Chapitre 3 series de fourier analyse 3 -Corr - Télécharger p
Télécharger PDFCHAPITRE 3 SERIES DE FOURIER 3.1 Séries trigonométriques Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a0 2+ X∞ n=1 an cos(nωx) + bn sin(nωx) (1) avec x ∈ R, ω > 0 , an, bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons f(x) =a02+X∞ n=1 Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z : an cos(nωx) + bn sin(nωx). cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx) sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx). Alors la série (1) converge en tout point de la forme x +2kπ ω, k ∈ Z. Si la série (1) converge dans R, on aura f(x) = f périodique de période T = 2π/ω. x +2kπ ω ! et par suite la fonction f est En conclusion, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) La série trigonométrique (1) converge dans R. ii) La série trigonométrique (1) converge dans [0, 2π/ω] . 41
SERIES DE FOURIER iii La série trigonométrique (1) converge dans [α, α + 2π/ω], ∀α ∈ R Proposition 3.1.1 Si les séries numériques Xan et Xbn sont absolument convergentes alors la série trigonométrique (1) est normalement convergente sur R ; donc absolument et uniformément sur R. Preuve : C’est évident puisque |an cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an| + |bn|. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an) et (bn) sont décroissantes et tendent vers 0, alors la série trigonométrique (1) est convergente pour x ,2kπ ωoù k ∈ Z. Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. S = p=n X p=m sin px C = p=n X p=m cos px. Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t , 2kπ où k ∈ Z : Cn + iSn = p=n X p=0 p=n cos pt + i p=n X p=0 sin pt = p=n X p=0 (cos pt + i sin pt) = X eipt = 1 + eit + e2it + · · · + eint =1 − ei(n+1)t 1 − eit p=0 2 sin2(n + 1) 2t − 2i sin(n + 1) 2t cos(n + 1) =(1 − cos(n + 1)t) − i sin(n + 1)t (1 − cos t) − i sin t= 2t 2 sin2(t/2) − 2i sin(t/2) cos(t/2) −2i sin(n + 1) 2t ! cos(n + 1)t 2+ i sin(n + 1)t = −2i sin(t/2)
cost2+ i sin t2 2 . = sin(n + 1) 2t sin(t/2) cos(n + 1)t 2+ i sin(n + 1)t 2 cost2+ i sin t2 = sin(n + 1) 2t sin(t/2) cosnt2+ i sin nt2 Mr A N -E 42
3.1 Séries trigonométriques D’où l’on tire :Cn =sin(n + 1)t 2cosnt2 sin(t/2) sin(n + 1)t 2sin nt2 sin(t/2) . Maintenant on peut majorer, on a : Sn = |S| = X p=n p=m sin pωx = |Sn − Sm−1| ≤ |Sn| + |Sm−1| ≤ sin(n + 1)ωx 2sin nωx 2 sin(ωx/2) |sin(ωx/2)|+1 + sin mωx 2sin(m − 1)ωx 2 sin(ωx/2) ≤1 On a de même |C| ≤ 2 |sin(ωx/2)|=2 |sin(ωx/2)|· n ; la série |sin(ωx/2)|· Les deux sommes étant majorées indépendamment de m et X∞ (an cos nωx + bn sin nωx) est donc convergente pour x ,2kπ ω, k ∈ Z. n=1 3.1.1 Représentation complexe d’une série trigonométrique D’après les relations d’Euler : cos(nωx) =einωx + e−inωx 2et sin(nωx) =einωx − e−inωx 2i la série (1) devient : a0 2+ X∞ n=1 " # aneinωx + e−inωx 2+ bneinωx − e−inωx 2i =a02+X∞ n=1 " # einωxan − ibn 2+ e−inωxan + ibn 2 En posant : cn =an − ibn 2; c−n = cn =an + ibn 2et c0 =a02, la série devient : c0 + X∞ n=1 (cn einωx +c−n e−inωx) = c0 +X∞ n=1 cn einωx +X∞ n=1 c−n e−inωx = c0 + X∞ n=1 cn einωx +X−1 n=−∞ cn einωx =X n∈Z cn einωx Cette dernière expression est appelée forme complexe d’une série trigonométrique. 