell-Ampère dans le régime variable
On considère un milieu de conductivité σ pour lequel le courant de conduction **j** est lié à **E** par **j = σE**. On suppose que la conductivité σ a la même valeur en régime alternatif qu’en régime permanent et que le milieu considéré a les mêmes constantes que le vide :
- Permittivité : ε0 = 8,854 × 10−12 F/m
- Perméabilité : μ0 = 4π × 10−7 H/m
1. Calcul du rapport α entre les amplitudes du courant de conduction et du courant de déplacement
Pour un champ électrique alternatif **E(t) = E0 cos(ωt)**, où **E0** est l’amplitude maximale et **ω** la pulsation (avec **ω = 2πf**), les densités volumiques de courant sont :
- Courant de conduction : **jc = σE0 cos(ωt)**
- Courant de déplacement : **jd = ε0 ∂E/∂t = −ωε0 E0 sin(ωt)**
Les amplitudes respectives sont :
- Amplitude des courants de conduction : **|jc| = σE0**
- Amplitude des courants de déplacement : **|jd| = ωε0 E0**
Le rapport α est donc :
**α = |jd| / |jc| = ωε0 / σ**
On en déduit : **α = 1 / (σε0 / ω) = 1 / τr**, où **τr = σε0 / ω** est le temps de relaxation.
2. Chiffrage du rapport α pour différentes valeurs de σ
Pour **f = 1 MHz**, on a **ω = 2π × 106 rad/s**. Le rapport α devient :
- Pour le cuivre (**σ = 6 × 107 S/m**) : **α ≈ 18,1** (les courants de déplacement sont négligeables)
- Pour le sol argileux (**σ = 10−4 S/m**) : **α ≈ 1,1 × 1012** (les courants de conduction et de déplacement sont du même ordre de grandeur)
- Pour le verre (**σ = 10−17 S/m**) : **α ≈ 8,1 × 1013** (les courants de déplacement prédominent)
FAQ
Qu’est-ce que le temps de relaxation τr ?
Le temps de relaxation τr = σε0 / ω est le rapport entre les amplitudes du courant de conduction et du courant de déplacement. Il détermine l’importance relative de ces deux courants dans un matériau.
Pourquoi les courants de déplacement sont-ils négligeables dans un bon conducteur comme le cuivre ?
Dans un bon conducteur, la conductivité σ est très élevée, ce qui rend le courant de conduction **jc** dominant par rapport au courant de déplacement **jd**. Ainsi, **α = ωε0 / σ** devient très petit, indiquant que **jd** est négligeable.
Comment interpréter un rapport α très grand dans un isolant comme le verre ?
Un rapport α très grand signifie que le courant de déplacement **jd** est bien plus important que le courant de conduction **jc**, car la conductivité σ est très faible. Dans les isolants, les charges ne peuvent pas circuler librement, donc le courant de déplacement domine.