Chapitre 3 cisaillement simple Résistance des matériaux Télé

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Cisaillement Simple en Résistance des Matériaux

I. Hypothèses Fondamentales du Cisaillement Simple

Le solide étudié est composé d’un matériau homogène et isotrope.
Sa ligne moyenne est rectiligne.
La section droite est constante sur toute la longueur de l'élément.
Le solide possède un plan de symétrie vertical.
Les actions extérieures sont modélisables en des points A et B, situés dans le plan de symétrie, par deux résultantes verticales, directement opposées, situées dans le plan de cisaillement (P) perpendiculaire à la ligne moyenne.

II. Définition du Cisaillement Simple

Une poutre est soumise au cisaillement simple lorsque les forces de cohésion internes n’ont qu’une composante tangentielle, appelée effort tranchant. Cela signifie que l'effort normal (N), le moment de torsion (Mt) et les moments de flexion (Mfy, Mfz) sont considérés comme nuls. Dans les contextes d'étude simplifiés, l'effort tranchant selon l'axe Z (Tz) peut également être nul.

III. Contraintes dans une Section Droite

Chaque élément de surface ΔS supporte un effort de cisaillement Δf contenu dans le plan de la section (S). Pour une analyse simplifiée, on admet une répartition uniforme des contraintes dans la section droite.

La contrainte de cisaillement (τ) est définie par la relation suivante :

τ = T / S

Où :

τ : Contrainte de cisaillement, exprimée en Mégapascals (MPa) ou en Newtons par millimètre carré (N/mm²).
T : Effort tranchant total appliqué sur la section, exprimé en Newtons (N).
S : Aire de la section droite effectivement soumise au cisaillement, exprimée en millimètres carrés (mm²).

Remarque : L'aire S représente l'aire totale soumise au cisaillement. S'il existe plusieurs plans de cisaillement actifs dans l'élément (par exemple, dans le cas d'un assemblage riveté ou boulonné à double cisaillement), il faut alors considérer l'aire d'une seule section droite multipliée par le nombre de ces plans de cisaillement.

IV. Étude des Déformations en Cisaillement

L'essai de cisaillement produit un diagramme qui a une allure similaire à celui de l'essai de traction. Lors de cet essai, l'axe des abscisses représente l'angle de glissement (γ), mesuré en radians, qui décrit la déformation angulaire d'une section S par rapport à une section de référence S₀. L'axe des ordonnées représente la contrainte de cisaillement (τ).

Pour de faibles angles de glissement, ce qui est généralement le cas dans le domaine élastique, on peut approximer la tangente de l'angle par l'angle lui-même : tg(γ) ≈ γ.

Loi de Hooke en Cisaillement

À l'instar de l'essai de traction, l'expérience montre que, dans le domaine élastique des matériaux, il existe une proportionnalité directe entre la contrainte et les déformations. La loi de Hooke appliquée au cisaillement s'énonce comme suit :

τ = G . γ

Où :

τ : Contrainte de cisaillement (MPa ou N/mm²).
G : Module d’élasticité transversale. Ce module est également connu sous les noms de module de cisaillement ou module de Coulomb. Il est exprimé en MPa (N/mm²) et constitue une caractéristique intrinsèque du matériau, déterminée expérimentalement.
γ : Angle de glissement (en radians).

Il existe une relation fondamentale reliant le module d'élasticité transversale (G), le module d'Young (E) et le coefficient de Poisson (ν) :

G = E / (2 * (1 + ν))

V. Condition de Résistance au Cisaillement

Le dimensionnement des solides soumis au cisaillement s'effectue en s'assurant que la contrainte tangentielle maximale (τ) ne dépasse pas une valeur limite admissible, connue sous le nom de Résistance Pratique au Glissement (Rpg) ou contrainte tangentielle admissible (τadm).

La Résistance Pratique au Glissement (Rpg) est calculée à partir de la limite élastique au cisaillement (τe) du matériau et d'un coefficient de sécurité (s) :

Rpg = τe / s

Ainsi, la condition de résistance, ou inéquation de dimensionnement, est la suivante :

τ ≤ Rpg

En remplaçant τ par son expression (T/S), on obtient :

T / S ≤ Rpg

VI. Exemple de Dimensionnement d'un Assemblage

Le dimensionnement d’un assemblage, tel qu'un ensemble composé d’une barre tubulaire de section carrée, d’un axe de section carrée et d’une chape, nécessite le calcul de ses dimensions (par exemple, a, b et c) pour garantir sa résistance sous les charges appliquées.

Pour ce faire, on utilise les caractéristiques mécaniques du matériau, telles que :

La contrainte admissible en traction (σadm) : par exemple, 1000 daN/cm².
La contrainte admissible en cisaillement (τadm) : par exemple, 650 daN/cm².

Il est essentiel d'identifier les sections critiques, non seulement vis-à-vis du cisaillement mais aussi de la traction, et de déterminer précisément le nombre de plans de cisaillement (par exemple, les plans de cisaillement dans la barre tubulaire) afin de calculer correctement l'aire effective soumise au cisaillement.

FAQ sur le Cisaillement Simple

Qu'est-ce que le cisaillement simple ?: Le cisaillement simple est un type de sollicitation mécanique où un élément de structure est soumis à des forces de cohésion qui agissent tangentiellement à sa section, créant un effort tranchant. Les autres sollicitations comme l'effort normal et les moments de flexion ou de torsion sont considérées comme nulles ou négligeables.
Comment calcule-t-on la contrainte de cisaillement ?: La contrainte de cisaillement (τ) se calcule en divisant l'effort tranchant (T) par l'aire de la section droite soumise au cisaillement (S). La formule est τ = T / S. Il est crucial d'identifier correctement l'aire totale cisaillée, surtout si plusieurs plans de cisaillement sont impliqués.
Quelle est la loi de Hooke appliquée au cisaillement ?: Dans le domaine élastique, la loi de Hooke pour le cisaillement énonce que la contrainte de cisaillement (τ) est directement proportionnelle à l'angle de glissement (γ). Elle est exprimée par la relation τ = G . γ, où G est le module d'élasticité transversale (ou module de cisaillement) du matériau, une propriété caractérisant sa rigidité en cisaillement.