Chapitre 3 series de fourier analyse 3

Chapitre 3 series de fourier analyse 3 -Corr - Télécharger p

Télécharger PDF

Séries de Fourier et Séries Trigonométriques

1. Séries Trigonométriques

Définition 3.1.1 : On appelle série trigonométrique réelle toute série de fonctions de la forme :

a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nωx) + b_n sin(nωx)] (1)

avec x ∈ R, ω > 0, a_n, b_n ∈ R, pour tout n ∈ N. Le problème est de déterminer l'ensemble Δ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ Δ.

Remarque 3.1.1 : Supposons que la série (1) converge et posons f(x) = a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nωx) + b_n sin(nωx)].

Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z :

cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx)

sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx).

Alors la série (1) converge en tout point de la forme x + 2kπ/ω, k ∈ Z. Si la série (1) converge dans R, on aura f(x) = f(x + 2kπ/ω) et par suite la fonction f est périodique de période T = 2π/ω.

En conclusion, les propriétés suivantes sont équivalentes :

La série trigonométrique (1) converge dans R.
La série trigonométrique (1) converge dans [0, 2π/ω].
La série trigonométrique (1) converge dans [α, α + 2π/ω], ∀α ∈ R.

Proposition 3.1.1 : Si les séries numériques ∑a_n et ∑b_n sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique (1) est normalement convergente sur R ; donc absolument et uniformément sur R.

Preuve : C'est évident puisque |a_n cos(nωx) + b_n sin(nωx)| ≤ |a_n| + |b_n|.

Proposition 3.1.2 : Si les suites numériques (a_n) et (b_n) sont décroissantes et tendent vers 0, alors la série trigonométrique (1) est convergente pour x ≠ 2kπ/ω où k ∈ Z.

Preuve : C'est une application directe du théorème d'Abel. Pour cela, il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n.

S = ∑_p=mⁿ sin(px)

C = ∑_p=mⁿ cos(px)

Commençons par calculer les sommes suivantes. On a pour t ≠ 2kπ où k ∈ Z :

C_n + iS_n = ∑_p=0ⁿ cos(pt) + i ∑_p=0ⁿ sin(pt) = ∑_p=0ⁿ (cos(pt) + i sin(pt)) = ∑_p=0ⁿ e^ipt = 1 + e^it + e^2it + … + e^int = (1 - e^i(n+1)t) / (1 - e^it)

= ((1 - cos((n+1)t)) - i sin((n+1)t)) / ((1 - cos t) - i sin t)

= (2 sin²((n+1)t/2) - 2i sin((n+1)t/2) cos((n+1)t/2)) / (2 sin²(t/2) - 2i sin(t/2) cos(t/2))

= (-2i sin((n+1)t/2) [cos((n+1)t/2) + i sin((n+1)t/2)]) / (-2i sin(t/2) [cos(t/2) + i sin(t/2)])

= (sin((n+1)t/2) / sin(t/2)) · (cos((n+1)t/2) + i sin((n+1)t/2)) / (cos(t/2) + i sin(t/2))

= (sin((n+1)t/2) / sin(t/2)) (cos(nt/2) + i sin(nt/2))

D'où l'on tire :

C_n = sin((n+1)t/2) cos(nt/2) / sin(t/2)

S_n = sin((n+1)t/2) sin(nt/2) / sin(t/2)

Maintenant, on peut majorer. On a :

|S| = |∑_p=mⁿ sin(pωx)| = |S_n - S_m-1| ≤ |S_n| + |S_m-1| ≤ (1 / |sin(ωx/2)|) + (1 / |sin(ωx/2)|) = 2 / |sin(ωx/2)|

On a de même |C| ≤ 2 / |sin(ωx/2)|.

Les deux sommes étant majorées indépendamment de m et n, la série ∑_n=1^∞ (a_n cos nωx + b_n sin nωx) est donc convergente pour x ≠ 2kπ/ω, k ∈ Z.

