Série n°1 -Analyse 1 - Télécharger pdf
Télécharger PDFUniversit´e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult´e des Sciences et Techniques Mohammedia Module M111: Analyse1 D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2020 - 2021 S´erie1: Les nombres r´eels
Exercice 1. Soient x et y deux r´eels. Montrer que: 1. |x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y| 2. max(x, y) = x+y+|x−y| 2 3. min(x, y) = x+y−|x−y| 2 Avec max(x, y) et min(x, y) d´esignent respectivement le maximum et le minimum des deux nombres x et y.
Exercice 2. Soient x et y deux rationnels positifs distincts tels que √x et √y soient irrationnels. On consid`ere les deux r´eels √x +√y et √x −√y. 1. Montrer que leur produit est rationnel et leur somme est irrationnelle. 2. En d´eduire qu’ils sont irrationnels. 3. Montrer que les r´eels suivants sont irrationnels: 1+√2,√2+√3, (√2+√3)2,√2+√3+√ √6, 2 −√3 + √6.
Exercice 3. E(x) designe la partie enti`ere du r´eel x. Montrer les propri`et´es suivantes: 1. ∀x ∈ R, 0 ≤ E(2x) − 2E(x) ≤ 1. 2. ∀x ∈ ZZ, E(x) + E(−x) = 0 et ∀x ∈ IR\ZZ, E(x) + E(−x) = −1. 3. ∀x, y ∈ IR, E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
Exercice 4. Soient A et B deux parties non vide et born´ees de R. 1. Montrer que A ⊂ B ⇒ inf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B). 2. Montrer que sup(A ∪ B) = max(sup(A),sup(B)). 3. Montrer, par un exemple, qu’on a pas forc´ement sup(A ∩ B) = min(sup(A),sup(B)). Com parer sup(A ∩ B) et min(sup(A),sup(B)). 4. Enoncer les propri´et´es analogues pour inf(A ∪ B) et inf(A ∩ B).
Exercice 5. Pour chacun des ensembles des r´eels suivants, d´eterminer (s’ils existent) des majo rants, des minorants, la borne sup´erieure, la borne inf´erieure, le maximum et le minimum. {(−1)n, n ∈ N}, {(−1)n n, n ∈ N∗}, {(−1)nn, n ∈ N}, N, [0, 1[∩ Q, ]0, 1[∩ Q, A = {1 + (−1)n+1 + ( −12)n, n ∈ N}, B = {(−1)n +1n2 / n ∈ N∗}. C = {x − y / x ∈]2, 9[, y ∈] − 1, 10[}, D = {xy / x ∈]2, 9[, y ∈] − 1, 10[}.