Mécanique du point : Exercices mecanique produit vectoriel
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Télécharger packPTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Moment d’une force (et rappels sur le produit vectoriel)M6 Ex-M6.1Q.C.M.
1)Quelle est la dimension du moment ́evalu ́e enOd’une force−→ Fappliqu ́ee enM?
a) [M] =M.L.T−2 b) [M] =M.L2 .T−1 c) [M] =M.L2 .T−2 d) [M] =L2 .T−3 2)` A quelle autre(s) grandeur(s) physique(s) rencontr ́ee(s)dans le cours de m ́ecanique est
homog`ene le moment d’une force ?
a) Une vitesseb) Une ́energiec) Un travaild) Une puissance
3)Le moment−−→ MO (−→ F) de la force−→ F, d’intensit ́ek −→
Fk=F, par rapport `aOest :a)Fa −→e zb)−Fb −→e yc)−Fb −→e zd)−Fa −→e za bF MO ex ey ez Ex-M6.2Moments des forces et condition d’ ́equilibre[d’apr`es Concours Mines-Ponts]
Soit un fil inextensible et sans masse, fix ́e enA`a une socle
horizontalAB(de longueura), et passant enBsur une pou-
lie parfaite, de tr`es petites dimensions.
En un pointM, tel queAM=a, est fix ́ee une masse ponc-
tuellemet, au bout du fil, est aussi accroch ́ee une massem′ enN.
Le dispositif est plac ́e verticalement dans le champs de pe-santeur −→g. gA M (m)
N (m’)B aa θe k
1) ́
Etablir le bilan des forces qui s’exercent sur le pointMet exprimer leurs moments enA; le
seul angle devant intervenir dans ces expressions sera :θ= (−−→ AB,−−→ AM).
2)Trouver une condition surmetm′ pour qu’une position d’ ́equilibre existe. Exprimer, quand
il existe, l’angle d’ ́equilibreθe , en fonction demetm′ .
Ex-M6.3Rappel sur le produit vectoriel
1)Choisir la ou le(s) bonne(s) r ́eponse(s).
Les bases (−→ ex ,−→ ey ,−→ ez ) et (−→ er ,−→ eθ ,−→ ez ) sont orthonorm ́ees et
directes.a) −→e x× −→e z= −→e yb) −→e x× −→e y= −→e zc) −→e r× −→e y=−cosθ −→e zd) −→e θ× −→e y=−sinθ −→e z
2)Deux vecteurs−→ Aet−→ Bsont exprim ́es dans la base ortho-
norm ́ee directe (−→ e1 ,−→ e2 ,−→ e3 ) :e xe ye ze θθ θ−→ A= a 1a 2a 3 et −→B= b1 b2 b3 . Leurs produit vectoriel−→ C=−→ A×−→ Best :a) a2 b3 −a3 b2 a3 b1 −a1 b3 a1 b2 −a2 b1 b) a 2b 3−a 3b 2a 1b 3−a 3b 1a 1b 2−a 2b 1 c) a1 b2 −a2 b1 a3 b1 −a1 b3 a2 b3 −a3 b2 d)a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 28
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2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
Solution Ex-M6.1
1) R ́ep : c);2) R ́ep : b)etc);3) R ́ep : d)
Solution Ex-M6.2
1)•On travaille dans le r ́ef ́erentiel terrestreRsuppos ́e
galil ́een. Le syst`eme{M, m}est soumis :
- `a son poids :−→ P=m−→ g
- `a la tension−→ T1 de la portion de filAM, orient ́ee deMversA: −→T 1=−T 1−→ er (avecT1 =k−→ T1 k)
- `a la tension−→ T2 de la portion de filMB, orient ́ee deMversB: −→T 2=T 2−→ eM→B (avecT2 =m′ gcar la poulie ́etant
parfaite et le fil ́etant tendu, l’intensit ́e du poids qui s’exerce
enNest int ́egralement transmise enM).g A
M (m)
N (m')B aa θe ke re θP θα αT 1T 2θ •Chacune de ces forces pr ́esente, enA, un moment calculable d`es que l’on s’est fix ́e une base
orthonorm ́ee directe de l’espace – (−→ er ,−→ eθ ,−→ ek ) par exemple.
