Analyse 3 s3 série 5 td mr hassnoun smia2 team analyse 3

Analyse 3 s3 série 5 td mr hassnoun smia2 team analyse 3 -C

Télécharger PDF

ANALYSE III S3 Série 5 www.SMIA2.com TD Mr Hassnoun SMIA2 TEAM UNIVERSITE HASSAN II Faculté des Sciences Aïn Chock CASABLANCA Département de Mathématique & Informatique 1. SMIA2 Année 'Universitaire : 2012/13 SMIA3 Analyse 3 SERIE 5

Exercice 1

1) Soit (E, d) un espace métrique et : R→ R une fonction strictement croissante sur R* telle que: (0) = 0 et V(u, v)ER*XR, (u+v) ≤ O(u)+D(v) a) Montrer que od est une distance sur E. b) Application: Montrer que: d; distances sur E. d = 1+d? d2 Log(1+d) et d2d".0 < a <1 sont des 2) Soit (E, d) un espace métrique on pose 8(x, y) = inf (1, d(x.y)). a) Montrer que & est une distance sur E. b) On prend E = R2 et d = d2: distance euclidienne de R2. Etudier les boules ouvertes et fermées de l'espace métrique (R2, 8).

Exercice 2

On considère l'espace métrique (R2, d). Déterminer la boule ouverte B(0, 1) pour les distances d1, d2 et doo.

Exercice 3

1) On considère la fonction f: R2 →R (x,y) → f(x,y) = sinxy ху Montrer en utilisant la définition de la limite, Montrer que: 2) Calculer les limites suivantes. limo (x,3) + (0,0) f(x, y) = 1 1 -- cos√√x2 + y2 x2 + y2 a) lim (x,y)-> (0,0) 1+x2 + y2 y siny. b) lim (x,y) - (0,0) ху sin(x2 - y4) 234 c) lim (x,y)(0,0) d) lim sh xy (x,y) (0,0) x2+y4°

Exercice 4

1) Etudier la continuité des fonctions suivantes : 7. a) f(x,y) (x+y) 2 = x2+y2 si (x,y) = (0,0) et f(0,0) = 0 b) g(x,y) x3+y3 x2432 si (x,y) (0,0) et g(0.0)=0 -2- c) h(x,y) = (x2 + y2)sin 72 + y 2 si (x,y) (0,0) et h(0,0) = 0 2) Soit : RR de classe C'. Montrer que la fonction f: R2 R de Exercices (x,y) f(x,y) = (4(x)-(y) x-y si x y est continue sur R2. (f(x,y) = '(x) 1) Soit aeR: a> Montrer que la fonction f: R→ R est différentiable au point (0.0). 2) Soit g: R2 → R (x,y) f(x,y) = xy" (x,y) → g(x,y) = (x2 + y2) sin x2+yz si (x,y) (0,0) g(0,0) = 0 a) Démontrer que g est différentiable sur R2. b) Démontrer que g n'est pas de classe C' sur R2. 3) Soit h: R2 R -> x3-33 si (x, y) + (0,0) (x,y) h(x,y) = x2+y2 SMIA 2 (h(0,0) = 0 a) Calculer les dérivées partielles de h au point (0, 0). b) La fonction h est-elle différentiable au point (0, 0).

Exercice 6

Soit f: R3 R2 2 (x, y, z) → f(x, y, z) = (x + y2, xy2z) a) Montrer que f est différentiable sur R3 et déterminer la matrice Jacobienne de f au point (x, y, z) e R3. b) Même question pour la fonction g: R2 → R3 (u, v) → (u, u + v, u-v) c) Calculer la matrice Jacobienne de gof au point (x, y, z) e R3. i) En explicitant gof. ii) En appliquant le théorème sur la composée des fonctions différentiables.

