Chapitre 4 caractéristiques géométriques des sections planes

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Caractéristiques Géométriques des Sections Planes en Résistance des Matériaux

Introduction

En résistance des matériaux, pour calculer les contraintes et les déformations des solides étudiés, il est essentiel de déterminer plusieurs caractéristiques géométriques des sections planes. Ces caractéristiques sont fondamentales pour comprendre le comportement mécanique des structures. Les principales caractéristiques à déterminer sont :

Le centre de gravité
Le moment statique
Les moments quadratiques

I. Centre de Gravité

Le centre de gravité (G) d'une section plane d'aire S, définie dans un repère orthonormé Oxy, représente le point d'application de la résultante des forces de gravité si la section était une plaque homogène. Ses coordonnées (X_G et Y_G) sont définies par les intégrales suivantes :

X_G = (∫∫_S x.dS) / S

Y_G = (∫∫_S y.dS) / S

Où dS est un élément d'aire de la section.

Si la section S peut être décomposée en n sous-sections simples (S_i) avec des centres de gravité connus (x_Gi et y_Gi), les coordonnées du centre de gravité global G sont calculées par les sommes pondérées :

X_G = (∑_i=1ⁿ (S_i . x_Gi)) / (∑_i=1ⁿ S_i)

Y_G = (∑_i=1ⁿ (S_i . y_Gi)) / (∑_i=1ⁿ S_i)

Exemple de Centre de Gravité

Considérons une section composite. La méthode de décomposition en sous-sections simples permet de simplifier le calcul des coordonnées du centre de gravité en utilisant les formules de sommation.

II. Moment Statique

Pour un élément dS de coordonnées X et Y, le moment statique élémentaire par rapport à l'axe Ox est défini par :

dμ_x = Y.dS

Pour l'ensemble de la section, le moment statique μ_x par rapport à l'axe Ox est :

μ_x = ∫∫_S y.dS

De même, le moment statique μ_y par rapport à l'axe Oy est :

μ_y = ∫∫_S x.dS

Le moment statique peut également s'exprimer en fonction du centre de gravité :

μ_x = S . Y_G

μ_y = S . X_G

Remarques sur le Moment Statique

Pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment statique par rapport à cet axe est nul. C'est une propriété fondamentale du centre de gravité.
Si la section S est décomposée en n sous-sections simples d'aires S_i et de centres de gravité (x_Gi, y_Gi), les moments statiques totaux sont :

μ_x = ∑_i=1ⁿ (S_i . y_Gi)

μ_y = ∑_i=1ⁿ (S_i . x_Gi)

III. Moments Quadratiques (Moments d'Inertie)

Les moments quadratiques, aussi appelés moments d'inertie, sont cruciaux pour l'analyse de la résistance des poutres et autres éléments structurels à la flexion et au flambement.

III.1 Moment Quadratique par Rapport à un Axe

Pour un élément dS de coordonnées X et Y, le moment quadratique élémentaire par rapport à l'axe Ox est défini par :

dI_Ox = Y².dS

Pour l'ensemble de la section, le moment quadratique I_Ox par rapport à l'axe Ox est :

I_Ox = ∫∫_S y².dS

De même, le moment quadratique I_Oy par rapport à l'axe Oy est :

I_Oy = ∫∫_S x².dS

Remarques sur les Moments Quadratiques

Le moment quadratique est aussi appelé moment d'inertie de la section.
Il est toujours positif, car il est calculé à partir de distances au carré.
L'unité des moments quadratiques est généralement en mm⁴ ou m⁴.

III.2 Translation d'Axes : Théorème de Huygens (ou Théorème des Axes Parallèles)

Le théorème de Huygens permet de calculer le moment quadratique d'une section par rapport à un axe quelconque à partir de son moment quadratique par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité.

Soient un repère Oxy et un repère Gxy' dont l'origine G est le centre de gravité de la section S, et dont les axes Gx et Gy' sont parallèles à Ox et Oy respectivement. Si Y_G est la distance entre les axes Ox et Gx (ou la coordonnée y du centre de gravité dans le repère Oxy), alors :

I_Ox = I_Gx + S . Y_G²

Où I_Gx est le moment quadratique par rapport à l'axe Gx passant par le centre de gravité.