•Pour le poids, ce moment vaut :−→ MA (−→ P) =−−→ AM×−→ P=AM.P.sin π2 −θ −→e k⇒ −→M A( −→
P) =mgacosθ−→ ek •Puisque−→ T1 est colin ́eaire `a−−→ AM, son moment est nul :−→ MA (−→ T1 ) =−−→ AM×−→ T1 =−→ 0
•Pour la tension−→ T2 =m′ g−→ eM→B , avec le vecteur−→ eM→B contenu dans le plan du des-
sin et faisant un angleα=π 2− θ2 (puisqueAMBest isoc`ele enA) avec le vecteur−−→ er :−→ MA (−→ T2 ) =−−→ AM×−→ T2 =a× −m′ gcosα= 00−m ′gsinα0 (−→ er ,−→ eθ ,−→ ek )00−m ′gasin π 2− θ2
Soit :−→ MA (−→ T2 ) =−m′ gacos θ2 −→ ek 2)•Le pointMest soumis `a une force r ́esultante−→ F=−→ P+−→ T1 +−→ T2 dont le moment enAvaut :−→ MA (−→ F) =−→ MA (−→ P) + −→M A( −→T 1
) +−→ MA (−→ T2 ) = mgacosθ−m′ gacos θ2 −→ ek Le pointMest `a l’ ́equilibre `a condition que−→ MA (−→ F) =−→ 0 (aucune rotation deMautour deA),
ce qui revient `a imposer :mcosθ−m ′cos θ 2 = 0⇔2mcos2 θ 2 −m′ cos θ2
−m= 0
rappel de Trigo :cos2 x=
1 + cos(2x)2 ⇔cos(2x) = 2 cos2 x−1, qu’on utilise ici en posantx= θ2 .
•Par cons ́equent, ́etudier l’ ́equilibre deMrevient `a r ́esoudre un polynˆome de degr ́e 2 :2mX 2−m ′
X−m= 0 avecX≡cos θ2
Le discriminant de ce polynˆome est : ∆ =m′2 + 8m2 > m′2 >0. Il existe donc deux solutions
r ́eelles :X 1= m′ +√ ∆4m >0 etX2 =m ′− √∆ 4m
<0
Puisqueθest n ́ecessairement compris entre 0 etπ, on aθ 2∈ h0, π2 i
et donc cos θ2
>0.
jpqadri@gmail.com29
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PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
On en d ́eduit queX2 n’a pas de signification physique et que l’unique solution estX1 :X 1= m′ +√ ∆4m ⇒cos θ2 = m′ +√ m′2 + 8m2 4m
Sachant que cette solution n’a de sens que pourX1 = cos θ2
<1, on doit v ́erifier l’in ́egalit ́e
suivante :m ′+ pm ′2
+ 8m2 ≤4m⇔m′2 +8m2 ≤16m2 −8mm′ +m′2 ⇔8m(m−m′ )≥0⇔m≥m′ Solution Ex-M6.3
1) R ́ep : b)etd);2) R ́ep : a)
Th ́eor`eme du moment cin ́etiqueM6 Ex-M6.4Moment cin ́etique d’un satellite
Un satellite, assimil ́e `a son centre d’inertie, de masse
m= 1tonne, d ́ecrit une trajectoire elliptique autour
de la terre. Ce satellite n’est soumis qu’`a la force d’in-
teraction fravitationnelle−→ Fdirig ́ee vers le centre de
forceO, centre d’inertie de la Terre.
Le r ́ef ́erentiel g ́eocentriqueRg (Oxyz) est suppos ́e ga-
lil ́een.` A l’instant repr ́esent ́e, la vitesse du satellite dans ce
r ́ef ́erentiele st :v= 14 650km.h−1 .
Donn ́ee :la rayon de la Terre est :RT = 6 400km.
1)calculer la valeur du moment cin ́etique du satellite
enOdansRg `a l’instant consid ́er ́e.2) `
A l’aide du Th ́eor`eme du Moment Cin ́etique, donner la valeur de la vitesse du satellite :
◦`a son apog ́eeA(point de la trajectoire le plus ́eloign ́e de la Terre),
◦`a son p ́erig ́eeP(point de la trajectoire le plus proche de la Terre).
R ́ep : 1)LO ≃6,8.1013 kg.m2 .s−1 .2)v A= LO m(AA′ +RT )≃5,9.10 3km.h −1etv P= LO m(RT +PP′ )≃3,6.10 4km.h −1. Ex-M6.5Trois m ́ethodes pour l’ ́etude d’un mˆeme
mouvement
Un point mat ́eriel de massemest assujetti `a glisser
sans frottement sur un cerceau vertical de rayonRet
de centreO. Il est li ́e au pointApar un ressort de
raideurket de longueur au repos n ́egligeable.
1) ́
Etablir l’ ́equation du mouvement du mobile en
utilisant successivement les trois m ́ethodes suivantes :
a)le th ́eor`eme du moment cin ́etique ;
b)la relation fondamentale de la dynamique ;
c)le bilan ́energ ́etique.
