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Optique : Td diffraction lumieres obstacles

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L'étude de la diffraction de la lumière par différents obstacles

Dans le domaine de l'optique physique, la diffraction de la lumière est un phénomène fondamental. Nous considérons une onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant selon l'axe Oz d'un système de coordonnées Oxyz, dans les conditions de la diffraction de Fraunhofer. Ce régime simplifie l'étude des figures de diffraction observées.

La diffraction par une fente simple

Lorsqu'une OPPM de longueur d'onde λ frappe une fente simple de largeur 'a' sous incidence normale, le comportement de la lumière diffractée varie considérablement selon la relation entre 'a' et λ.

Si a < λ : Dans ce cas, la fente est très petite par rapport à la longueur d'onde. La lumière est fortement diffractée et la fente agit comme une source ponctuelle, produisant une onde sphérique. Le phénomène de diffraction est très marqué, et l'intensité centrale est relativement faible, dispersée sur un large angle.
Si λ ≤ a ≤ 100λ : La largeur de la fente est comparable à la longueur d'onde, ou jusqu'à cent fois plus grande. Le phénomène de diffraction est clairement observable. On observe une figure de diffraction caractérisée par une tache centrale brillante (maximum principal) flanquée de maxima secondaires plus faibles et de minima sombres. Plus 'a' est grand par rapport à λ, plus les angles de diffraction sont petits et plus la figure est "serrée".
Si 100λ < a : Lorsque la fente est beaucoup plus large que la longueur d'onde, la diffraction devient moins évidente à l'œil nu. L'onde tend à se propager principalement en ligne droite, et l'ouverture se comporte comme si elle ne diffractait pas la lumière de manière significative, suivant approximativement les lois de l l'optique géométrique. Les minima et maxima de diffraction sont très proches les uns des autres et difficilement discernables.

Les définitions des paramètres clés en diffraction

Les figures de diffraction sont décrites par des fonctions d'intensité qui dépendent de plusieurs paramètres géométriques :

Pour une fente simple, 'a' représente la largeur de la fente.
Pour une double fente, 'a' est la largeur de chaque fente et 'l' représente la distance centre à centre entre les deux fentes.
Pour un réseau de N fentes (ou réseau réel), 'a' est la largeur de chaque fente, et 'p' représente le pas du réseau, c'est-à-dire la distance entre les centres de deux fentes consécutives.

Analyse de la diffraction pour une fente simple

Concentrons-nous désormais sur le cas d'une fente simple, caractérisé par l'intensité relative I/I₀ donnée par l'expression (I/I₀) = (sin(u)/u)², où u = (π a sin(θ)) / λ.

Minima et maxima d'intensité

Pour l'ordre zéro de diffraction, qui correspond au maximum central, l'angle θ est nul (θ = 0). Dans ce cas, u tend vers 0, et l'intensité relative (I/I₀) est maximale et égale à 1.

Les minima d'intensité (ordres de diffraction sombres) se produisent lorsque sin(u) = 0 mais u ≠ 0. Ceci implique que u doit être un multiple entier de π, soit u = mπ, où m est un entier non nul (m = ±1, ±2, ±3, ...). En remplaçant u, la condition pour les minima est donc : a sin(θ) = mλ. Cette relation permet de localiser les directions angulaires où l'intensité est minimale.

Les maxima secondaires d'intensité (ordres de diffraction brillants, en dehors du maximum central) sont déterminés en cherchant les points où la dérivée de l'intensité relative par rapport à u est nulle (d(I/I₀)/du = 0). La résolution de cette équation complexe, sin(u) = u cos(u), fournit les valeurs de u où ces maxima apparaissent. Ces valeurs ne sont pas des multiples exacts de π ou π/2, mais sont approximativement à mi-chemin entre les minima.

Calcul des intensités relatives aux maxima secondaires

La résolution de l'équation des maxima secondaires montre que le premier maximum d'intensité secondaire est observé à u ≈ ±1.43π, le deuxième à u ≈ ±2.46π, le troisième à u ≈ ±3.47π, et le quatrième à u ≈ ±4.48π.

Calculons les valeurs de l'intensité relative (I/I₀) à ces positions (à quatre chiffres après la virgule) :

Pour u = ±1.43π : (I/I₀) = (sin(1.43π) / (1.43π))² ≈ 0.0472
Pour u = ±2.46π : (I/I₀) = (sin(2.46π) / (2.46π))² ≈ 0.0167
Pour u = ±3.47π : (I/I₀) = (sin(3.47π) / (3.47π))² ≈ 0.0084
Pour u = ±4.48π : (I/I₀) = (sin(4.48π) / (4.48π))² ≈ 0.0050

Ces valeurs montrent que l'intensité des maxima secondaires diminue rapidement à mesure que l'on s'éloigne du centre de la figure de diffraction.

