Exercices fonctions de plusieurs variables analyse 3 -Corr -
Télécharger PDFExercices de Mathematiques ´ Fonctions de plusieurs variables (I) Enonc´es ´
Enonc´es des exercices ´
Exercice 1Soit ϕ ∈ C1(R, R), telle que ϕ(0) = 0 et le champ E = ((1 + x2)ϕ(x), −2xyϕ(x), −z). D´eterminer ϕ pour que E d´erive d’un potentiel vecteur et identifier un tel potentiel.
Exercice 2D´eterminer les fonctions de classe C1sur R2telles que x2 + y2 +
Exercice 31. Prolonger par continuit´e f(x, y) = |y|xexp −|y|x2 . 2. Le prolongement est-il de classe C1? x∂f ∂x + y∂f ∂y f = 0.
Exercice 4Montrer que E(M) =
Exercice 5−y x2 + y2,x x2 + y2,1 1 + z2 est un champ de gradients. Trouver les applications de classe C1sur R2telles que ∂f ∂x = 3∂f ∂y .
Exercice 6Soit f, g : R → R, de classe C1. On suppose qu’il existe k, k0 dans [0, 1[ tels que ∀x ∈ R, |f0(x)| ≤ k et |g0(x)| ≤ k0. Montrer que ϕ(x, y) = (x + g(y), y + f(x)) est un C1-diff´eomorphisme de R2.
Exercice 7Soit f : Rp → R, de classe C2, convexe. 1. Montrer que si gradu(f) = 0, alors f admet en u un minimum absolu. 2. En quel point du plan f(M) = AM +BM +CM est-elle minimum (A, B, C non align´es) ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.