Exercice 7

1) Soit f: R2 R xy3 (x,y)→ f(x,y) = x2+y2 si (x, y) # (0,0) f(0,0) = 0 Calculer a2f (0,0) et ax ay a2f ay ax (0,0). Que peut-on conclure? -3- 2) Soit g: R2 R → (x,y) g(x,y) = (xy sin (x+2) pour x y x-y (g(x,x) = 0 a) Démontrer que g est différentiable au point (0, 0). b) Calculer a2g дх ду a3g (0.0) et (0, 0). Conclusion. дудх SMIA 2

Exercice 8

. 1) Soit 2>0 on considère l'équation d'onde (E) a2f 0x2 2 a2f (x, y)-2 (x, y) = 0 ay2 où f: R→ R de classe C2. En posant u=2x+y, v=-2x + y et F(u, v) = f(x, y). Déterminer les fonctions vérifiant l'équation (E) 2) Soit f: R2 → R de classe C2 vérifiant l'équation ax2 (E) a2 (x, y) + 2b a2f дхду (x, y) + c = a2f ay2 (x, y) = 0 a 0 et b,ce R. On pose u = ax + y, v=Bx+y, aẞ et F(u, v) = f(x, y). a) Déterminer l'équation (E') que vérifie la fonction F. b) On considère l'équation ar+2br+c=0 i) Déterminer la solution de (E') pour A' = b2- ac = 0. En déduire les fonctions f solutions de (E).

Exercice 9

1) Soit f: R2 R (x,y) → f(x,y) = 7x - 14x2 y2-y++ 4y - 2006. 2) De même pour g: R2 R et

Exercice 10

(x,y) → g(x,y) = x2 (2 + cos y) + y2 - лу +1 2 h: R2 → R -> (x,y) → h(x,y) = 2y chx + y3 - y cosx-siny - 1. y 11 1) Montrer que l'équation Log x + ex = 1 définit au voisinage du point 1 une fonction implicite y = (x) telle que (1) = 0. Donner l'équation de la tangente à la courbe y = (x) en 1. 2) Montrer que l'équation x3 + y3-x2y-10 définit au voisinage du point 0 une fonction implicite y = (x) telle que (0) = 1. Montrer que la fonction admet un minimum local en 0. Corrigé Série n°5 Exercice !. SMIA2 1/ La fonctim & st strickenut croissante dme & st injecti Ужеё a) YNEE VYEE b) V NEE VYCE "0" 0 I (d(x,y)) === $£0) <= d(x,y) ==<> x=y $ cd (xy).) = & C++ (y1us). C) VREE VYEE ¥zeE d(x, z) = d(x,y) = d(y,z) + $(d(x,z?) ? & (d(x, y) + d(yizs) < $ (d(x,y)) + Į (d(y,z)). Į (d(x;}}) < & (d(x,y)) + = (=(yr81) doc God est donc une distance Aur E. IL Il suffit de montrer que q 1+x Hous. additives × Log (++x) et les trois factions. L x Ant pour.x), puisque Lus autres hypotheses. Ant évidemment verifiées 1+4+4 i/ 44Y < и + 1+ 4 7+5 - 1+V 1+4+4 Ա. 1+ 4 シャイ Ak verifice car ༥vČ╚+v》 (++α) (++V) (++U+V) Yo car u, v 70 i / Log (1+ 4+V) { Log (t+u) + Log (t+v) car: 1+ 4+ V ㄚˋ (1+u) (1+v) = 1 + α + √ + U V 447,0 iii/ (~+v)* < udavad, it suffit de verifier l'inégalité (++x)α _x2-1 + (0 <221) Le fratio &. flas: (tex) *_xd_1 раско 스 (<4 (1) x7,0 f(x) = d(t+x) 2 (dex) (-1_2x 2-1 + [(toxsd=2x2-1] << est définie et derivable xx, xx 4.1 idme & est strictement de crousante (0)=0 = x- f(x)=-1 dma Vx.xEIR+ f(x) so. х 2/a/ 5 she une distance tur E • in _f (±, d(x,4)) =0 < =(x,y) = 0 <= x. i/ Very EE S(x,y) = 0) in {(1, +(x,4)) 20 w/ Vxryce {(x,y) = inf (+, -(x,y)) + inf (t, d(y,x)) = 8(y,x) EE iii / Vx, y, z E Ë {(x,y) = {(x,}) + 8 (y,z) st L'un des deux nombres d(right at d(gay), it superiour megal". Ators L'un des nombres {(x,z) at E(z, y) sk igal à t Logjours S(x,y) <+, 8(x, y) ≤ 8(x,y) Dmc à fortiori 11 or in a d'après La définition, dmc Е(хід) {(xy) ≤ sly,}! {(x, y) ≤ {(x, z) + &(y,z). A) Les deux nombre d(x, z) et d(y,z) xist inferieurs à I.. Alors {(x, z) + S(y, z) = d(x,z) +=(y1}} Mais ma or dat une toujours dlyığı s(x,y) <= (x, y). d(x, distance dmc d(x,y) < = (x,z) + + (yiz) = {(x,z) + S(y, z) trini 8(x, y) < {(x,}\+ 8(y,}) S sh Ame Une distance Aur E.. SMIA2 b/ 2 = 122 dada. if boules ouver l'es 니 B(xo, () = {xER2 | {(xoix) <e} S: -Si est, {(xo, xo) <e <=> d2 (xo, x) << dmc B (%, e) sot La boule enchi dicune ouverte de centre no at de ray.m Si e71 . S: Le. 8 (nói và xe ог 8(x0,x0) ≤1 <e VxER 2 (ко, хо) stse danc iR2 xt La brale ouverte de centre no et de rayne. ii / boules fermées. 1 si exo Scao, se <= {(x, 0) <e dac B' (xo, e)`sh La boule anclidienne fermée de centre to et de raym & Si ext S(xo,x) <+ VXER2 Les bon Les fermées Ant égales à R2

