Mécanique du point : Exercices mecanique ptsi
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Télécharger pack2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
Oscillateur harmonique en r ́egime libreM4 Ex-M4.1Ressort inclin ́e
Soit un ressort de raideurket de longueur `a videl0 , dont les
extr ́emit ́es sont reli ́ees `a un point fixeOd’un plan inclin ́e et
`a un point mat ́erielMde massem.
Nous posonsOM=xet nous supposons qu’il n’existe pas
de frottements de glissement sur le plan inclin ́e.
1)D ́eterminerxe `a l’ ́equilibre.2) `
A partir de la position d’ ́equilibre,Mest d ́eplac ́e deD
et relˆach ́e sans vitesse initiale. Exprimerxen fonction det.e xO xα yM R ́ep : 1)xe =l0 +mgsinα k
;2)x(t) =xe +Dcosω0 tavecω0 =√ km .
Ex-M4.2Deux oscillateurs
Une massemest susceptible de se
d ́eplacer sans frottements sur un axe
horizontal. Elle est soumise `a l’ac-
tion de 2 ressorts de mˆeme longueur
`a videl0 = 20cmet de constantes
de raideur diff ́erentesk1 etk2 .xxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxM(m) kk 12 dxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xM(m) k1 k2 dxx xxxx xxxx xxxx α
On donne :m= 4kg;k1 = 100N.m−1 ;k2 = 300N.m−1 etd= 60cm.
1)D ́eterminer les longueurs des 2 ressorts `a l’ ́equilibre.
2)On ́ecarte la massemd’une distancea0 `a partir de sa position d’ ́equilibre. D ́eterminer
l’ ́equation diff ́erentielle du mouvement en prenant la position d’ ́equilibre comme origine des
abscisses. Calculer la p ́eriodes des oscillations. Donnerl’expression de l’ ́energie m ́ecanique de lamasse. 3)Les ressorts sont tendus le long d’un plan inclin ́e deα= 30◦ avec l’horizontale→Mˆemes
questions.
R ́ep :l1 =(k 1−k 2)l 0+k 2d k1 k2 = 35cmetl2 =d−l1 = 25cm;2) ̈X+ k1 +k2 m
X= 0 avec
T= 2π√ mk 1+k 2etE m= 12 (k1 +k2 )a2 0;3)l 1= (k1 −k2 )l0 +k2 d−mgsinαk 1k 2
= 34,95cmetl 2=d−l 1
= 25,05cm; pour le reste, les r ́esultats sont identiques `a la situation pr ́ec ́edente !
Ex-M4.3Portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti
On consid`ere le portrait de phase d’un oscillateur
amorti compos ́e d’une massem= 500gsoumise `a
une force de rappel ́elastique (ressort de raideurk)
et `a une force de frottement fluide−λ−→ v(−→ v ́etant
la vitesse de la massemetxest l’ ́ecart `a la position
d’ ́equilibre). – L’ ́etude est r ́ealis ́ee dans le r ́ef ́erentiel
du laboratoire, suppos ́e galil ́een.
1)D ́eterminer la nature du r ́egime de l’oscillateur.
2)D ́eterminer par lecture graphique :
◦la valeur initiale de la positionx0 ;
◦la valeur finale de la positionxf ;
◦la pseudo-p ́eriodeTa ;
◦le d ́ecr ́ement logarithmique.
3)En d ́eduire le facteur de qualit ́eQde l’oscillateur, sa p ́eriode propreω0 , la raideurkdu ressort
et le cœfficient de frottement fluideλ. Applications num ́eriques pour ces quatre grandeurs.
R ́ep : 2)δ= lnx(t) x(t+Ta )
: choisir la datetqui permet de d ́eterminer `a la foisx(t) etx(t+Ta ),
jpqadri@gmail.com23
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PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
δ≃0,628 ;3)Q=√ π2 δ2 +1 4
;ks’exprime en fonction demet deω0 ;λs’exprime en fonctiondem,ω 0
et deQ.