1.1. Représentation complexe d'une série trigonométrique

D'après les relations d'Euler : cos(nωx) = (e^inωx + e^-inωx) / 2 et sin(nωx) = (e^inωx - e^-inωx) / (2i), la série (1) devient :

a₀/2 + ∑_n=1^∞ [ a_n (e^inωx + e^-inωx)/2 + b_n (e^inωx - e^-inωx)/(2i) ]

= a₀/2 + ∑_n=1^∞ [ e^inωx(a_n - ib_n)/2 + e^-inωx(a_n + ib_n)/2 ]

En posant : c_n = (a_n - ib_n)/2 ; c_-n = &overline;c_n = (a_n + ib_n)/2 et c₀ = a₀/2, la série devient :

c₀ + ∑_n=1^∞ (c_n e^inωx + c_-n e^-inωx) = c₀ + ∑_n=1^∞ c_n e^inωx + ∑_n=1^∞ c_-n e^-inωx

= c₀ + ∑_n=1^∞ c_n e^inωx + ∑_n=-∞^-1 c_n e^inωx = ∑_n∈Z c_n e^inωx

Cette dernière expression est appelée forme complexe d'une série trigonométrique.

1.2. Calcul des coefficients de la série trigonométrique. Cas réel

Plaçons-nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique (1) et posons f(x) = a₀/2 + ∑_k=1^∞ (a_k cos(kωx) + b_k sin(kωx)).

Alors :

f(x) cos(nωx) = a₀/2 cos(nωx) + ∑_k=1^∞ [a_k cos(kωx) cos(nωx) + b_k sin(kωx) cos(nωx)]

f(x) sin(nωx) = a₀/2 sin(nωx) + ∑_k=1^∞ [a_k cos(kωx) sin(nωx) + b_k sin(kωx) sin(nωx)]

La convergence uniforme nous permet d'avoir :

∫₀^2π/ω f(x) cos(nωx)dx = a₀/2 ∫₀^2π/ω cos(nωx)dx + ∑_k=1^∞ a_k ∫₀^2π/ω cos(kωx) cos(nωx)dx + ∑_k=1^∞ b_k ∫₀^2π/ω sin(kωx) cos(nωx)dx.

∫₀^2π/ω f(x) sin(nωx)dx = a₀/2 ∫₀^2π/ω sin(nωx)dx + ∑_k=1^∞ a_k ∫₀^2π/ω cos(kωx) sin(nωx)dx + ∑_k=1^∞ b_k ∫₀^2π/ω sin(kωx) sin(nωx)dx.

Or, on a (à faire à titre d'exercices) :

∫₀^2π/ω cos(kωx) cos(nωx)dx = 0 si k ≠ n, ou π/ω si k = n.

∫₀^2π/ω sin(kωx) sin(nωx)dx = 0 si k ≠ n, ou π/ω si k = n.

∫₀^2π/ω cos(nωx) sin(kωx)dx = 0.

On déduit alors les coefficients par les expressions suivantes :

a_n = (ω/π) ∫₀^2π/ω f(x) cos(nωx)dx

b_n = (ω/π) ∫₀^2π/ω f(x) sin(nωx)dx

Ces expressions sont valables même pour n = 0.

Lemme 3.1.1 : Soit f une fonction périodique de période T > 0 et intégrable dans l'intervalle [0, T]. Alors pour tout α ∈ R, on a ∫₀^T f(t)dt = ∫_α^α+T f(t)dt.

Preuve : La relation de Chasles nous permet d'écrire :

∫_α^α+T f(t)dt = ∫_α⁰ f(t)dt + ∫₀^T f(t)dt + ∫_T^α+T f(t)dt.

Dans l'intégrale ∫_T^α+T f(t)dt, on fait le changement de variables y = t - T.

Ceci nous donne ∫_T^α+T f(t)dt = ∫₀^α f(y + T)dy = ∫₀^α f(y)dy.

Donc ∫_α^α+T f(t)dt = ∫_α⁰ f(t)dt + ∫₀^T f(t)dt + ∫₀^α f(t)dt = ∫₀^T f(t)dt.

Moyennant ce lemme, les coefficients peuvent s'écrire :

a_n = (ω/π) ∫₀^2π/ω f(x) cos(nωx)dx = (ω/π) ∫_α^α+2π/ω f(x) cos(nωx)dx ∀α ∈ R.

b_n = (ω/π) ∫₀^2π/ω f(x) sin(nωx)dx = (ω/π) ∫_α^α+2π/ω f(x) sin(nωx)dx; ∀α ∈ R.

En particulier si ω = 1, cas des fonctions 2π-périodiques :

a_n = (1/π) ∫₀^2π f(x) cos(nx)dx = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos(nx)dx.

b_n = (1/π) ∫₀^2π f(x) sin(nx)dx = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin(nx)dx.

1.3. Calcul des coefficients de la série trigonométrique. Cas complexe

On a f(x) = ∑_k=-∞^∞ c_k e^ikωx.

