Analyse 3 fonctions de plusieurs variables analyse 3 -Corr -
Télécharger PDFCours d’Analyse 3 : Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I
Licence Sciences, Technologies & Santé
Spécialité Mathématiques
L. Pujo-Menjouet
Figure 1 – Représentation de la fonction f : ℝ² → ℝ définie par (x, y) → z = sin(x² + 3y²) / (0.1 + r²) + 2, avec r = √(x² + y²), et projection des courbes de niveau sur les plans z = 0 et z = 9. Les courbes de niveau sont souvent représentées par des expressions supplémentaires comme (x² + 5y²) · exp(1 − r²).
Préambule
Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs variables. L’idée fondamentale de cette théorie est d’approcher une application "quelconque" (de plusieurs variables réelles ici) par une application linéaire au voisinage d’un point.
Le cadre général pour mettre en œuvre cette approche est celui des espaces vectoriels (ce qui donne un sens au mot "linéaire", comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d’une norme sur l’espace de départ (pour avoir une notion de voisinage) et une norme sur l’espace d’arrivée (pour savoir "approcher"). Nous verrons que de cette théorie découlent plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants ainsi que plusieurs applications, notamment pour l’optimisation (voir le dernier chapitre du cours).
Toutefois, avant de s’attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien définir les notions de base en topologie associées à cette théorie, à savoir :
- Les distances, boules ouvertes et fermées.
- Les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc.
Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors programme), mais dans le cas particulier des espaces ℝⁿ (et le plus souvent les espaces ℝ² et ℝ³) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimension finie n.
Rappelons qu’en dimension 2 (n = 2), on identifie un vecteur x de coordonnées (x₁, x₂) avec un point du plan de coordonnées (x₁, x₂) une fois fixée une origine. Ici, on généralisera cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnées (x₁, ..., xₙ) par x = (x₁, ..., xₙ) ∈ ℝⁿ.
Rappelons enfin que l’ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR ! Or, dans ℝ, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport (f(x) − f(x₀))/(x − x₀). Elle implique donc de pouvoir diviser par (x − x₀). Mais dans ℝⁿ, ça n’a pas de sens car la division par un vecteur n’est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d’une fonction D ⊂ ℝⁿ → ℝⁿ de cette manière ? C’est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la DIFFÉRENTIABILITÉ, qui repose sur l'approximation linéaire plutôt que sur la division.
Chapitre 1 : Notion de topologie dans ℝⁿ
Figure 1.1 – Quelques mathématiciens célèbres liés à la topologie.
- Leonhard Euler (1707-1783) : En résolvant en 1736 le problème des sept ponts enjambant la rivière Pregolia à Königsberg en Prusse, il a ouvert la voie de la topologie. En effet, par la généralisation de ce problème, Cauchy et L’Huillier, entre autres, commencèrent à développer la théorie liée à cette discipline.
- Maurice René Fréchet (1878-1973) : C’est à lui que l’on doit en 1906 les espaces métriques et les premières notions de topologie en cherchant à formaliser en termes abstraits les travaux de Volterra, Arzelà, Hadamard et Cantor.
- Johann Benedict Listing (1808-1882) : Il est le premier à avoir employé le mot "topologie".
1.1 Espaces métriques, distance
Nous allons dans ce cours nous intéresser aux fonctions f : U ⊂ ℝᵖ → ℝ
Nous allons donc définir de nouvelles notions : distances, normes, ouverts, fermés, etc., dans les domaines inclus dans ℝⁿ qui nous seront utiles tout au long de ce semestre pour tous les nouveaux outils abordés. Toutefois, même si nous travaillerons principalement dans ℝ², ℝ³ ou de façon générale ℝⁿ, nous pourrons de temps à autre donner des résultats plus généraux qui resteront valables dans des espaces autres que ceux-ci (ce sera le cas de ce premier chapitre).
Mais ce ne seront pas n’importe quels espaces. Les définitions et propositions ci-dessous font en effet intervenir des combinaisons entre eux des éléments d’un même espace, des multiplications par des scalaires, etc. Par conséquent, il est nécessaire que cet espace reste stable par combinaisons linéaires de ses éléments. Les plus appropriés ici seront les espaces vectoriels que nous rappelons ci-dessous.
Définition 1.1 (ESPACES VECTORIELS)
Soit E un ensemble. On dispose sur cet ensemble d’une opération (notée additivement) et on dispose par ailleurs d’une application K × E → E qui à tout couple (λ, x) associe λx. On dit que E est un espace vectoriel lorsque :
- E est un groupe commutatif (pour l’addition).
