Mécanique du point : Exercices mecanique ptsi
Télécharger PDFExercices – Mécanique | PTSI (2011-2012)
Ex-M4.1 : Ressort incliné
Soit un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, dont les extrémités sont reliées à un point fixe O d’un plan incliné et à un point matériel M de masse m.
Nous posons OM = x et supposons qu’il n’existe pas de frottements de glissement sur le plan incliné.
1) Déterminer xe à l’équilibre.
2) À partir de la position d’équilibre, M est déplacée de D et relâchée sans vitesse initiale. Exprimer x(t) en fonction de t.
Réponse :
1) xe = l0 + (m g sin α) / k ;
2) x(t) = xe + D cos(ω0 t) avec ω0 = √(k/m).
Ex-M4.2 : Deux oscillateurs
Une masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un axe horizontal. Elle est soumise à l’action de deux ressorts de même longueur à vide l0 = 20 cm et de constantes de raideur différentes k1 et k2.
On donne : m = 4 kg, k1 = 100 N/m, k2 = 300 N/m, et d = 60 cm.
1) Déterminer les longueurs des deux ressorts à l’équilibre.
2) On écarte la masse m d’une distance a0 à partir de sa position d’équilibre. Déterminer l’équation différentielle du mouvement en prenant la position d’équilibre comme origine des abscisses. Calculer la période des oscillations. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la masse.
3) Les ressorts sont tendus le long d’un plan incliné d’un angle α = 30° avec l’horizontale. Mêmes questions.
Réponse :
1) l1 = (k2 - k1) l0 + k2 d / (k1 + k2) = 35 cm et l2 = d - l1 = 25 cm ;
2) m ẍ + (k1 + k2) x = 0 avec T = 2π √(m / (k1 + k2)) et Em = ½ (k1 + k2) a02 ;
3) l1 = (k2 - k1) l0 + k2 d / (k1 + k2) - (m g sin α) / k1 = 34,95 cm et l2 = d - l1 = 25,05 cm. Pour le reste, les résultats sont identiques à la situation précédente.
Ex-M4.3 : Portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti
On considère le portrait de phase d’un oscillateur amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide f = -λ v, où v est la vitesse de la masse et x l’écart à la position d’équilibre.
L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
1) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.
2) Déterminer par lecture graphique :
• la valeur initiale de la position x0 ;
• la valeur finale de la position xf ;
• la pseudo-période Ta ;
• le décroissement logarithmique.
3) En déduire le facteur de qualité Q de l’oscillateur, sa période propre ω0, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ. Applications numériques pour ces quatre grandeurs.
Réponse :
2) δ = ln(x(t) / x(t + Ta)) ; choisir la date t qui permet de déterminer à la fois x(t) et x(t + Ta).
3) Q = √(π² / δ² + 1) / 4 ; k s’exprime en fonction de m et ω0 ; λ s’exprime en fonction de m, ω0 et Q.
Ex-M4.4 : Oscillateur amorti
On considère un oscillateur harmonique amorti de pulsation propre ω0 = 100 rad/s et de facteur de qualité Q = 10. La masse m = 100 g de cet oscillateur est lâchée avec un écart à la position d’équilibre x0 = 10 cm sans vitesse initiale.
1) Calculer :
a) la pseudo-période ;
b) le décroissement logarithmique ;
c) l’amplitude des oscillations au bout de 2, 5 et 10 pseudo-périodes ;
d) l’énergie mécanique initiale ;
e) l’énergie mécanique au bout de 2, 5 et 10 pseudo-périodes.
2) Déterminer le nombre de pseudo-périodes au bout desquelles l’amplitude des oscillations est divisée par 17.
Réponse :
1.a) T ≈ 62,9 ms ;
1.b) δ ≈ 0,314 ;
1.c) x2 ≈ 5,34 cm, x5 ≈ 2,08 cm, x10 ≈ 0,43 cm ;
1.d) Em(t = 0) = 5 J ;
1.e) Em(t = 2T) ≈ 1,42 J, Em(t = 5T) ≈ 0,22 J, Em(t = 10T) ≈ 0,01 J ;
2) n = 9.
