Mécanique du point : Série 1ere sti2d trigo exo trigo trigo trigo mécanique de p
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Exercice 1
Un point matériel M de masse m est repéré dans un référentiel fixe (Oxyz) par ses coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) telles que : ρ = R, θ = ωt et z = hθ (R et ω sont des constantes positives et t le temps).
Questions et solutions
1. En coordonnées cylindriques, la position du point M est repérée par ρ(t), θ(t) et z(t). Dans la base cartésienne (i, j, k), le vecteur position s’écrit :
r(t) = R cos(ωt) i + R sin(ωt) j + hωt k.
2. a) Dans le plan xOy, le mouvement du point M est circulaire de rayon R, car x = R cos(ωt) et y = R sin(ωt) avec x² + y² = R².
b) Selon la direction de l’axe Oz, on a z = hωt, ce qui représente un mouvement rectiligne uniforme.
c) Le mouvement résultant du point M est hélicoïdal simple. La trajectoire est une hélice enroulée sur un cylindre circulaire de rayon R et de pas h constant.
3. Le vecteur vitesse s’écrit alors dans la base cartésienne sous la forme :
v(t) = -Rω sin(ωt) i + Rω cos(ωt) j + hω k.
Le module de la vitesse est donné par : |v(t)| = √(R²ω² + h²ω²).
4. L’abscisse curviligne s(t) du point M, sachant qu’à l’instant initial t = 0, s(t) = 0, est calculée par l’intégrale de la vitesse.
5. Les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération selon les vecteurs unitaires eτ et en du trièdre de Serret-Frenet sont :
aτ = Rω², an = hω².
6. Le rayon de courbure Rc de la trajectoire de M est donné par la relation :
Rc = |v(t)|³ / (|v(t) × a(t)| · |v(t)|).
7. Montrer que la vitesse fait un angle constant α avec l’axe Oz :
tan(α) = √(R²ω²) / (hω) = R / h.
L’hodographe du mouvement est un cercle de rayon Rω dans le plan xOy, complété par une composante constante hω selon Oz.
8. Les coordonnées cylindriques du mouvement du point M sont :
ρ(t) = R, θ(t) = ωt, z(t) = hωt.
9. Les vecteurs unitaires du trièdre de Serret-Frenet sont :
eρ = cos(ωt) i + sin(ωt) j, eθ = -sin(ωt) i + cos(ωt) j, ez = k.
Exercice 2
Un tracteur T et une moissonneuse batteuse M distants de L se trouvent sur un terrain plat. À l’instant initial, le tracteur T se trouve en O pris pour origine, l’axe des ordonnées Oy (orienté vers le nord) est celui contenant les deux engins et l’axe des abscisses Ox est orienté vers l’est.
Questions et solutions
1. Si la moissonneuse batteuse M se dirige vers l’est à la vitesse v₁ et le tracteur T vers le nord à la vitesse v₂, la distance minimale d séparant les deux engins est donnée par :
d = L · √(1 - (v₁ / v₂)²) si v₁ < v₂, ou d = 0 si v₁ ≥ v₂.
2. Pour que le tracteur T rencontre la moissonneuse M, il doit se diriger selon une direction formant un angle θ avec l’axe Oy tel que :
tan(θ) = v₁ / v₂.
Le temps nécessaire pour cette rencontre est : t = L / √(v₁² + v₂²).
FAQ
Qu’est-ce qu’un mouvement hélicoïdal simple ?
Un mouvement hélicoïdal simple est une trajectoire en trois dimensions où un point se déplace à la fois en cercle dans un plan et en ligne droite selon un axe perpendiculaire à ce plan, formant ainsi une hélice.
Comment calculer le rayon de courbure d’une trajectoire circulaire ?
Le rayon de courbure d’une trajectoire circulaire est égal au rayon R du cercle. Pour une trajectoire hélicoïdale, il est donné par la relation Rc = |v(t)|³ / (|v(t) × a(t)| · |v(t)|).
Que représente l’hodographe d’un mouvement ?
L’hodographe d’un mouvement est la courbe décrite par le vecteur vitesse du point en fonction du temps. Il permet de visualiser les variations de direction et de module de la vitesse.