L2 s3 mpi td1 topologie r^n 2007 2008 analyse 3 -Corr - Télé
Télécharger PDFL2-S3 MPI 2007-2008 Mathématiques-Analyse dans Rn TD n°1 : Topologie de Rn
Ce document présente une série d'exercices de topologie dans Rn, couvrant des notions fondamentales telles que les normes vectorielles, la convergence des suites dans un espace normé, la caractérisation des ensembles ouverts, ainsi que les concepts d'intérieur et d'adhérence. Ces exercices sont conçus pour approfondir la compréhension des structures topologiques dans les espaces euclidiens.
Exercice 1 : Étude des normes classiques dans Rn
Pour x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, on définit les normes suivantes :
- La norme 1 (norme de Manhattan) : ||x||1 = Σi=1n |xi|
- La norme 2 (norme euclidienne) : ||x||2 = (Σi=1n |xi|2)1/2
- La norme infinie (norme du maximum) : ||x||∞ = supi=1..n |xi|
- Montrer que ||.||1 et ||.||∞ sont des normes sur Rn.
- Soient x, y ∈ Rn. Vérifier que pour tout t ∈ R, ||x + ty||22 = t2||y||22 + 2t Σi=1n xiyi + ||x||22 et montrer que Σi=1n xiyi ≤ ||x||2||y||2 (inégalité de Cauchy-Schwarz). En déduire que ||.||2 est une norme sur Rn.
- Dessiner la boule unité associée à chacune des normes ci-dessus (pour n = 2).
- Montrer que pour tout x ∈ Rn, on a ||x||∞ ≤ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ n||x||∞. En déduire que les normes ||.||1, ||.||2 et ||.||∞ sont toutes équivalentes.
Exercice 2 : Définition d'une norme spécifique
Pour tout (x, y) ∈ R2, on définit N((x, y)) = supt∈[0,1] |x + ty|.
- Montrer que N définit bien une norme.
- Dessiner la boule unité pour cette norme.
Exercice 3 : Convergence des suites dans un espace normé
Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé, et soit (xn)n∈ℕ une suite dans E qui converge vers l, c'est-à-dire limn→∞ ||xn - l|| = 0.
- Montrer que la suite (||xn||)n∈ℕ converge dans R. Quelle est sa limite ?
- Montrer que la réciproque est fausse en cherchant un exemple avec E = C.
- Soit N une autre norme sur E équivalente à ||.||. Montrer que la suite (xn) converge aussi vers l pour la norme N.
Exercice 4 : Normes sur l'espace des polynômes
On note E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour P = Σk=0n akXk ∈ E, on pose N(P) = sup{|P(x)|; x ∈ [0; 1/2]} et Ne(P) = sup0≤k≤n |ak|.
- Montrer que N et Ne définissent des normes sur E.
- Déterminer N(Xn) et Ne(Xn).
- Étudier la convergence de la suite de polynômes (Xn)n pour chacune des deux normes.
- Les normes N et Ne sont-elles équivalentes ?
Exercice 5 : Identification des ensembles ouverts dans Rn
Parmi les ensembles suivants, préciser ceux qui sont ouverts.
- (Ici n = 1) [0, 1], ]0, 1], ]1, 3[, ]-2, 4[∪]5, 6[, ]-∞, 1], ]1, +∞[.
- (Ici n = 2) ]-2, 1[×[0, 3], [0, 1] × {9}, {(x, y) ∈ R2; y = x2}, {(x, y) ∈ R2; y - x3 > 0}, {(x, y) ∈ R2; xy < 1}, {(x, y) ∈ R2; a ≤ x ≤ b}, {(x, y) ∈ R2, x2 - y2 ≥ 1 et x2 + y2 < 2}.
Exercice 6 : Propriétés des unions et intersections d'ouverts
Soit I un ensemble au plus dénombrable et soit (Oi) une famille d'ouverts de Rn.
- Montrer que ∪i∈I Oi est un ouvert de Rn.
- Si I est fini, montrer que ∩i∈I Oi est un ouvert de Rn.
- Déterminer ∩n∈ℕ* ]1 - 1/n; 1 + 1/n[. Comparer ce résultat avec le (b).
Exercice 7 : Étude des normes lp (Inégalités de Young, Hölder et Minkowski)
Soient p ∈ ]1, +∞[ et q = p/(p - 1). Pour tout x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, on définit la norme lp : ||x||p = (Σk=1n |xk|p)1/p.
- Montrer que la fonction ln(x) est concave. En déduire que si a et b sont des réels positifs, ab ≤ ap/p + bq/q (inégalité de Young).
- Soient x, y ∈ Rn. En appliquant a) à ak = |xk| / ||x||p et bk = |yk| / ||y||q, montrer l'inégalité de Hölder : Σk=1n xkyk ≤ ||x||p||y||q.
- Soient x, y ∈ Rn et z = ((x1 + y1)p-1, ..., (xn + yn)p-1) ∈ Rn. En appliquant l'inégalité de Hölder à x et z puis à y et z, montrer que ||x + y||p ≤ ||x||p + ||y||p (inégalité de Minkowski).
- Montrer que ||.||p est bien une norme sur Rn.
- Montrer que pour tout p > 1 et pour tout x ∈ Rn, ||x||∞ ≤ ||x||p ≤ n1/p ||x||∞. (On rappelle que ||x||∞ = sup1≤k≤n |xk|). Quelle est la limite de ||x||p lorsque p tend vers +∞ ?
Exercice 8 : Intérieur et Adhérence d'un ensemble
Soit A ⊂ Rn. On définit l'intérieur de A par A° = {x ∈ Rn; ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A}.
- Montrer que A° ⊂ A.
- Montrer que A° est ouvert et que A° = A si et seulement si A est ouvert.
- Pour les ensembles de l'exercice 5, déterminer leur intérieur et leur adhérence.
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Topologie de Rn
Qu'est-ce qu'une norme sur un espace vectoriel ?
Une norme est une fonction qui associe à chaque vecteur d'un espace vectoriel un nombre réel positif ou nul, mesurant sa "longueur" ou sa "taille". Elle doit satisfaire trois propriétés fondamentales : la séparation (la norme est nulle si et seulement si le vecteur est nul), l'homogénéité (la norme d'un scalaire fois un vecteur est la valeur absolue du scalaire fois la norme du vecteur) et l'inégalité triangulaire (la norme de la somme de deux vecteurs est inférieure ou égale à la somme de leurs normes individuelles).
Pourquoi est-il important de connaître l'équivalence des normes ?
L'équivalence des normes sur un espace vectoriel de dimension finie signifie que toutes les normes définissent la même topologie. En d'autres termes, des propriétés topologiques comme la convergence des suites, la continuité des fonctions ou le fait qu'un ensemble soit ouvert ou fermé, sont indépendantes du choix de la norme. Cette propriété est cruciale car elle simplifie grandement l'étude et la généralisation des résultats en analyse et en géométrie dans ces espaces.
Comment la notion d'ensemble ouvert est-elle définie en topologie ?
Dans un espace métrique ou normé comme Rn, un ensemble est dit "ouvert" si, pour chacun de ses points, il existe une boule (ou un voisinage) centrée sur ce point qui est entièrement contenue dans l'ensemble. Intuitivement, un ensemble ouvert ne contient pas ses points "frontière". Par exemple, l'intervalle ]0, 1[ est un ensemble ouvert dans R, tandis que [0, 1] n'est pas ouvert car 0 et 1 sont des points frontière.