Mécanique du point : Exercices mecanique produit vectoriel
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Moment d’une force et rappels sur le produit vectoriel
1) Quelle est la dimension du moment évalué en O d’une force appliquée en M ?
a) [M] = M.L.T-2
b) [M] = M.L2.T-1
c) [M] = M.L2.T-2
d) [M] = L2.T-3
2) À quelle autre(s) grandeur(s) physique(s) rencontrée(s) dans le cours de mécanique est homogène le moment d’une force ?
a) Une vitesse
b) Une énergie
c) Un travail
d) Une puissance
3) Le moment MO (→F) de la force →F, d’intensité k →Fk = F, par rapport à O est :
a) Fa → ez
b) -Fb → ey
c) -Fb → ez
d) -Fa → ez
Moments des forces et condition d’équilibre
Soit un fil inextensible et sans masse, fixé en A à une socle horizontale AB (de longueur a), et passant en B sur une poulie parfaite, de très petites dimensions.
En un point M, tel que AM = a, est fixée une masse ponctuelle m, au bout du fil, est aussi accrochée une masse m′ en N.
Le dispositif est placé verticalement dans le champ de pesanteur →g.
1) Établir le bilan des forces qui s’exercent sur le point M et exprimer leurs moments en A ; le seul angle devant intervenir dans ces expressions sera : θ = (→AB, →AM).
2) Trouver une condition sur m et m′ pour qu’une position d’équilibre existe. Exprimer, quand il existe, l’angle d’équilibre θe, en fonction de m et m′.
Rappel sur le produit vectoriel
1) Choisir la ou les bonne(s) réponse(s).
Les bases (→ex, →ey, →ez) et (→er, →eθ, →ez) sont orthonormées et directes.
a) →ex × →ez = →ey
b) →ex × →ey = →ez
c) →er × →ey = -cosθ →ez
d) →eθ × →ey = -sinθ →ez
2) Deux vecteurs →A et →B sont exprimés dans la base orthonormée directe (→e1, →e2, →e3) :
→A = (a1, a2, a3)T et →B = (b1, b2, b3)T. Leur produit vectoriel →C = →A × →B est :
a) (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)T
b) (a2b3 - a3b2, a1b3 - a3b1, a1b2 - a2b1)T
c) (a1b2 - a2b1, a3b1 - a1b3, a2b3 - a3b2)T
d) a1b1 + a2b2 + a3b3
Théorème du moment cinétique
Moment cinétique d’un satellite
Un satellite, assimilé à son centre d’inertie, de masse m = 1 tonne, décrit une trajectoire elliptique autour de la Terre. Ce satellite n’est soumis qu’à la force d’interaction gravitationnelle →F dirigée vers le centre de force O, centre d’inertie de la Terre.
Le référentiel géocentrique Rg (Oxyz) est supposé galiléen. À l’instant représenté, la vitesse du satellite dans ce référentiel est : v = 14 650 km/h.
Donnée : le rayon de la Terre est RT = 6 400 km.
1) Calculer la valeur du moment cinétique du satellite en O dans Rg à l’instant considéré.
2) À l’aide du théorème du moment cinétique, donner la valeur de la vitesse du satellite :
• à son apogée A (point de la trajectoire le plus éloigné de la Terre),
• à son périgée P (point de la trajectoire le plus proche de la Terre).
Trois méthodes pour l’étude d’un même mouvement
Un point matériel de masse m est assujetti à glisser sans frottement sur un cerceau vertical de rayon R et de centre O. Il est lié au point A par un ressort de raideur k et de longueur au repos négligeable.
1) Établir l’équation du mouvement du mobile en utilisant successivement les trois méthodes suivantes :
a) le théorème du moment cinétique ;
b) la relation fondamentale de la dynamique ;
c) le bilan énergétique.
2) Discuter l’existence de positions d’équilibre, leur stabilité, et dans l’affirmative, la période des petites oscillations au voisinage de l’équilibre.
Théorème du moment cinétique appliqué à un point mobile
Prenons un pendule simple, de masse m et de longueur l, et imposons de petites oscillations horizontales à son extrémité A : xA = x0 sin(ωt).
1) Pourquoi vaut-il mieux appliquer le théorème du moment cinétique au point mobile A plutôt qu’au point fixe O ?
Reprendre alors la démonstration du théorème pour exprimer la dérivée : d→LA/dt.
2) Établir l’équation du mouvement du pendule simple effectuant de petites oscillations.
3) Quel est son mouvement lorsqu’un régime sinusoïdal permanent s’est établi ?
4) Quelle est la pulsation ω0 au voisinage de laquelle nos hypothèses d’étude sont à reprendre ? Que dire des mouvements du point A et du mobile selon que ω < ω0 ou que ω > ω0 ?
Tige soudée à un plateau tournant
Une tige OP rigide est soudée sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante ω. Cette tige forme un angle constant α avec l’axe vertical (Oz) = (Δ).
Un point matériel de masse m pouvant glisser sans frottement est en équilibre relatif sur la tige.
1) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé galiléen :
a) préciser la position xe de l’équilibre relatif ;
b) donner les composantes R1, R2 et R3 de la réaction →R dans la base (→e1, →e2, →e3) liée à la tige.
2) Écrire le théorème du moment cinétique en H, puis en O. Vérifier ainsi les résultats précédents.
Oscillateurs à deux ressorts
On considère un pendule constitué d’une tige de longueur l rigide de masse négligeable. Elle peut tourner librement sans frottement autour d’un axe (Δ) passant par son extrémité supérieure O.
À l’extrémité inférieure M est fixée une masse m que l’on suppose ponctuelle. Par ailleurs, ce point M est relié à deux ressorts identiques (k, l0) eux-mêmes accrochés à des points symétriques A et B de façon que lorsque l’ensemble est en équilibre, la tige OM est verticale.
On écarte très légèrement le système de cette position d’équilibre.
En appliquant le théorème du moment cinétique en O, montrer que le mouvement est harmonique et que la période des petites oscillations s’écrit :
T = 2π √(m(l + 2k))
FAQ
Qu’est-ce qu’un moment d’une force ?
Le moment d’une force est une grandeur physique qui mesure l’effet de rotation d’une force appliquée sur un point matériel par rapport à un autre point considéré comme axe de rotation.
Quelle est la différence entre un pendule simple et un pendule double ?
Un pendule simple est constitué d’un fil et d’une masse ponctuelle, tandis qu’un pendule double (ou à deux ressorts) implique une masse reliée à deux ressorts ou deux fils, permettant des mouvements plus complexes.
Comment utiliser le théorème du moment cinétique ?
Ce théorème permet d’étudier les mouvements de rotation en exprimant la variation du moment cinétique en fonction des moments des forces appliquées. Il est particulièrement utile pour déterminer les équations du mouvement et les conditions d’équilibre.