Exercice 2

. B (0, 1) = {(x,y) EIR2, d(0, (r.g)) <+} aldade. B (0, 1) = {(x,y) = R 2 | |</+ly | <= } b/ d = da SMIA 2 0 = (0,0). {x),0, 9), o +k+y < 1 } ~ { x), 0 +9 <0 |*-y<+' U{x 30, 97, 01_x+y < 1 } U {x<1y 30 | -x-y< B(0,1) = {(x,y) EIR? | x2+y=x+} c/ d= do of B(0, 1) = {(1,4) <IR 2 | 1x/<+ + [y] < 4 }, ]-1, + [ + ] +, +[ bl Ө -1 1

Exercice 3

ི་ 시 1/ Lim Sint = 1 <= Vεy IS: 045< 1 t Ainm: VG, y) == 12"* *R* ===|xy| < x2 + y2 < S 04841 teh que VE, 0 <=128 => | Sint _1] << avec f(acy). 1. <=> $. (x,y) — (0:0) Vazaya ২মি | Sinky ху J | रह.. 2/ a/ Limi al Lim (0:0) - (51x). (+ + x2 + y2) = 1 Lim Siny (x,y) ~ (0,0). y. y dic hin (010) ~ (Fix) Sony = 1 (++x2 + y2) Sing b/ 1. Cos√22+ y2 = 2 Sin2 Ke2xy 2 V (x,y) <R2 ; {(0,0)} Locy Car 4. cos√x2 +42 x2 + y2 x2+42 2 2 2 + F = (key] < x+y2 ak Sinx < x2) at SMIA2 | <= Sin2 √x2+ y2 << = (x2 + y2) (x14) - (010) ху 1. cos. √x2 +42 =0 carda ayt.co " 0 x2 + y 2 (xy)-(010) doc Lin c/ Soit V = { (r.g) ER2 \y=x} Lim (xy) (0,0) 4,《སྙ」》 、...... 36པཱ)。་ x) # (x,y). € V1 {(0,0)} Soil V'= {(x, y) < IR? | y=x3} $༥. 1 f(x+4)= {(x, x2) = ± (x,y) — (010) (x,y) = \'\ {(0,0)} dmc & n' aducti pos # de limite 96 point (0,0) d/ Soit V2 = {(xiy) ER2 ly=dx} (x,y) - (010) {(x-4)= Lin 4 2 2 2 2 x (x+4) EX2 = {(0,0)} ++2" x2 *૨ Soit V' = {(x,y) = R2 | x=y2 } (x(4) (10) (viy) = V = {(0,0)} (x+4). L = (x2, x) = = dmc & n'admet bas de limite an point (0,0) de luike