43 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER 3.1.2 Calcul des cœfficients de la série trigonométrique. Cas réel Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique (1) et posons f(x) =a02+X∞ k=1 (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)). Alors f(x) cos(nωx) =a02cos(nωx) +X∞ k=1 f(x) sin(nωx) =a02sin(nωx) +X∞ k=1 [ak cos(kωx) cos(nωx) + bk sin(kωx) cos(nωx)] [ak cos(kωx) sin(nωx) + bk sin(kωx) sin(nωx)] La convergence uniforme nous permet d’avoir : Z 2π/ω • f(x) cos(nωx)dx =a02Z 2π/ω X∞ cos(nωx)dx + Z 2π/ω ak cos(kωx) cos(nωx)dx 0 X∞ 0 Z 2π/ω k=1 0 . + Z 2π/ω bk 0 sin(kωx) cos(nωx)dx. f(x) sin(nωx)dx =a02Z 2π/ω k=1 • X∞ sin(nωx)dx + Z 2π/ω ak cos(kωx) sin(nωx)dx 0 X∞ 0 Z 2π/ω k=1 0 . + k=1 bk 0 sin(kωx) sin(nωx)dx. Or on a : (À faire à titre d’exercices.) Z 2π/ω cos(kωx) cos(nωx)dx = 0 Z 2π/ω sin(kωx) sin(nωx)dx = 0 Z 2π/ω 0 si k , n π/ω si k = n 0 si k , n π/ω si k = n cos(nωx) sin(kωx)dx = 0. 0 On déduit alors les cœfficients par les expressions suivantes : an =ωπZ 2π/ω 0 bn =ωπZ 2π/ω 0 f(x) cos(nωx)dx f(x) sin(nωx)dx. Ces expressions sont valables même pour n = 0. Lemme 3.1.1 Soit f une fonction périodique de période T > 0 et intégrable dans l’intervalle [0, T]. Alors pour tout α ∈ R, on a Z T 0 f(t)dt = Z α+T α f(t)dt. Mr A N -E 44
3.2 Séries de Fourier Preuve. La relation de Chasles nous permet d’écrire : Z α+T α f(t)dt = Z 0 a f(t)dt + Z T 0 f(t)dt + Z α+T T f(t)dt. Dans l’intégrale Z α+T T f(t)dt on fait le changement de variables y = t − T. Z α+T Ceci nous donne Z α f(t)dt = Z α f(y + T)dy = f(y)dy. Donc Z α+T α T f(t)dt = Z 0 α f(t)dt + 0 Z T 0 f(t)dt + Z α 0 0 f(t)dt = Z T 0 f(t)dt. Moyennant ce lemme, les cœfficients peuvent s’écrire : an =ωπZ 2π/ω 0 f(x) cos(nωx)dx =ωπZ α+2π/ω α f(x) cos(nωx)dx ∀α ∈ R. bn =ωπZ 2π/ω 0 f(x) sin(nωx)dx =ωπZ α+2π/ω α f(x) sin(nωx)dx; ∀α ∈ R. En particulier si ω = 1, cas des fonctions 2π-périodique ; an =1πZ 2π 0 bn =1πZ 2π 0 f(x) cos(nx)dx =1πZ π −π f(x) sin(nx)dx =1πZ π −π f(x) cos(nx)dx. f(x) sin(nx)dx. 3.1.3 Calcul des cœfficients de la série trigonométrique. Cas complexe On a f(x) = Z 2π/ω X∞ k=−∞ ck eikωx. Z 2π/ω f(x) e−inωxdx =X∞ 0 k=−∞ ck 0 eiωx(k−n)dx. Or,Z 2π/ω 0 eiωx(k−n)dx = 0 si k , n 2π/ω si k = n. Les cœfficients sont alors donnés par la relation : cn =ω2πZ 2π/ω 0 f(x) e−inωxdx =ω2πZ α+2π/ω α f(x) e−inωx; n ∈ Z. 3.2 Séries de Fourier Dans cette partie, on ne va considérer que les fonctions de période 2π. A chaque fois on précisera les formules pour une période quelconque. Z Soit f : R 7→ R une application périodique de période T = 2π. On suppose que I converge sur un intervalle I = [α, α + 2π] de longueur 2π, ∀α ∈ R. | f(t)|dt 45 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER Définition 3.2.1 On appelle série de Fourier associée à f, la série trigonométrique a0 2+ X∞ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] avec an =1πZ 2π 0 f(x) cos(nx)dx et bn =1πZ 2π 0 f(x) sin(nx)dx Deux questions se posent : 1. La série de Fourier associée à f est-elle convergente ? 