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Cisaillement

Exemples de pièces cisaillées

De tels exemples ne manquent pas dans la pratique. Il est important de bien identifier la ou les sections cisaillées, ainsi que l’effort responsable de ce cisaillement, afin de pouvoir en déduire ultérieurement les contraintes tangentielles de cisaillement.

1) La tôle cisaillée à la cisaille-guillotine, le fil ou la feuille de papier découpée au moyen d’une paire de ciseaux, etc. Il suffit d’un léger décalage des efforts de cisaillement V pour que la pièce soit cisaillée sur une section Acis dite « section cisaillée ». En application du principe général d’équilibre intérieur, ou principe de la coupe, la partie de gauche G ne peut être en équilibre de translation verticale que si l’on fait apparaître dans la section A des contraintes tangentielles τ exercées par la partie de droite D sur la partie de gauche G, et dont la résultante vaut V afin d’annuler l’effet de T sur G. La pièce sera coupée en deux, ou cisaillée, dès que V aura provoqué des contraintes τ supérieures à la résistance du matériau. Il est à noter que celle-ci est inférieure à la résistance à la traction ou à la compression du même matériau, et que les contraintes τ ne sont pas nécessairement uniformes sur Acis, ni égales à V/Acis, comme on aurait pu le penser en extrapolant ce qui a été dit lors de la traction.

2) Les joints collés entre deux tôles. Les contraintes τ qui règnent au sein de la couche de colle sont plus ou moins uniformément réparties. Ce type d’assemblage a un bel avenir dans les constructions légères et dans la restauration (renforcement de structures).

3) Deux plats assemblés par des cordons de soudure latéraux. Il y aura cisaillement dans le plan de séparation entre le métal d’apport (soudure) et le métal de base (plat en acier) dû à l’effort N de traction qui sollicite l’assemblage. Nous aurons l’occasion d’y revenir plus en détail dans ce chapitre.

4) L’âme d’une poutre fléchie. Aux environs des deux appuis, l’âme de la poutre fléchie est le siège de contraintes de cisaillement importantes. L’étude détaillée de ces contraintes sera faite au chapitre sur la flexion.

5) Deux plats assemblés par un rivet. Celui-ci sera cisaillé, à cause de l’effort N sur l’assemblage, dans une section suivant ab. Nous examinerons ce cas plus en détail ci-après.

Cisaillement pur - Théorie élémentaire

Reprenons un instant encore le dernier exemple du § 5.1 et imaginons un cube de matière infiniment petit situé à cheval sur la ligne ab. À cause du phénomène de cisaillement, la face supérieure et la face inférieure du cube sont soumises aux contraintes de cisaillement τ. Si l’on admet que ces faces sont libres de toute autre contrainte que τ, alors on dit qu’elles sont sollicitées en cisaillement pur. Sous l’influence de ces contraintes, le cube va se déformer et les deux faces en question vont glisser l’une par rapport à l’autre. L’angle γ, infiniment petit, qui définit cette distorsion, s’appelle « angle de glissement ».

Dans le domaine élastique, les déformations étaient proportionnelles à leur cause, c’est-à-dire les contraintes. La loi de Hooke σ = εE en constituait l’expression mathématique dans le cas de la traction. Dans le cas du cisaillement, il en est de même et l’on dira que l’angle de glissement γ est proportionnel à sa cause, c’est-à-dire à la contrainte tangentielle de cisaillement τ. Cela s’exprime de la façon suivante :

τ = γG

Avec :

G = E / (2 * (1 + ν))

Notations :

• G : Caractéristique du matériau, appelée module d’élasticité transversale, ou module de glissement, ou encore module de Coulomb (en N/mm²).
• ν : Coefficient de Poisson.

Application 5.1.

Que vaut le module de Coulomb de l’acier sachant que E = 210 000 N/mm² et ν = 0.30 ?

Solution :

Application directe de la formule : G = 210 000 / (2 * (1 + 0.30)) = 80 769 N/mm².

