Mécanique du point : Série 1ere sti2d trigo exo trigo trigo trigo mécanique de p
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Exercice 4
Pour déterminer la récolte de blé, un ingénieur dispose d’un silo plein ayant la forme d’un parallélépipède construit sur les points A(1, 0, 0) ; B(0, 1, 1) ; C(4, 2, 0) et D(5, 3, 4) . ( l’unité est le mètre) . Déterminer le volume du silo et donner sa valeur approchée si la mesure des dimensions est faite à 0,1 m prés ?. Solution 4 : L’ingénieur doit déterminer d’abord : = -1 + 1 + 1 ; = 3 2 + 0 et = 4 3 + 4 Le volume du silo dont la forme est un parallélépipède construit sur ces 3 vecteurs, est égal en valeur absolue au produit mixte : Le volume du silo est 19 m
Exercice 5
Un tracteur tire un cover crop en lui appliquant une force (2, 1, 1) dont le point d’application est situé en A(0, -1, 1). Calculer le moment de la force par rapport à l’axe ( ) ( supposé confondu avec l’axe des disques suspendus au cover crop) passant par B(1, 1, 0) et ayant pour vecteur unitaire Le moment de par rapport à l’axe ( ) est égal à : 1,098 Nm
Exercice 1
Un tracteur tirant une charrue à disque a pour trajectoire la courbe décrite, en coordonnées polaires, par = r = r
0 e
avec une vitesse angulaire = d /dt = cte 1 - Déterminer dans la base des coordonnées polaires :
̈ les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse
̈ les composantes radiale et orthoradiale de l’accélération
2 - Calculer la distance parcourue par le tracteur entre l’instant t = 0 et t = 4/ .
3 - Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire en utilisant la relation
Comparer cette méthode à celle utilisée dans l’exercice 2 ci-après. Réponse: 2- s = 2838 m3- 1°)
Exercice 2
Supposons qu’un enfant fixe sur la jante de sa bicyclette une orange M qui se déplace dans le plan xoy, nous essayons de suivre sa trajectoire.
La jante sera considérée comme un cercle de centre I, de rayon r et de vitesse angulaire constante. On désigne par J le point de contact du cercle avec OX et par K le point diamétralement opposé. On suppose qu’à l’instant initial le point M du cercle coïncide avec l’origine O.
1- quelles sont les coordonnées du point M à l’instant t et la nature de sa trajectoire ?
(tracer la courbe sur un papier millimétré )
2- Calculer les coordonnées et le module de la vitesse de M
3- Donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) pour 0 t 2/ sachant qu’à l’instant initial s(0) = 0 . En déduire la distance parcourue par M quand t = 2/.
4- Calculer les coordonnées et le module de l’accélération de M.
5- Calculer l’accélération tangentielle et l’accélération normale.
6- Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point M. Réponse:
Série 3:
CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL
Exercice 1
exercice récapitulatif des connaissances.
Un point matériel M de masse m est repéré dans un référentiel fixe ( Oxyz ) par ses coordonnées cylindriques ( , , z ) telles que : = R , = t et z = h ( R et sont des constantes positives et t le temps). 1- Écrire l’expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes base ( , ,) 2- a) quel est le mouvement du point M dans le plan xOy ?
b) quel est le mouvement du point M suivant la direction de l’axe Oz ?
c) quel est le mouvement résultant du point M ? 3- Déterminer les composantes cartésiennes et le module des vecteurs vitesse et accélération ? 4- Calculer l’abscisse curviligne s(t) du point M sachant qu’à l’instant initial t = 0, s(t) = 0
5- Quelles sont les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération selon les vecteurs unitaires et du trièdre de Serret- Frenet ? 6- Calculer le rayon de courbure R
C de la trajectoire de M ?
7- Montrer que la vitesse fait un angle constant a avec l’axe Oz ?, quel est l’hodographe du mouvement ? 8- Quelles sont les coordonnées cylindriques du mouvement du point M ? 9- Déterminer les vecteurs unitaires , et ? Réponse: 1°) En coordonnées cylindriques, la position du point M est repérée par ( t ), = ( t ) et z ( t ). Dans la ,le vecteur position s’écrit : = R cos t + R sin t + h t avec = R 2°) a – Dans le plan xoy, nous avons : x = R cos t et y = R sin t
avec x
2 + y
2 =R 2 , c’est un mouvement circulaire de rayon R b – Selon la direction de l’axe Oz, on a z = h t C’est un mouvement rectiligne uniforme c – Le mouvement résultant du point M est hélicoïdal simple. La trajectoire est une hélice enroulée sur un cylindre circulaire de rayon R et de pas h constant. 3°). La vitesse s’écrit alors dans la sous la forme :
Exercice 2
Un tracteur T et une moissonneuse batteuse M distants de L se trouvent sur un terrain plat. A l’instant initial, le tracteur T se trouve en O pris pour origine, l’axe des ordonnées Oy
( orienté vers le nord ) est celui contenant les deux engins et l’axe des abscisses Ox est orienté vers l’est ( voir schéma ). 1- La moissonneuse batteuse M se dirige vers l’est à la vitesse , alors que le tracteur T se dirige vers le nord à la vitesse . Calculer la distance minimale qui va séparer les deux engins ? 2- On suppose que la moissonneuse batteuse se dirige toujours vers l’est à la même vitesse . Déterminer la direction que le tracteur T doit prendre pour rencontrer M dans son parcours ?
Calculer le temps nécessaire pour cette rencontre ? A.N : L = 8 km , v
1 = 10,8 km/h , v
2 = 5 m/s