2. En cas de convergence, peut-on dire que la série converge vers f ? Rappelons la notion de discontinuité de première espèce. Définition 3.2.2 Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x0 si les limites à droite et à gauche de x0 existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de continuité.) Théorème 3.2.1 ( Dirichlet) Soit f : R 7→ R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux conditions suivantes (appelées conditions de Dirichlet) : D1) Les discontinuités de f (si elles existent) sont de première espèce et sont en nombre fini dans tout intervalle fini. D2) f admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Alors la série de Fourier associée à f est convergente et on a : a0 2+ X∞ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] f(x) si f est continue en x = f(x + 0) + f(x − 0) 2si f est discontinue en x De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f est continue. Les notations f(x + 0) et f(x − 0) représentent respectivement les limites à droite et à gauche de f au point x. Remarque 3.2.1 Il y a un autre théorème équivalent au théorème (3.2.1) dû à Jordan. Théorème 3.2.2 (Jordan) Soit f : R 7→ R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux Mr A N -E 46
3.2 Séries de Fourier conditions suivantes : J1) Il existe M > 0 tel que | f(x)| ≤ M (i.e f est bornée) J2) On peut partager l’intervalle [α, α + 2π] en sous-intervalles [α1, α2[, [α2, α3[. . ., [αn−1, αn], avec α1 = α et αn = α + 2π tels que la restriction f ]αj,αj+1[soit monotone et continue. Alors la série de Fourier associée à f est convergente et on a : a0 2+ X∞ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] f(x) si f est continue en x = f(x + 0) + f(x − 0) 2si f est discontinue en x De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle où f est continue. Remarque 3.2.2 Nous allons étudier quelques cas particuliers. Rappelons d’abord quelques propriétés. f : [−k, k] 7→ R une fonction intégrable sur [−k, k]. Z k Si f est paire alors Z k f(x)dx = 2 f(x)dx. Si f est impaire Z k −k −k f(x)dx = 0. 0 Si f est développable en série de Fourier : a) Si f est paire : • an =1πZ π −π f(x) cos(nx)dx =2πZ π 0 f(x) cos(nx)dx car la fonction x 7→ f(x) cos(nx) est paire. • bn = 0 car la fonction x 7→ f(x) sin(nx) est impaire b) Si f est impaire : • an = 0 car la fonction x 7→ f(x) cos(nx) est impaire. • bn =1πZ π −π f(x) sin(nx)dx =2πZ π 0 f(x) sin(nx)dx car la fonction x 7→ f(x) sin(nx) est paire. Résumé 1 f fonction paire : an =2πZ π 0 f(x) cos(nx)dx. bn = 0, ∀n ∈ N. f fonction impaire : an = 0, ∀n ∈ N. bn =2πZ π 0 f(x) sin(nx)dx. 47 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER Exemple 3.2.1 Soit f :] − π, π] 7→ R une fonction périodique, T = 2π définie par f(x) = x. 1. Les discontinuités de f sont les points de la forme xk = (2k + 1)π, k ∈ Z et sont de première espèce car f(π + 0) = π et f(π − 0) = −π 2. f est partout dérivable sauf aux points xk. En ces points nous avons : limx−→π−f(x) − f(π) x − π= 1 et limx−→π+f(x) − f(π) x − π= 1. f vérifie les conditions de Dirichlet, donc développable en série de Fourier. f est impaire donc a0 = an = 0 et bn =1πZ π −π x sin(nx)dx =2πZ π 0 x sin(nx)dx = 2(−1)n+1 net par suite f(x) = 2 Exemple 3.2.2 X∞ n=1 (−1)n+1 nsin(nx) Soit f : [−π, π] 7→ R une fonction de période T = 2π, définie par f(x) = |x|. 