Remarque : Souvent pour l’acier, on prend, en première approximation, G = 80 000 N/mm². Pour les métaux, on a en général : G ≈ 0.4 E = 0.4 × 210 000 = 84 000 N/mm². On rencontrera à nouveau cette caractéristique G dans le chapitre sur la Torsion.

Cisaillement technologique

Le cisaillement pur est une idéalisation supplémentaire de la Résistance des Matériaux. Il ne se produit pratiquement jamais si ce n’est dans la section transversale d’une barre tordue, et sur l’axe neutre de la section d’une poutre fléchie. Dans tous les autres cas, les contraintes tangentielles τ sont presque toujours accompagnées de contraintes normales σ.

Dans différents assemblages de constructions (assemblages boulonnés, clavetés, rivetés, soudés, dans les entailles à bois, etc.), les éléments d’assemblage sont soumis dans différents plans à la traction ou à la compression, au cisaillement ou au matage. Le cisaillement est toujours accompagné soit d’une flexion, soit d’une traction ou d’une compression. C’est pourquoi dans les plans de cisaillement, hormis les contraintes tangentielles, nous trouvons encore des contraintes normales. Mais comme les valeurs de ces contraintes normales sont petites devant les contraintes tangentielles, pratiquement on effectue un calcul de cisaillement.

Conséquence : Un état de charge tel que dans toute section droite il n’existe qu’un effort tranchant ne peut donc se produire. Nous définirons un état de charge où le cisaillement est prépondérant par l’appellation : cisaillement technologique.

Définition : Un système est soumis à cisaillement technologique lorsque les contraintes prépondérantes sont dues à l’effort tranchant V.

Expression de la contrainte tangentielle

Dans le « cisaillement technologique », nous pouvons considérer, excepté aux endroits où l’effort V est appliqué, et en l’absence d’une connaissance précise de la distribution des contraintes, que les contraintes tangentielles (produites par l’effort tranchant V) sont réparties d’une manière uniforme dans la section soumise à cisaillement (Acis) :

τ moyen = V / Acis

Cette contrainte moyenne τ moyen est appelée cisaillement technologique. Les valeurs des contraintes admissibles devront tenir compte des approximations faites dans la théorie développée.

Dimensionnement (Contraintes admissibles)

1) Dans le cas d’un matériau ductile, la contrainte tangentielle admissible en cisaillement τ adm cis est obtenue en tenant compte d’un coefficient de sécurité S par rapport à la limite d’élasticité en cisaillement τ e cis :

τ adm cis = τ e cis / S

Pour les matériaux ductiles, la limite élastique en cisaillement τ e cis est égale à 58 % de la limite élastique de traction, soit : τ e cis ≈ 0.58 Re. Et donc :

τ adm cis ≈ 0.58 Re / S

2) Si le matériau est fragile (béton, fonte grise, etc.), il est préférable de ne pas l’utiliser en cisaillement. Toutefois, on peut admettre que la contrainte tangentielle admissible de cisaillement τ adm cis se déterminera à partir de la résistance à la rupture Rm et vaut :

τ adm cis = Rm / S

3) Quel que soit le type de matériau utilisé, le dimensionnement des sections droites devra être tel que les contraintes tangentielles moyennes de cisaillement τ moy ne dépassent pas la contrainte tangentielle de cisaillement admissible τ adm cis :

τ moy ≤ τ adm cis

4) Les coefficients de sécurité S seront les mêmes que ceux définis au chapitre « Traction - Compression ».

Calcul élémentaire d’assemblages

Dans le présent paragraphe, des exemples de calcul élémentaire de quelques assemblages seront donnés. Il faut noter que le calcul complet (faisant par ailleurs souvent référence aux normes) sera étudié dans les cours de spécialité.

Dimensionnement d’une clavette

Les normes donnent les valeurs de la largeur a et de la hauteur b en fonction du diamètre de l’arbre. Il reste à trouver la longueur l de la clavette.

Hypothèses :

• La clavette est encastrée dans l’arbre.
• La clavette exerce une action de contact uniformément répartie sur le moyeu.

