L3 td topologie espaces metriques normes analyse 3 -Corr - T
Télécharger PDFUCBL 2010/2011 - Semestre d’automne L3 Math´ematiques, Topologie Fiche de TD 2 : Espace m´etrique et espace vectoriel norm´e
Exercice 1. Les applications suivantes, de R × R dans R+, sont-elles des distances sur R ? 1. d1(x, y) = (x − y)2 2. d2(x, y) = p|x − y| 3. d3(x, y) = |x − 2y|.
Exercice 2. Pour chacune des normes k k1, k k2 et k k∞ sur R2, dessiner B¯(0, 1).
Exercice 3. 1. Donner un exemple d’une intersection d’ouverts qui n’est pas un ouvert. 2. Donner un exemple d’une r´eunion de ferm´es qui n’est pas un ferm´e. 3. Soit (X, d) un espace m´etrique. (a) Montrer que, pour tout (x, y) ∈ X × X tel que x 6= y, il existe r > 0 tel que B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅. Qu’en d´eduire ? (b) Soit (rn)n∈N une suite born´ee dans R+. On pose r = inf{rn | n ∈ N}, R = sup{rn | n ∈ N} et on fixe a ∈ X. Expliciter `a l’aide de r et R : [ n∈N B(a, rn) et \ n∈N B¯(a, rn). 4. Soient E un espace vectoriel norm´e et A et B deux parties non vides de E. On pose A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B}. Montrer que si B est un ouvert de E alors A + B l’est aussi.
Exercice 4. D´eterminer l’ensemble des normes sur R vu comme espace vectoriel r´eel.
Exercice 5. Soit (X, d) un espace m´etrique. Rappeler la d´efinition de la topologie donn´ee par d. Montrer que toute boule ouverte est un ouvert de X et que toute boule ferm´ee est un ferm´e de X.
Exercice 6. Soit X un ensemble ayant au moins deux ´el´ements. Pour x, y ∈ X, on pose d(x, y) = 1 si x 6= y et d(x, x) = 0. 1. Montrer que d est une distance sur X. 2. Montrer que tout singleton de X est `a la fois ouvert et ferm´e dans X. 3. Soit x0 ∈ X. Comparer les ensembles suivants : (a) la boule ouverte B(x0, 1), (b) la boule ferm´ee B¯(x0, 1), (c) l’adh´erence B(x0, 1) de la boule ouverte B(x0, 1), (d) L’int´erieur de la boule ferm´ee B¯(x0, 1). 4. Existe-t-il une norme sur X donnant lieu `a la mˆeme topologie que d ? (Voir l’ex. 7.) 1
Exercice 7. Soient (E, k k) un espace vectoriel norm´e (r´eel), r > 0 un nombre r´eel et a ∈ E. 1. Montrer que l’int´erieur de la boule ferm´ee B¯(a, r) est la boule ouverte B(a, r). Ce r´esultat est-il vrai dans tous les espaces m´etriques ? 2. Montrer que l’adh´erence de la boule ouverte B(a, r) est la boule ferm´ee B¯(a, r). Est-ce vrai dans tout espace m´etrique ?
Exercice 8. Trouver un exemple d’espace m´etrique X poss´edant une partie A tel que les ensembles suivants soient distincts deux `a deux : A,◦A, A,◦A,◦A,◦◦A,◦A.
Exercice 9. Soit X un ensemble muni de deux m´etriques d1 et d2 quasi-isom´etriques (on dit parfois “m´etriquement ´equivalentes”). Montrer que les topologies donn´ees par ces m´etriques sont ´egales (on dit parfois que d1 et d2 sont “topologiquement ´equivalentes”).
Exercice 9’. Soit E un espace vectoriel muni de deux normes N1 et N2. donnant la mˆeme topologie. Montrer que N1 et N2 sont ´equivalentes. Indication : Consid´erer l’ouvert BN1(0, 1) (pour quelle topologie ?).