De même, si X_G est la distance entre les axes Oy et Gy (ou la coordonnée x du centre de gravité dans le repère Oxy) :

I_Oy = I_Gy + S . X_G²

Calcul Pratique du Moment Quadratique

Si la surface peut être décomposée en n sous-sections d'aires S_i et de moments quadratiques connus I_Oxi et I_Oyi (par rapport aux axes de référence), alors les moments quadratiques totaux sont :

I_Ox = ∑_i=1ⁿ I_Oxi

I_Oy = ∑_i=1ⁿ I_Oyi

Il est souvent nécessaire de connaître le moment quadratique de la section par rapport à son centre de gravité (I_Gx ou I_Gy). Si une section est décomposée en n sous-sections S_i, chacune avec son propre centre de gravité G_i et ses moments quadratiques intrinsèques I_Gix ou I_Giy, on applique le théorème de Huygens pour chaque sous-section puis on somme :

I_Gx = ∑_i=1ⁿ (I_Gix + S_i . (Y_Gi - Y_G)²)

I_Gy = ∑_i=1ⁿ (I_Giy + S_i . (X_Gi - X_G)²)

Où (X_G, Y_G) sont les coordonnées du centre de gravité global de la section composite.

III.3 Moment Quadratique par Rapport à un Couple d'Axes (Moment Produit d'Inertie)

Ce moment est aussi appelé moment produit d'inertie. Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux axes Ox et Oy est :

dI_Oxy = X.Y.dS

Pour l'ensemble de la section :

I_Oxy = ∫∫_S x.y.dS

Théorème de Huygens pour le Moment Produit

Similaire au théorème pour les moments quadratiques, le moment produit peut être translaté :

I_Oxy = I_Gxy + S . X_G . Y_G

Où I_Gxy est le moment produit par rapport aux axes passant par le centre de gravité G.

Remarques sur le Moment Produit

Le moment produit est une grandeur algébrique, il peut être positif, négatif ou nul.
Si l'un des deux axes (Ox ou Oy) est un axe de symétrie pour la section, alors I_Oxy = 0.

Calculs Pratiques du Moment Produit

Si la surface est décomposée en n sous-sections de moments produits connus I_Oxyi, alors :

I_Oxy = ∑_i=1ⁿ I_Oxyi

Si l'on cherche le moment produit d'une section par rapport à son centre de gravité et qu'elle est décomposée en n sous-sections (S_i) de centres de gravité G_i(x_Gi, y_Gi) et de moments produits par rapport à leur propre centre de gravité G_ixyi connus :

I_Gxy = ∑_i=1ⁿ (I_Gixy + S_i . (X_Gi - X_G) . (Y_Gi - Y_G))

III.4 Moment Quadratique par Rapport à un Point (Moment Quadratique Polaire)

Ce moment est aussi appelé moment quadratique ou d'inertie polaire. Pour un élément dS situé à une distance ρ de l'origine O, le moment quadratique polaire élémentaire est :

dI_o = ρ².dS

Pour l'ensemble de la section :

I_o = ∫∫_S ρ².dS

Puisque ρ² = x² + y², on peut écrire :

I_o = ∫∫_S (x² + y²).dS = ∫∫_S x².dS + ∫∫_S y².dS

Ainsi, le moment quadratique polaire par rapport à un point O est la somme des moments quadratiques par rapport aux axes orthogonaux passant par ce point :

I_o = I_Ox + I_Oy

Changement d'Origine (Théorème de Huygens pour le Moment Polaire)

Le théorème de Huygens s'applique aussi au moment quadratique polaire. Le moment polaire par rapport à un point O est égal au moment polaire par rapport au centre de gravité G, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance OG :

I_o = I_G + S . (OG)²

Où I_G = I_Gx + I_Gy est le moment quadratique polaire par rapport au centre de gravité G, et (OG)² = X_G² + Y_G² est le carré de la distance entre O et G.

III.5 Remarques Pratiques Concernant le Calcul des Moments Quadratiques

Les moments quadratiques s'ajoutent et se retranchent. Cette propriété simplifie la détermination des moments quadratiques pour des surfaces composées d'éléments simples (par exemple, des formes complexes peuvent être décomposées en rectangles, cercles, etc.).

Exemple : Pour une section avec un trou, on peut calculer le moment quadratique de la section pleine et soustraire celui du trou.

III.6 Moments Quadratiques d'Axes Concourants et Rotation d'Axes

Lorsqu'une section est étudiée dans des repères orientés différemment, il est nécessaire de transformer les moments quadratiques.