∫₀^2π/ω f(x) e^-inωxdx = ∑_k=-∞^∞ c_k ∫₀^2π/ω e^iωx(k-n)dx.

Or, ∫₀^2π/ω e^iωx(k-n)dx = 0 si k ≠ n, ou 2π/ω si k = n.

Les coefficients sont alors donnés par la relation :

c_n = (ω/(2π)) ∫₀^2π/ω f(x) e^-inωxdx = (ω/(2π)) ∫_α^α+2π/ω f(x) e^-inωxdx; n ∈ Z.

2. Séries de Fourier

Dans cette partie, on ne va considérer que les fonctions de période 2π. À chaque fois, on précisera les formules pour une période quelconque.

Soit f : R → R une application périodique de période T = 2π. On suppose que l'intégrale ∫ |f(t)|dt converge sur un intervalle I = [α, α + 2π] de longueur 2π, ∀α ∈ R.

Définition 3.2.1 : On appelle série de Fourier associée à f la série trigonométrique :

a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]

avec a_n = (1/π) ∫₀^2π f(x) cos(nx)dx et b_n = (1/π) ∫₀^2π f(x) sin(nx)dx.

Deux questions se posent :

La série de Fourier associée à f est-elle convergente ?
En cas de convergence, peut-on dire que la série converge vers f ?

Rappelons la notion de discontinuité de première espèce.

Définition 3.2.2 : Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x₀ si les limites à droite et à gauche de x₀ existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales, sauf en cas de continuité.)

Théorème 3.2.1 (Dirichlet) : Soit f : R → R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux conditions suivantes (appelées conditions de Dirichlet) :

Les discontinuités de f (si elles existent) sont de première espèce et sont en nombre fini dans tout intervalle fini.
f admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche.

Alors la série de Fourier associée à f est convergente et on a :

a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] = f(x) si f est continue en x

ou (f(x + 0) + f(x - 0))/2 si f est discontinue en x.

De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f est continue. Les notations f(x + 0) et f(x - 0) représentent respectivement les limites à droite et à gauche de f au point x.

Remarque 3.2.1 : Il y a un autre théorème équivalent au théorème (3.2.1) dû à Jordan.

Théorème 3.2.2 (Jordan) : Soit f : R → R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux conditions suivantes :

Il existe M > 0 tel que |f(x)| ≤ M (i.e. f est bornée).
On peut partager l'intervalle [α, α + 2π] en sous-intervalles [α₁, α₂[, [α₂, α₃[, ..., [α_n-1, α_n], avec α₁ = α et α_n = α + 2π tels que la restriction de f à ]α_j, α_j+1[ soit monotone et continue.

Alors la série de Fourier associée à f est convergente et on a :

a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)] = f(x) si f est continue en x

ou (f(x + 0) + f(x - 0))/2 si f est discontinue en x.

De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle où f est continue.

Remarque 3.2.2 : Nous allons étudier quelques cas particuliers. Rappelons d'abord quelques propriétés.

Soit f : [-k, k] → R une fonction intégrable sur [-k, k].

Si f est paire, alors ∫_-k^k f(x)dx = 2 ∫₀^k f(x)dx.
Si f est impaire, alors ∫_-k^k f(x)dx = 0.

Si f est développable en série de Fourier :

Si f est paire :
- a_n = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos(nx)dx = (2/π) ∫₀^π f(x) cos(nx)dx car la fonction x → f(x) cos(nx) est paire.
- b_n = 0 car la fonction x → f(x) sin(nx) est impaire.
Si f est impaire :
- a_n = 0 car la fonction x → f(x) cos(nx) est impaire.
- b_n = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin(nx)dx = (2/π) ∫₀^π f(x) sin(nx)dx car la fonction x → f(x) sin(nx) est paire.

Résumé 1 :

f fonction paire : a_n = (2/π) ∫₀^π f(x) cos(nx)dx. b_n = 0, ∀n ∈ N.
f fonction impaire : a_n = 0, ∀n ∈ N. b_n = (2/π) ∫₀^π f(x) sin(nx)dx.

Exemple 3.2.1 : Soit f : ]-π, π] → R une fonction périodique, T = 2π définie par f(x) = x.

