Rdm exercices 1 introduction statique usthb fgmgp 2019 2020

Rdm exercices 1 introduction statique usthb fgmgp 2019 2020

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Module RDM-2

Série d'exercices 1: Introduction à la RDM + Statique

Questionnaire

• Quel est le but de la RDM ?

• Quelle est la différence entre la RDM statique et la RDM dynamique ?

• Quelles sont les différentes hypothèses de la RDM statique ?

• Donner des exemples pratiques d'un appui simple, d'un appui double et d'un encastrement.

• Quelles sont les unités des paramètres physiques suivants : longueur, surface, volume, densité, masse volumique, masse surfacique, masse linéique, force, force par unité de longueur, moment, pression, contrainte, travail, énergie, puissance ?

• La résistance d'une pièce ou d'une poutre dépend de 3 paramètres. Citez-les et justifiez.

Exercice 1

Un pont en béton armé de masse (M), uniformément répartie sur sa longueur, repose sur 5 supports (piliers) circulaires équidistants en béton armé, chacun de diamètre (d). En négligeant le poids propre des supports :

1. Déterminer la force exercée sur chaque support.

2. Déterminer la force par unité de surface exercée sur chaque support. Comment l'appelle-t-on ?

3. Déterminer la réaction du sol sur la fondation de chaque support.

Déterminer en fonction de F et de a, la résultante des forces et le moment résultant, calculé au point O.

Série d'exercices 2: Traction-Compression

Questionnaire

• Une poutre horizontale rigide AB, de longueur L, est fixée à deux barres cylindriques élastiques verticales AA' et BB'. On néglige les poids propres de AB, AA' et BB'. Représenter la courbe de l'essai de traction.

• Quelles sont les caractéristiques mécaniques que l'on peut déduire de cet essai ?

• À partir de cette courbe, comment déterminer le module de Young ?

• Que signifie l'écrouissage ?

• À partir de cette courbe, comment savoir si le matériau est principalement élastique ou plastique ?

Exercice 1

Calculer les allongements ΔL₁ et ΔL₂ des deux barres AA' et BB'. Représenter l'allure de la poutre AB après chargement.

1. Déterminer la section S₂ qui permet de garder la poutre AB en position horizontale.

2. Vérifier la résistance des deux barres pour que la poutre AB reste en position horizontale.

Données: P, L₁, L₂, E, R₀, n (coefficient de sécurité), et AC=AB/3.

Exercice 2

Soit un arbre étagé en acier, de longueur 3L (où L est une longueur donnée), soumis à l'action de 3 charges P₁, P₂ et P₃.

1. Déterminer le diamètre nécessaire de chaque tronçon, pour assurer une résistance en toute sécurité.

2. Calculer l'allongement total de cet arbre (avec un module d'Young E).

Données: Rₚ (résistance pratique), P₁, P₂, P₃, L, E.

Exercice 3

Déterminer les contraintes dans les deux tiges 1 et 2 de la construction suivante (non fournie).

Déterminer la position finale du point A.

Données: P, L₁, L₂, E₁, E₂, α, S₁, S₂.

Exercice 4

Une poutre AC rigide et indéformable, articulée en A, est maintenue en équilibre par deux câbles 1 et 2, attachés à un encastrement fixe et rigide E. Elle est soumise à l'action d'un chargement triangulaire.

1. Écrire les équations d'équilibre statique de la poutre.

2. Calculer la réaction de l'articulation A ainsi que les tensions des câbles 1 et 2.

3. Vérifier la résistance des deux câbles.

4. Déterminer leurs allongements respectifs.

Données: a, L₁, S₁, S₂, γₘₐₓ, Rₚ, E.

Série d'exercices 3: Cisaillement

Exercice 1

Une liaison arbre/moyeu transmet un couple Cₘ, de l'arbre de diamètre d, au moyeu, par l'intermédiaire d'une clavette en acier et de section rectangulaire : a, b.

Calculer la longueur minimale L de la clavette.

Données: Cₘ, d, Rₑ (limite d'élasticité), a, b.

Exercice 2

Pour transmettre un couple Cₘ, on utilise des cannelures (clavettes taillées sur l'arbre et sur le moyeu). Le diamètre extérieur de l'arbre est D, son diamètre intérieur est d, et le nombre des cannelures est n.

Calculer l'effort de cisaillement exercé sur chaque cannelure de l'arbre, puis déterminer l'épaisseur minimale b de cette cannelure.

Données: R (résistance), Cₘ, l (longueur), D, d, n.

Exercice 3

On assemble un cylindre plein « A » de diamètre d et un tube « B » de diamètre extérieur D à l'aide d'une clavette transversale d'épaisseur e et de largeur l.

