Examen mi p2008 analyse 3 -Corr

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Exercice 0.1

Soit f la fonction définie par : f(x, y) = (x² + y²)x si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 1.

Montrer que f est continue sur Df.
Calculer &partial;f/&partial;x(x, y) et &partial;f/&partial;y(x, y) pour tout (x, y) ∈ (&Rcar;*)².
Étudier la différentiabilité de f sur Df.

Exercice 0.2

Soit f la fonction définie sur &Rcar;³ par : f(x, y, z) = x² + y² + z² + 2xyz.

Déterminer les points stationnaires de f.
Discuter l’existence d’un extremum local de f en ces points (on peut limiter le nombre de points stationnaires en remarquant que f est symétrique).

Exercice 0.3

Soient les surfaces orientées :

S+1: x² + y² + z² = 2z, avec 1 ≤ z ≤ 2, par le vecteur n = (x, y, z − 1).
S+2: x² + y² = z², avec 1/2 ≤ z ≤ 1, par le vecteur n = (x, y, −z).
S+3: x² + y² ≤ 1/4, avec z = 1/2, par le vecteur k = (0, 0, 1).

1. Donner une paramétrisation de chacune des trois surfaces.
2. Donner le vecteur normal associé à chaque paramétrisation.
Calculer l’intégrale triple : ∫∫∫ I = Ω x² dx dy dz où Ω est le domaine limité par les trois surfaces.
Calculer les flux φ₂ et φ₃ du champ de vecteurs V = (x³, −3y, 5z) à travers S+2 et S+3.
1. Rappeler les volumes d’une sphère de rayon R et d’un cône de rayon R et de hauteur h.
2. En appliquant la formule d’Ostrogradsky sur une surface convenable, calculer le flux φ₁ à travers S+1.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la continuité d'une fonction de plusieurs variables ?

La continuité d'une fonction f de plusieurs variables en un point signifie que la fonction est définie en ce point, que la limite de f lorsque les variables s'approchent de ce point existe, et que cette limite est égale à la valeur de la fonction en ce point. Autrement dit, il n'y a pas de "saut" ou de "trou" dans le graphe de la fonction.

Comment identifier les points stationnaires d'une fonction de plusieurs variables ?

Les points stationnaires d'une fonction de plusieurs variables sont les points où toutes les dérivées partielles premières de la fonction s'annulent simultanément. Ces points sont des candidats potentiels pour des extrema locaux (maximum, minimum) ou des points selles, et leur nature est souvent déterminée par l'étude de la matrice hessienne.

À quoi sert le théorème d'Ostrogradsky (ou théorème de la divergence) ?

Le théorème d'Ostrogradsky, également connu sous le nom de théorème de la divergence ou de Gauss, établit une relation fondamentale entre le flux d'un champ de vecteurs à travers une surface fermée et l'intégrale triple de la divergence de ce champ sur le volume que cette surface délimite. Il est particulièrement utile pour simplifier le calcul des flux à travers des surfaces complexes en les transformant en intégrales de volume plus faciles à évaluer.