Les discontinuités de f sont les points de la forme x_k = (2k + 1)π, k ∈ Z et sont de première espèce car f(π + 0) = π et f(π - 0) = -π.
f est partout dérivable sauf aux points x_k. En ces points, nous avons : lim_x→π^- (f(x) - f(π)) / (x - π) = 1 et lim_x→π⁺ (f(x) - f(π)) / (x - π) = 1.

f vérifie les conditions de Dirichlet, donc est développable en série de Fourier.

f est impaire, donc a₀ = a_n = 0 et b_n = (1/π) ∫_-π^π x sin(nx)dx = (2/π) ∫₀^π x sin(nx)dx = 2(-1)ⁿ⁺¹ / n.

Et par suite f(x) = 2 ∑_n=1^∞ ((-1)ⁿ⁺¹ / n) sin(nx).

Exemple 3.2.2 : Soit f : [-π, π] → R une fonction de période T = 2π, définie par f(x) = |x|.

On a |f(x)| ≤ π.
f|_[-π,0] est décroissante et continue, et f|_[0,π] est croissante et continue.

f satisfait les conditions du théorème de Jordan, donc est développable en série de Fourier.

De plus, f est paire, ce qui nous donne b_n = 0.

a₀ = (1/π) ∫_-π^π f(x)dx = (2/π) ∫₀^π xdx = π.

a_n = (1/π) ∫_-π^π |x| cos(nx)dx = (2/π) ∫₀^π x cos(nx)dx = 0 si n est pair, ou -4/(πn²) si n est impair.

La série de Fourier converge alors vers f et on a f(x) = π/2 - ∑_n=1^∞ (4 / (π(2n + 1)²)) cos((2n + 1)x).

Puisque f est continue, la convergence est uniforme. Remarquons enfin que l'égalité f(0) = 0 se traduit par π/2 = ∑_n=1^∞ (4 / (π(2n + 1)²)) et par conséquent π²/8 = ∑_n=1^∞ (1 / (2n + 1)²).

Une des particularités des séries de Fourier est le calcul des sommes de certaines séries numériques.

2.1. Développement en série de Fourier de fonctions non périodiques

Il est clair que le développement en série de Fourier se pratique sur les fonctions périodiques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels développements pour des fonctions quelconques.

Soit f : [a, b] → R une fonction non périodique définie sur l'intervalle [a, b]. Soit g : R → R une fonction périodique de période T ≥ b - a telle que la restriction de g à [a,b] = f. Si g satisfait les conditions de Dirichlet, on aura :

g(x) = a₀/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nωx) + b_n sin(nωx)]

avec a_n et b_n les coefficients de Fourier associés à g. La somme de cette série coïncide partout avec f dans l'intervalle [a, b] sauf peut-être aux points de discontinuités de f.

Remarque 3.2.3 : Soit f : ]0, ℓ[ → R une fonction quelconque, et ℓ > 0. On suppose que f peut être prolongée sur ]-ℓ, 0[ et que les conditions de Dirichlet ou de Jordan soient satisfaites. Dans ce cas, on a le choix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair, soit un prolongement impair pour éviter les longs calculs des coefficients.

Exercice 1 : Donner une série de Fourier de période 2π qui coïncide sur ]0, π[ avec la fonction f(x) = e^x. Réponse : Ici, on ne précise que l'intervalle où la série de Fourier coïncide avec f, c'est-à-dire ]0, π[. Comme la période de la série de Fourier est 2π, il y a alors une infinité de réponses ; examinons trois cas différents. Notons f̃_i, i = 1, 2, 3, le prolongement de f à R tout entier. f̃_i sera une fonction de période 2π qui vaut exactement e^x pour tout x dans ]0, π[.

Choisissons un prolongement pair et posons :
f̃₁(x) = e^x si x ∈ ]0, π[

f̃₁(x) = e^-x si x ∈ ]-π, 0[

On vérifie aisément que f̃₁ est une fonction paire. Posons f̃₁(0) = 1 et f̃₁(π) = e^π, on a alors un prolongement continu sur R. Le graphique de f̃₁ et celui de la série de Fourier seront identiques. Le calcul des coefficients donne :

a₀ = 2(e^π - 1) / π, a_n = 2((-1)ⁿ e^π - 1) / (π(1 + n²)) et b_n = 0.

On a alors : S₁(x) = (e^π - 1) / π + ∑_n=1^∞ (2((-1)ⁿ e^π - 1) / (π(n² + 1))) cos(nx)
Choisissons un prolongement impair et posons :
f̃₂(x) = e^x si x ∈ ]0, π[

f̃₂(x) = -e^-x si x ∈ ]-π, 0[

On remarque que f̃₂ est une fonction impaire mais n'est pas continue sur R. Elle est discontinue en tout point de la forme kπ, k ∈ Z. Le calcul des coefficients donne :

a_n = 0 ∀n ∈ N, b_n = (2n (1 - (-1)ⁿ e^π)) / (π(1 + n²)).