1. On a | f(x)| ≤ π 2. f|[−π,0] est décroissante continue et f|[0,π]est croissante continue. f satisfait les conditions du théorème de Jordan donc développable en série de Fourier. De plus f est paire, ce qui nous donne bn = 0. a0 =1πZ π −π f(x)dx =2πZ π 0 xdx = π 0 si n pair an =1πZ−ππ|x| cos(nx)dx =2πZ π 0 x cos(nx)dx = −4πn2si n impair La série de Fourier converge alors vers f et on a f(x) =π2−X∞ n=1 Puisque f est continue, la convergence est uniforme. Remarquons enfin que l’égalité f(0) = 0 se traduit par π2=4πX∞ n=1 cos(2n + 1)x (2n + 1)2. 1 (2n + 1)2et par conséquent π2 8= X∞ n=1 1 (2n + 1)2. Une des particularités des séries de Fourier est le calcul des sommes de certaines séries numériques. 3.2.1 Développement en série de Fourier de fonctions non périodiques Il est clair que le développement en série de Fourier se pratique sur les fonctions pério diques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels développements pour des fonctions quelconques. Soit f : [a, b] 7→ R une fonction non périodique définie sur l’intervalle [a, b]. Soit g : R 7→ R une fonction périodique de période T ≥ b − a telle que la restriction g [a,b]= f. Si g satisfait Mr A N -E 48
3.2 Séries de Fourier les conditions de Dirichlet, on aura : g(x) =a02+X∞ n=1 [an cos(nωx) + bn sin(nωx)] avec an et bn les cœfficients de Fourier associés à g. La somme de cette série coïncide partout avec f dans l’intervalle [a, b] sauf peut-être aux points de discontinuités de f. Remarque 3.2.3 Soit f :]0, ℓ[7→ R une fonction quelconque, et ℓ > 0. On suppose que f peut-être prolongée sur ] − ℓ, 0[ et que les conditions de Dirichlet ou de Jordan soient satisfaites. Dans ce cas, on a le choix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair soit un prolongement impair pour éviter les longs calculs des cœfficients.
Exercice 1Donner une série de Fourier de période 2π qui coïncide sur ]0, π[ avec la fonction f(x) = ex. Réponse : Ici on ne précise que l’intervalle où la série de Fourier coïncide avec f, c’est à dire ]0, π[. Comme la période de la série de Fourier est 2π, il y’a alors une infinité de réponses ; examinons trois cas différents. Notons ˜fi, i = 1, 2, 3, le prolongement de f à R tout entier. ˜fi sera une fonction de période 2π qui vaut exactement ex pour tout x dans ]0, π[. a) Choisissons un prolongement pair et posons : ˜f1(x) = exsi x ∈]0, π[ e−xsi x ∈] − π, 0[ . On vérifie aisément que ˜f1 est une fonction paire. Posons ˜f1(0) = 1 et ˜f1(π) = eπ, on a alors un prolongement continue sur R. Le graphe de ˜f1 et celui de la série de Fourier seront identiques. Le calcul des cœfficients donne : a0 =2(eπ −1) π, an = 2(−1)n eπ −1 On a alors : 1 + n2et bn = 0. S1(x) =eπ −1 π+ X∞ n=1 2(−1)n eπ −1 n2 + 1cos(nx) = eπ 1 exsi x ∈ [0, π] e−xsi x ∈ [−π, 0] π F. 3.1 – graphe de la fonction f(x) eπ 1 π F. 3.2 – graphe