Allure de la figure de diffraction

La figure de diffraction pour une fente simple présente un maximum central très intense à u = 0. Les minima d'intensité se trouvent aux positions u = ±π, ±2π, ±3π, etc. Entre ces minima, on observe des maxima secondaires dont l'intensité est beaucoup plus faible que celle du maximum central et décroît rapidement. Le graphe de l'intensité relative (I/I₀) en fonction de 'u' ressemble à une fonction sinc au carré, avec des lobes latéraux de plus en plus petits.

Position des minima sur un écran

Si un écran est placé à une distance D de la fente et que l'approximation des petits angles est valable (c'est-à-dire sin(θ) ≈ θ ≈ tan(θ)), la position Xm des minima d'intensité sur l'écran peut être établie. La condition a sin(θ) = mλ devient a (Xm / D) = mλ. Ainsi, la position des minima est donnée par :

Xm = m (λD / a)

Utilisons les valeurs données : a = 50 μm (50 × 10⁻⁶ m), λ = 532 nm (532 × 10⁻⁹ m), et D = 1.5 m.

Pour m = 1 : X₁ = 1 (532 × 10⁻⁹ × 1.5) / (50 × 10⁻⁶) = 0.01596 m = 15.96 mm
Pour m = 2 : X₂ = 2 (532 × 10⁻⁹ × 1.5) / (50 × 10⁻⁶) = 0.03192 m = 31.92 mm
Pour m = 3 : X₃ = 3 (532 × 10⁻⁹ × 1.5) / (50 × 10⁻⁶) = 0.04788 m = 47.88 mm
Pour m = 4 : X₄ = 4 (532 × 10⁻⁹ × 1.5) / (50 × 10⁻⁶) = 0.06384 m = 63.84 mm

L'écart de distance (ΔX) entre les deux premiers minima d'intensité (les ordres de diffraction sombres qui encadrent la tache centrale) est la distance entre X₁ et X₋₁. Puisque X₋₁ = -X₁, alors ΔX = X₁ - X₋₁ = 2X₁. L'expression est donc :

ΔX = 2 (λD / a)

Avec les valeurs numériques, ΔX = 2 × 15.96 mm = 31.92 mm.

Influence de la largeur de la fente sur la figure de diffraction

Si la largeur de la fente 'a' varie progressivement de λ à 100λ, l'expression de l'inter-ordre (la distance entre deux minima consécutifs), donnée par i = X_(m+1) - Xm = λD/a, nous permet de comprendre l'évolution de la figure de diffraction.

Puisque l'inter-ordre 'i' est inversement proportionnel à la largeur de la fente 'a', augmenter 'a' entraînera une diminution de 'i'. Concrètement, lorsque la largeur de la fente 'a' augmente de λ à 100λ :

La tache centrale de diffraction deviendra plus étroite.
Les maxima secondaires se rapprocheront les uns des autres.
L'ensemble de la figure de diffraction se contractera, devenant plus fine et plus concentrée au centre.

En résumé, plus la fente est large, moins la diffraction est prononcée et plus la lumière se comporte comme un faisceau se propageant en ligne droite.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la diffraction de Fraunhofer ?

La diffraction de Fraunhofer est un cas particulier de diffraction qui se produit lorsque la source lumineuse et l'écran d'observation sont suffisamment éloignés de l'obstacle diffractant, de sorte que les ondes incidentes et diffractées peuvent être considérées comme planes. Cela simplifie les calculs et permet d'observer une figure de diffraction nette.

Comment la largeur d'une fente simple affecte-t-elle le motif de diffraction ?

La largeur de la fente (a) est inversement proportionnelle à l'étalement du motif de diffraction. Une fente étroite (petit 'a') produit un motif de diffraction large, avec une grande tache centrale et des maxima secondaires bien espacés. À l'inverse, une fente large (grand 'a') produit un motif de diffraction très étroit, avec une tache centrale fine et des maxima secondaires très rapprochés.

Quelle est la condition générale pour les minima d'intensité dans la diffraction par une fente simple ?

La condition pour les minima d'intensité (ou ordres sombres) dans le cas d'une fente simple est donnée par la relation a sin(θ) = mλ, où 'a' est la largeur de la fente, 'θ' est l'angle de diffraction, 'm' est un entier non nul (±1, ±2, ±3, ...), et 'λ' est la longueur d'onde de la lumière. Cette formule indique les angles sous lesquels aucune lumière n'est observée sur l'écran.