On a alors : S₂(x) = ∑_n=1^∞ (2n (1 - (-1)ⁿ e^π) / (π(1 + n²))) sin(nx)

S₂(x) = e^x si x ∈ ]0, π[

S₂(x) = -e^-x si x ∈ ]-π, 0[

S₂(x) = 0 si x = 0 ou x = ±π.
Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons :
f̃₃(x) = e^x si x ∈ ]-π, π[

On remarque que f̃ est une fonction discontinue en tout point de la forme π + 2kπ, k ∈ Z. On a le résultat final :

S₃(x) = (e^π - e^-π)/π · (1/2 + ∑_n=1^∞ ((cos(nx) - n sin(nx)) / (n² + 1)))

S₃(x) = e^x si x ∈ ]-π, π[

S₃(x) = (e^π + e^-π)/2 si x = ±π.

On a obtenu trois séries différentes qui valent exactement e^x sur l'intervalle ]0, π[. On pouvait choisir d'autres prolongements et obtenir d'autres séries.

Remarque 3.2.4 : Si on voulait une série de Fourier de période π, alors il n'y a qu'une seule qui coïncide avec f sur ]0, π[. On trouve :

S₄(x) = (2(e^π - 1) / π) · (1/2 + ∑_n=1^∞ ((cos(2nx) - 2n sin(2nx)) / (4n² - 1)))

S₄(x) = e^x si x ∈ ]0, π[

S₄(x) = (1 + e^π)/2 si x = 0 ou x = π.

2.2. Égalité de Parseval

Théorème 3.2.3 (Égalité de Parseval) : Soit f une fonction développable en série de Fourier et de période T = 2π/ω > 0, alors on a pour α réel quelconque :

a₀²/2 + ∑_n=1^∞ (a_n² + b_n²) = (ω/π) ∫_α^α+2π/ω f²(x)dx = 2 ∑_n∈Z |c_n|²

où c_n = (a_n - ib_n)/2 et c_-n = (a_n + ib_n)/2 pour n ∈ N.

Remarque 3.2.5 :

Si f est de période 2π, on a : a₀²/2 + ∑_n=1^∞ (a_n² + b_n²) = (1/π) ∫₀^2π f²(x)dx = (1/π) ∫_-π^π f²(x)dx.
f fonction paire &implies; f² fonction paire &implies; a₀²/2 + ∑_n=1^∞ a_n² = (2/π) ∫₀^π f²(x)dx
f fonction impaire &implies; f² fonction paire &implies; ∑_n=1^∞ b_n² = (2/π) ∫₀^π f²(x)dx

3. Applications des Séries de Fourier

Exemple 3.3.1 : f étant une fonction 2π-périodique telle que :

f(x) = 1 si x ∈ ]0, π[

f(x) = -1 si x ∈ ]-π, 0[

f étant une fonction impaire &implies; a_n = 0, ∀n ∈ N.

On a : b_n = (2/π) ∫₀^π sin(nt)dt = (2/(nπ))(1 - (-1)ⁿ) = 0 si n est pair, ou 4/(nπ) si n est impair.

La série de Fourier associée est :

S(x) = (4/π) ∑_n=0^∞ (1 / (2n + 1)) sin((2n + 1)x)

S(x) = 1 si x ∈ ]0, π[

S(x) = 0 si x = 0 ou si x = π.

Remarque 3.3.1 : Pour x = π/2, on a S(π/2) = 1 = (4/π) ∑_n=0^∞ sin((2n + 1)π/2) / (2n + 1) = (4/π) ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / (2n + 1).

On tire : ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / (2n + 1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … = π/4.

Appliquons l'égalité de Parseval :

(2/π) ∫₀^π f²(t)dt = 1 = ∑_n=0^∞ (16 / (π²(2n + 1)²)).

Et l'on tire donc : ∑_n=0^∞ (1 / (2n + 1)²) = π²/8.

Remarque 3.3.2 : Posons S = ∑_n=1^∞ (1/n²), série convergente d'après le critère de Riemann. En séparant les pairs et les impairs, on a :

S = ∑_n=1^∞ (1/(2n)²) + ∑_n=0^∞ (1/(2n + 1)²) (☆).

