Examen mi p semestre 1 2007 2008 analyse 3 -Corr - Télécharg
Télécharger PDF1 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques AU :2007/2008 Option :MIP Module :M311 Partiel final Janvier 2008
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Exercice 0.0.1 soit ½f la fonction d´efinie par : f(x, y) = (x2 + y2)x, si (x, y) 6= (0, 0) f(0, 0) = 1 1. Montrer que f est continue sur Df . (1 pt) 2. Calculer ∂f ∂x(x, y) et∂f ∂y (x, y) pour tout (x, y) ∈ (R∗)2. (1.25+1.25 pt) 3. Etudier la diff´erentiabilit´e de f sur Df . (1+0.5 pt) =========================================================
Exercice 0.0.2 Soit f la fonction d´efinie sur R3 par : f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2xyz 1. Det´erminer les points stationnaires de f. (2 pt) 2. Discuter l’existance d’un extremum local de f en ces points (on peut limiter le nombre de points stationnaires en remarquant que f est sym´etrique). (3 pt)
Exercice 0.0.3 Soient les surfaces orient´ees : S+1: x2 + y2 + z2 = 2z, 1 ≤ z ≤ 2, par −→n = (x, y, z − 1). S+2: x2 + y2 = z2,12≤ z ≤ 1, par −→n = (x, y, −z). S+3: x2 + y2 ≤14, z =12, par−→k = (0, 0, 1). 1. (a) Donner une param´etrisation de chacune des trois surfaces. (1.25 pt) (b) Donner le vecteur normal associ´e `a chaque param´etrisation . (1.25 pt). 2. Calculer l’int´egrale triple : ZZ Z I = Ω x2dxdydz o`u Ω est le domaine limit´e par les trois surfaces. (2 pt)
2 3. Calculer les flux φ2 et φ3 de −→V = (x3, −3y, 5z) `a travers S+2et S+3. (1.5 pt) 4. (a) Rappeler les volumes d’une sph`ere de rayon R et un cˆone de rayon de R et de hauteur h. (1 pt) (b) En appliquant la formule de’Osrogradsky sur une surface convenable, cal culer le flux φ1 `a travers S+1. (2pt) ========================================================
Groupe : C.ABCHIR- M.HARFAOUI- R.MORCHADI