- Pour tout vecteur x de E, 1.x = x (1 désignant le neutre de la multiplication de K).
- Pour tous λ, µ ∈ K et pour tout vecteur x de E, (λµ)x = λ(µx).
- Pour tous λ, µ ∈ K et pour tout vecteur x de E, (λ + µ)x = λx + µx.
- Pour tout λ ∈ K et tous vecteurs x, y ∈ E, λ(x + y) = λx + λy.
Exemple
L’espace ℝⁿ = ℝ × ... × ℝ (n fois) = {x = (x₁, ..., xₙ), tel que xᵢ ∈ ℝ, pour tout i ∈ {1, ..., n}}. ℝⁿ est un espace vectoriel de dimension n. C’est celui que nous utiliserons le plus souvent ici.
Une fois donné l’espace vectoriel, il faut pouvoir évaluer ses éléments les uns par rapport aux autres, c'est-à-dire mesurer la "distance" entre eux. D’où la notion de distance.
Définition 1.2 (DISTANCE)
Soit E un ensemble non vide (on utilisera le plus souvent ℝⁿ ici). On dit qu’une application d : E × E → ℝ⁺, (x, y) → d(x, y), est une distance sur E si elle vérifie :
- (SÉPARATION) Pour tout (x, y) ∈ E × E, {x = y} ⇔ {d(x, y) = 0}.
- (SYMÉTRIE) Pour tout (x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x).
- (INÉGALITÉ TRIANGULAIRE) Pour tout (x, y, z) ∈ E × E × E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Définition 1.3 (ESPACE MÉTRIQUE)
On appelle espace métrique tout couple (E, d) où E ≠ ∅ est un espace vectoriel et d est une distance.
Exemple
- E = ℝ, muni de la distance d définie pour tout (x, y) ∈ ℝ² par d(x, y) = |x − y| est un espace métrique.
- E = ℝⁿ, muni de la DISTANCE DE MANHATTAN d₁ définie pour tout (x, y) ∈ ℝⁿ × ℝⁿ par d₁(x, y) = Σⁿᵢ₌₁ |xᵢ − yᵢ|.
- E = ℝⁿ, muni de la DISTANCE EUCLIDIENNE d₂ définie pour tout (x, y) ∈ ℝⁿ × ℝⁿ par d₂(x, y) = (Σⁿᵢ₌₁ |xᵢ − yᵢ|²)1/2.
- E = ℝⁿ, muni de la DISTANCE DE MINKOWSKI dₚ définie pour tout (x, y) ∈ ℝⁿ × ℝⁿ par dₚ(x, y) = (Σⁿᵢ₌₁ |xᵢ − yᵢ|ᵖ)1/p.
- E = ℝⁿ, muni de la DISTANCE INFINIE ou distance de TCHEBYCHEV d∞ définie pour tout (x, y) ∈ ℝⁿ × ℝⁿ par d∞(x, y) = supᵢ₌₁,...,ₙ |xᵢ − yᵢ|.
Figure 1.2 – Représentation de trois distances.
- Le plan de Manhattan, par ses rues quadrillées, a donné son nom à la distance de Manhattan.
- Cette distance est représentée en bleu, jaune et rouge dans la figure. La distance euclidienne dans cette figure est représentée en vert et correspond à la somme des diagonales des petits carrés (d’après le théorème de Pythagore).
- Enfin, dans la figure, est représentée la distance infinie qui correspond au nombre minimum de mouvements nécessaire au roi pour se déplacer de sa case (ici f6) à une autre case.
Il est à noter que la distance de Manhattan est la distance de Minkowski pour p = 1, la distance Euclidienne est la distance de Minkowski pour p = 2, et la distance de Tchebychev est la distance de Minkowski quand p → ∞. Voir la figure 1.2 pour une illustration des différentes distances abordées dans cet exemple.
Pour rendre le cours plus simple, nous utiliserons plutôt la notion de norme dans tout le reste de notre cours, et les espaces vectoriels normés plutôt que les espaces métriques. Il se trouve que toute norme induit une distance (mais attention, toute distance n'induit pas nécessairement une norme). Donc ce qui va suivre peut s’adapter parfaitement dans le cadre des espaces métriques, tout en étant plus facilement compréhensible.
1.2 Normes des espaces vectoriels
Une norme permet de mesurer la "taille" ou la "longueur" d'un vecteur dans un espace vectoriel, fournissant ainsi une base pour définir la distance entre deux points.