Exercice 9”. Soit (X, d) un espace m´etrique. 1. Soit ϕ : R+ → R+ une fonction croissante telle que pour tous u, v ∈ R+, ϕ(u) = 0 ⇐⇒ u = 0, et ϕ(u + v) ≤ ϕ(u) + ϕ(v). Pour x, y ∈ X, on pose δ(x, y) = ϕ(d(x, y)). Montrer que δ est une distance sur X. 2. On suppose (X, d) non born´e (i.e. ∀A ∈ R, ∃x, y ∈ X, d(x, y) > A). On d´efinit δ sur X2en posant δ(x, y) = d(x,y) 1+d(x,y). (a) Montrer que δ est une m´etrique sur X. (b) Montrer que d et δ donnent la mˆeme topologie sur X (i.e. sont topologiquement ´equivalentes). (c) Montrer que d et δ ne sont pas quasi-isom´etriques. (d) Montrer que si X = R et d est la distance usuelle alors δ n’est induite par aucune norme.
Exercice 10. Soit (E, d) un ´espace m´etrique. Soit (un) une suite de E qui converge vers l. Montrer que {un/n ∈ N} ∪ {l} est un ferm´e de E.
Exercice 11. 1. Quelle est la nature des ensembles N et Q dans R muni de sa topologie usuelle ? D´ecrire leur int´erieur, leur adh´erence. 2. On consid`ere N et Q munis de la topologie induite par la topologie usuelle de R. Pour ces deux espaces : (a) La topologie est-elle s´epar´ee ? (b) Un singleton est-il ouvert ? Ferm´e ? 3. Soit E = N muni de la topologie suivante : pour toute partie F distincte de E et de ∅, F est un ferm´e si et seulement si F est un ensemble fini de nombres non nuls. Montrer que E est un espace topologique et que l’adh´erence de {0} est E. 2
Exercice 12. Soit E = C([0, 1], R) l’espace des fonctions continues sur [0, 1] `a valeurs r´eelles muni de la topologie donn´ee par la norme k k∞ ainsi d´efinie : kfk∞ = sup x∈[0,1] 1. Montrer que A := {f ∈ E; f(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1]} est ouvert. 2. Montrer que B := {f ∈ E; ∃x ∈ [0, 1], f(x) = 0} est ferm´e. 3. D´eterminer la fronti`ere de C := {f ∈ C([0, 1])|f(0) > 0}. |f(x)|. 4. Montrer que A ⊂ E n’est pas ouvert pour la topologie d´efinie par la norme ||f||1 =R 10|f(x)|dx. 5. Les normes k k∞ et k k1 sont-elles ´equivalentes ?
Exercice 13. Soit E = l∞(R) le R-espace vectoriel des suites r´eelles born´ees muni de la norme k k∞, celle-ci ´etant d´efinie ainsi : k(xn)k∞ = sup{|xn|; n ∈ N}. 1. Soit A ⊂ E l’ensemble des suites qui convergent vers 0. Montrer que A est ferm´e dans E. 2. Soit B ⊂ A l’ensemble des suites dont le terme est nul `a partir d’un certain rang. Montrer que B est dense dans A mais n’est pas dense dans E. ———————
Exercice 14. Dans R, on pose d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = |x| + |y| sinon. 1. Montrer que d est une distance. 2. D´eterminer toutes les boules ouvertes et ferm´ees : B(x, r) et B¯(x, r) avec x ∈ R, r > 0. 3. Montrer que toute boule ouverte est un ferm´e. Comparer ensuite B¯(x, r) avec B(x, r). 4. Que peut-on dire d’une suite r´eelle dont la limite est 1, dans R muni de la distance d ? 5. La topologie donn´ee par d peut-elle ˆetre issue d’une norme ?
Exercice 15. Soit E un espace vectoriel (r´eel ou complexe) de dimension finie. Le but de l’exercice est de montrer que toutes les normes de E sont ´equivalentes. 1. Ici on montre pour commencer que le r´esultat est vrai pour E = Rn. (a) Soit N une norme sur Rn. Montrer qu’il existe un r´eel C tel que pour tout x ∈ Rn, N(x) ≤ Ckxk1. (b) Montrer que tous x, y ∈ Rn, |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y) ≤ Ckxk1. En d´eduire que N est continue pour la topologie d´efinie par la norme k k1. (c) Montrer que A := {x ∈ Rn; kxk1 = 1} est compact pour la topologie d´efinie par k k1. (d) Utiliser (b) et (c) pour montrer l’existence de C′ ∈ R tel que k k1 ≤ C′N. 2. Conclure. 3