L3 td topologie espaces metriques normes analyse 3

L3 td topologie espaces metriques normes analyse 3 -Corr - T

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UCBL 2010/2011 - Semestre d'automne L3 Mathématiques, Topologie - Fiche de TD 2 : Espace métrique et espace vectoriel normé

Exercice 1

Les applications suivantes, de ℝ × ℝ dans ℝ⁺, sont-elles des distances sur ℝ ?

d₁(x, y) = (x − y)²
d₂(x, y) = √|x − y|
d₃(x, y) = |x − 2y|

Pour qu'une application soit une distance, elle doit satisfaire trois propriétés : la séparation (d(x,y) = 0 si et seulement si x=y), la symétrie (d(x,y) = d(y,x)) et l'inégalité triangulaire (d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)). Il est intéressant de vérifier laquelle de ces propriétés est mise en défaut pour les fonctions qui ne sont pas des distances.

Exercice 2

Pour chacune des normes ||.||₁, ||.||₂ et ||.||∞ sur ℝ², dessiner la boule fermée B̄(0, 1).

Ces normes classiques définissent des boules unités (centrées à l'origine et de rayon 1) qui ont des formes géométriques distinctes dans ℝ² : la norme ||.||₁ (norme Manhattan ou L1) donne une boule de forme carrée orientée à 45 degrés, la norme ||.||₂ (norme euclidienne ou L2) donne un disque standard, et la norme ||.||∞ (norme du maximum ou L-infini) donne un carré aligné sur les axes.

Exercice 3

Donner un exemple d’une intersection dénombrable d’ouverts qui n’est pas un ouvert.
Donner un exemple d’une réunion dénombrable de fermés qui n’est pas un fermé.
Soit (X, d) un espace métrique.

Montrer que, pour tout (x, y) ∈ X × X tel que x ≠ y, il existe r > 0 tel que B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅. Qu’en déduire ?
Soit (rₙ)ₙ∈ℕ une suite bornée dans ℝ⁺. On pose r = inf{rₙ | n ∈ ℕ}, R = sup{rₙ | n ∈ ℕ} et on fixe a ∈ X. Expliciter à l’aide de r et R : l'union ⋃ₙ∈ℕ B(a, rₙ) et l'intersection ⋂ₙ∈ℕ B̄(a, rₙ).

Soient E un espace vectoriel normé et A et B deux parties non vides de E. On pose A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B}. Montrer que si B est un ouvert de E alors A + B l’est aussi.

Les questions 1 et 2 mettent en évidence que, contrairement aux intersections finies d'ouverts (qui restent ouvertes) et aux réunions finies de fermés (qui restent fermées), les intersections et réunions infinies ne conservent pas toujours ces propriétés. La question 3a démontre que les espaces métriques sont des espaces de Hausdorff, ce qui est une propriété fondamentale en topologie.

Exercice 4

Déterminer l’ensemble des normes sur ℝ vu comme espace vectoriel réel.

Sur ℝ, toute norme est équivalente à la valeur absolue. Plus précisément, toute norme ||.|| sur ℝ est de la forme ||x|| = C|x| pour une constante C > 0. Cette propriété est spécifique aux espaces de dimension 1.

Exercice 5

Soit (X, d) un espace métrique. Rappeler la définition de la topologie donnée par d. Montrer que toute boule ouverte est un ouvert de X et que toute boule fermée est un fermé de X.

La topologie donnée par une distance d est l'ensemble de tous les sous-ensembles de X qui peuvent être exprimés comme une réunion de boules ouvertes. Cette topologie est dite induite par la métrique.

Exercice 6

Soit X un ensemble ayant au moins deux éléments. Pour x, y ∈ X, on pose d(x, y) = 1 si x ≠ y et d(x, x) = 0.

Montrer que d est une distance sur X.
Montrer que tout singleton de X est à la fois ouvert et fermé dans X.
Soit x₀ ∈ X. Comparer les ensembles suivants :

la boule ouverte B(x₀, 1)
la boule fermée B̄(x₀, 1)
l’adhérence B(x₀, 1) de la boule ouverte B(x₀, 1)
l’intérieur de la boule fermée B̄(x₀, 1)

Existe-t-il une norme sur X donnant lieu à la même topologie que d ?

Cette distance est appelée la distance discrète. La topologie qu'elle induit est la topologie discrète, où chaque sous-ensemble de X est à la fois ouvert et fermé.

Exercice 7

Soient (E, ||.||) un espace vectoriel normé (réel), r > 0 un nombre réel et a ∈ E.

Montrer que l’intérieur de la boule fermée B̄(a, r) est la boule ouverte B(a, r). Ce résultat est-il vrai dans tous les espaces métriques ?
Montrer que l’adhérence de la boule ouverte B(a, r) est la boule fermée B̄(a, r). Est-ce vrai dans tout espace métrique ?

