Exercices problèmes matériaux essais appuis charges chapitre
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Remarque : Sont supposés connus : E acier = 210000 N/mm²
Exercices concernant principalement les "essais des matériaux"
21.01.
Dans un essai de traction d'une éprouvette cylindrique en acier étiré à froid de 13 mm de diamètre, on obtient les résultats suivants :
| Charge axiale (en N) | Allongement (en mm) sur une longueur de référence de 50 mm | Charge axiale (en N) | Allongement (en mm) sur une longueur de référence de 50 mm |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 31400 | 0.300 |
| 5700 | 0.010 | 31400 | 0.400 |
| 8300 | 0.015 | 31200 | 0.500 |
| 10900 | 0.020 | 31400 | 0.600 |
| 13800 | 0.025 | 31600 | 1.250 |
| 16500 | 0.030 | 35000 | 2.500 |
| 19200 | 0.035 | 42300 | 5.000 |
| 22000 | 0.040 | 44600 | 7.500 |
| 24600 | 0.045 | 45600 | 10.000 |
| 27500 | 0.050 | 45600 | 12.500 |
| 30400 | 0.055 | 44600 | 15.000 |
| 33000 | 0.060 | 43000 | 17.500 |
| 31100 | 0.100 | 40200 | 18.750 |
| 31400 | 0.200 |
Après rupture, la longueur de référence de 50 mm est devenue 68.690 mm. À partir des résultats fournis, déterminer la limite élastique, le module d'élasticité longitudinal du matériau, le pourcentage d'allongement après rupture A% et la charge de rupture.
Réponses : Re = 248.6 N/mm² ; E = 207174 N/mm² ; A% = 37.38 % ; Rm = 343.5 N/mm².
21.02.
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'un essai de traction effectué sur une éprouvette en alliage de magnésium. Le diamètre initial de l'éprouvette est de 12 mm, sa longueur initiale vaut 30 mm et son diamètre ultime est de 11.74 mm.
| Charge axiale (kN) | Longueur (mm) | Charge axiale (kN) | Longueur (mm) |
|---|---|---|---|
| 5 | 30.000 | 26.5 | 30.900 |
| 10 | 30.030 | 27 | 31.500 |
| 15 | 30.059 | 26.5 | 32.100 |
| 20 | 30.089 | 25 | 32.790 |
| 25 | 30.150 |
À partir des résultats fournis, déterminer la limite élastique, le module d'élasticité longitudinal du matériau, le pourcentage d'allongement à la rupture A%, la charge de rupture, le coefficient de striction ainsi que le coefficient de Poisson.
Réponses : Re = 176.8 N/mm² ; E = 59600 N/mm² ; A% = 9.0 % ; Rm = 238.7 N/mm² ; Z% = 4.29 % ; ν = 0.23
21.03.
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'un essai de traction effectué sur une éprouvette en acier à haute teneur en carbone traité. Le diamètre initial de l'éprouvette est de 17.68 mm, le diamètre final de 16.41 mm et la longueur initiale de 25 mm.
- Tracer le graphe de la contrainte σ en fonction de l'allongement relatif ε ;
- Déterminer la limite de rupture Rm, la limite élastique Re et l'allongement à la rupture A% ;
- Déterminer le module d'élasticité E de l'acier traité.
| Charge axiale (kN) | Allongement (mm) | Charge axiale (kN) | Allongement (mm) |
|---|---|---|---|
| 0.0 | 0.0000 | 177.2 | 0.254 |
| 51.8 | 0.0255 | 186.8 | 0.355 |
| 72.0 | 0.0350 | 197.6 | 0.508 |
| 93.2 | 0.0460 | 214.4 | 0.762 |
| 109.0 | 0.0535 | 227.0 | 1.016 |
| 141.6 | 0.0760 | 235.0 | 1.270 |
| 149.6 | 0.1010 | 242.0 | 1.524 |
| 161.0 | 0.1520 | 246.6 | 1.780 |
| 170.0 | 0.2030 | rupture | rupture |
Réponses : b) Rm = 1004.5 N/mm² ; Re = 444.0 N/mm² ; A% = 7.1% ; c) E = 207477 N/mm²
21.04.
Un essai de traction a été réalisé sur une éprouvette cylindrique d'acier inoxydable 316 de diamètre d = 15 mm. La longueur utile de l'éprouvette est l0 = 150 mm. La courbe brute de traction F = f (Δl) est donnée en annexe. Grâce à ces données, calculez :
- le module d'Young E du matériau ;
- sa limite proportionnelle d'élasticité Re ;
- sa limite conventionnelle d'élasticité Rp0.2 ;
- sa résistance à la traction Rm ;
- son allongement A% après rupture.