Ex-M4.4Oscillateur amorti
On consid`ere un oscillateur harmonique amorti de pulsation propreω0 = 100rad.s−1 et de
facteur de qualit ́eQ= 10 ; la massem= 100gde cet oscillateur est lˆach ́ee avec un ́ecart `a la
position d’ ́equilibre dex0 = 10cmsans vitesse initiale.
1)Calculer :a)la pseudo-p ́eriode ;b)le d ́ecr ́ement logarithmique ;c)l’amplitude des os-
cillations au bout de 2, 5 et 10 pseudo-p ́eriodes ;d)l’ ́energie m ́ecanique initiale ;e)l’ ́energie
m ́ecanique au bout de 2, 5 et 10 pseudo-p ́eriodes.
2)D ́eterminer le nombre de pseudo-p ́eriodes au bout desquelles l’amplitude des oscillations est
divis ́ees par 17.
R ́ep : 1.a)T≃62,9ms;1.b)δ≃0,314 ;1.c)x2 ≃5,34cm,x5 ≃2,08cm,x10 ≃0,43cm;1.d)E m
(t= 0) = 5J;1.e)Em (t= 2T)≃1,42J,Em (t= 5T)≃0,22J,Em (t= 10T)≃
0,01J;2)n= 9.
Ex-M4.5Sismographe
on consid`ere un capteur d’amplitude constitu ́e par un support et une massemreli ́es par un
ressort et un amortisseur en parall`ele.
L’amortisseur exerce enA:−→ FA =−h(−→ vA −−→ vB ) et le ressort exerce enC:−→ TC =−k(−−→ DC−−−−→ D0 C0 ).
Le support, le ressort et l’amortisseur sont de masse n ́egligeable.
Le ressort a pour constante de raideurket pour longueur `a videl0 (not ́eeD0 C0 ).
On suppose que le support est solidaire du carter d’une machine anim ́ee d’un mouvement si-
nuso ̈ıdal verticalx1 =bsinωtpar rapport `a un r ́ef ́erentiel galil ́eenR0 ((Oxy) ́etant li ́e `aR0 ).
1)D ́eterminer l’ ́equation que v ́erifiexe (position de
la masse `a l’ ́equilibre dansR0 lorsquex1 = 0).
2) ́
Ecrire l’ ́equation diff ́erentielle du mouvement demdansR 0. Si on poseX=x−x1 −xe , montrer que l’ ́equation
peut se mettre sous la forme : ̈X+ ω0 Q ̇X+ω 20 X=Asinωt.
R ́esoudre cette ́equation. (Rque : ceci est le principe
du sismographe.)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxO x (t)x xA BC DG hky cartera 1e x(t)g Ex-M4.6Syst`eme de deux oscillateurs coupl ́es (*)
On consid`ere le syst`eme suivant o`u les rois ressorts
sont identiques et de constante de raideursk. Les po-
sitions des massesmsont rep ́er ́ees par leurs abscissesx 1etx 2
`a partir des positions d’ ́equilibreO1 etO2 , po-
sitions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus
(ils sont alors `au repos’).x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xO 1O 2x 1x 2x xx xx xx xx xx mm On suppose qu’on lˆache les masses aux abscissesx1m etx2m sans vitesse initiale.
1) ́
Ecrire les ́equations diff ́erentielles du mouvement des deux masses.
2)En posantω2 0= km , chercher `a quelle condition portant surωil est possible d’avoir des
solutions de la forme :x1 =a1 cos(ωt+φ)etx2 =a2 cos(ωt+φ) ?
3)En d ́eduire les deux pulsations propres possibles pour le syst`eme et ́ecrire la solution g ́en ́erale
du mouvement des deux masses.