Ces propriétés sont fondamentales dans les espaces vectoriels normés. Cependant, elles ne sont pas toujours vraies dans un espace métrique général, où une boule fermée peut ne pas être l'adhérence de la boule ouverte de même centre et rayon, et son intérieur peut différer de la boule ouverte associée. L'exemple de la distance discrète (Exercice 6) est un contre-exemple notable.

Exercice 8

Trouver un exemple d’espace métrique X possédant une partie A tel que les ensembles suivants soient distincts deux à deux : A, Int(A), Adh(A), Int(Adh(A)), Adh(Int(A)), Int(Adh(Int(A))), Adh(Int(Adh(A))).

Cette série d'opérations sur les ensembles (intérieur et adhérence) est un classique de la topologie. Un exemple courant pour illustrer ces distinctions se trouve dans ℝ avec sa topologie usuelle, en considérant un ensemble tel que l'union d'un intervalle ouvert et d'un point isolé, par exemple A = ]0, 1[ ∪ {2}.

Exercice 9

Soit X un ensemble muni de deux métriques d₁ et d₂ quasi-isométriques (on dit parfois "métriquement équivalentes"). Montrer que les topologies données par ces métriques sont égales (on dit parfois que d₁ et d₂ sont "topologiquement équivalentes").

Deux métriques d₁ et d₂ sont quasi-isométriques s'il existe des constantes C₁, C₂ > 0 telles que pour tout x, y ∈ X, C₁d₁(x,y) ≤ d₂(x,y) ≤ C₂d₁(x,y). Cette propriété assure que les boules ouvertes de l'une peuvent être incluses dans les boules ouvertes de l'autre, ce qui est la définition de l'équivalence topologique.

Exercice 9'

Soit E un espace vectoriel muni de deux normes N₁ et N₂ donnant la même topologie. Montrer que N₁ et N₂ sont équivalentes. Indication : Considérer l'ouvert B_N₁(0, 1) (pour quelle topologie ?).

Deux normes N₁ et N₂ sur un espace vectoriel E sont équivalentes s'il existe des constantes C₁, C₂ > 0 telles que pour tout x ∈ E, C₁N₁(x) ≤ N₂(x) ≤ C₂N₁(x). Cet exercice montre la réciproque de l'énoncé que l'équivalence des normes implique l'équivalence des topologies.

Exercice 9''

Soit (X, d) un espace métrique.

Soit ϕ : ℝ⁺ → ℝ⁺ une fonction croissante telle que pour tous u, v ∈ ℝ⁺, ϕ(u) = 0 ⇔ u = 0, et ϕ(u + v) ≤ ϕ(u) + ϕ(v). Pour x, y ∈ X, on pose δ(x, y) = ϕ(d(x, y)). Montrer que δ est une distance sur X.
On suppose (X, d) non borné (c'est-à-dire ∀A ∈ ℝ, ∃x, y ∈ X, d(x, y) > A). On définit δ sur X² en posant δ(x, y) = d(x,y) / (1 + d(x,y)).

Montrer que δ est une métrique sur X.
Montrer que d et δ donnent la même topologie sur X (c'est-à-dire sont topologiquement équivalentes).
Montrer que d et δ ne sont pas quasi-isométriques.
Montrer que si X = ℝ et d est la distance usuelle, alors δ n’est induite par aucune norme.

Cet exercice explore comment modifier une distance pour obtenir une nouvelle distance qui, bien qu'elle puisse induire la même topologie, peut avoir des propriétés différentes (comme être bornée ou non quasi-isométrique). Le cas δ(x, y) = d(x,y) / (1 + d(x,y)) est un exemple classique de transformation d'une métrique non bornée en une métrique bornée qui préserve la topologie.

Exercice 10

Soit (E, d) un espace métrique. Soit (uₙ) une suite de E qui converge vers l. Montrer que {uₙ | n ∈ ℕ} ∪ {l} est un fermé de E.

Cet ensemble est la suite elle-même plus sa limite. Sa fermeture est une propriété importante pour comprendre le comportement des suites convergentes dans un espace métrique. Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient toutes ses limites de suites convergentes.

Exercice 11

Quelle est la nature des ensembles ℕ et ℚ dans ℝ muni de sa topologie usuelle ? Décrire leur intérieur, leur adhérence.
On considère ℕ et ℚ munis de la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ. Pour ces deux espaces :

La topologie est-elle séparée ?
Un singleton est-il ouvert ? Fermé ?

Soit E = ℕ muni de la topologie suivante : pour toute partie F distincte de E et de ∅, F est un fermé si et seulement si F est un ensemble fini de nombres non nuls. Montrer que E est un espace topologique et que l’adhérence de {0} est E.

Dans ℝ, ℕ est un ensemble discret de points isolés, tandis que ℚ est dense, c'est-à-dire que son adhérence est ℝ. La topologie induite permet d'étudier comment les propriétés topologiques d'un espace plus grand se manifestent dans ses sous-espaces.

Exercice 12

Soit E = C([0, 1], ℝ) l’espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles muni de la topologie donnée par la norme ||.||∞ ainsi définie : ||f||∞ = supₓ∈[0,1] |f(x)|.