A) Dimensionnement au cisaillement

La surface cisaillée Acis de la clavette est égale à :

Acis = a * l

En appelant V l’effort tranchant s’exerçant sur celle-ci, on trouve :

τ moyen = V / Acis = V / (a * l)

En remarquant que l'effort V peut être lié au moment de torsion Mt par la relation : V = (2 * Mt) / d

Notations :

• d : Le diamètre de l’arbre (en mm).
• Mt : Le moment de torsion (en Nmm).

On obtient :

τ moyen = (2 * Mt) / (a * l * d) ≤ τ adm cis

D’où la longueur minimale de la clavette :

l ≥ (2 * Mt) / (a * d * τ adm cis)

B) Dimensionnement au matage

En ce qui concerne les clavettes, la pression admissible de matage doit être beaucoup plus faible. En effet, il faut que l’on puisse facilement monter et démonter l’assemblage. Aucune déformation n’est permise. C’est pourquoi on choisira la pression admissible de matage pour une clavette dans un tableau spécifique.

En pratique, pour le calcul d’une clavette, c’est la condition de non-matage qui sera prépondérante par rapport à la condition au cisaillement.

Pour assurer la condition de non-matage, il faut que l'effort V soit inférieur ou égal à la force maximale supportable par matage. Cette force est le produit de la pression admissible de matage par la surface de contact effective entre la clavette et le moyeu, qui est généralement b/2 * l :

V ≤ (b * l * padm mat) / 2

Sachant que V = (2 * Mt) / d, on obtient la longueur minimale requise :

l ≥ (4 * Mt) / (b * d * padm mat)

Notations :

• padm mat : Pression admissible de matage (en N/mm²).
• b : Hauteur de la clavette (en mm).

Pour les clavettes, les valeurs couramment admises pour la pression admissible au matage padm mat sont :

Clavetage	(a) Conditions plutôt mauvaises (chocs, grandes tolérances, etc.)	(b) Conditions moyennes (avant-projet)	(c) Bonnes conditions (ajustement parfait, aucun choc, etc.)
Clavetage fixe (N/mm²)	40 à 70	60 à 100	80 à 150
Clavetage glissant sans charge (N/mm²)	15 à 30	20 à 40	30 à 50
Clavetage glissant avec charge (N/mm²)	3 à 10	5 à 15	10 à 20

Remarque : Au-dessus de 250 N/mm², le matage est important.

C) Remarques pratiques

1) Pour une clavette, on utilisera toujours un acier dont la résistance à la rupture Rm est supérieure (ou égale) à 600 N/mm².

2) Les longueurs des clavettes sont uniformisées dans l’industrie et toujours un multiple de 5 mm. Cependant, pour concevoir la clavette, on évitera de prendre une longueur supérieure à deux fois le diamètre de l’arbre. En d’autres termes :

l ≤ 1.75d à 2d

3) Dans certains cas, la clavette n’est pas « encastrée » de la même façon dans l’arbre et dans le moyeu. De ce fait, le matage ne s’effectuera plus sur une hauteur b/2 mais il faudra considérer la plus petite hauteur encastrée soit dans l’arbre, soit dans le moyeu.

4) En résumé, il est possible d'utiliser un abaque pour déterminer la clavette.

Application 5.3.

Une poulie transmet à un arbre de 80 mm de diamètre un couple moteur de 1200 Nm. Si nous considérons un coefficient de sécurité de 5 et un clavetage fixe utilisé dans de très mauvaises conditions, déterminez complètement la clavette à utiliser. (Acier spécial à clavettes : Rm = 1000 N/mm² et Re = 850 N/mm²)

Solution :

Clavette normalisée pour un diamètre d’arbre de 80 mm : largeur a = 22 mm et hauteur b = 14 mm.