Ex-M4.5 : Sismographe
On considère un capteur d’amplitude constitué d’un support et d’une masse m reliés par un ressort et un amortisseur en parallèle.
L’amortisseur exerce en A : FA = -h (vA - vB) et le ressort exerce en C : TC = -k (DC - D0).
Le support, le ressort et l’amortisseur sont de masse négligeable.
Le ressort a pour constante de raideur k et pour longueur à vide l0.
On suppose que le support est solidaire du carter d’une machine animée d’un mouvement sinusoïdal vertical x1 = b sin(ωt) par rapport à un référentiel galiléen R0.
1) Déterminer l’équation que vérifie xe (position de la masse à l’équilibre dans R0 lorsque x1 = 0).
2) Écrire l’équation différentielle du mouvement de m dans R0. Si on pose X = x - x1 - xe, montrer que l’équation peut se mettre sous la forme : Ẍ + (ω0 / Q) Ẋ + ω02 X = A sin(ωt).
Résoudre cette équation (remarque : ceci est le principe du sismographe).
Ex-M4.6 : Système de deux oscillateurs couplés
On considère le système suivant où les trois ressorts sont identiques et de constante de raideur k. Les positions des masses m sont repérées par leurs abscisses x1 et x2 à partir des positions d’équilibre O1 et O2, positions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus.
On suppose qu’on lâche les masses aux abscisses x1m et x2m sans vitesse initiale.
1) Écrire les équations différentielles du mouvement des deux masses.
2) En posant ω02 = k/m, chercher à quelle condition portant sur ω il est possible d’avoir des solutions de la forme : x1 = a1 cos(ωt + φ) et x2 = a2 cos(ωt + φ).
3) En déduire les deux pulsations propres possibles pour le système et écrire la solution générale du mouvement des deux masses.
4) Quelles sont les solutions x1(t) et x2(t) du problème ? En déduire les conditions sur x1m et x2m pour que les mouvements des deux masses soient harmoniques et décrire ces mouvements.
Réponse :
1) m ẍ1 + 2k x1 = k x2 et m ẍ2 + 2k x2 = k x1 ;
2) (2ω02 - ω2)2 = ω40 ;
3) ω = ω0 ou ω = √3 ω0 ;
4) x1(t) = (x1m + x2m) / 2 cos(ω0 t) + (x1m - x2m) / 2 cos(√3 ω0 t) et x2(t) = (x1m + x2m) / 2 cos(ω0 t) - (x1m - x2m) / 2 cos(√3 ω0 t).
Pour que les mouvements soient harmoniques, soit x1m = x2m, soit x1m = -x2m.
Ex-M4.7 : Ressort vertical soumis à des forces de frottements fluide
Une sphère de rayon r faible, animée d’une vitesse v et plongée dans un liquide de coefficient de viscosité η, est soumise à une force de frottement donnée par la loi de Stokes : f = -6π η r v.
Une telle sphère de masse volumique ρ est suspendue à un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0.
La période des oscillations libres dans l’air est T0 (on néglige le frottement et la poussée d’Archimède dans l’air). Si on plonge cette sphère dans un liquide de masse volumique ρe < ρ, la pseudo-période des oscillations est T.
1) Retrouver l’expression de la période T0 en fonction des grandeurs k, ρ et r.
2) Lorsque la sphère est plongée dans le liquide, déterminer la longueur xe du ressort à l’équilibre.
3) On écarte la sphère de sa position d’équilibre et on l’abandonne sans vitesse initiale. Soit x la longueur du ressort à la date t. Donner l’équation différentielle vérifiée par x, puis la simplifier en posant X = x - xe.
4) À quelle condition sur k le régime est-il pseudo-sinusoïdal ? En déduire alors la pseudo-période T1.
5) Montrer comment