Magnétostatique : Td 1 physique ondes electromagnetiques
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Prof. : Bendaoud Saâd CP − Sci. Ing., 2e année. Année universitaire : 2017-2018. Session d’Automne Problèmes et exercices résolus d’Électromagnétisme ARQS − Conservation de la charge
Exercice 1− Limites de validité de l’équation de Maxwell-Ampère dans le régime variable On considère un milieu de conductivité σ pour lequel le courant de conduction j est lié à E par j=σE. On suppose que la conductivité σ a la même valeur en régime alternatif qu’en régime permanent et que le milieu considéré a les mêmes constantes o
μ et o
ε que le vide.
1. Pour un champ alternatif( )tcoso EEω→ =
→ où oE → est l’amplitude maximale et ω la pulsation (f2πω= où f est la fréquence temporelle), calculez le rapport α entre les amplitudes du courant de conduction et du courant de déplacement. 2. Pour f = 1 MHz, chiffrez ce rapport dans les différents cas suivants : Pour le cuivre : σ = 6.10
7 S.m-1 Pour un sol argileux : σ = 10
−4 S.m-1 Pour du verre : σ = 10
−17 S.m-1 Données : 1 S.m
-1 = 1 Ω-1 m-1 La permittivité du vide : 314212o m.kg.s.A10854,8−−− ×=ε
La perméabilité du vide : 227o A.s.kg.m104−−− ×=πμ
***** Exercice n° 1 − Solution. 1. Dans un conducteur ohmique, les courants de conduction et les courants de déplacement ont pour densités volumiques respectives : →= →Ejσ courants de conduction, et tE od j∂ →∂ =→ ε
courants de déplacement avec ( )tcoso EEω→ =→ , où l’amplitude maximale oE → est constante, on trouve ( )tcoso Ejωσ→ =→ ( )tsin oo dEjωωε →−= →
On en déduit les amplitudes respectives des différentes densités volumiques de courant : oE oEσσ= → amplitude des courants de conduction
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Prof. : Bendaoud Saâd oE oo Eo ωεωε=
→ amplitude des courants de déplacement d’oùo Eo oE ωεσ α= Finalement ωτα 1= où σε τo = : le temps de relaxation. 2. Avec 312o m.F10854,8−− ×=ε et 1s.rad 6
1028,6f2− ×==πω
, on a : 12101,1×= α>> 1 pour le cuivre : 18,1≅=α pour le sol argileux 13108,1 −×= α<< 1 pour le verre Les courants de déplacement sont négligeables dans un bon conducteur comme le cuivre mais prédominants dans un matériau très isolant comme le verre. Pour des matériaux non-isolants mais assez peu conducteur (sol argileux), les courants de conduction et de déplacement sont du même ordre de grandeur. ***** Exercice n°2 − Conservation de la charge électrique Un plasma est un milieu gazeux, conducteur homogène, de conductivité électrique : γ, électriquement neutre, formé d’atomes neutres, d’électrons et d’ions positifs mais suffisamment dilué pour que sa permittivité électrique et sa perméabilité magnétique soient celles du vide : 19o m.F1036 1−− ×≈π ε et 17o m.H104−− ×=πμ
. 1. Écrire les équations de Maxwell dans un tel milieu, où le champ électrique est E(x, y, z), la densité de flux magnétique est B(x, y, z), la densité de charge volumique ρ(x, y, z, t) et la densité de courant volumique j(x, y, z, t). 2. Établir, à partir des équations de Maxwell dans le vide, l’équation locale de conservation de la charge électrique qui lie la densité de charge ρ(x, y, z, t) et le vecteur densité volumique de courant électrique j(x, y, z, t) en tout point M(x, y, z) de l’espace à l’instant t. 3. Dans un plasma, une perturbation provoque à l’instant t = 0 en un point M(x, y, z, t) de l’espace l’existence d’une densité volumique de charge ρo =ρ(x, y, z, t). La relation entre Page 3 sur 9