4)Quelles sont les solutionsx1 (t)etx2 (t) du probl`eme ? En d ́eduire les conditions surx1m etx 2m
pour que les mouvements des deux masses soient harmoniques et d ́ecrire ces mouvements.24 page facebookpage facebook
2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
R ́ep : 1)m ̈x1 +2kx1 =kx2 etm ̈x2 +2kx2 =kx1 ;2)(2ω2 0−ω 2) 2=ω 40 ;3)ω=ω0 ouω=√ 3ω0 ;4)x 1
(t) =x 1m+x 2m2 cos(ω0 t) +x 1m−x 2m2 cos(√ 3ω0 t) etx2 (t) =x 1m+x 2m2 cos(ω0 t)−x 1m−x 2m2 cos(√ 3ω0 t) – Pour que les mouvements soient harmoniques, soitx1m =x2m , soitx 1m=−x 2m. Ex-M4.7Ressort vertical soumis `a des forces de frottements fluide (*)
Une sph`ere de rayonrfaible, anim ́ee d’une vitesse−→ vet plong ́ee dans un liquide
de cœfficient de viscosit ́eηest soumise `a une force de frottement qui a pour
expression :−→ f=−6π.η.r.−→ v(loi de Stockes).
Unje telle sph`ere de masse volumiqueρest suspendue `a un ressort de constante
de raideurket de longueur `a videl0 .
La p ́eriode des oscillations libres dans l’air estT0 (on n ́eglige le frottement et la
pouss ́ee d’Archim`ededans l’air). Si l’on plonge cette sph`ere dans un liquide de
masse volumiqueρe < ρ, la pseudo-p ́eriode des oscillations estT(dans ce cas, on
ne n ́eglige ni le frottement ni la pouss ́ee d’Archim`ededˆus au liquidesur la sph`ere).O xx ex M
1)Retrouver l’expression de la p ́eriodeT0 en fonction des grandeursk,ρetr.
2)Lorsque la sph`ere est plong ́ee dans le liquide, d ́eterminer la longueurxe du ressort `a l’ ́equilibre.
3)On ́ecarte la sph`ere de sa position `a l’ ́equilibre et on l’abandonne sans vitesse initiale. Soitx
la longueur du ressort `a la datet. Donner l’ ́equation diff ́erentielle v ́erifi ́ee parx, puis la simplifier
en posantX=x−xe .4) `
A quelle condition surkle r ́egime est-il pseudo-sinuso ̈ıdal ? En d ́eduire alors lapseudo-p ́eriodeT 1. 5)Montrer comment, `a partir de la mesure deT0 et deT1 , et sans connaˆıtrek, on peut en
d ́eduire le cœfficient de viscosit ́eηdu liquide. Donner la dimension deη.
R ́ep : 1)T0 = 4π√ πr3 ρ3k ;2)xe =l0 +4 3πr 3g k(ρ−ρ e
) ;3) ̈X+ 9η2r 2
ρ ̇X+ 3k4πr 3ρ X= 0 ;4)T 1= 4π√ 3kπr 3ρ −81η 24r 4ρ 2;5)η= 8πr2 ρ9 √1 T2 0− 1T 21 Ex-M4.8Oscillateur harmonique spatial isotrope
Il s’agit d’une particuleM, de massem, ́elastiquement li ́ee `a un point fixeO(origine d’un
r ́ef ́erentiel galil ́eenRg (O,−→ ex ,−→ ey ,−→ ez )) par une force−→ Fdu type−→ F=−k−−→ OM,k ́etant la constante
de raideur.
Le mouvement deMa lieu dans le plan (Oxy), avec les conditions initiales suivantes :−−−→ OM0 =x0 −→e xet −→v 0=v 0−→ ey 1)On n ́eglige tout frottement de type fluide et on poseω0 ≡√ km .
→Quelles sont les ́equations param ́etriques de la trajectoire du pointM?
→En d ́eduire l’ ́equation cart ́esienne de cette trajectoireet repr ́esenter l’allure de cette trajectoire
en pr ́ecisant le sens de parcours.
2)On ne n ́eglige plus le frottement fluide exerc ́e sur le pointMau cours du mouvement.` A
pr ́esent, le pointMest soumis `a l’action des forces−→ F=−k−−→ OMet−→ f=−α−→ v,α ́etant le
cœfficient de frottement.
On suppose toujours que−−−→ OM0 =x0 −→e xet −→v 0=v 0−→ ey . Le pointMse d ́eplace dans le plan (Oxy).
→D ́eterminer la loi de variation du vecteur position−−→ OM(t) dans le cas o`uα= 2mω0 .
→Repr ́esenter l’allure de cette trajectoire en pr ́ecisant le sens de parcours.
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