Mécanique du point : Mecanique du point materiel série 1 mécanique de point
Télécharger PDFUniversité Cadi Ayyad - Année Universitaire 2014/2015
Faculté des Sciences Semlalia - Marrakech
Département de Physique
Module de Mécanique du Point Matériel
Série N°1 - Filières SMA/SMC/SMP
Exercice 1 : Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs V1 (1, 1, 0), V2 (0, 1, 0) et V3 (0, 0, 2).
1. Calculer les normes ||V1||, ||V2|| et ||V3||. En déduire les vecteurs unitaires v1, v2 et v3 des directions respectivement de V1, V2 et de V3.
2. Calculer cos(θ) entre v1 et v2, sachant que l’angle correspondant est compris entre 0 et π.
3. Calculer v1 · v2, v2 ∧ v3 et v1 · (v2 ∧ v3). Que représente chacune de ces trois grandeurs ?
Exercice 2 : Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
Considérons la position d’un point M dans le repère R(O, xyz).
Soient (i, j, k), (eρ, eφ, k) et (er, eθ, eφ) respectivement les bases cartésienne, cylindrique et sphérique associées au repère.
1. Calculer ∂eρ/∂φ, ∂eφ/∂φ et ∂k/∂φ.
2. En déduire eρ et eφ dans la base cartésienne.
3. Montrer que les différentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se mettre sous la forme deρ = dt Ω ∧ eρ et deφ = dt Ω ∧ eφ, en précisant l’expression du vecteur rotation Ω des vecteurs de la base cylindrique par rapport à R. Déduire les dérivées par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dans R.
4. Quel est le vecteur rotation de la base sphérique par rapport à R ? En utilisant les résultats de la question précédente, déduire les expressions de der/dt, dθe/dt et dφe/dt.
Exercice 3 : Mouvement rectiligne
On effectue un test d’accélération sur une voiture arrêtée au départ (vitesse initiale v0 = 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronométrée à 20 s au bout d’une distance D = 140 m.
1-a) Déterminer l’expression de l’accélération γ, supposée constante.
1-b) Déterminer l’expression de la vitesse vD atteinte à la distance D.
2. Calculer la distance d’arrêt L pour une décélération de 8 m/s².
Exercice 4 : Excès de vitesse
Un conducteur roule à une vitesse constante v0 = 120 km/h sur une route rectiligne dépassant la limite autorisée. Un gendarme à moto démarre à l’instant où la voiture passe à sa hauteur et accélère uniformément. Le gendarme atteint la vitesse de 100 km/h au bout de 12 s.
1. Quel sera le temps nécessaire au gendarme pour rattraper la voiture ?
2. Quelle distance aura-t-il parcourue ?
3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte ?
Exercice 5 : Mouvement circulaire uniforme
Considérons un satellite géostationnaire en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre sur une orbite de rayon r. Il est soumis à une accélération γ = g0 (R/r)², où g0 = 9.81 m/s² et R = 6400 km, le rayon de la Terre. La période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même.
1. Calculer la période T de rotation de la Terre en secondes. En déduire la vitesse angulaire Ω.
2. Déterminer l’altitude de l’orbite géostationnaire.
Exercice 6 : Mouvement sur une ellipse
Un point matériel M se déplace sur une ellipse d’équation en coordonnées cartésiennes x²/a² + y²/b² = 1. La direction du vecteur OM par rapport à l’axe Ox est repérée par l’angle φ. L’équation horaire du mouvement de M peut se mettre sous la forme x(t) = x0 cos(ωt + φ) et y(t) = y0 sin(ωt + ψ), où ω est une constante. À l’instant t = 0, M se trouvait en M0.
1. Déterminer x0, φ et ψ. En déduire y0.
2. Déterminer les composantes, et ce dans la base cartésienne, de la vitesse (ẋ, ẏ) et de l’accélération (ẍ, ÿ).
3. Montrer que l’accélération peut se mettre sous la forme γ = −k OM, où k est à déterminer.
FAQ
1. Comment calculer la norme d’un vecteur ?
La norme d’un vecteur V = (a, b, c) est donnée par la formule ||V|| = √(a² + b² + c²).
2. Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1, orienté dans la même direction qu’un vecteur donné.
3. Quelle est la différence entre une accélération et une décélération ?
L’accélération correspond à une augmentation de la vitesse, tandis que la décélération correspond à une diminution de la vitesse.