Prof. : Bendaoud Saâd la densité de courant volumique j(x, y, z, t) et le champ électrique E(x, y, z, t) dans ce plasma est donnée par la loi d’Ohm locale j=
γE. a) Établir la loi de variation de la densité de charge volumique ρ(t) en tout point M(x, y, z) du plasma en fonction du temps. b) Au bout de combien du temps obtient-on o5 1054,4ρρ− ×= ? Conclure. Données : 19o m.F1036 1−− ×=π ε et 11m.76 −−
=Ωγ. s10165,113 o− ×==γ ε
τ : temps de relaxation caractéristique de ce plasma. Un plasma est généré dans un volume fixé dans l’espace par application d’un champ électrique ionisant variable à la fréquence de 50 Hz. Dans un tube laser à gaz par exemple, la première ionisation est provoquée par un rayon cosmique ou par une substance radioactive. 4. Montrer que dans ce cas, un des termes du second membre de l’équation de Maxwell-
Ampère est négligeable devant l’autre. 5. Ecrire les équations de Maxwell valables dans ces conditions. ***** Exercice n°2 − Solution. 1. Équations de Maxwell dans le vide sont : oE ερ =→ •→ ∇(M.-G.) 0B=→ •→ ∇
(M.-Cφ) tB E∂ →∂ −=→ ∧→ ∇(M.-F.) )t Eo j(o B∂ →∂ +→ =→ ∧→ ∇εμ (M.-A.) 2. Appliquons l’opérateur mathématique « divergence » à l’équation de Maxwell-Ampère. On a : ))t E( oj( o)) tE oj( o()B( ∂→ ∂• →∇+ →• →∇= ∂→ ∂+ →• →∇= →∧ →∇• →∇ εμεμ
Comme 0)B(=→ ∧→ ∇•→ ∇ est une identité vectorielle mathématique qui est toujours vraie, alors : 0))t Eo j(o (=∂ →∂ +→ •→ ∇εμ⇒ 0)t E( oj= ∂→ ∂• →∇+ →• →
∇ε Et puisque •→ ∇ et tE ∂→ ∂ commutent, d’où, )t )E(o j∂ →• →∇∂ −=→ •→ ∇ε Page 4 sur 9
Prof. : Bendaoud Saâd D’après l’équation de Maxwell-Gauss, la substitution de →• →
∇E par oε ρ donne tj ∂∂ −=→ •→ ∇ρ (1) C’est l’équation locale de conservation de la charge électrique ou équation de continuité. 3.
a) Substituons →
j dans l’équation de continuité (1) par son expression donnée par la loi d’Ohm locale : →→
=Ejγ, on obtient : tE ∂∂ −=•→ ∇→ ργ . Comme oE ερ =→ •→ ∇ , c’est l’équation de Maxwell-Gauss, il vient alors 0o t=+ ∂∂ ρε γρ⇒ τρρ −=∂ ∂t (2) où γε τo = : temps de relaxation caractéristique du plasma. L’équation (2) s’intègre de la façon suivante : Du moment où le point M est fixé dans l’espace, la densité de charge volumique )t,z,y,x(ρ ne dépend plus des coordonnées spatiales (x, y, z), elle ne dépend que du temps t ; de ce fait, )t()t,z,y,x(ρρ= en tout point M(x, y, z) fixé. Donc la dérivée partielle de ρ par rapport au temps devient une dérivée totale ; et on remplacet∂ ∂ρ dans l’équation (2) par dt
dρ ; on écrit : τρρ −=dt d ⇒dt 1dτρ ρ−= ⇒ ctet )ln(+−= τ
ρ ⇒ )t exp('cteτ ρ
−= À l’instant t=0, 'cteo )0(==ρρ et l’on obtient : )t exp()0,M()t,M(τ ρρ−= (3) Donc, la densité de charge ρ décroit selon la loi exponentielle au cours du temps. b) On a : )t exp()0,M()t,M(τ ρρ
−= ⇒ ))10ln(exp(ts 12
10165,1)5 1054,4ln(s13 10165,1)5 1054,4ln(t−−=⇒ −×= −×× −×−= −×−= ττ Page 5 sur 9
Prof. : Bendaoud Saâd Donc, s’il n’y a pas régénération du plasma dans le volume fixé dans l’espace qu’elle occupe, alors en pratique, au bout d’un intervalle de temps ∆t=(t-0)=t=10τ, la densité de charge initialement créée dans le plasma en tout point M(x, y, z) va disparaitre. 4.) tE oj( oB ∂→ ∂+ →= →∧ →∇ εμ
