L2 s3 mpi td1 topologie r^n 2007 2008 analyse 3 -Corr - Télé
Télécharger PDFL2-S3 MPI 2007-2008 Math´ematiques-Analyse dans Rn TD n◦1: Topologie de Rn
Exercice 1. On d´efinit, pour x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, kxk1 =Xn i=1 |xi|, kxk2 = Xn i=1 |xi|2 !12 et kxk∞ = sup i=1,..,n |xi|. a) Montrer que k · k1 et k · k∞ sont des normes sur Rn. b) Soient x, y ∈ Rn. V´erifier que pour tout t ∈ R, kx + tyk22 = t2kyk22 + 2tXn xiyi + kxk22et montrer que Xn i=1 xiyi ≤ kxk2kyk2. En d´eduire que k · k2 est une norme sur Rn. i=1 c) Dessiner la boule unit´e associ´ee `a chacune des normes ci-dessus (pour n = 2). d) Montrer que pour tout x ∈ Rn, on a kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk∞. En d´eduire que les normes k · k1, k · k2 et k · k∞ sont toutes ´equivalentes.
Exercice 2. Pour tout (x, y) ∈ R2, on d´efinit N((x, y)) = sup t∈[0,1] a) Montrer que N d´efinit bien une norme. b) Dessiner la boule unit´e pour cette norme. |x + ty|.
Exercice 3. Soit (E, k · k) un espace vectoriel norm´e, et soit (xn)n∈N une suite dans E qui converge vers l, i.e. limn→∞kxn − lk = 0. a) Montrer que la suite (kxnk)n∈N converge dans R. Quelle est sa limite? b) Montrer que la r´eciproque est fausse en cherchant un exemple avec E = C. c) Soit N une autre norme sur E ´equivalente `a k· k. Montrer que la suite (xn) converge aussi vers l pour la norme N.
Exercice 4. On note E l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels. Pour P = Xn akXk ∈ E, on pose N(P) = sup{|P(x)|; x ∈ [0; 12]} et Ne(P) = sup 0≤k≤n k=0 |ak|. a) Montrer que N et Ne d´efinissent des normes sur E. b) D´eterminer N(Xn) et Ne(Xn). c) Etudier la convergence de la suite de polynˆomes (Xn)n pour chacune des deux normes. d) Les normes N et Ne sont-elles ´equivalentes?
Exercice 5. Parmi les ensembles suivants, pr´eciser ceux qui sont ouverts. a) (Ici n = 1) [0, 1], ]0, 1], ]1, 3[, ] − 2, 4[∪]5, 6[, ] − ∞, 1], ]1, +∞[. b) (Ici n = 2) ] − 2, 1[×[0, 3], [0, 1] × {9}, {(x, y) ∈ R2; y = x2}, {(x, y) ∈ R2; y − x3 > 0}, {(x, y) ∈ R2; xy < 1}, {(x, y) ∈ R2; a ≤ x ≤ b}, {(x, y) ∈ R2, x2 − y2 ≥ 1 et x2 + y2 < 2}.
Exercice 6. Soit I un ensemble au plus d´enombrable et soit (Oi) une famille d’ouverts de Rn. a) Montrer que [ i∈I Oi est un ouvert de Rn. b) Si I est fini, montrer que \ Oi est un ouvert de Rn. c) D´eterminer \ i∈N∗ i∈I ]1 −1n; 1 +1n[. Comparer ce r´esultat avec le (b). ⋆
Exercice 7. Soient p ∈ ]1, +∞[ et q = p/(p − 1). Pour tout x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn, on d´efinit kxkp = Xn k=1 |xk|p !1p . a) Montrer que la fonction ln(x) est concave. En d´eduire que si a et b sont des r´eels positifs ab ≤ap p+bqq. b) Soient x, y ∈ Rn. En appliquant a) `a ak =|xk| kxkpet bk =|yk| kykq, montrer l’in´egalit´e de H¨older Xn k=1 xkyk ≤ kxkpkykq. c) Soient x, y ∈ Rnet z = ((x1 + y1)p−1, · · · ,(xn + yn)p−1) ∈ Rn. En appliquant l’in´egalit´e de H¨older `a x et z puis `a y et z, montrer que kx + ykp ≤ kxkp + kykp. d) Montrer que k.kp est bien une norme sur Rn. e) Montrer que pour tout p > 1 et pour tout x ∈ Rn, kxk∞ ≤ kxkp ≤ n1p kxk∞. (On rappelle que kxk∞ = sup 1≤k≤n |xk|). Quelle est la limite de kxkp lorsque p tends vers +∞? ⋆
Exercice 8. Soit A ⊂ Rn. On d´efinit l’int´erieur de A par ◦A = {x ∈ Rn; ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A}. a) Montrer que◦A ⊂ A. b) Montrer que◦A est ouvert et que◦A = A si et seulement si A est ouvert. c) Pour les ensembles de l’exercice 5, d´eterminer leur int´erieur et leur adh´erence.