Mécanique du point : Exercices mecanique newtonienne
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Exercice 1 : Puissance du moteur d’un ascenseur
Un ascenseur monte 10 passagers de 80 mètres en 3 minutes. Chaque personne a une masse de 80 kg et la cabine une masse de 1000 kg. Quelle est la puissance du moteur ?
Exercice 2 : Ascenseur avec contrepoids
Même question si la cabine possède un contrepoids de 1200 kg.
Exercice 3 : Vitesse d’un électron dans un tube de télévision
Trouvez la vitesse d’un électron dans un tube de télévision s’il frappe l’écran avec une énergie de 1,8 × 10⁴ eV.
**Données utiles** : masse de l’électron *me* = 9,11 × 10⁻³¹ kg, charge élémentaire *e* = 1,602 × 10⁻¹⁹ C.
Exercice 4 : Batteries d’aide au pédalage pour un vélo
On veut déterminer la puissance la plus adaptée pour installer des batteries d’aide au pédalage sur un vélo. Un cycliste de masse *m* = 80 kg a besoin d’aide pour rouler à une vitesse constante de 20 km/h sur une côte à 10%. Quelle serait la masse d’une batterie Ni-Cd pour parcourir 1 km de côte, sachant que les batteries Ni-Cd présentent une capacité de 50 Wh/kg ?
Exercice 5 : Calcul de la différentielle et du gradient d’une fonction
Soit *F(x, y, z)* = 3*x* + 4*y* + 5*z* + 4. Calculez la différentielle de *F(x, y, z)* et le gradient *Grad(F)*.
Exercice 6 : Travail d’une force conservative et non conservative
(i) Soit *F* = (*y²* − *x²*)*ex* + 3*x*y* *ey*. Calculez le travail de *F* lors du déplacement OC :
- le long du chemin OAC (segment OA puis segment AC),
- le long de la droite OC.
(ii) Même question avec la force *F* = (*y²* − *x²*)*ex* + 2*x*y* *ey*. Montrez que *F* dérive d’une énergie potentielle et calculez ensuite le travail de *F* lors des déplacements OC définis ci-dessus.
Exercice 7 : Chariot sur une piste de fête foraine
Un chariot de masse *m* se déplace sans frottement sur une piste terminée par une boucle circulaire de rayon *r*. On le lâche sans vitesse initiale d’un point *M₀* de cote *z₀*.
- Pour la figure de gauche, calculez en fonction de *z*, la vitesse du chariot et la réaction de la piste en tout point de cote *z* de la boucle.
- On suppose que la liaison chariot–piste est unilatérale. Quelle est alors la valeur minimale de *z₀* pour que le chariot puisse effectuer un tour complet sans tomber ?
- Répondez aux mêmes questions pour la piste de la figure de droite.
- Déduisez-en, pour cette valeur de *z₀*, la vitesse du chariot au point le plus bas et au point le plus haut de la piste.
FAQ : Mécanique newtonienne et calculs associés
**1. Qu’est-ce qu’une force conservative ?** Une force conservative est une force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi pour déplacer un objet, mais uniquement des points de départ et d’arrivée. Elle peut être exprimée comme le gradient d’une énergie potentielle.
**2. Comment convertir une énergie en électronvolts (eV) en joules (J) ?** Utilisez la relation 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J. Par exemple, pour 1,8 × 10⁴ eV, multipliez par cette constante pour obtenir l’énergie en joules.
**3. Que signifie une pente de 10% pour une côte ?** Une pente de 10% signifie que pour 100 mètres parcourus horizontalement, la côte monte verticalement de 10 mètres. Cela se traduit par une inclinaison de *tan(θ)* = 0,10, où *θ* est l’angle d’inclinaison.