Réponses : a) E = 196587 N/mm² ; b) Re = 249 N/mm² ; c) Rp0.2 = 288.6 N/mm² ; d) Rm = 498 N/mm² ; e) A% = 38 %
21.05.
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'un essai de traction effectué sur une éprouvette en alliage d'aluminium. Le diamètre initial de l'éprouvette est de 17.82 mm, le diamètre final de 15.93 mm et la longueur initiale de 250 mm et sa longueur après rupture est de 316.5 mm.
- Tracer le graphe de la contrainte σ en fonction de l'allongement relatif ε ;
- Déterminer la limite de rupture Rm, la limite élastique Re et l'allongement à la rupture A% ;
- Déterminer le module d'élasticité E de l'alliage d'aluminium.
| Charge axiale (kN) | Allongement (mm) | Charge axiale (kN) | Allongement (mm) |
|---|---|---|---|
| 0.00 | 0.00 | 38.44 | 3.80 |
| 14.94 | 0.20 | 42.08 | 7.60 |
| 18.06 | 0.25 | 45.28 | 10.15 |
| 23.40 | 0.50 | 49.90 | 15.25 |
| 28.46 | 1.00 | 56.04 | 30.50 |
| 31.68 | 1.50 | 58.72 | 40.65 |
| 34.16 | 2.05 | 60.86 | 50.80 |
| 35.06 | 2.55 | 63.08 | 60.95 |
| 37.36 | 3.80 | 65.12 | 69.60 |
Réponses : b) Rm = 261.1 N/mm² ; Re = 72.41 N/mm² ; A% = 26.6 % ; c) E = 72412 N/mm²
21.06.
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'un essai de traction sur une éprouvette rectangulaire, de 50 mm x 1 mm, en Kevlar. La longueur initiale entre repères de l'éprouvette est l0 = 200 mm.
- Tracer la courbe de traction F = f (Δl) du matériau.
- Déterminez sa limite d'élasticité Re.
- Déterminez son module d'Young E.
- Déterminez sa résistance à la traction Rm.
- Déterminez son allongement A% à la rupture.
| Allongement (mm) | Force de traction (kN) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 3 | 1.120 |
| 6 | 2.025 |
| 10 | 3.200 |
| 15 | 4.400 |
| 18 | 5.902 |
| 20 | 7.600 |
| 20.3 | 0 |
Réponses : b) Re = 88 N/mm² ; c) E = 1173.3 N/mm² ; d) Rm = 152 N/mm² ; e) A% = 10.2 %
21.07.
Un essai de traction a été réalisé sur une éprouvette de polymère. La longueur utile de l'éprouvette est l0 = 50 mm. La courbe de traction σ = f (ε) est donnée ci-dessous. Grâce à ces données, déterminez :
- le module d'Young E du matériau ;
- sa limite proportionnelle d'élasticité Re ;
- sa résistance à la traction Rm ;
- sa longueur à la rupture.
Réponses : a) E = 0.6 N/mm² ; b) Re = 0.24 N/mm² ; c) Rm = 0.65 N/mm² ; d) lf = 330 mm
21.08.
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'un essai de traction effectué sur une éprouvette en alliage de magnésium. Le diamètre initial de l'éprouvette est de 12 mm, sa longueur initiale vaut 30 mm et son diamètre ultime est de 11.74 mm.
- Tracer la courbe de traction F = f (Δl) du matériau.
- Déterminez sa limite d'élasticité Re.
- Déterminez son module d'Young E.
- Déterminez sa résistance à la traction Rm.
- Déterminez son allongement A% à la rupture.
- Déterminez son coefficient de Poisson ν.
| Δl (mm) | N (kN) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 0.030 | 5 |
| 0.059 | 10 |
| 0.089 | 15 |
| 0.150 | 20 |
| 0.510 | 25 |
| 0.900 | 26.5 |
| 1.500 | 27 |
| 2.100 | 26.5 |
| 2.790 | 25 |
Réponses : b) Re = 132.6 N/mm² ; c) E = 44705 N/mm² ; d) Rm = 238.7 N/mm² ; e) A% = 9.3% ; f) ν = 0.233
21.09.
Donnez toutes les caractéristiques de ce béton :
- En traction, déterminer :
- son module d'Young E ;
- sa résistance à la traction Rm.
- En compression, déterminer :
- sa limite d'élasticité Re ;
- son module d'Young E ;
- sa résistance à la compression Rm ;
- son raccourcissement A% à la rupture.