de la fonction S1(x) identique à celui de ˜f1 49 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER b) Choisissons un prolongement impair et posons : ˜f2(x) = exsi x ∈]0, π[ − e−xsi x ∈] − π, 0[ . On remarque que ˜f2 est une fonction impaire mais n’est pas continue sur R . Elle est discontinue en tout point de la forme kπ, k ∈ Z. Le calcul des cœfficients donne : an = 0 ∀n ∈ N, bn =2n (1 − (−1)n eπ) π(1 + n2). On a alors : exsi x ∈]0, π[ S2(x) = X∞ n=1 2n (1 − (−1)n eπ) π(1 + n2)sin(nx) = eπ e−xsi x ∈] − π, 0[ 0 si x = 0 ou x = ±π −3π −π 1 π 3π −eπ −3π −π F. 3.3 – graphe de la fonction ˜f2(x) eπ 1 π −eπ 3π F. 3.4 – graphe de la série S2(x) c) Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons : ˜f3(x) = exsi x ∈] − π, π[. On remarque que ˜f est une fonction discontinue en tout point de la forme π + 2kπ, k ∈ Z. On a le résultat final : cos(nx) − n sin(nx) =exsi x ∈] − π, π[ S3(x) =eπ − e−π π 12+X∞ n=1 (−1)n n2 + 1 eπ + e−π 2si x = ±π. On a obtenu trois séries différentes qui valent exactement exsur l’intervalle ]0, π[. On pouvait choisir d’autres prolongements et obtenir d’autres séries. Mr A N -E 50
3.2 Séries de Fourier eπ 1 −π π 3π F. 3.5 – graphe de la fonction ˜f3(x) eπ eπ + e−π • • • 2 1 −π π 3π F. 3.6 – graphe de la série S3(x) Remarque 3.2.4 Si on voulait une série de Fourier de période π, alors il n’y a qu’une seule qui coïncide avec f sur ]0, π[. On trouve ; S4(x) =2(eπ −1) π 12+X∞ n=1 1 4n2 − 1 cos(2nx) − 2n sin(2nx) =exsi x ∈]0, π[ 1 + eπ 2si x = 0 ou x = π. eπ 1 + eπ • • • • • • 2 1 −2π −π π 2π 3π F. 3.7 – graphe de la série S4(x) 3.2.2 Égalité de Parseval Théorème 3.2.3 Égalité de Parseval : Soit f une fonction développable en série de Fourier et de période T =2πω> 0, alors on a pour α réel quelconque : |cn|2 cn =an − ibn a20 2+ X∞ n=1 (a2n + b2n) =ωπZ α+2π/ω α f2(x)dx = 2X n∈Z 2et c−n =an + ibn 2où n ∈ N. 51 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER Remarque 3.2.5 1. Si f est de période 2π, on a : f2(x)dx 2. a20 2+ X∞ n=1 (a2n + b2n) =1πZ 2π 0 f2(x)dx =1πZ π −π f fonction paire =⇒ f2fonction paire =⇒a202+X∞ n=1 X∞ f fonction impaire =⇒ f2fonction paire =⇒ n=1 a2n =2πZ π 0 b2n =2πZ π 0 f2(x)dx f2(x)dx Mr A N -E 52
3.3 Applications 3.3 Applications Exemple 3.3.1 f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = 1 1 si x ∈]0, π[ −1 si x ∈] − π, 0[ -5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π -1 F. 3.8 – graphe de la fonction f(x) f étant une fonction impaire ===⇒ an = 0, ∀n ∈ N On a : bn =2πZ π 0 sin(nt)dt =2nπ(1 − (−1)n) = 0 si n est pair 4 nπsi n est impair La série de Fourier associée est : S(x) =4πX∞ n=0 1 sin(2n + 1)x 2n + 1= 1 si x ∈]0, π[ 0 si x = 0 ou si x = π • • • • • • • • • • • -5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π -1 F. 3.9 – graphe de la fonction S(x) Remarque 3.3.1 :Pour x = π/2 on a S(π/2) = 1 =4πX∞ 2n + 1=4πX∞ sin(2n + 1)π/2 (−1)n 2n + 1. On tire :X∞ n=0 (−1)n n=0 n=0 2n + 1= 1 −13+15−17+ · · · =π4 Appliquons l’égalité de Parseval : 2 π Z π 0 f2(t)dt = 1 =X∞ n=0 π2·1 16 (2n + 1)2 53 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER et l’on tire