Définition 1.4 (NORME)
Soit E un espace vectoriel sur ℝ (on utilisera en général E = ℝⁿ). On appelle norme sur E une application E → ℝ⁺, x → ||x||, et vérifie :
- (SÉPARATION) Pour tout x ∈ E, ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
- (HOMOGÉNÉITÉ POSITIVE) Pour tout λ ∈ ℝ, pour tout x ∈ E, ||λx|| = |λ| . ||x||.
- (INÉGALITÉ TRIANGULAIRE) Pour tous x, y ∈ E, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Définition 1.5 (ESPACE VECTORIEL NORMÉ)
Un espace vectoriel sur ℝ muni d'une norme est appelé espace vectoriel normé, que l’on notera souvent e.v.n.
Proposition 1.6 (DISTANCE INDUITE PAR UNE NORME)
Soit E un e.v.n. L’application d : E × E → ℝ⁺, (x, y) → d(x, y) := ||x − y||, est une distance sur E. On l’appelle DISTANCE INDUITE sur E par la NORME.
Preuve : Faite en cours.
Propriété 1.7 (PROPRIÉTÉS DES DISTANCES INDUITES PAR DES NORMES)
Cette distance possède les propriétés suivantes :
- Pour tout x ∈ E, d(0, x) = ||x||.
- Pour tout (x, y) ∈ E², pour tout λ ∈ ℝ, d(λx, λy) = |λ|d(x, y).
- Pour tout (x, y, z) ∈ E³, d(x + z, y + z) = d(x, y).
Preuve : Pas faite en cours.
Remarque
ATTENTION : toute norme induit une distance, mais toutes les distances ne proviennent pas d’une norme.
Exemple (IMPORTANT : normes classiques sur ℝⁿ)
Soient x ∈ ℝⁿ, x = (x₁, ..., xₙ), avec xᵢ ∈ ℝ pour tout i ∈ {1, ..., n}, et p ∈ ℝ tel que p ≥ 1 :
- ||x||₁ = Σⁿᵢ₌₁ |xᵢ| (NORME MANHATTAN).
- ||x||₂ = (Σⁿᵢ₌₁ |xᵢ|²)1/2 (NORME EUCLIDIENNE).
- ||x||ₚ = (Σⁿᵢ₌₁ |xᵢ|ᵖ)1/p (NORME p, p ≥ 1).
- ||x||∞ = maxᵢ₌₁,...,ₙ |xᵢ| (NORME INFINIE ou TCHEBYCHEV).
Ces expressions définissent des normes sur ℝⁿ.
Proposition 1.8 (PROPRIÉTÉ DES NORMES)
Toute norme ||.|| dans un e.v.n (E, ||.||) vérifie, pour tous x, y ∈ E : |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y||.
Preuve : Faite en cours.
Définition 1.9 (NORMES ÉQUIVALENTES)
Deux normes ||.|| et ||.||₀ sur E sont ÉQUIVALENTES s’il existe deux constantes réelles λ > 0 et µ > 0 telles que pour tout x ∈ E : λ||x|| ≤ ||x||₀ ≤ µ||x||. On note alors : ||.|| ∼ ||.||₀.
Proposition 1.10
Cette définition induit une relation d’équivalence.
Preuve : Pas faite en cours.
Proposition 1.11 (NORMES ÉQUIVALENTES ET DIMENSION FINIE)
Sur ℝⁿ (et tout autre espace vectoriel normé de dimension finie), TOUTES les normes sont équivalentes. Cela signifie qu'elles définissent la même topologie, et les notions de convergence et de continuité sont les mêmes quelle que soit la norme choisie.
Preuve : Pas faite en cours (abordé en TD).
Remarque
Dans la suite du cours, nous noterons donc (sauf précision) ||.|| pour désigner une norme quelconque sur ℝⁿ. Nous nous plaçons désormais dans des espaces vectoriels normés (E, ||.||). En général, nous prendrons E = ℝⁿ. Il nous faudra ensuite nous approcher d’un élément de cet espace et regarder ce qu’il se passe autour de lui (par exemple, le définir comme la limite d’une suite d’éléments de l’espace métrique). Il nous faudra donc définir la notion de voisinage, et les outils que nous utiliserons ici sont les boules.
1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornées
Les boules sont des ensembles fondamentaux pour définir les voisinages et la notion de "proximité" dans un espace normé.