Calcul au cisaillement :

τ adm cis = 0.58 × Re / S = 0.58 × 850 N/mm² / 5 = 98.6 N/mm²

l ≥ (2 × Mt) / (a × d × τ adm cis) = (2 × 1200 × 10³) Nmm / (22 mm × 80 mm × 98.6 N/mm²) ≈ 13.81 mm

Calcul au matage :

Prenons padm mat = 40 N/mm² (pour clavetage fixe, mauvaises conditions, voir tableau).

l ≥ (4 × Mt) / (b × d × padm mat) = (4 × 1200 × 10³) Nmm / (14 mm × 80 mm × 40 N/mm²) ≈ 107.14 mm

Vérification de la longueur maximum :

l ≤ 1.75d à 2d = 1.75 × 80 mm à 2 × 80 mm = 140 mm à 160 mm

Longueur choisie : 110 mm (cette longueur satisfait toutes les conditions, car elle est supérieure à la longueur minimale requise par le matage (107.14 mm) et inférieure à la longueur maximale recommandée).

Application 5.4.

La transmission du couple entre un levier 1 et un axe 2 est réalisée au moyen d’une clavette de section 16 mm x 10 mm et de longueur l = 30 mm. Déterminez les contraintes de cisaillement dans la clavette si l’effort F appliqué au levier est égal à 900 N. Quelle est la contrainte de matage ?

Solution :

Recherche de l’effort tranchant V :

Écrivons l’équation des moments autour du centre de rotation de la pièce (en assumant que l'effort F est appliqué à 625 mm du centre et que la clavette agit à 25 mm du centre, comme suggéré par les chiffres dans la solution originale) :

V × 25 mm = F × 625 mm => V × 25 = 900 N × 625 mm => V = (900 × 625) / 25 = 22 500 N

Calcul de la contrainte de cisaillement :

Acis = a × l = 16 mm × 30 mm = 480 mm²

τ cis = V / Acis = 22 500 N / 480 mm² = 46.875 N/mm²

Calcul de la pression de matage :

Dimension de la surface matée (sur la hauteur effective de contact, b/2) :

Amatée = (b/2) × l = (10 mm / 2) × 30 mm = 5 mm × 30 mm = 150 mm²

σ matée = V / Amatée = 22 500 N / 150 mm² = 150 N/mm²

Dimensionnement d’une goupille (rivet)

Lorsque l’on calcule au cisaillement une goupille (rivet), on suppose que la distribution des forces extérieures agissant sur le boulon d’une part, et la distribution des contraintes tangentielles dans la section d’autre part, se réalise de manière telle qu’elles soient réparties uniformément dans l’aire de la section de cisaillement.

A) Dimensionnement au cisaillement

La détermination du diamètre d’un boulon (rivet ou goupille) s’effectue d’après la condition de résistance au cisaillement. Elle s’écrit :

Acis = π * db² / 4

τ = V / Acis ≤ τ adm cis goupille

Et donc le diamètre minimal de la goupille :

db ≥ √(4 * V / (π * τ adm cis goupille))

Notations :

• V : Effort tranchant (en N).
• Acis : Section de la goupille (ou boulon) soumise au cisaillement (en mm²).
• db : Diamètre de la goupille (en mm).
• τ adm cis goupille : Contrainte admissible de cisaillement du matériau de la goupille (en N/mm²).

Matière du rivet et contraintes admissibles :

Matière du rivet	τ adm rivet (N/mm²)
Acier A48	150 à 200
Acier Z 12 N 05f	320
Cuivre rouge	150
Laiton	100
Aluminium	100

Application 5.5.

Deux plats reliés par un rivet sont sollicités par un effort de 20 kN. Le rivet est en acier A48. Déterminez le diamètre du rivet.

Solution :

Contrainte admissible (prise dans le tableau pour l'acier A48) : τ adm = 150 N/mm²

Calcul du diamètre du rivet :

db ≥ √(4 × 20 000 N / (π × 150 N/mm²)) ≈ √(169.76 mm²) ≈ 13.03 mm. Un diamètre de 14 mm serait généralement choisi pour un rivet standard.

B) Dimensionnement au matage (pression diamétrale)

Une fois l’assemblage dimensionné, il convient, pour être complet, de vérifier si les pressions qui naissent entre les goupilles (rivets) et l’acier des plats ou des tôles qui les entourent ne dépassent pas une valeur telle que les trous dans les plats ou les tôles s’ovalisent sous cette pression, ou que l’acier du fût des goupilles (rivets) s’écrase pour la même cause.