III.6.1 Rotations d'Axes

Soient deux systèmes d'axes Oxy et OXY, où OXY est obtenu par une rotation d'angle θ du système Oxy. Les moments quadratiques I_OX, I_OY et le moment produit I_OXY dans le nouveau repère sont liés aux moments quadratiques I_Ox, I_Oy et I_Oxy dans le repère original par les relations :

I_OX = I_Ox cos²θ + I_Oy sin²θ - 2 I_Oxy sinθ cosθ

En utilisant les formules d'angle double (cos²θ = (1+cos2θ)/2, sin²θ = (1-cos2θ)/2, sinθ cosθ = sin2θ/2), ces expressions deviennent :

I_OX = (I_Ox + I_Oy)/2 + (I_Ox - I_Oy)/2 cos(2θ) - I_Oxy sin(2θ)

I_OY = (I_Ox + I_Oy)/2 - (I_Ox - I_Oy)/2 cos(2θ) + I_Oxy sin(2θ)

Et pour le moment produit I_OXY :

I_OXY = (I_Ox - I_Oy)/2 sin(2θ) + I_Oxy cos(2θ)

III.6.2 Recherche des Directions Principales

Les directions principales d'inertie sont celles pour lesquelles les moments quadratiques atteignent leurs valeurs extrêmes (maximale et minimale) et pour lesquelles le moment produit est nul. Pour les trouver, on annule la dérivée de I_OX (ou I_OY) par rapport à θ. Cela conduit à :

tan(2θ_p) = 2 I_Oxy / (I_Oy - I_Ox)

Cette équation donne deux angles θ_p1 et θ_p2, séparés de 90 degrés (π/2), qui définissent les directions principales. Pour ces directions, le moment produit I_OXY est nul.

Remarques sur les Directions Principales

Pour les directions principales, le moment produit d'inertie (I_OXY) est nul.
Tout axe de symétrie de la section est un axe principal d'inertie.
Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également un axe principal d'inertie.

III.6.3 Expression des Moments Quadratiques Principaux

Les valeurs extrêmes des moments quadratiques (I_max et I_min), correspondant aux axes principaux, sont données par :

I_max/min = (I_Ox + I_Oy)/2 ± √[ ((I_Ox - I_Oy)/2)² + I_Oxy² ]

Ces valeurs sont les moments d'inertie principaux de la section.

III.6.4 Représentation Graphique – Cercle de Mohr

Les relations de transformation des moments quadratiques (I_OX, I_OXY) peuvent être représentées graphiquement par le Cercle de Mohr. C'est un outil très utile en mécanique pour visualiser les états de contraintes ou d'inertie et pour déterminer les axes principaux et les valeurs extrêmes.

L'équation du cercle de Mohr est dérivée en effectuant la somme des carrés des expressions de I_OX et I_OXY, et elle se présente sous la forme :

(I_OX - C)² + I_OXY² = R²

Où C est le centre du cercle : C = (I_Ox + I_Oy)/2

Et R est le rayon du cercle : R = √[ ((I_Ox - I_Oy)/2)² + I_Oxy² ]

Sur le cercle de Mohr, les points sur l'axe horizontal représentent les moments quadratiques principaux (I_max et I_min), et l'angle de rotation des axes est représenté par 2θ sur le cercle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le centre de gravité d'une section plane ?

Le centre de gravité d'une section plane est le point où l'ensemble de la masse ou de la surface peut être considéré comme concentré. Il est crucial pour déterminer l'équilibre et le comportement structurel, car il représente le point d'application des forces de gravité.

Quelle est la différence entre le moment statique et le moment quadratique ?

Le moment statique mesure la répartition de la surface par rapport à un axe et est utilisé pour trouver le centre de gravité. Le moment quadratique (ou moment d'inertie) mesure la résistance d'une section à la flexion ou au flambement et dépend de la distribution de la surface par rapport à un axe au carré. Le moment statique peut être nul ou négatif, tandis que le moment quadratique est toujours positif.

Pourquoi le théorème de Huygens est-il important ?

Le théorème de Huygens permet de calculer facilement le moment quadratique d'une section par rapport à n'importe quel axe, à partir du moment quadratique par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité de la section. Cela simplifie considérablement les calculs pour des sections complexes ou des éléments composites, en évitant des intégrations directes parfois fastidieuses.