Analyse1 m111 exercices serie 4 fonctions usuelles analyse 1

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Série d'exercices sur les Fonctions usuelles - Analyse 1

Cette série d'exercices, extraite du Module M111 (Analyse 1) de l'Université Hassan II de Casablanca (Faculté des Sciences et Techniques Mohammedia, Département de Mathématiques, Parcours MIP), couvre les fonctions usuelles pour l'année universitaire 2020-2021.

Exercice 1

Montrer que la fonction f établit une bijection de l'intervalle I vers un intervalle J, que l'on déterminera, puis déterminer la fonction réciproque :

f(x) = exp((ln(x))²), I = [1, +∞[
f(x) = ln((1+x)/(1-x)), I = ]-1, 1[
f(x) = (1-sin(x))/(1+sin(x)), I = ]-π/2, π/2[

Exercice 2

Montrer que la fonction f est bijective sur l'intervalle I et donner l'équation de la tangente à la courbe de f⁻¹ au point y₀ :

f(x) = -1 + exp(x - 1) + ln(x), I = ]0, +∞[, y₀ = 0
f(x) = 1/sin(x), I = [π/2, π[, y₀ = √2
f(x) = exp(x) / (1+exp(x)), I = ℝ, y₀ = 1/2

Exercice 3

Montrer que :

Pour tout x ∈ ℝ⁺, on a sh(x) ≥ x.
Pour tout x ∈ ℝ, on a ch(x) ≥ 1 + x²/2.

Exercice 4

Calculer cos(arctan(x)), cos(arcsin(x)) et tan(arcsin(x)).
Soit x ∈ ℝ*, montrer que :
1. Si x > 0, alors arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.
2. Si x < 0, alors arctan(x) + arctan(1/x) = -π/2.

Exercice 5

Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :

f(x) = argsh((x-1)/(x+1))
g(x) = argch(2x / (2x²+2x+1))
h(x) = argth((2x+1)/(1-x²))
k(x) = arcsin(√x / (1+x²))

Exercice 6

Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité des fonctions suivantes, puis calculer leurs dérivées :

f₁ : x ↦ ln(ch(x))
f₂ : x ↦ sin(arctan(x))
f₃ : x ↦ arccos(2x / (1+x²))
f₄ : x ↦ argch(exp(x))

Exercice 7

Simplifier l'expression de chacune des fonctions suivantes :

f : x ↦ arcsin(2x√(1 - x²))
g : x ↦ arccos(2x / (1+x²))
h : x ↦ argth((x²-1) / (x²+1))

Exercice 8

Extrait de partiel.

Comment la fonction x ↦ argth(x) est-elle définie ? Justifier pourquoi elle est définie et dérivable sur ]-1, 1[, puis montrer que argth'(x) = 1/(1-x²).
Soit f la fonction définie par : f(x) = argth((x²-1)/(x²+1)).
1. Donner le domaine de définition de la fonction f.
2. Déterminer le domaine de dérivabilité de f et l'expression de f'(x) pour tout x ∈ Df'.
3. Déduire que : f(x) = ln(|x|), ∀x ∈ Df.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une fonction bijective ?: Une fonction est bijective si chaque élément de son ensemble d'arrivée est atteint par un et un seul élément de son ensemble de départ. Elle est à la fois injective (chaque élément de l'arrivée est atteint au plus une fois) et surjective (chaque élément de l'arrivée est atteint au moins une fois).
Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?: Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est bien définie. Il faut généralement exclure les valeurs qui annulent un dénominateur, rendent un argument de racine paire négatif, ou un argument de logarithme ou de fonction trigonométrique inverse hors de son domaine standard.
Quelle est l'importance des fonctions hyperboliques ?: Les fonctions hyperboliques (sh, ch, th, etc.) sont analogues aux fonctions trigonométriques circulaires mais sont définies à partir de l'hyperbole unitaire. Elles sont fondamentales en physique (par exemple, dans les solutions d'équations différentielles), en ingénierie et en géométrie, notamment pour décrire la forme d'un câble suspendu (caténaire) ou pour les transformations en relativité restreinte.