Exercice 4

. ^/ a) Soite V1 = {(x,y) < R2 | y=dx} deR" Lu (x,y) - (0,0) ཀྱིས་. Lu (vida) = (1+d)2 $(xry) = Low (x,y) & V2- {(0,0)} I n'aduct pas contince an pout (10) 1+22 SMIA2 36 point (0,0) done alle n'st pas b/ V (x,y) = R2 x2 + y2 = (x+y) (x2 - xy + y2). √(x,y) = 122 + {(0,0)} x2 + y 2 5p/moy/ Lim (x,y) (0:0) 985 36 point(o 이 | | | g(x, y) | 5 |==| | | x2 + y2 | + |ay| 9(x,y) =0 = 3(0,0) dmc got on time c/ ¥ (x,y) = IR2 + {{(oc)}} | h (x,y) = ((x2 + y2) Sin = 142 | 8 (x2 + y2) e (~14) x2+42 _-| (xy) = 0 = k(0,0) done hest stiune an +(0,0) 2/ Montcous point (0,0) que of st so tune Aury. {(1,2) \KER} x+y V (x,y) = 122 1A ۱۵ donc En considere intervalle [xy] L ck fe Suppose que xxy. on applique he theoreine des accroissements finicalfacte. I 4(५) - ५ (x) doc e (y-x) 4' (2+ oly ins) (x,y) = 4(x+ O(y_xs). ཧཱུྃ (པཱ.༥) . е (x14) — (x0,xo? of at continue 36 01044 ('(x+ O2(y-x)) = 4 (x0) = f(x point (кожа), коек Аны f st. Срећине Анга of Aur A ست f(x,y)