Définition 1.12 (BOULE OUVERTE, FERMÉE, SPHÈRE)
Soit (E, ||.||) un e.v.n. Soient a un point de E et r ∈ ℝ, r > 0.
- B̄||.||(a, r) = {x ∈ E; ||x−a|| ≤ r} est appelée boule FERMÉE de centre a et de rayon r.
- B||.||(a, r) = {x ∈ E; ||x − a|| < r} est appelée boule OUVERTE de centre a et de rayon r.
- S||.||(a, r) = {x ∈ E; ||x − a|| = r} est appelée SPHÈRE de centre a et de rayon r.
Dans le cas où a = 0 (vecteur nul) et r = 1, on a ce qu’on appelle les boules ou sphères unités.
Définition 1.13 (BOULE UNITÉ OUVERTE, FERMÉE, SPHÈRE)
Soit (E, ||.||) un e.v.n.
- B̄||.||(0, 1) = {x ∈ E; ||x|| ≤ 1} est appelée boule UNITÉ FERMÉE.
- B||.||(0, 1) = {x ∈ E; ||x|| < 1} est appelée boule UNITÉ OUVERTE.
- S||.||(0, 1) = {x ∈ E; ||x|| = 1} est appelée SPHÈRE UNITÉ.
Remarque
Dans la suite et pour éviter les lourdeurs d’écriture, nous ne mettrons pas la norme en indice et nous écrirons juste B(a, r) pour la boule ouverte et B̄(a, r) pour la boule fermée, et S(a, r) pour la sphère de centre a et de rayon r pour une norme ||.|| quelconque. Si jamais la norme devait être spécifiée, nous l’ajouterons alors en indice.
Remarque
ATTENTION : les boules ont des formes différentes selon les espaces métriques utilisés. Voir un exemple dans ℝ² pour la distance euclidienne dans la figure 1.3, ou la figure 1.4 pour des distances p, où p = 0.5, 1, 2, 4 et ∞.
Figure 1.3 – Exemples sur ℝ² avec la norme euclidienne d’une boule fermée (1.), ouverte (2.), et d’une sphère (3.) centrée en a et de rayon r.
Figure 1.4 – Exemples sur ℝ² avec la norme de Minkowski p de la sphère unité (centrée en 0 et de rayon 1, avec p = 1, 2, 4 et ∞). Le cas p = 0.5 est à part puisqu’on rappelle que ||.||ₚ avec 0 < p < 1 n’est pas une norme sur ℝⁿ. On dessine juste l’ensemble {x ∈ ℝⁿ, ||x||₀.₅ = 1}.
Définition 1.14 (PARTIE BORNÉE)
Soit (E, ||.||) un e.v.n. Une partie bornée P de E est une partie de E pour laquelle on peut trouver une boule (ouverte ou fermée) qui contient tous les points de P (voir figure 1.5 pour un exemple). En d'autres termes, une partie est bornée si elle ne s'étend pas à l'infini dans toutes les directions.
Figure 1.5 – Exemples sur ℝ² de partie bornée, avec la norme euclidienne.
1.4 Ouverts et fermés
Les notions d'ouverts et de fermés sont fondamentales en topologie, car elles permettent de définir des propriétés comme la continuité et la convergence de manière générale.
Définition 1.15 (PARTIE OUVERTE)
Soit (E, ||.||) un e.v.n. Une partie ouverte (ou un ouvert) de E est une partie U de E telle que pour tout x ∈ U, il existe r > 0 réel, tel que B(x, r) ⊂ U. Autrement dit, tout point de U est le centre d’une boule ouverte de rayon non-nul, entièrement incluse dans U (voir figure 1.6 pour un exemple).
Définition 1.16 (PARTIE FERMÉE)
Soit (E, ||.||) un e.v.n. Une partie fermée (ou un fermé) de E est une partie dont le complémentaire dans E est un ouvert. Un ensemble fermé "contient" toutes ses limites, c'est-à-dire que si une suite de points de l'ensemble converge, sa limite est aussi dans l'ensemble.
Proposition 1.17 (BOULES OUVERTES, FERMÉES)
Soit (E, ||.||) un e.v.n. On a alors :
- Une boule ouverte est un ouvert.
- Une boule fermée est un fermé.
Preuve : Faite en cours.
Figure 1.6 – Exemples sur ℝ² de partie ouverte, avec la distance euclidienne.
Proposition 1.18 (INTERSECTION, RÉUNIONS D’OUVERTS, DE FERMÉS)
Soit (E, ||.||) un e.v.n.