Montrer que A := {f ∈ E; f(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1]} est ouvert.
Montrer que B := {f ∈ E; ∃x ∈ [0, 1], f(x) = 0} est fermé.
Déterminer la frontière de C := {f ∈ C([0, 1])|f(0) > 0}.
Montrer que A ⊂ E n’est pas ouvert pour la topologie définie par la norme ||f||₁ = ∫₀¹|f(x)|dx.
Les normes ||.||∞ et ||.||₁ sont-elles équivalentes ?

Cet exercice explore les propriétés topologiques d'un espace de fonctions, en particulier la continuité et la compacité, sous différentes normes. Les normes ||.||∞ (norme du supremum) et ||.||₁ (norme intégrale) sont très utilisées mais ne sont pas équivalentes sur les espaces de fonctions de dimension infinie, comme C([0,1], ℝ).

Exercice 13

Soit E = ℓ∞(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme ||.||∞, celle-ci étant définie ainsi : ||(xₙ)||∞ = sup{|xₙ|; n ∈ ℕ}.

Soit A ⊂ E l’ensemble des suites qui convergent vers 0. Montrer que A est fermé dans E.
Soit B ⊂ A l’ensemble des suites dont le terme est nul à partir d’un certain rang. Montrer que B est dense dans A mais n’est pas dense dans E.

L'espace ℓ∞ est un espace de Banach important. La notion de densité est cruciale pour l'approximation des éléments d'un espace par ceux d'un sous-espace plus "simple". Le fait que B soit dense dans A signifie que toute suite de A peut être approchée arbitrairement bien par une suite de B.

Exercice 14

Dans ℝ, on pose d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = |x| + |y| sinon.

Montrer que d est une distance.
Déterminer toutes les boules ouvertes et fermées : B(x, r) et B̄(x, r) avec x ∈ ℝ, r > 0.
Montrer que toute boule ouverte est un fermé. Comparer ensuite B̄(x, r) avec B(x, r).
Que peut-on dire d’une suite réelle dont la limite est 1, dans ℝ muni de la distance d ?
La topologie donnée par d peut-elle être issue d’une norme ?

Cette distance, parfois appelée "distance de la rivière" ou "distance de Paris", a des propriétés topologiques très particulières. Par exemple, le point 0 a un rôle spécial. Les boules ne se comportent pas comme dans l'espace euclidien habituel.

Exercice 15

Soit E un espace vectoriel (réel ou complexe) de dimension finie. Le but de l’exercice est de montrer que toutes les normes de E sont équivalentes.

Ici on montre pour commencer que le résultat est vrai pour E = ℝⁿ.

Soit N une norme sur ℝⁿ. Montrer qu’il existe un réel C tel que pour tout x ∈ ℝⁿ, N(x) ≤ C||x||₁.
Montrer que pour tous x, y ∈ ℝⁿ, |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y) ≤ C||x − y||₁. En déduire que N est continue pour la topologie définie par la norme ||.||₁.
Montrer que A := {x ∈ ℝⁿ; ||x||₁ = 1} est compacte pour la topologie définie par ||.||₁.
Utiliser (b) et (c) pour montrer l’existence de C' ∈ ℝ tel que ||x||₁ ≤ C'N(x).

Conclure.

Ce théorème fondamental de l'analyse fonctionnelle stipule que sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Cela signifie que quelle que soit la norme choisie, la topologie induite est toujours la même, ce qui simplifie grandement l'étude des propriétés topologiques dans ces espaces.

FAQ

Q1: Qu'est-ce qu'un espace métrique ?
A1: Un espace métrique est un ensemble X muni d'une fonction, appelée distance ou métrique d, qui assigne un nombre réel positif à chaque paire d'éléments de X. Cette distance doit satisfaire trois propriétés: elle est nulle si et seulement si les points sont identiques (séparation), elle est symétrique, et elle respecte l'inégalité triangulaire.
Q2: Quelle est la différence entre une boule ouverte et une boule fermée ?
A2: Une boule ouverte B(x, r) autour d'un point x avec un rayon r est l'ensemble de tous les points dont la distance à x est strictement inférieure à r. Une boule fermée B̄(x, r) inclut également les points dont la distance à x est égale à r (les points de la "frontière"). Dans les espaces métriques généraux, l'adhérence d'une boule ouverte n'est pas toujours la boule fermée correspondante, et vice-versa, bien que ce soit le cas dans les espaces normés.
Q3: Quand dit-on que deux normes sont équivalentes ?
A3: Deux normes N₁ et N₂ sur un même espace vectoriel E sont dites équivalentes s'il existe des constantes réelles positives C₁ et C₂ telles que pour tout vecteur x dans E, C₁N₁(x) ≤ N₂(x) ≤ C₂N₁(x). Lorsque deux normes sont équivalentes, elles induisent la même topologie sur l'espace vectoriel, ce qui signifie qu'elles définissent les mêmes ensembles ouverts, fermés, convergences de suites, etc.