donc : X∞ X∞ n=0 1 (2n + 1)2=π2 1 8 Remarque 3.3.2 Posons S = n2série convergente d’après le critère de Riemann. En n=1 séparant les pairs et les impairs on a : S = X∞ 1 (2n)2+ X∞ 1 (2n + 1)2(⋆). Comme X∞ 1 (2n)2= X∞ 4n2=14X∞ n=1 n=0 n=1 1 n=1 n=1 n2=S4; en substituant dans l’égalité (⋆) on a : 1 S =S4+X∞ n=0 (2n + 1)2 ⇐⇒3S4=X∞ 1 n=0 (2n + 1)2=π28⇐⇒ S =X∞ 1 n=1 n2=π26 1 La méthode complexe : =12π e−int cn =12πZ π −π e−int f(t)dt =12π Z 0 −π − e−int dt + Z π 0 ! e−int dt
in !0 −π + e−int −in !π 0 = −i1 − (−1)n πn= 1/2(an − ibn) Exemple 3.3.2 f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = |x| si x ∈ [−π, π] f étant une fonction paire ===⇒ bn = 0, ∀n ∈ N On a : a0 =1πZ π −π |t|dt =2πZ π 0 t dt =2π t22!π0= π. t cos nt dt =2π t sin nt ! Puis on a : an =1πZ π |t| cos nt dt =2πZ π n π 0 Z π − sin nt ndt
=2πn2 (−1)n − 1 =0 si n est pair −π =−2 Z π sin nt dt =2nπ cos nt π 0 0 −4 nπ 0 n 0 πn2si n est impair La série associée est donc : S(x) =π2−4πX∞ n=0 cos(2n + 1)x (2n + 1)2. f étant une fonction continue sur R, et admet partout des dérivées à droite et à gauche alors f(x) = S(x), ∀x ∈ R. Mr A N -E 54
3.3 Applications +π | −2π −π ·0|π 2π F. 3.10 – graphe de la fonction f(x) et celui de S(x). Remarque 3.3.3 pour x = 0 on a f(0) = 0 et comme f(0) = S(0) on tire : S(0) = 0 =π2−4πX∞ n=0 1 (2n + 1)2 ⇐⇒ X∞ n=0 (2n + 1)2=π2 1 8 L’égalité de Parseval donne : Z π f2(t)dt =12πZ π t2dt =π2 4+12·16π2X∞ 1 2π −π −π 3=π2 n=0 1 (2n + 1)4 X∞ n=0 (2n + 1)4=π4 1 96 Remarque 3.3.4 En écrivant S = X∞ X∞ n=1 1 n4= X∞ n=1 1 (2n)4+ X∞ n=0 1 (2n + 1)4. On déduit alors :15S 16 = n=0 (2n + 1)4=π4 1 96 X∞ n=1 n4=π4 1 90 Exemple 3.3.3 f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = x si x ∈] − π, π[ π − −2π −3π+−π 2π+3π ·0+π+ + + −π F. 3.11 – graphe de la fonction f(x). f est une fonction impaire, continue pour tout x ∈ R sauf aux points x = (2k + 1)π, k ∈ Z. Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. elle admet un 55 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER développement en série de Fourier. f : impaire =⇒ an = 0, ∀n ∈ N, et l’on a : bn =2πZ π 0 t sin(nt)dt =2π" −t cos nt n π 0 + Z π 0 cos nt ndt
# =2(−1)n+1 n S(x) = 2 X∞ n=1 (−1)n+1 nsin nx = f(x) si x , (2k + 1)π avec k ∈ Z 0 si x = (2k + 1)π avec k ∈ Z π − −2π 2π ·0 π+ • • • • + −3π −π 3π −π F. 3.12 – graphe de la fonction S(x). Remarque 3.3.5 En appliquant l’égalité de Parseval, on obtient : 1 2 X∞ n=1 n2=1πZ π 4 0 t2dt =π2 3⇐⇒ X∞ n=1 n2=π26 1 Exemple 3.3.4 f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = x2si x ∈] − π, π] f est une fonction paire, continue pour tout x ∈ R. Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. elle admet un développement en série de Fourier. yπ2 - - x + + + + + + + + + + + + + 0 -6π -5π -4π -3π -2π -π π 2π 3π 4π 5π 6π F. 3.13 – graphe de la fonction f(x) et celui de S(x) f : paire =⇒ bn = 0, ∀n ∈ N, et l’on a : a0 =2πZ π 0 t2dt =2π2 3 Mr A N -E 56
3.3 Applications an =2πZ π t2cos nt dt =2π "t2sin nt n #π − Z π 2t sin nt ndt
! 0 =−4πZ π 0 t sin nt dt =−4π t cos nt 0 −n π 0 + 0 Z π 0 cos nt ndt