- Toute union finie ou infinie d’ouverts de E est un ouvert.
- Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert.
- Toute union finie de fermés de E est un fermé.
- Toute intersection finie ou infinie de fermés de E est un fermé.
- Les ensembles à la fois ouverts et fermés de E sont ∅ et E. Si ce sont les seuls, on dira que l’espace est CONNEXE.
- Un ensemble fini de points de E est fermé.
Preuve : Faite en cours (en partie).
1.5 Position d’un point par rapport à une partie de E
Avant toute chose, énonçons la définition de voisinage d’un point. Toutes les autres définitions découleront de cette notion.
Définition 1.19 (VOISINAGE)
On dit qu’une partie V de E est un voisinage de x ∈ E si V contient un ouvert contenant x. Intuitivement, un voisinage d'un point est un ensemble qui contient "un peu d'espace" autour de ce point.
Remarque
Cette définition revient à dire qu’une partie V de E est un voisinage de x ∈ E si V contient une boule ouverte contenant x (la boule peut être ou non centrée en x).
Figure 1.7 – Exemples sur ℝ² de voisinage V de x, avec la norme euclidienne.
Soit (E, ||.||) un e.v.n. Soit A ⊂ E une partie quelconque de E. Alors A contient au moins un ouvert (en effet ∅ ⊂ A). Soit OA l’ensemble de toutes les parties ouvertes de E contenues dans A. Alors ∪P∈OA P est un ouvert (comme réunion de parties quelconques d’ouverts).
Définition 1.20 (INTÉRIEUR)
Soient (E, ||.||) un e.v.n. et A ⊂ E. Un point x de E est dit intérieur à A si A est un voisinage de x, autrement dit, si A contient une boule ouverte contenant x. L’intérieur de A, noté A° ou Int(A) est l’ensemble des points intérieurs à A. L'intérieur d'un ensemble est la plus grande partie ouverte contenue dans cet ensemble.
Proposition 1.21 (PROPRIÉTÉ DE L’INTÉRIEUR)
Soient (E, ||.||) un e.v.n. et A ⊂ E. L’intérieur de A est la plus grande partie ouverte incluse dans A.
Preuve : Pas faite en cours.
Remarque
On a x ∈ A° = ∪P∈OA P.
Remarque
On a :
- A° est un ouvert.
- A° ⊂ A.
- A est un ouvert ⇔ A° = A.
Preuve : (3.) fait en cours.
Soit (E, ||.||) un e.v.n. Soit A une partie quelconque de E. Alors E contient au moins une partie fermée contenant A (en effet E est fermé). Soit FA l’ensemble des parties fermées contenant A. Alors ∩F∈FA F est la plus petite partie fermée contenant A. Et ∩F∈FA F est bien une partie fermée (comme intersection de familles fermées).
Définition 1.22 (ADHÉRENCE)
Soient (E, ||.||) un e.v.n. et A ⊂ E. Un point x de E est dit adhérent à A si tout voisinage de x rencontre A, autrement dit, si toute boule ouverte centrée en x rencontre A.
FAQ
Qu'est-ce que la différentiabilité pour les fonctions de plusieurs variables ?
La différentiabilité est une généralisation de la notion de dérivée pour les fonctions qui dépendent de plusieurs variables. Contrairement aux fonctions d'une seule variable où la dérivée est définie par un rapport, la différentiabilité dans des espaces multidimensionnels (comme ℝⁿ) est définie par l'existence d'une approximation linéaire de la fonction au voisinage d'un point, car la division par un vecteur n'est pas définie.
Quelle est la différence entre une distance et une norme ?
Une distance mesure l'écart entre deux points dans un ensemble quelconque, respectant les propriétés de séparation, symétrie et inégalité triangulaire. Une norme, quant à elle, est définie sur un espace vectoriel et mesure la "longueur" d'un vecteur, ajoutant les propriétés d'homogénéité positive et de séparation pour le vecteur nul. Toute norme induit une distance (la distance entre deux points étant la norme de leur différence), mais l'inverse n'est pas toujours vrai.
Pourquoi la notion de voisinage est-elle cruciale en topologie ?
La notion de voisinage est fondamentale en topologie car elle permet de définir des concepts clés tels que les points intérieurs, les points adhérents, les ensembles ouverts et fermés, la convergence de suites et la continuité des fonctions. Elle capture l'idée de "proximité" et permet d'étudier le comportement local des fonctions et des ensembles sans avoir besoin d'une mesure numérique précise comme une distance.