Comme ∑_n=1^∞ (1/(2n)²) = ∑_n=1^∞ (1/(4n²)) = (1/4) ∑_n=1^∞ (1/n²) = S/4; en substituant dans l'égalité (☆), on a :

S = S/4 + ∑_n=0^∞ (1/(2n + 1)²) &implies; 3S/4 = ∑_n=0^∞ (1/(2n + 1)²) = π²/8 &implies; S = ∑_n=1^∞ (1/n²) = π²/6.

La méthode complexe :

c_n = (1/(2π)) ∫_-π^π e^-int f(t)dt = (1/(2π)) [ ∫_-π⁰ -e^-int dt + ∫₀^π e^-int dt ]

= (1/(2π)) [ [-e^-int / (-in)]_-π⁰ + [e^-int / (-in)]₀^π ]

= (1/(2πin)) [ (e⁰ - e^inπ) - (e^-inπ - e⁰) ] = (1/(2πin)) [ 1 - (-1)ⁿ - ((-1)ⁿ - 1) ] = (1/(2πin)) [ 2 - 2(-1)ⁿ ]

= (1/(πin)) [1 - (-1)ⁿ] = 1/2(a_n - ib_n).

Exemple 3.3.2 : f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = |x| si x ∈ [-π, π].

f étant une fonction paire &implies; b_n = 0, ∀n ∈ N.

On a : a₀ = (1/π) ∫_-π^π |t|dt = (2/π) ∫₀^π t dt = (2/π) [t²/2]₀^π = π.

Puis on a : a_n = (1/π) ∫_-π^π |t| cos(nt)dt = (2/π) ∫₀^π t cos(nt)dt

= (2/π) [ [t sin(nt)/n]₀^π - ∫₀^π sin(nt)/n dt ]

= (2/π) [ 0 - [(-cos(nt))/n²]₀^π ] = (2/(πn²)) [cos(nπ) - cos(0)] = (2/(πn²)) [(-1)ⁿ - 1].

= 0 si n est pair, ou -4/(πn²) si n est impair.

La série associée est donc : S(x) = π/2 - (4/π) ∑_n=0^∞ cos((2n + 1)x) / (2n + 1)².

f étant une fonction continue sur R, et admettant partout des dérivées à droite et à gauche, alors f(x) = S(x), ∀x ∈ R.

Remarque 3.3.3 : Pour x = 0, on a f(0) = 0 et comme f(0) = S(0), on tire :

S(0) = 0 = π/2 - (4/π) ∑_n=0^∞ 1 / (2n + 1)² &implies; ∑_n=0^∞ 1 / (2n + 1)² = π²/8.

L'égalité de Parseval donne :

(1/π) ∫_-π^π f²(t)dt = (1/π) ∫_-π^π t²dt = (1/π) [t³/3]_-π^π = (1/π) (π³/3 - (-π³/3)) = 2π²/3.

Et a₀²/2 + ∑_n=1^∞ a_n² = π²/2 + ∑_n=0^∞ (16 / (π²(2n + 1)⁴)).

Soit 2π²/3 = π²/2 + (16/π²) ∑_n=0^∞ 1/(2n + 1)⁴

π²/6 = (16/π²) ∑_n=0^∞ 1/(2n + 1)⁴ &implies; ∑_n=0^∞ 1/(2n + 1)⁴ = π⁴/96.

Remarque 3.3.4 : En écrivant S = ∑_n=1^∞ 1/n⁴ = ∑_n=1^∞ 1/(2n)⁴ + ∑_n=0^∞ 1/(2n + 1)⁴.

On déduit alors : S = (1/16)S + ∑_n=0^∞ 1/(2n + 1)⁴ &implies; (15/16)S = π⁴/96 &implies; S = ∑_n=1^∞ 1/n⁴ = π⁴/90.

Exemple 3.3.3 : f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = x si x ∈ ]-π, π[.

f est une fonction impaire, continue pour tout x ∈ R sauf aux points x = (2k + 1)π, k ∈ Z. Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Elle admet un développement en série de Fourier.

f est impaire &implies; a_n = 0, ∀n ∈ N, et l'on a :

b_n = (2/π) ∫₀^π t sin(nt)dt = (2/π) [ [-t cos(nt)/n]₀^π + ∫₀^π cos(nt)/n dt ]

= (2/π) [ -π cos(nπ)/n + [sin(nt)/n²]₀^π ] = (2/π) [ -π (-1)ⁿ/n + 0 ] = 2(-1)ⁿ⁺¹/n.