Cette pression s’appelle pression diamétrale. Sa valeur moyenne p est à limiter comme suit :

p = V / (nb_rivet × db × e) ≤ padm matage

Remarque : En l’absence de données concernant la padm matage, se référer au chapitre sur le matage (par exemple § 3.7 si pertinent).

Notations :

• V : Effort sollicitant l’assemblage (en N).
• nb_rivet : Nombre de rivets (goupilles).
• db : Diamètre du rivet (goupille) (en mm).
• padm mat : Pression admissible au matage que peut supporter la tôle (en N/mm²).
• e : Épaisseur de la tôle la plus mince assemblée, dans le cas du recouvrement simple, ou épaisseur de la tôle sur laquelle agit V (c’est-à-dire en général la plus épaisse) dans le cas du recouvrement double (en mm).

La détermination de l’épaisseur e de la tôle se fait d’après la condition de non-matage. Et donc :

σ mat = V / Amat ≤ padm mat tôle

Avec : Amat = e × db

Et donc l'épaisseur minimale de la tôle :

e ≥ V / (db × padm mat tôle)

Notations :

• e : Épaisseur de la tôle (en mm).
• padm mat tôle : Pression admissible au matage que peut supporter la tôle (en N/mm²).

C) Dimensionnement à la traction

Étant donné que le boulon affaiblit les tôles à joindre, il importe de déterminer la largeur a de la plaque afin qu'elle résiste à la traction due à l’effort V :

σ = V / A1 ≤ σ adm tôle

Avec : A1 = e × (a - d1)

Et donc la largeur minimale de la tôle :

a ≥ (V / (e × σ adm tôle)) + d1

Notations :

• e : Épaisseur de la tôle (en mm).
• a : Largeur de la tôle (en mm).
• d1 : Diamètre du trou (en mm, généralement légèrement supérieur au diamètre de la goupille db).
• σ adm tôle : Contrainte admissible de traction du matériau de la tôle (en N/mm²).

D) Dimensionnement au cisaillement de la plaque

La détermination de la longueur b' de l’extrémité de la plaque se fait d’après la condition au cisaillement. Dans le cas d'une ruine par arrachement, la tôle est cisaillée sur deux sections latérales adjacentes au rivet.

τ = V / (2 × Acis) ≤ τ adm cis (pour deux plans de cisaillement)

Avec : Acis = b' × e

Et donc la longueur minimale restante de la tôle :

b' ≥ V / (2 × e × τ adm cis)

Notations :

• b' : Longueur restante de la tôle (en mm).
• τ adm cis : Contrainte admissible de cisaillement du matériau de la tôle (en N/mm²).

Remarque importante : Pour les aciers les plus courants, les concentrations de contraintes n’ont pas d’effet sur la résistance en traction des pièces soumises à un chargement statique. En effet, à cause de la ductilité de l’acier, il y a adaptation plastique. Si les contraintes près du trou atteignent la limite élastique Re, elles cessent d’augmenter, ce qui cause une redistribution des contraintes. La ductilité a comme effet d’égaliser les contraintes sur la section nette. Par conséquent, pour le calcul de la résistance en traction, on tient compte de la présence des trous simplement en enlevant l’aire perdue.

Application 5.6.

Une articulation cylindrique reliant 2 plats en AE235 d’une épaisseur à déterminer, est réalisée au moyen d’une goupille cylindrique de diamètre d. L’effort maximum supporté par la liaison est de 50 000 N. La contrainte admissible au cisaillement du matériau de la goupille est de 50 N/mm². Déterminez le diamètre de la goupille et la largeur du plat à utiliser en considérant un coefficient de sécurité égal à 4. (Pour l'acier AE235, nous utiliserons Re = 235 N/mm²)

Solution :

Dimensionnement au cisaillement de la goupille :

db ≥ √(4 × V / (π × τ adm cis goupille)) = √(4 × 50 000 N / (π × 50 N/mm²)) ≈ 35.68 mm. Prenons db = 36 mm.

