Mécanique du point : Mecanique du point materiel série 1 mécanique de point
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Télécharger packUniversit ́e Cadi AyyadAnn ́ee Universitaire 2014/2015
Facult ́e des Sciences
Semlalia-Marrakech
D ́epartement de Physique
Module de M ́ecanique du Point Mat ́eriel
S ́erie N0 1
Fili`eres SMA/SMC/SMP
Exercice 1
Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs~ V1 (1,1,0),~ V2 (0,1,0) et~ V3 (0,0,2).
1. Calculer les normesk~ V1 k,k~ V2 ketk~ V3 k. En d ́eduire les vecteurs
unitaires~v1 ,~v2 et~v3 des directions respectivement de~ V1 ,~ V2 et de~ V3 .
2. Calculer cos(̂ ~v1 ,~v2 ), sachant que l’angle correspondant est compris
entre 0 etπ.
3. Calculer~v1 ·~v2 ,~v2 ∧~v3 et~v1 ·(~v2 ∧~v3 ). Que repr ́esente chacune
de ces trois grandeurs ?
Exercice 2
Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
Consid ́erons la position d’un pointMdans le rep`ereR(O,xyz).
Soient (~ i,~ j,~ k), (~eρ ,~eφ ,~ k) et (~er , ~eθ , ~eφ ) respectivement les bases cart ́e-
sienne, cylindrique et sph ́erique associ ́ees`ace rep`ere.
1. Calculer∂~e ρ∂φ ,∂~e φ∂φ et∂ ~k ∂φ. 2. En d ́eduired~eρ etd~eφ dans la base cart ́esienne.
3. Montrer que les diff ́erentielles des vecteurs de la base cylindrique
peuvent se mettre sous la formed~e ρ=dt ~Ω∧~e ρetd~e φ=dt ~Ω∧~e φ
en pr ́ecisant l’expression du vecteur rotation~ Ω des vecteurs de la
base cylindrique par rapport`aR. D ́eduire les d ́eriv ́ees par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique dansR.
4. Quel est le vecteur rotation de la base sph ́erique par rapport`a
R? En utilisant les r ́esultats de la question pr ́ec ́edente, d ́eduire
les expressions ded~e rdt ,d~e θdt etd~e φdt .
Pour les exercices 3,4 et 5, calculer les expressions lint ́erales des grandeurs demand ́ees et faire l’application num ́erique.
Exercice 3
Mouvement rectiligne
On effectue un test d’acc ́el ́eration sur une voiture arrˆet ́ee au d ́epart
(vitesse initialev0 = 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronom ́etr ́ee`a20sau bout d’une distanceD=140m. 1-a)D ́eterminer l’expression de l’acc ́el ́erationγ, supos ́ee constante.
1-b)D ́eterminer l’expression de la vitessevD atteinte`ala distanceD. 2. Calculer la distance d’arrˆetLpour une d ́ec ́el ́eration de 8ms−2 ?
Exercice 4
Excès de vitesse
Un conducteur roule`aune vitesse constantev0 = 120 km h−1 sur
une route r ́ectiligne d ́epassant la limite autoris ́ee. Un gendarme`amoto
d ́emarre`al’instant o`ula voiture passe`asa hauteur et acc ́el`ere unifor-
m ́ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h−1 au bout de 12s.
1. Quel sera le temps n ́ecessaire au gendarme pour rattraper la voi-
ture ?
2. Quelle distance aura-t-il parcourue ?
3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte ?
Exercice 5
Mouvement circulaire uniforme
Consid ́erons un satellite g ́eostationnaire en mouvement circulaire
uniforme autour de la Terre sur une orbite de rayonr. Il est soumis`a
une acc ́el ́erationγ=g0 (R r) 2
, o`ug0 = 9.81m s−2 etR= 6400 km , le
rayon de la Terre. La p ́eriode de r ́evolution du satellite est ́egale`ala
p ́eriode de rotation de la Terre sur elle mˆeme.
1. Calculer la p ́eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En
d ́eduire la vitesse angulaire Ω.
2. D ́eterminer l’altitude de l’orbite g ́eostationnaire.
Exercice 6
Mouvement sur une ellipse
Un point mat ́erielMse d ́eplace sur une
ellipse d’ ́equation en coordonn ́ees cart ́e-siennes x2 a2 +y 2b 2
= 1, voir figure ci-contre. la
direction de−−→ OMpar rapport`al’axeOx
est rep ́er ́ee par l’angleφ. L’ ́equation ho-
raire du mouvement deMpeut se mettre
sous la formex(t) =x0 cos (ωt+φ) et
y(t) =y0 sin (ωt +ψ) o`ul’on suppose que
ωest une constante. A l’instantt= 0,M
se trouvait enM0 .y xOM 0M φa b
1. D ́eterminerx0 ,φetψ. En d ́eduirey0 .
2. D ́eterminer les composantes, et ce dans la base cart ́esienne, de la
vitesse ( ̇x, ̇y) et de l’acc ́el ́eration ( ̈x, ̈y).
3. Montrer que l’acc ́el ́eration peut se mettre sous la forme~γ=−k −−→
OMo`ukest`ad ́eterminer.