Mécanique du point : Exercices physique point materiel
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Université Cadi Ayyad
Année Universitaire 2014/2015
Faculté des Sciences
Semlalia-Marrakech
Département de Physique
Module de Mécanique du Point Matériel
Éléments du Corrigé de la Série N°3
Filières SMA/SMC/SMP
Exercice 1
Poussée d’Archimède
Soit R le repère lié au port qui est galiléen telle que l’accélération de la pesanteur est g = g k, où (i, j, k) est sa base cartésienne. Le bateau est attaché au port donc il est au repos et par conséquent la force de frottement fluide de l’eau sur le bateau est nulle.
Les forces appliquées sur le bateau sont :
— le poids : P = mb g = ρb Vb g k;
— la poussée d’Archimède Far : elle est égale au poids du volume d’eau Ve et dirigée selon −k, ce qui donne Far = −ρe Ve g k.
Comme le bateau est au repos, l’application du principe fondamental de la dynamique (PFD) donne P + Far = 0 ⇒ mb g − ρe Ve g k = ρb Vb g k − ρe Ve g k = 0 ⇒ ρb ρe = Ve / Vb.
Cela donne la condition pour que le bateau flotte sur l’eau.
Exercice 2
Particule chargée dans une région où règne un champ magnétique constant
Une particule M de charge q et de masse m est soumise à l’action d’un champ magnétique constant B. Soit R(O, XYZ) un référentiel galiléen muni de la base orthonormée directe (i, j, k) telle que B = B k. La vitesse initiale de la particule est v0 = v0⊥ + v0//, telles que v0⊥ = v0x i + v0y j, la projection de la vitesse sur le plan (OXY), et v0// = v0z k, la composante de la vitesse parallèle au champ magnétique.
On note ωc = qB / m. On néglige l’action du poids devant celle du champ magnétique.
On note dans la suite V(M/R) = v.
1. L’expression de la force FB est donnée par FB = q v ∧ B.
2. Comme nous négligeons le poids de la particule chargée, la seule force qui s’exerce sur M est FB. Le référentiel R est galiléen, alors le PFD dans R donne FB = m dv / dtR ⇒ dv / dtR = −qB / m k ∧ v.
Soit v = vx i + vy j + vz k avec vz = v//, alors k ∧ v = vx j − vy i ⇒ dv / dtR = (vx i + vy j + vz k) = −qB / m (vx j − vy i) ⇒ vz = v// = constante.
3. Nous avons établi que dv / dtR = −qB / m k ∧ v.
Sachant que la dérivée d’un vecteur quelconque A dans R avec uA = A / kA est donnée par dA / dtR = dk / dt Ak uA + Ω (A / R) ∧ A. En appliquant ce résultat à dv / dtR = −qB / m k ∧ v, on en déduit que dk / dt vk = 0 ⇒ k vk = v est constant et que v est en rotation dans R avec le vecteur rotation −qB / m k.
Comme v2 = v⊥2 + v//2, d’une part, et v et v// sont constants, d’autre part, alors v⊥ est constant.
4. Développons le PFD dans la base cartésienne, sachant que B = B k :
m dvx / dt i + m dvy / dt j + m dvz / dt k = q (vx i + vy j + vz k) ∧ B k = qB vy i − qB vx j.
Ce qui donne le système d’équations suivant :
dvx / dt − qBm / vy = 0
dvy / dt + qBm / vx = 0
dvz / dt = 0.
On constate que les deux premières équations sont couplées, c’est-à-dire que vx et vy figurent dans les deux équations. La composante de la vitesse selon Oz est constante et égale à la composante de la vitesse selon Oz à l’instant t = 0, vz = v0//.
5. Reprenons les équations précédentes en remplaçant vx = ẋ, vy = ẏ et vz = ż, ce qui donne en premier lieu z = v0// t + K avec K = z(0) = 0.
De même, ẏ = −qB / m ẋ ⇒ ẏ = −ωc x + K.
Or x(0) = 0 et ẏ0 = 0 alors K = 0 ⇒ ẍ = ωc ẏ = −ωc2 x ⇒ ẍ + ωc2 x = 0.
C’est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants sans second membre. La solution est