Dimensionnement au matage de la tôle :

Pour l'acier AE235, la pression admissible au matage peut être approximée. Si on considère la limite élastique Re = 235 N/mm² et un coefficient de sécurité S=4, cela donnerait 58.75 N/mm². Si l'on se réfère à une pratique courante où padm mat tôle est parfois prise égale à Re, ou Re/2, la solution originale implique une valeur de 235 N/mm² pour `padm mat tôle` (interprétation des chiffres de la solution). Prenons `padm mat tôle = 235 N/mm²` pour être en phase avec le comportement attendu dans l'exercice.

e ≥ V / (db × padm mat tôle) = 50 000 N / (36 mm × 235 N/mm²) ≈ 5.91 mm. Prenons e = 6 mm.

Dimensionnement à la traction de la tôle :

Contrainte admissible de traction pour la tôle : σ adm tôle = Re / S = 235 N/mm² / 4 = 58.75 N/mm².

Diamètre du trou d1 = diamètre de la goupille db = 36 mm (en première approximation).

a ≥ (V / (e × σ adm tôle)) + d1 = (50 000 N / (6 mm × 58.75 N/mm²)) + 36 mm ≈ 141.67 mm + 36 mm = 177.67 mm. Prenons a = 180 mm.

Dimensionnement au cisaillement de la plaque (arrachement) :

Contrainte admissible de cisaillement de la tôle : τ adm cis tôle = 0.58 × Re / S = 0.58 × 235 N/mm² / 4 ≈ 34.075 N/mm².

b' ≥ V / (2 × e × τ adm cis tôle) (pour deux plans de cisaillement de la plaque) = 50 000 N / (2 × 6 mm × 34.075 N/mm²) ≈ 122.28 mm. Prenons b' = 125 mm.

Calcul d’une rivure

La transmission des efforts dans un assemblage rivé bien conçu se fait principalement par frottement. Lorsque l’effort augmente, le frottement est progressivement vaincu. Les plats finissent par glisser par rapport aux couvre-joints. Par sécurité, les rivets seront dimensionnés de manière à résister aux contraintes de cisaillement. D’autre part, il faudra veiller à éviter le matage des tôles et la ruine par arrachement de ces dernières.

FAQ

Qu'est-ce que le cisaillement technologique et en quoi diffère-t-il du cisaillement pur ?

Le cisaillement technologique désigne un état de charge où les contraintes prépondérantes sont dues à l'effort tranchant (V). Contrairement au cisaillement pur, qui est une idéalisation où seules des contraintes tangentielles sont présentes, le cisaillement technologique inclut des contraintes normales (σ), bien que celles-ci soient généralement négligeables par rapport aux contraintes tangentielles (τ). Il est caractéristique des assemblages réels (boulonnés, clavetés, rivetés, soudés).

Comment sont déterminées les contraintes admissibles en cisaillement pour un matériau ductile ?

Pour un matériau ductile, la contrainte tangentielle admissible en cisaillement (τ adm cis) est calculée en divisant la limite d'élasticité en cisaillement (τ e cis) par un coefficient de sécurité (S). La limite d'élasticité en cisaillement est approximativement 58 % de la limite d'élasticité en traction (Re), soit τ e cis ≈ 0.58 Re. Ainsi, τ adm cis ≈ 0.58 Re / S.

Pourquoi le dimensionnement au matage est-il souvent prépondérant pour les clavettes ?

Le matage (ou pression diamétrale) est une déformation par écrasement due à la pression de contact entre les surfaces. Pour les clavettes, il est crucial d'éviter toute déformation permanente afin de permettre un montage et un démontage aisés de l'assemblage. Une pression admissible de matage est fixée à des valeurs très faibles pour garantir l'intégrité et la fonctionnalité de l'assemblage, rendant cette condition souvent plus contraignante que celle de cisaillement pour la détermination de la longueur de la clavette.