Exercice 5

. 1/ fast differen table || (x,y) || ε (x,y) SMIA pont (010) 88. Liv E(x14) (x,y) - (010) =0 Prenms 11 ་ ་ 11.112 tothe an point (0.0) 58 &(xy) Sh , Джура of it differentis, the (x,y) √ x2 + y 2 y2 ¥ (xy) = 122 lxy|& x2+y= (x,y) - (0 : 0) √x2 + y2 dmc V(x,y) ER2 = {(0,0)} or locayla or 27 1/2 27/2 dmc hom. 지 、.. + =0 2 (x,y) — (0,0) √x2 +42 (x2 + y2) 2+1/21 < (x2 + ja) d === {(x,y)=0 f. vt differentiatle an porn to (0.0). роси! 9 st differentiate an pout (xy). (x-4) - (0,0) 2/ al X (814)=122 a/ \ (814) €122 \ {(0,0)}; car 3 A 9 it le produit de fartin's differebatles All point (0,0). هم د 5g · (10) = l q (hio). (0,0)) 土。 h @ (10) = him glahl - 5(0,0) ag by 土。 I este differen hable an 9. (x,y) — 9(0,0)= se 134 txin) (x.~) {(x,y)=0 h pont (..) Lim hint ho e ho 19 20 121 oh si 1 20 121 34 (0,0) + y J2 (0.0) + 11 (x,y) || &(x,y) dn ry = 1) - 11 Rrems ε(x,y) = 9(x,y) √x2 + y2 Sin 11(x,y)112 x2 + y2 11-112 V(x4) CAR2 = {(0,0)} | ε(x,y) | < √x2+ y2 = "Ergh 2 lex_y) (c) {(x-4)=0 duc g at differen toate an port (0,0) et d96.01 = 0 ૨૨ b/ 39 122 дх Jg (x, y) = 1x et ag (90) ay. ၁ дж et dg ry 2x Sun 1 38 27 R22 Cos Vay Vaya Vz2 + y 2 √x2 + y 2 √x2 + y 2 28 (0,0) = 0 S ༥ 2y Sin ودا گار نهی قم Y Cos 2 ryz R SMIA2 si (x (y) # (0,0) (2010) 20 continues an Fyz Si (x,y) + (0. pt (oco) tric pt Corok car co he Ant joas pas is de classe C2 Four IR نستا 28 K' admet pas de livente Qu x as t 1x1 * ±0 124 de linte ao h (4,0)-h(0.0) Lith 444 = 1 {(x, 0)) him (x4) (0,0) (x, 0)/xER} f(x,y) = I {x14) EV2 {(0,0)} x-0 2x Sin 1 cos + l 121 Ixel cost n' admet pes 1x1 al 22 3/a/ Th (0,0): Lim. (༠༠), ི༥. Th (0,0) = Lini "=-= au x 3h (0,0) + y sh (0,0) + #1(x,y) Vε (x,y) qve c ε(3,4)=0 ду utso h(0.4)-h(0.0) lim b/ h est differentiable h(x,y)-h(0,0) = 、་ (xey) (010) ε (x,y) = an by h uo point (0,0) sict Accelement so ← Preacus 11| || = 11 11 2 || || 1| 2: of -h (1.4). h(0.0) _ x ) f (x,4) - y)h (6.0) 3x (x,4) EIR2 = {(0,0))}, {(x,y) = = xy2+ " {(x, y) 1/2 Srit V = {(x,y)ER2 1y=-x} (x14)(0,0) ་་་ ε (114) (714) EX-{(0,0)} == x2y Сх2 +у2) 3/2 n'existe pas 1x1 done frist pas differentiable au pt (010). Exercice б. IR 3 fiR3 a) of at differentiable Aur R23 Car SMIA 2 le for ctims fact you {(x,y,z) = x+y= ct fe (1418) = = y + z put differentiades (піціз) Jf (1418)= dac If (x1413) at ofa Jha (weg) the (g) 24 (643) 12 ད ༠༣༧(༤༨༥༣) дж 1 sy ау (1418) 3f2 (x1413) ay 0 93 2xy3 xy b/ g at differentiable Aur IR2 car 6 n = (^'n) '6 аз J₤2 (413) дз ) Is factor's g1, g1ct gs lo 192 (u,v) = 4+V et g2 (u,v) = uvat differentiables Aur R2 3 ၁၁ 594 (u, v) Jg (u,v) = 091 (u,v) 74 092 (u,v) 24 d92 (u,v) 3 093 (4,V) 293 (u,v) 1 1.-1 c/ i/ ¥ (4,418) ER3 goof (1418)= 9 [8 (44,31] = g(x+y2, 24°3) = xy23) 2 dmcg of (x1418) = (x + y2, x + y2+xy2z, x+y2 - xyz). २५ +у+ку 0 (1+ y2z 2y (1+265) 2y (1+263) xy2 Oxy2 1_yz 29 (1.3€3) - xyz J30f (~1413)= iii) Jg of (1413) - Joe Jg of (41413)= Aun Ꮧ . Jg of (my, z) = 1 (x14131. Jg (f(x14131). Je (1) (2) 2 Уз 2хуз. ху 2 у 1+ y2z 2y (1423) xyz 2 Exercicef 1/ √(x,y) < R2 {(0,0)} 2x уз If (x,y) = y 3 (x2 + y2) _ 2 x2y 3 Jf ay ct Эх ,9Cཊིཀྑུདྡྷ) (x2+y2)2 (x,y) = 3 x y2 (x2 + y2) - 2xy 2 (x2 + y2)2 34 (010) = Limi of (0,0) = ho 4 11 f(hio) - ₤(0,0) h {(0, h) - {(0,0) SMIA 2 45. x2y 3 (x2 + y2)2 3x342 y2 2 + xy4 h rl + (0.0) = Liv (0.0).. تھا ماں деду Jaf Jy din Lin (th, 0) भु (010). £ Lin วง (Oh) Of h÷so h (019 h JDE L h J2 f (0,0)+ J2f on J2 f dx dy дудх (010) dac ayax (0.0) donc 224 ax by If (0, h) h30 h ho h n'est pas sa tinne au ponti a/ 」 >0_ (སྐ-), [ 5 (4ད༠) ;5(ཁལུ) , མཁ 39 (010) = fum. 9 (4,0)-3(0,0)+ him 9(hio). 