Réponses : I) a) E ≈ 25000 N/mm² ; b) Rm ≈ 4 N/mm² ; II) a) Re ≈ 46.10 N/mm² ; b) E ≈ 25550 N/mm² ; c) Rm = 50 N/mm² ; d) A% = 0.38 % < 5 % (fragile)
Exercices concernant principalement les "caractéristiques des matériaux"
22.01.
Déterminer l'allongement total d'une barre d'acier de 21 cm de long, si la contrainte de traction est égale à 700 N/mm². (E acier = 210000 N/mm²).
Réponse : Δl = 0.7 mm
22.02.
Pour mesurer la pression dans un tube à canon au moment du départ de l'obus, on utilise des petits cylindres en cuivre appelés crushers qui s'écrasent lorsque la pression atteint sa valeur maximale. Calculer, en bar, la pression qui règne à l'intérieur du tube lorsqu'un crusher de diamètre 8 mm et de hauteur 13 mm s'écrase. La résistance à la rupture par compression du cuivre utilisé est de 220 N/mm² et la pression s'exerce sur une des bases du cylindre.
Réponse : p = 2200 bars
22.03.
Une éprouvette d'acier doux, longueur de référence 100 mm, section initiale 150 mm², a été soumise à un essai de traction. Lorsque la limite élastique s'est manifestée, la charge était de 48 kN et l'allongement de 16/100 mm. Déterminer la limite élastique ainsi que le module d'élasticité de cet acier.
Réponses : Re = 320 N/mm² ; E = 200000 N/mm²
22.04.
Une éprouvette en acier doux a une section transversale égale à 50 x 10 mm². Elle casse sous un effort de 220 kN. La distance initiale entre les 2 repères est de 200 mm. Après rupture, la distance est devenue 250 mm. Calculer la limite de rupture de cet acier ainsi que son allongement à la rupture.
Réponses : Rm = 440 N/mm² ; A% ≈ 25 %
22.05.
Une tige métallique cylindrique est soumise à un effort de traction de 4000 daN. La contrainte de rupture du matériau est de 50 daN/mm² et le coefficient de sécurité, par rapport à la rupture, est choisi égal à 4. Que vaut la contrainte maximale admissible ? Quel est le diamètre minimal de la tige ?
Réponses : σadm = 125 N/mm² ; d = 20.2 mm
22.06.
Un barreau rectiligne de section uniforme est soumis à une tension axiale. Sa section a une surface de 6 cm² et le barreau a une longueur de 4 m. Si l'allongement total est de 0.40 cm, sous une charge de 126 kN, trouver le module d'élasticité du matériau, ainsi que la contrainte dans ce barreau.
Réponses : E = 210000 N/mm² ; σ = 210 N/mm²
22.07.
Déterminer l'effort de traction d'une barre d'acier cylindrique de 1 cm de diamètre, si l'allongement unitaire ε est égal à 0.7 × 10⁻³. Quel est le coefficient de sécurité utilisé ? (E acier = 210000 N/mm² et Re acier = 235 N/mm²).
Réponses : N = 11545.5 N ; S = 1.6
22.08.
Un barreau prismatique, de section A = 6 cm² et de longueur l0 = 4 m, est soumis à une traction axiale de 123 kN. L'allongement total mesuré est de 4 mm. Trouver le module d'élasticité du matériau.
Réponse : E = 205000 N/mm²
22.09.
Une barre métallique en acier S235 rond de 20 mm de diamètre est sollicitée par une force de traction de 3140 daN. Sa longueur initiale est de 10 m. Quel allongement encourt cette barre sachant que le matériau utilisé est de l'acier doux ? Quelle est la contrainte dans cette barre ainsi que le coefficient de sécurité ?
Réponses : Δl = 4.76 mm ; σ = 100 N/mm² ; S = 2.35
22.10.
Une barre en acier S235, de surface transversale carrée et de 8 mètres de long, s'allonge de 3.2 mm sous l'action d'une force de traction de 7200 daN. Sachant que son module d'élasticité est égal à 210 GPa, calculer le côté de la surface transversale. Quelle est la contrainte dans cette barre ainsi que le coefficient de sécurité ?
Réponses : C = 29.3 mm ; σ = 84 N/mm² ; S = 2.80
22.11.
Une barre en acier de surface transversale circulaire de 10 mm de diamètre est soumise à l'action d'une force de traction. Son module d'élasticité linéaire est de 210 GPa et son allongement unitaire de 0.1 %. Sous l'effet de la force de traction, la barre s'allonge de 5 mm. Quelle est l'intensité de la force de traction ? Quelle est la longueur de la barre ?
Réponses : N = 16493 N ; l = 5 m
22.12.