2)Discuter l’existence de positions d’ ́equilibre, leur
stabilit ́e, et dans l’affirmative, la p ́eriode des petites
oscillations au voisinage de l’ ́equilibre.A Me re θe zy xO gθ R ́ep : 1) ̈θ+ω 21 sinθ−ω2 0
cosθ= 0 ;2)θ1 = arctanω 20 ω2 1
( ́
Eq. stable) etθ2 =θ1 +π( ́
Eq. instable).30 page facebookpage facebook
2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
Ex-M6.6Th ́eor`eme du moment cin ́etique appliqu ́e `a
un point mobile
Prenons un pendule simple, de massemet de longueur
l, et imposons de petites oscillations horizontales `a son
extr ́emit ́eA:xA =x0 sinωt.
1)Pour utiliser le th ́eor`eme du moment cin ́etique, pour-
quoi vaut-il mieux l’appliquer au point mobileAplutˆot
qu’au point fixeO?
Reprendre alors la d ́emonstration du th ́eor`eme pour expri-
mer la d ́eriv ́ee :d −→L Adt !R gA Me zy xO gθ lx A(t) 2) ́
Etablir l’ ́equation du mouvement du pendule simple effectuant de petites oscillations.
3)Quel est son mouvement lorsqu’un r ́egime sinuso ̈ıdal permanent s’est ́etabli (ce qui suppose
quelques frottements, que nous avons en fait n ́eglig ́es)
4)Quelle est la pulsationω0 au voisignage de laquelle nos hypoth`eses d’ ́etude sont `a reprendre ?
Que dire des mouvements du pointAet du mobile selon queω < ω0 ou queω > ω0 ?
R ́ep :1) d−−−−→ LA/R g(M) d! Rg =−−→ MA (−→ F) +m−→ vM/R g× −→v A/R
2) ̈θ+ω 20 θ=ω2 x0 l
sin(ωt) avecω0 =r gl 3)θ(t) =ω 2ω 20 −ω2 x0 l
sin(ωt).
Ex-M6.7Tige soud ́ee `a un plateau tournant(ÜCfEx-
M2.12pour1))
Une tigeOPrigide est soud ́ee sur un plateau tournant `a
vitesse angulaire constanteω. Cette tige forme un angle
constantαavec l’axe vertical (Oz) = (∆).
Un point mat ́eriel de massempouvant glisser sans frottement
est en ́equilibre relatif sur la tige.
1)En utilisant la relation fondamentale de la dynamique
dans le r ́ef ́erentiel terrestre suppos ́e galil ́een :
a)pr ́eciser la positionxe de l’ ́equilibre relatif ;
b)donner les composantesR1 ,R2 etR3 de la r ́eaction−→ R
dans la base (−→ e1 ,−→ e2 ,−→ e3 ) li ́ee `a la tige.
2) ́
Ecrire le th ́eor`eme du moment cin ́etique enH, puis enO.
V ́erifier ainsi les r ́esultats pr ́ec ́edents.O Ma xz Pw (D)e 12 3e e
R ́ep :
1.a)En projetant leP.F.D.selon−→ ex , il vientxe =gcosα ω2 sin2 α1.b)R 1=− mgcosαsinα =−mg tanα;R 2
= 0 ;R3 =mg2) −−−−→L H/RT (M) =mr2 ω−→ ez T.M.C.pourM ́evalu ́e enH→R2 = 0 etR3 =mg—−−−−→ LO/R T
(M) =mωx2 e
(−sinαcosα−→ e1 +sin 2α −→e 3
), avec−→ e1 =−→ er et−→ e3 =−→ ez T.M.C.pourM ́evalu ́e enO→R1 =−mg tanα
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PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Ex-M6.8Oscillateurs `a deux ressorts
On consid`ere un pendule constitu ́e d’une tige de longueurl
rigide de masse n ́egligeable. Elle peut tourner librement sans
frottement autour d’un axe (∆) passant par son extr ́emit ́e
sup ́erieure O.` A l’extr ́emit ́e inf ́erieure M est fix ́ee une masse
mque l’on suppose ponctuelle. Par ailleurs, ce point M est
reli ́e `a deux ressorts identiques (k,l0 ) eux-mˆemes accroch ́es
`a des points sym ́etriques A et B de fa ̧con que lorsque l’en-
semble est en ́equilibre la tigeOMest verticale.
On ́ecarte tr`es l ́eg`erement le syst`eme de cette position
d’ ́equilibre.O M (m)A xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx Bq lg →En appliquant le th ́eor`eme du moment cin ́etique en O, montrer que le mouvement est har-
monique et que la p ́eriodes des petites oscillations s’ ́ecrit :T= 2πr gl +2k m32 page facebookpage facebook