8(0. ود al (010)= ay 328 (114) = 1 ود h 9(0.2)-3(0.0) h 9 she differenti alle en (010) Shi h 9(x4)-5(010) = x2- (0,0)+ y2= 12 2g (0,0) + Wxo| ༤(xu༥) renos 11.1 = 11.112 ave c L ε(~14)20 &renc (པུང༥)(༠༠) E(x,y) = g(x,y) ху h+x xy Six (~~) (~13) + (~1+) √x2 +42 2-y (0,0) *(x+4) ER2 = {(250} T{(xi) | < Very | Sin E (+1)) | < 12 +4 =||69||2 √x2+42 lay 1 < x2 + y2 Car dmce (1.4) (0,0) - + y2 2 {(x14) =o get differen hatte en (0:0) b/ ¥ (114) CR2 \ {(x,x)} J x+y SMIA 2 플() I 322 (119): 9 S = (241)) - Tay Cos (1213) sin ве ве же 529 Sin -x-y 444 (x-4)2 12 (x,y) = = S1 = (Nby ) + π x2y cos I (RAY). by 328 (p.) & Lei here C ა = ht2o 32 2 (0,0): £ (༠༠) ི༥: ay an x-y 22 (4.0) 38 (6.) ве h ay - مام امم ון 1 2 Lim. h h so h hiso h = - - པ 32-(0, 4) (510) 2010.0) дж conclusion: L'une ود буде } Jag here Exercice Fe of (x,y) = he = OF 8 ne h Lui h 0 h anmoins de dérivées partielles ак nist. ди pas s continue Oin point (0,0). (u,v). De + JE (~,V) by a 8 +/-1 (4,1) = JF (u,v). et J2ff(1.4). ax2 же ne дж my + 35 (u,v) by he e 3/4 1 2 [ = ~ ~ ] - + 2 [ Y x = хе O2 F (u,v) (じょう 12224 (u,v) - )2 + (u,v) - 242 k дх лече (u, ] ne (ベ ле OF (u,v) -> DF (41\ OF (4x)+ DF (u,v) ne (༥༥) () () じゅ) - лече (u,v) 224 дуг (ary) e Oy ne [ OF (4.~)] + 2/4 [ OF (~,~)] he e лепе 2F (UN) (u,v) + x2 2 J2F 212 чле (4,X). Ju 2 J2f (u,v) + D2F (4,X) + 22F + (^'^) 22F леже (4,4) nene чле = Ja F 22F 242 L'eque L'in (E) at equivale te 2° F (u,v) =0 (E') j2F леж (༥.༥) + 2 (u, v) + J2F (4,1) лече 2v2 à نا L'equali 22 F A ene M.c (4, 4) = 0 <= OF ne (u,v) = е ле 2 [JF J (u,v) = 0] &(4) ne F ct ५ IR Jim F(u,v) = fecus du + x/(x) d'n F (u,v) F (u,v) = (p(u) +X (v) (x,y) ERE + IRIR :112 IR Tim ¥ {(x,y) = 4(xx+y) ++ (-xx+y) 21. ый 4.7.R a/ ¥ (x(4) <IR2 /= रं R SMIA J f (x14) of (u,v). Du + DF (u,v) DV = 2 of (u1x) + B ne of (u,v) дж 74 (ベ e x -(u ле he he re N') + (^') = (^`x) (~`~) (0. ле + of (u,v) by f (y) ay 22f 몽돌 (1) 대공 [쫊(ex)] 이름 [u] exe 2 ne 22 1 + + P [√ D22 (u,v) = p =2 = (u,v)] C лече 2 Ju2 2 x2 22 F J2 f (x,y) oy. by ( F ון В чле 11 OF (u,v) OF 32F (U,V) + ne 阝 (4, V @ne (u,v) + 2 2 p 22 F (u,v) + p2 J2 F (u,v) rene 22 [ JF (u,v)] + 2y [ IF (~~)] 242 22F 2 (u,v) + by ле 2 the 22F (4,x)) + J2F (u,v) + d2 F (u,v) 212 j2F (u,v) 22F (GY) nene (u,v) + 2 + лепе + (x'n) лече J' by (My) = 2 [ 2 (u,v) of 35 (urs] Беже ay y ди чле = x ( 32 + (u,v) + d2E (u,v)) + B (SF (u,v) + J°F (4,\ 222 L = J2 F диз лече лепе еле (~1x) + (d+p) J2 (F (Vix) + p )2f (u,v). +(ベ (air) лече чле E') L'équatim (E) devient 2 SMIA (od2 2bdc) d2 + (UN) + 2 (ax+b (1p)+c) J°F + 2n 2 + b/ i| A'= b2 _acyo ar2 = 2 br+ c = 0 tin L'equat in réelles distinctes is at ro Fa Prenos da cy ct B = √2 ad2 + 20% + в +4 adß (x+ß) (a p2 +263 + c) 7€ (ui экди (u,v) = admet doux racines Cr1 = (a) ap2 + 2 bp + c = et ad ß + b (d+ f) + c = a. £ - L'équation (E) devient 26. b + c = 2 (ac-b2 ) + 22F (༥.༥) ༤༠ 7udv F(u,v) = 4(u) + X (v). on 4, +:1R C2; R dmc. ¥ (rin) ER? ={(x,y) = 4(x+y) + + (2x+4), 4, 4:25 R 2 ii / A' = b2-ac=0 - L'équation and flor+c=0 double ro=- 1 Prenos da ra admet une solutimis et B + 50 a22+2bd Го ad2 + 2bd + c = 0 ad ß + b2 (x + B) + c = = = - (62 ac) = 0 et 1 aß2 + 2bf+ C÷0 + 6 L'equatim (E') deviant off (4,4)=0 dmc Of (u,v) = ((u) ду ५(५) 242 ५: IR cy 112 dac F (u,v) = v(4) + + (u) A iuri = (xy) = (px+y) (-2x+y) ++ (2x+y) B = - b et 4: 12

