Analyse1 m111 exercices serie 4 fonctions usuelles analyse 1
Télécharger PDFUniversit´e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult´e des Sciences et Techniques Mohammedia Module M111: Analyse1 D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2020 - 2021 S´erie4: Fonctions usuelles
Exercice 1. Montrer que la fonction f ´etablit une bijection sur l’intervalle I dans un intervalle J, que l’on d´eterminera, puis d´eterminer la fonction r´eciproque: a) f(x) = exp(ln2(x)), I = [1, +∞[. b) f(x) = ln(1+x 1−x), I =] − 1, 1[. c) f(x) = 1−sin(x) 1+sin(x), I =] −π2,π2[.
Exercice 2. Montrer que la fonctions f est bijective sur l’intervalle I et donner l’´equation de la tangente `a la courbe de f−1 au point y0: a) f(x) = −1 + exp(x − 1) + ln(x), I =]0, +∞[, y0 = 0. sin(x)I = [ π2, π[, y0 =√2. b) f(x) = 1 c) f(x) = exp(x) 1+exp(x), I = R y0 =12.
Exercice 3. Montrer que 1. Pour tout x ∈ R+, on a sh(x) ≥ x, 2. Pour tout x ∈ R, on a ch(x) ≥ 1 + x22.
Exercice 4. 1. Calculer cos(arctan(x)), cos(arcsin(x)) et tan(arcsin(x)). 2. Soit x ∈ R∗, montrer que: a) Si x > 0, alors arctan(x) + arctan(1x) = π2, b) Si x < 0, alors arctan(x) + arctan(1x) = −π2.
Exercice 5. D´eterminer les domaines de d´efinition des fonctions suivantes: q
1) f(x) = argsh( x−1 x+1 ) 2) g(x) = argch(2x 3) h(x) = argth(2x+1 1−x2 ) 2x2+2x+1 ) 4) k(x) = arcsin( √ x 1+x2)
Exercice 6. D´eterminer les domaines de d´efinition et de d´erivabilit´e des fonctions suivantes, puis calculer leurs d´eriv´ees: f1 : x 7→ ln(ch(x)), f2 : x 7→ sin(arctan(x)), f3 : x 7→ arccos(2x 1+x2 ), f4 : x 7→ argch(exp(x)).
Exercice 7. Simplifier l’expression de chacunes des fonctions suivantes: f : x 7→ arcsin(2x√1 − x2), g : x 7→ arccos(2x 1+x2 ), h : x 7→ argth(x2−1 x2+1 )
Exercice 8. Extrait de partiel 1. Comment la fonction x 7→ argthx est-elle d´efinie? Justifier pourquoi elle est d´efinie et est d´erivable sur ] − 1, 1[, puis montrer que argth0(x) = 1 1−x2 . 2. Soit f la fonction d´efinie par: f(x) = argth(x2−1 x2+1 ) a) Donner le domaine de d´efinition de la fonction f. b) D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e de f et l’expression de f0(x) pour tout x ∈ Df0 . c) D´eduire que: f(x) = ln(|x|), ∀x ∈ Df .