1. Déterminer la force axiale maximale que peut supporter la clavette.

2. Déterminer le diamètre D du tube (avec la force F précédemment calculée).

3. Déterminer les dimensions a et b (avec la force F précédemment calculée).

Données: Rₚ (A et B), Rₑᵍ (A et B), Rᵍ (Clavette), d, e, l.

Exercice 4

Deux plaques (1) et (2) de même épaisseur e et de même largeur b, sont sollicitées à leurs extrémités respectives par des efforts de tension F. Elles sont assemblées par l'intermédiaire de deux couvre-joints (3) et (4) de même épaisseur e'. Cet assemblage doit se réaliser par l'intermédiaire de 4 rivets de diamètre d, du côté de la plaque (1) et par l'intermédiaire de colle sur les deux faces, du côté de la plaque (2).

1. Déterminer la longueur nécessaire L du collage.

2. Déterminer le diamètre d des rivets.

Données: Rₐ (colle), Rₑᵍ (rivet), e, b, F, e', d.

Exercice 5

On veut poinçonner une tôle d'épaisseur e en acier.

1. Définir les termes : R, Rₑ, Rₚ, Rᵍ, Rₑᵍ, Rₚᵍ.

2. Étudier la possibilité de la réalisation de cette opération de poinçonnage, sachant que le trou à poinçonner est de diamètre d, réalisé par un poinçon en acier allié.

Données: Rᵍ (acier tôle), Rₑᵍ (acier tôle), Rₚᵍ (acier tôle), R (poinçon), Rₑ (poinçon), Rₚ (poinçon), e, d.

Série d'exercices N°4: Caractéristiques géométriques des sections droites

Questionnaire

• La résistance d'une pièce ou d'une poutre dépend de 3 paramètres. Citez-les.

• Quelles sont les unités de : Moment d'inertie d'une section droite par rapport à une droite, Produit d'inertie par rapport à 2 droites perpendiculaires, Moment d'inertie polaire, Moment statique par rapport à une droite ? Quelles sont leurs utilisations ?

Exercice 1

Pour les sections droites représentées (non fournies), déterminer :

• La position de leur centre de gravité G par rapport au repère OXY.

• Les moments d'inertie et le produit d'inertie par rapport aux axes centraux X₀ et Y₀ ainsi que le moment d'inertie polaire, les moments d'inertie et le produit d'inertie par rapport aux axes X, Y.

• Les moments d'inertie principaux par rapport aux axes centraux principaux d'inertie.

Exercice 2

Soit la section droite représentée (non fournie). Déterminer :

• Le centre de gravité de cette section droite.

• Les moments d'inertie principaux.

• Les directions principales d'inertie ainsi que les axes centraux principaux d'inertie.

Série d'exercices 5: Torsion

Exercice 1

Considérons un barreau circulaire en acier (module de cisaillement G), de diamètre D, dont l'extrémité inférieure est encastrée et l'autre extrémité est soumise à un couple, de bras de levier d et de force F.

1. Calculer la contrainte de cisaillement maximale.

2. Calculer la distorsion des génératrices en radians et en degrés.

3. Calculer l'angle de torsion, si la longueur du barreau est L.

Données: G, D, d, F, L.

Exercice 2

On considère un arbre cylindrique soumis à une torsion : Mₜ. Cet arbre est en acier avec un module de cisaillement G, une limite élastique de cisaillement Rₑᵍ et un coefficient de sécurité n.

On impose une valeur limite de l'angle de torsion unitaire θ.

1. Quel est l'arbre le plus rigide (plein ou creux) ?

2. Déterminer le rapport des masses des arbres (masse de l'arbre plein / masse de l'arbre creux). Conclure.

Données: Mₜ, G, Rₑᵍ, n, θ.

Exercice 3

Un arbre de boîte de vitesse doit transmettre une puissance P à la vitesse N (en tr/min). Cet arbre est en acier avec une résistance R₀ et un module de cisaillement G.

On envisage deux solutions : un arbre plein de diamètre d₁, et un arbre creux (diamètres D, d) avec d = (2/3)D.

Pour chaque arbre :

1. Déterminer son diamètre d₁ (ou d et D).

2. Déterminer sa déformation angulaire totale α entre ses deux sections d'extrémité A et B.

Données: P, N, R₀, G.

Exercice 4

Un arbre étagé, encastré en A, est soumis à trois moments en B, C et D. L'angle de torsion total de l'arbre ne doit pas dépasser une valeur limite et la contrainte de torsion maximale ne doit pas dépasser une autre valeur limite.

1. Tracer le diagramme du moment de torsion M(x) le long de l'arbre.

2. Calculer l'angle de torsion total de l'arbre.

3. Calculer la contrainte de cisaillement maximale à la section dangereuse.

4. Vérifier la résistance de l'arbre à la torsion, sinon calculer son nouveau diamètre.

Déterminer le diamètre minimal D de l'arbre :

1. Pour assurer sa résistance.

2. Pour assurer sa rigidité.

Données: L, d, M, G.