S(x) = 2 ∑_n=1^∞ ((-1)ⁿ⁺¹ / n) sin(nx) = f(x) si x ≠ (2k + 1)π avec k ∈ Z, ou 0 si x = (2k + 1)π avec k ∈ Z.

Remarque 3.3.5 : En appliquant l'égalité de Parseval, on obtient :

(1/π) ∫₀^π f²(t)dt = (1/π) ∫₀^π t²dt = (1/π) [t³/3]₀^π = π²/3.

Et (1/2) ∑_n=1^∞ b_n² = (1/2) ∑_n=1^∞ (4/n²) = 2 ∑_n=1^∞ 1/n².

Donc π²/3 = 2 ∑_n=1^∞ 1/n² &implies; ∑_n=1^∞ 1/n² = π²/6.

Exemple 3.3.4 : f étant une fonction 2π-périodique telle que : f(x) = x² si x ∈ ]-π, π].

f est une fonction paire, continue pour tout x ∈ R. Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Elle admet un développement en série de Fourier.

f est paire &implies; b_n = 0, ∀n ∈ N, et l'on a :

a₀ = (2/π) ∫₀^π t²dt = (2/π) [t³/3]₀^π = 2π²/3.

a_n = (2/π) ∫₀^π t²cos(nt)dt = (2/π) [ [t²sin(nt)/n]₀^π - ∫₀^π 2t sin(nt)/n dt ]

= (-4/(nπ)) ∫₀^π t sin(nt)dt = (-4/(nπ)) [ [-t cos(nt)/n]₀^π + ∫₀^π cos(nt)/n dt ]

= (-4/(nπ)) [ -π cos(nπ)/n + [sin(nt)/n²]₀^π ] = (-4/(nπ)) [ -π (-1)ⁿ/n + 0 ] = 4(-1)ⁿ/n².

Comme f est continue sur R, on a donc f(x) = S(x) et donc :

S(x) = 2π²/3 + ∑_n=1^∞ (4(-1)ⁿ / n²) cos(nx) = f(x) ∀x ∈ R.

Remarque 3.3.6 : Pour x = 0, on a f(0) = S(0) = 0, ce qui donne ∑_n=1^∞ ((-1)ⁿ⁺¹ / n²) = π²/12.

Exemple 3.3.5 : f étant une fonction périodique de période 2, telle que :

f(x) = x si 0 ≤ x < 1

f(x) = 1/2 si 1 ≤ x < 2

f n'est ni paire ni impaire et ne présente des discontinuités que pour les points d'abscisses un nombre entier positif ou négatif. f admet alors un développement de Fourier.

On a p = 2π/ω = 2 &implies; ω = π.

a₀ = (ω/π) ∫₀^2π/ω f(t)dt = ∫₀² f(t)dt = ∫₀¹ t dt + ∫₁² (1/2) dt = [t²/2]₀¹ + [(1/2)t]₁² = 1/2 + (1 - 1/2) = 1.

a_n = ∫₀¹ t cos(nπt)dt + ∫₁² (1/2) cos(nπt)dt = ((-1)ⁿ - 1) / (π²n²).

b_n = ∫₀¹ t sin(nπt)dt + ∫₁² (1/2) sin(nπt)dt = ((-1)ⁿ⁺¹ - 1) / (2nπ).

La série de Fourier associée à f est donc :

S(x) = 1/2 - (2/π²) ∑_n=0^∞ cos((2n + 1)πx) / (2n + 1)² - (1/(2π)) ∑_n=1^∞ sin(2nπx) / n.

En prenant les demi-sommes aux points de discontinuité, on a pour x ∈ [0, 2[ :

S(x) = 1/4 si x = 0

S(x) = x si 0 < x < 1

S(x) = 3/4 si x = 1

S(x) = 1/2 si 1 < x < 2

Exemple 3.3.6 : Donner la série de Fourier en sinus de la fonction : f(x) = cos x pour x ∈ ]0, π[.

On va faire un prolongement en fonction impaire de la fonction f. Comme la fonction sinus est de période 2π, posons alors :

f̃(x) = cos x si x ∈ ]0, π[

f̃(x) = -cos x si x ∈ ]-π, 0[

La fonction f̃ est une fonction impaire de période 2π, continue partout sur R sauf aux points x = kπ où k ∈ Z, où elle n'est pas définie (ou définie pour rendre la fonction périodique de manière impaire). Elle coïncide avec la fonction f sur ]0, π[. Elle admet donc un développement de Fourier.