(M.-A.) Comme →→
=Ejγ, par conséquent : )E tE (oo Bτ εμ→ +∂ →∂ =→ ∧→ ∇
Le temps T caractéristique de la variation du champ ionisant et la source est : s3 1020Hz50 1f 1T −
×=== >> s10165,113 o− ×==γ ετ La condition qui permet de faire l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) est dès lors satisfaite : τ
<< ∆t=T, et donc : tE tE ∆→ ≈∂ →
∂ << τ→ E
D’où, tE ∂→ ∂ est négligeable devant τ→ E c’est-à-dire que dans l’équation de Maxwell-
Ampère, le terme tE o∂ →∂ ε est négligeable devant→ j
. Dans ces conditions, on écrit : →= →∧ →∇j oBμ (éq. M.-A) 5. Équations de Maxwell valables dans ces conditions : oE ερ =→ •→ ∇(M.-G.) 0B=→ •→ ∇
(M.-Cφ) tB E∂ →∂ −=→ ∧→ ∇(M.-F.) →= →∧ →∇j oB μ
(M.-A.) ***** Page 6 sur 9
Prof. : Bendaoud Saâd Exercice n°3 − Equations de conservations de la charge. Considérons un corps quelconque, de volume v et de surface S, fixé dans l’espace. Ce corps est initialement chargé. On note Qv (t) la charge électrique du corps et Qm (t) la charge qui a traversé sa surface S à l’instant t. 1. Énoncer le principe de conservation de la charge. 2. Donner l’égalité qui exprime ce principe. 3. Établir l’équation différentielle de conservation de la charge. Indication : On utilisera les taux d’accroissement des charges Qv (t) et Qm (t). 4. Quels sont les signes possibles du taux d’accroissement de chacune des charges ? Les expliquer. Vous savez que ( )∫∫∫ =v dvtv Qρ et() ∫∫→ •→ =S dSnjdt tm dQ
5. Récrire la forme intégrale de conservation de la charge. En déduire alors l’équation locale de conservation de la charge. Indication : On utilisera le théorème de la divergence. 6. Interpréter l’équation de continuité en fonction des valeurs possibles de t∂∂ρ
. 7. Démontrer que l’équation de continuité peut s’écrire sous la forme ρε σρo dtd =
Donnée :→ =→ Ejσ
. 8. Posant τ=εo /σ et )0(o ρρ=à l’instant t=0, résoudre l’équation différentielle précédente. 9. Définir τ et tracer à main levée la courbe )t(ρ
. ***** Exercice n°3 − Solution 1. La charge électrique d’un système ne peut être ni détruite ni créée, seulement soit qu’elle est conservée (Qtotale =cte) parce que le système est électriquement isolé, soit qu’elle est échangée entre le système et son milieu extérieur. 2. Le bilan de la charge pour v s’écrit : Qv (t) + Qm (t)=cte . Cette écriture est conforme à la convention habituelle de la thermodynamique qui consiste à compter positivement ce qui est reçu par le système. 3. Puisque le corps est fixé dans l’espace, alors on calcule la dérivée totale par rapport au temps de l’équation précédente. ( )
( )0 dtt vdQ dtt mdQ =+⇒ ( )
( )dt tv dQdt tm dQ−= (1) C’est l’équation différentielle de conservation de la charge. Page 7 sur 9
Prof. : Bendaoud Saâd 4. Si ( )dt tm dQ
> 0 alors ( )dt tdQ
v < 0, alors les charges sortent du volume v. Si ( )dt tm dQ
< 0 alors ( )dt tdQ
v > 0, alors les charges entrent dans le volume v. Si ( )dt tm dQ
= 0 alors ( )dt tdQv = 0 ⇒ Deux cas sont donc possibles : − les charges qui entrent dans v en sortent (régime permanent), il n’y a ni désertion ni accumulation des charges, c’est le cas d’un courant électriques, ou bien − le volume v est électriquement isolé. 5. D’une part, ( )
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∂ ∂+ ∂∂ ==v t)dv( vdv tv dvdt ddt tv dQρ ρρ ⇒ La densité de charge ponctuelle ()
