Mécanique du point : Exercices mecanique newtonienne
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1. Trajectoire d'un projectile dans un champ de pesanteur
Un projectile est lancé au temps t = 0, d’un point O pris pour origine de l’espace, dans le champ de la pesanteur.
La vitesse initiale V₀ fait un angle α ∈ [0, π/2] avec l’axe Ox, vers le haut.
• Établissez l’équation de la trajectoire du projectile, en négligeant la résistance de l’air.
• Déterminez les coordonnées du point S où la particule atteint une altitude maximale. Donnez le temps tₛ de passage par ce point.
• Déterminez la portée du projectile, c’est-à-dire la distance de O au point B où le projectile revient à l’altitude nulle. Donnez le temps tᵦ de passage par ce point.
• Recherchez l’ensemble des points de l’espace que l’on peut atteindre avec ce projectile, en supposant que la vitesse initiale a une direction quelconque et une norme toujours égale à celle de V₀. Pour une norme donnée v₀, quel est l’angle α donnant la portée maximale ?
• Esquissez quelques trajectoires du projectile, en particulier celles associées à des valeurs remarquables de l’angle α, pour v₀ fixée. Est-il possible de tracer une seule figure correspondant à tous les choix de v₀ > 0 ?
2. Problème du projectile avec force de frottement
Reprenez le problème précédent en supposant que le projectile subit en outre une force de frottement dans l’air égale à Fair = −γV lorsque sa vitesse est V ; la constante de frottement γ est strictement positive.
3. Force exercée sur une automobile en descente
Une automobile de masse M = 1 tonne descend une rue dont l’inclinaison est de 20°. Déterminez la force que doivent exercer les freins pour que l’automobile se déplace :
• avec un mouvement uniforme,
• avec une accélération constante de norme a = 0,2 m·s−2.
Trouvez dans chaque cas la force exercée sur l’automobile par la rue.
4. Variation de la quantité de mouvement d’un camion
Un camion de masse égale à 5 tonnes se dirige vers le nord à la vitesse de 30 m·s−1. Il tourne en 20 secondes pour prendre une route orientée vers le nord-est, au cap de 70°.
• Calculez la variation de sa quantité de mouvement.
• Calculez l’intensité et la direction de la force moyenne exercée sur le camion.
5. Force moyenne exercée par le sable sur un corps en chute
Un corps de masse 10 g tombe d’une hauteur de 3 m sur un tas de sable. Il pénètre dans le sable sur une profondeur de 3 cm avant de s’arrêter.
Quelle est la valeur de la force moyenne exercée par le sable sur le corps ?
Quelle est la valeur de la force moyenne exercée par le corps sur le sable ?
6. Trajectoire et moment cinétique d’un corps dans un champ de pesanteur
Un corps se déplace dans le champ de pesanteur terrestre g = −g ez, avec g > 0.
• Déterminez la trajectoire du corps pour les conditions initiales M(0) = O et v(0) = ey + 2ex. Esquissez une représentation graphique.
• Calculez la vitesse aréolaire A(t) et le moment cinétique J(t) du corps par rapport au point O. Quelle est sa direction ? Pouviez-vous la prévoir ?
• Calculez la dérivée de J(t) par rapport au temps. À quelle condition est-elle nulle ?
• Calculez le moment M(t) de la force de pesanteur agissant sur le mobile, par rapport à O.
Si les calculs vous paraissent plus commodes dans une autre base ou d’autres coordonnées que celles de l’énoncé, quelle base et quel système de coordonnées choisissez-vous ?
FAQ
Qu’est-ce qu’un mouvement uniforme en mécanique newtonienne ?
Un mouvement uniforme est un déplacement à vitesse constante, sans accélération ni décélération.
Comment calculer la portée maximale d’un projectile ?
La portée maximale est obtenue lorsque l’angle de lancement α est égal à 45° pour une vitesse initiale donnée v₀.
Quelle est la relation entre la force de frottement et la vitesse d’un projectile ?
La force de frottement est proportionnelle à la vitesse du projectile, avec un coefficient γ strictement positif.