Série d'exercices 6: Flexion plane

Questionnaire

1. Un matériau est dit ductile si sa résistance pratique à la compression est égale à celle de traction (Rₚ꜀ = Rₚ). Le béton est un matériau non ductile : sa résistance à la compression est supérieure à celle de traction (Rₚ꜀ >> Rₚ). Soit une poutre en béton de section droite en I asymétrique, soumise à l'action d'un chargement vertical (dans le plan xy) qui provoque sa flexion vers le bas, en présence de deux appuis correctement placés. On propose deux dispositions. Quelle est la disposition la plus résistante ? Justifier.

2. Une poutre droite en acier (matériau ductile), de section rectangulaire, repose correctement sur deux appuis et est soumise à l'action d'un chargement vertical (dans le plan XY). On propose deux dispositions (sur plat et sur chant). Quelle est la disposition la plus résistante ? Expliquer.

3. En statique, il est permis de remplacer un chargement réparti par une charge équivalente. Ce remplacement est-il permis du point de vue RDM ?

4. Une dalle en béton, est accrochée d'un seul côté à une ceinture (montage en porte-à-faux), elle est sous l'effet d'un chargement vertical dans le plan XY. Pour minimiser sa flexion et pour la rendre plus résistante, elle est renforcée par un ferraillage en rond à béton correctement placé. Quel est l'emplacement correct du ferraillage ? Expliquer.

5. Une poutre de section droite en L (cornière) est soumise à l'action d'un chargement vertical (dans le plan XY). La poutre fléchira-t-elle dans ce plan vertical ? Si non, la flexion est dite oblique. À quelle condition(s) la poutre fléchira dans le plan du chargement ? Proposer d'autres dispositions de la poutre par rapport au chargement pour avoir une flexion plane non oblique (flexion dans le plan du chargement).

Exercice 1

Établir en fonction de q et de L, les expressions de l'effort tranchant T_y et du moment fléchissant M_z, le long de chaque poutre.

Tracer en fonction de q et de L, les diagrammes des efforts internes pour chaque chargement (chargements donnés dans la série N°1).

Établir en fonction de E, I_z, q et L, l'expression de la flèche le long de chaque poutre. En déduire la flèche maximale pour chaque chargement.

Exercice 2

Pour les différents cas de figures représentés (non fournies) :

• Calculer les réactions aux appuis.

• Établir les expressions de T_y et de M_z.

• Tracer les diagrammes des efforts internes.

• Vérifier l'exactitude des résultats.

FAQ sur la Résistance Des Matériaux (RDM)

• Qu'est-ce que la Résistance Des Matériaux (RDM) ?

  La RDM est une branche de la mécanique des solides qui étudie le comportement des matériaux et des structures sous l'effet de forces et de charges. Son but est de prédire la déformation, les contraintes et la rupture des pièces mécaniques et des éléments de construction, assurant ainsi leur sécurité et leur fonctionnalité.

• Quels sont les principaux paramètres qui influencent la résistance d'une pièce ou d'une poutre ?

  La résistance d'une pièce ou d'une poutre dépend principalement de trois paramètres essentiels :

  1. La nature du matériau : ses propriétés intrinsèques telles que la limite d'élasticité, la résistance à la rupture, le module de Young, etc.
  2. La géométrie de la section droite : la forme et les dimensions de la section transversale, qui déterminent des caractéristiques comme les moments d'inertie.
  3. Le type de sollicitation : la nature des efforts appliqués (traction, compression, cisaillement, torsion, flexion) et leur intensité.

• Que signifient les termes R, Rₑ, Rₚ, Rᵍ, Rₑᵍ, Rₚᵍ en RDM ?

  Ces symboles sont des grandeurs caractéristiques de la résistance des matériaux :

  • R : Résistance à la rupture (contrainte maximale que le matériau peut supporter avant de rompre).
  • Rₑ : Limite élastique (contrainte au-delà de laquelle le matériau commence à subir des déformations permanentes en traction/compression).
  • Rₚ : Résistance Pratique (contrainte admissible pour le calcul des structures, obtenue en divisant une résistance caractéristique par un coefficient de sécurité).
  • Rᵍ : Résistance au cisaillement (contrainte maximale que le matériau peut supporter avant de rompre sous un effort de cisaillement).
  • Rₑᵍ : Limite élastique au cisaillement (contrainte au-delà de laquelle le matériau subit des déformations permanentes sous cisaillement).
  • Rₚᵍ : Résistance Pratique au cisaillement (contrainte admissible au cisaillement, intégrant un coefficient de sécurité).