! =4(−1)n n2 Comme f est continue sur R ; on a donc f(x) = S(x) et donc : S(x) =π2 3+ X∞ n=1 4(−1)n n2cos nx = f(x) ∀x ∈ R Le graphe de f et celui de S sont identiques. X∞ Remarque 3.3.6 Pour x = 0, on a f(0) = S(0) = 0 ce qui donne n=1 (−1)n+1 n2=π2 12 Exemple 3.3.5 f étant une fonction de périodique 2, telle que : f(x) = x si 0 ≤ x < 1 1 2si 1 ≤ x < 2 y1 - -6+ -5+ -4+ -3+ -2+ -1+ -½x O 1+2+3+4+5+6+ F. 3.14 – graphe de la fonction f(x) f n’est ni paire ni impaire et ne présente des discontinuités que pour les points d’abscisses un nombre entier positif ou négatif. f admet alors un développement de Fourier. On a p =2πω= 2 ⇐⇒ ω = π. a0 =ωπZ π/ω Z 2 f(t)dt = Z 1 f(t)dt = Z 2 t dt + 1 2dt = 1 Z 1 π/ω 0 0 1 an = bn = 0 Z 1 0 t cos nπt dt + t sin nπt dt + Z 2 1 Z 2 1 2dt =(−1)n − 1 cos nπt π2n2 2dt =(−1)n+1 − 1 sin nπt 2nπ La série de Fourier associée à f est donc : S(x) =12−2π2X∞ n=0 (2n + 1)2−12πX∞ cos(2n + 1)πx n=1 sin 2nπx n 57 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER En prenant les demis sommes aux points de discontinuité on a pour x ∈ [0, 2[ : 14si x = 0 2−2π2X∞ 1 n=0 (2n + 1)2−12πX∞ cos(2n + 1)πx n=1 y1 - sin 2nπx n= x si 0 < x < 1 3 4si x = 1 1 2si 1 < x < 2 • • • • • • 3/4- -½ • • • 1/4 • • • x + + + + + + -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 F. 3.15 – graphe de la fonction S(x) Exemple 3.3.6 Donner la série de Fourier en sinus de la fonction : f(x) = cos x pour x ∈]0, π[. On va faire un prolongement en fonction impaire de la fonction f. Comme la fonction sinus est de période 2π, posons alors : ˜f(x) = f(x) = cos x si x ∈]0, π[ −f(−x) = − cos x si x ∈] − π, 0[ La fonction ˜f est une fonction impaire de période 2π, continue partout sur R sauf aux points x = kπ où k ∈ Z, où elle n’est pas définie, et coïncide avec la fonction f sur ]0, π[. Elle admet donc un développement de Fourier. Comme ˜f est impaire, an = 0, et on a : bn =2πZ π cos x sin nx dx =1πZ π sin(n + 1)x + sin(n − 1)x dx =1π"− cos(n + 1)x 0 0 #π =2n((−1)n + 1) n + 1+− cos(n − 1)x π(n2 − 1) si n , 1. Pour n = 1, b1 =2πZ π n − 1 cos x sin x dx =1πZ π 0 sin 2x dx = 0 0 0 finalement on a : b2n+1 = 0 et b2n =8n π(4n2 − 1) ∀x ∈]0, π[ cos x = X∞ n=1 8n π(4n2 − 1) sin 2nx Mr A N -E 58
3.3 Applications Remarque 3.3.7 La demi somme aux points de discontinuité est égale à 0. On a donc : S(x) =8πX∞ n=1 n sin 2nx 4n2 − 1= cos x si x ∈[ k∈Z [ − cos x si x ∈ k∈Z i2kπ, (2k + 1)πh i(2k + 1)π, (2k + 2)πh 0 si x = kπ, k ∈ Z La fonction S(x) est périodique de période π. 1 • • • • • -2π -π 0 π 2π -1 F. 3.16 – graphe de la fonction S(x) Quelques développements intéressants. 1. α ∈ R/Z et x ∈ [−π, π] cos αx =2α sinπα π 2. Fonction impaire de période 2ℓ. 12α2+X∞ n=1 (−1)ncos nx π(n2 − α2) 2sin πxℓ−4πX∞ 1 n=1 3. (−1)nn 4n2 − 1sin 2nπx ℓ= −π − x sin πxℓpour 0 ≤ x <ℓ2 0 pour ℓ2< x ≤ ℓ 2pour x =ℓ2 1 X∞ n=1 sin nx n= 2pour − 2π < x < 0 π − x 2pour 0 < x < 2π 0 pour x = 0, x = 2π, x = −2π. 59 Mr A N -E
SERIES DE FOURIER 4. 3x2 + 6πx + 2π2 12 pour − 2π ≤ x ≤ 0 X∞ 3x2 − 6πx + 2π2 n=1 12 pour 0 ≤ x ≤ 2π 5. x2 + 3πx + 2π2x cos nx n2= X∞ n=1 sin nx n3= 12 pour − 2π ≤ x ≤ 0 x2 − 3πx + 2π2x 12 pour 0 ≤ x ≤ 2π Mr A N -E 60