Comme f̃ est impaire, a_n = 0, et on a :

b_n = (2/π) ∫₀^π cos(x) sin(nx) dx = (1/π) ∫₀^π [sin((n + 1)x) + sin((n - 1)x)] dx.

Pour n ≠ 1 :

b_n = (1/π) [ [-cos((n + 1)x) / (n + 1)]₀^π + [-cos((n - 1)x) / (n - 1)]₀^π ]

= (1/π) [ (1 - (-1)ⁿ⁺¹) / (n + 1) + (1 - (-1)^n-1) / (n - 1) ]

= (1/π) [ (1 + (-1)ⁿ) / (n + 1) + (1 + (-1)ⁿ) / (n - 1) ] = (1 + (-1)ⁿ)/π · ( (n - 1 + n + 1) / (n² - 1) ) = (2n (1 + (-1)ⁿ)) / (π(n² - 1)).

Pour n = 1 : b₁ = (2/π) ∫₀^π cos(x) sin(x) dx = (1/π) ∫₀^π sin(2x) dx = (1/π) [ -cos(2x)/2 ]₀^π = (1/(2π)) [ -1 - (-1) ] = 0.

Finalement, on a : b_2n+1 = 0 et b_2n = (8n) / (π(4n² - 1)).

∀x ∈ ]0, π[ : cos x = ∑_n=1^∞ (8n / (π(4n² - 1))) sin(2nx).

Remarque 3.3.7 : La demi-somme aux points de discontinuité est égale à 0. On a donc :

S(x) = (8/π) ∑_n=1^∞ (n / (4n² - 1)) sin(2nx)

S(x) = cos x si x ∈ [2kπ, (2k + 1)π[ pour k ∈ Z

S(x) = -cos x si x ∈ ](2k + 1)π, (2k + 2)π[ pour k ∈ Z

S(x) = 0 si x = kπ, k ∈ Z.

La fonction S(x) est périodique de période π.

Quelques développements intéressants

Si α ∈ R∖Z et x ∈ [-π, π] :
cos(αx) = (2α sin(πα) / π) · (1/(2α²) + ∑_n=1^∞ ((-1)ⁿ cos(nx)) / (n² - α²)).
Fonction impaire de période 2ℓ :
sin(πx/ℓ) - (4/π) ∑_n=1^∞ ((-1)ⁿ/n) sin(2nπx/ℓ)

= -π - x pour -2π < x < 0

= π - x pour 0 < x < 2π

= 0 pour x = 0, x = 2π, x = -2π.
∑_n=1^∞ sin(nx)/n

= sin(πx/ℓ) pour 0 ≤ x < ℓ/2

= 0 pour ℓ/2 < x ≤ ℓ

= 1/2 pour x = ℓ/2.
∑_n=1^∞ x cos(nx)/n²

= (3x² + 6πx + 2π²) / 12 pour -2π ≤ x ≤ 0

= (3x² - 6πx + 2π²) / 12 pour 0 ≤ x ≤ 2π.
∑_n=1^∞ sin(nx)/n³

= (x² + 3πx + 2π²x) / 12 pour -2π ≤ x ≤ 0

= (x² - 3πx + 2π²x) / 12 pour 0 ≤ x ≤ 2π.

FAQ sur les Séries de Fourier

Qu'est-ce qu'une série de Fourier ?: Une série de Fourier est une représentation d'une fonction périodique sous forme d'une somme infinie de fonctions trigonométriques (sinus et cosinus). Elle permet de décomposer des signaux complexes en leurs composantes harmoniques plus simples.
Pourquoi les séries de Fourier sont-elles utiles ?: Les séries de Fourier sont essentielles en physique et en ingénierie pour l'analyse des signaux, le traitement d'images, et la résolution d'équations différentielles. Elles sont également un outil puissant pour le calcul des sommes de certaines séries numériques, comme illustré dans les exemples de ce document.
Quelles conditions une fonction doit-elle remplir pour être développable en série de Fourier ?: Pour qu'une fonction périodique puisse être développée en série de Fourier, elle doit généralement satisfaire les conditions de Dirichlet ou de Jordan. Celles-ci incluent d'avoir un nombre fini de discontinuités de première espèce, d'être bornée, et d'avoir un nombre fini de maxima et minima sur une période.