tzyx,,,ρρ= n’est pas uniforme, elle dépend des coordonnées spatiale (x, y z), c’est pourquoi dt
d est remplacée par t∂∂ρ . ⇒ Du moment que le volume v est fixé dans l’espace, alors un volume infinitésimal dv quelconque est aussi fixé dans l’espace et donc ne dépend ni des coordonnées spatiales (x, y, z) ni du temps et donc : ( )0 tdv =∂ ∂
. On écrit : ( )∫∫∫ ∂∂ =v dvtdt tv dQρ (2) D’autre part, ( )∫∫ →• →= sdsnj dtt mdQ (3) Substituons les taux d’accroissement des charges électriques (2) et (3) dans l’équation différentielle (1) de la conservation de la charge ( )( )dt tv dQdt tm dQ−= ⇔∫∫∫∫∫ ∂∂ −=→ •→ vdv tS dSnjρ Théorème de la divergence de Green-Ostrogradski permet le passage de l’intégrale de surface à l’intégrale de volume Page 8 sur 9
Prof. : Bendaoud Saâd ∫∫∫∫∫→ •→ ∇=→ •→ vdvj S
dSnj où S est la surface fermé délimitant le volume v. Par transitivité, on a : ∫∫∫∫∫∫∂ ∂−= →• →∇ vdv tv dvjρ En tendant le volume vers « zéro » pour qu’il entoure un point P quelconque, et en le faisant déplacer à l’intérieur du corps chargé de volume v, l’égalité entre ces deux intégrale reste vraie pour tout volume v, il s’ensuit que les fonctions intégrées sont égales. On écrit : tj ∂∂ −=•∇→→ ρ
(4) C’est l’équation locale de conservation de la charge. Elle est appelé aussi équation de continuité. Avec j=ρv, on a : tv ∂∂ −=•∇→→ ρ
ρ on tombe ainsi sur une équation qui ressemble formellement à l’équation de conservation de la masse comme en mécanique des fluides. 6. Si ρ=cte ⇒0=•∇→→ j : on a une densité de courant volumique stationnaire (un courant continu) ou bien un système électriquement isolé. Si ρ croit ⇒t j∂ ∂−=•∇ →→ρ < 0 alors la divergence de la densité de courant est négative : les charges entrent dans le corps de volume v. Si ρ décroit ⇒t j∂ ∂−=•∇ →→ρ > 0 alors la divergence de la densité de courant volumique est confirmée : les charges sortent du volume v vers le milieu extérieur. 7. Substituons la densité de courant →
j dans l’équation de continuité (4) par son expression donnée par la loi d’Ohm locale→ =→ Ejσ
, l’on a :t E∂ ∂−= →• →∇ ρσ Equation de Maxwell-Gauss oE ερ =→ •→ ∇, il vient alors : ρε σρo t−= ∂∂ . En fixant un point P quelconque dans l’espace, la densité de charge ponctuelle ()
tzyx,,,ρρ= ne dépend plus des coordonnées spatiales (x, y, z), elle ne dépend que du temps, de ce fait, )t()t,z,y,x(ρρ= en tout point )z,y,x(P fixé. C’est pourquoi il est permet de remplacer la dérivée partielle t∂
∂ρ par la dérivée totale dtd . On écrit : τρρ −=dt d
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Prof. : Bendaoud Saâd 8. Avec τ=εo /σ, l’équation différentielle (5) du premier ordre devient : τρρ −=dt d
⇔ τρρ dtd= Cette équation s’intègre de la façon suivante. τρρ −=dt d ⇒dt 1dτρ ρ−= ⇒ ctet )ln(+−=τ ρ ⇒ )t exp('cteτ ρ
−= À l’instant t=0, 'cteo )0(==ρρ et l’on obtient : )t exp()0,M()t,M(τ ρρ−= (6) Donc, la densité de charge ρ décroit selon la loi exponentielle (6) au cours du temps. 9. τ=εo /σ : temps de relaxation. C’est la constante du temps caractéristique du rythme auquel la charge va diminuer en un point fixe quelconque de l’espace, ce qui revient au même, sur le temps mis par les charges pour atteindre leur position d’équilibre électrostatique. La courbe exponentielle )t(ρ
est : *****