Exercice 9

. of ax 还 3 1/ \ (x,y) <IR2 3€ (x,y) = 28 (x2-xy2) at 3+ (2,4): - 28 zy - 4y2+' On cherche Les points critiques: дж of (x,y) = 0 of (x,y) = 0 Six by 2 x (x2 - y2) = 0 { = x2y + y2 = 1 on a y = 1 ay SMIA2 Si 4/ 11 my a Lors x2=y2 et 8ys. I d'ry==/ et xxy mx Lo points critiques mt (0,1), (4, 1) et (11). 22f 2 (y) -56ay 56x4 ¥ (~14) ER2 f 6- 32 212 (1.4) = 28 (3x2 - y2), S. dx dy et to J2 f (x,y)=-28x2 - 12y2 sy 2 An pointe (0,1). (-28). (-12) <0. Lya un extremum: c'sk 52rt = 0. (-28). (-12) <0 Lin maximum Car r = -28 <20. Aux points (th, 1k) et (=1/2, 1/2). 2 s2rt 14 2 + 140 yo =142 ag ''I n'y a pas d'extremum. Януа 2/+ (1.4)ER2 da (x,y) = 2x (2 + cosy) et ди Lextant point critique est (0, 1/2" d2 g r = 2х2 д 32 (x,y) = -x22 sing? 32 1 (2.4)=-2x Sony (x,y) = 4+2cosy.s= (འ་༥)= Aupont (0.1/2) 52.$k ste un minimum et t.. 229 andy • +2 by a (x,y) = x2 cosy & et r=470 Local. Le ponto (0.52) absolu car. (0, 1/2) st un minimum absolu = {(x,y)), y2 - π y2 + 1 = (9-1/2)2 + 1-127, 1.12. {(0,7/2). 3/ (119) EIR2 (y Jh (x, y) = 2 ch x + 3y2 - cosx - 1 Cosy zy = Y (x,y) ER2 th (x,y), ), 2.1.1 : 4/2 La fiatim h n'admet Le pas de points critiques. duc pas d'extremums. Exercice to 1/ soit * x. R+ x R (x,y) R = {(x+4)= Logx + ¥ (x,y) = R + x R : of (x,y) = {(t,o) ct よく ry e Y/x x. A e Air ₤(110) at of (+10) = 1 to be therene ds matin's implicites By 3444 permet d'affirmer L'aprstence d'une wrique frati £. ] 1.8, 168[ & ₤.]1.8, telle que = 1/2-1/<&, & (x. + (x)) = 0 { (1)=0 et pour tm De plus decat pourtant (x,y) = IR2+ x IR fe of = 3+ (xy) = 1 y */x. д-к e x ce qui entraine que I (1) and que &'(1) Par conséquent L'équal in de Lotangente à la courbe عا = & (x) en t st 2/ Sock 9:1R? 2 112 x3 y= 2(1)(x-1)= y=x-1 (x14) — x3 + y3 _ x2y-1 +y3 - A Los par tout (x,y) ER2 (0,1) = ди 2 2g (1,4) = 3y2x2 Ainsi, puisque g(0, 1) = 0 et 34 (0,1) = 3 +0 Le therme de fmctions implicites d'affirmer qu' it wiste Localemat continue £:]_s.s[— IR tonk // <S & (~, & (x3)=0 Pour toul (moy) ER2. 3х2 -аху 20 40us SMIA permet une unique factm. 4 telle que (0) = ± et jour риг de plus & it de classe Cx تھ عام dg (my) = 3x2-axy et seg (x,y) = 6x-2y ag дх Ras suséquat (6)=0 2x2 at + "(0) = 2/3 yo а у ce pin entraine que la fonction of admct. & Minimum Load eno.