Une barre en acier de section transversale circulaire de 20 mm de diamètre est sollicitée par une force de traction. Au point de rupture, la surface transversale vaut 200 mm². Que vaut le coefficient de striction Z% dans ce cas ?
Réponse : Z% = 36.3 %
22.13.
Un bloc en béton est testé en compression. Son diamètre initial est de 100 mm et sa longueur initiale est de 200 mm. Son diamètre final vaut 100.007 mm et sa longueur finale vaut 199.88 mm. La charge de l'essai étant de 118 kN, déterminer le module d'élasticité E et le coefficient de Poisson υ de ce béton.
Réponses : E = 25040 N/mm² ; ν = 0.117
22.14.
Sur une éprouvette au diamètre d0 de 12 mm, on a fait deux marques à une distance l0 de 50 mm l'une de l'autre. Lorsqu'on applique des forces sur cette éprouvette, comme indiqué dans le dessin, on mesure une distance lfinal de 49.9785 mm entre les marques. Le diamètre final étant 12.0018 mm. On demande de déterminer : la contrainte dans le matériau, l'allongement relatif, le module d'élasticité de compression, le coefficient de Poisson.
Réponses : σcomp = 44.2 N/mm² ; ε = -4.30 × 10⁻⁶ ; E = 102791 N/mm² ; ν = 0.349
22.15.
Une barre de section carrée (40 x 40 mm²) est soumise à une charge de compression de 70 kN. Elle est réalisée en aluminium (E = 65000 N/mm² et ν = 0.33). Déterminer la section droite de la barre sous tension.
Réponse : Af = 1600.71 mm².
22.16.
Une barre de section carrée (40 x 40 mm²) est soumise à une charge de compression de 70 kN. Elle est réalisée en aluminium (E = 65000 N/mm² et ν = 0.33). Déterminer la section droite de la barre sous tension.
Réponse : Af = 1600.71 mm².
Exercices concernant principalement les "appuis et charges"
Remarque : Par convention, les réactions sont : "+" vers la droite et vers le haut ; "-" vers la gauche et vers le bas.
25.01.
Calculer les réactions aux appuis A et B des différentes poutres ci-dessous. (Attention, les différents schémas ne sont PAS à l'échelle).
- Réponses : RA = 4.375 kN ; RB = 25.625 kN
- Réponses : RA = 30 kN ; RB = 10 kN
- Réponses : RA = 23.33 kN ; RB = 46.67 kN
- Réponses : RA = 50 kN ; RB = -10 kN
- Réponses : RA H = 1 kN ; RA V = -1.5 kN ; RB = 4.5 kN
- Réponses : RA = 80 kN ; RB = 180 kN
25.02.
Calculer les réactions aux appuis A et B des différentes poutres ci-dessous. (Attention, les différents schémas ne sont PAS à l'échelle).
- Réponses : RA = 45 kN ; RB = 105 kN
- Réponses : RA = 3.51 kN ; RB = 6.09 kN
- Réponses : RA H = 303.1 N ; RA V = 325 N ; RB = 325 N
- Réponses : RA = 43 kN ; RB = 27 kN
FAQ sur la Résistance des Matériaux
Qu'est-ce que le module d'élasticité (ou module d'Young) et pourquoi est-il important ?
Le module d'élasticité (E), également appelé module d'Young, est une mesure de la rigidité d'un matériau. Il représente le rapport entre la contrainte (force par unité de surface) et la déformation élastique (allongement relatif) dans le domaine proportionnel. Un module d'élasticité élevé indique que le matériau est rigide et se déforme peu sous contrainte, tandis qu'un module faible signifie qu'il est plus souple. Il est crucial pour la conception de structures, car il permet de prédire le comportement d'un matériau sous charge et de calculer les déformations.
Quelle est la différence entre la limite élastique (Re) et la résistance à la rupture (Rm) ?
La limite élastique (Re) est la contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente (plastique) après le retrait de la charge. Au-delà de cette limite, le matériau conserve une partie de sa déformation. La résistance à la rupture (Rm), ou résistance à la traction, est la contrainte maximale que le matériau peut supporter avant de se rompre. Elle correspond au point le plus élevé de la courbe contrainte-déformation avant la décohésion du matériau. La limite élastique est importante pour la conception des pièces qui doivent revenir à leur forme originale, tandis que la résistance à la rupture est essentielle pour évaluer la capacité ultime du matériau à résister à une charge.
Comment interpréter le coefficient de Poisson (ν) et le coefficient de striction (Z%) ?
Le coefficient de Poisson (ν) décrit le rapport entre la déformation latérale (transversale) et la déformation axiale (longitudinale) d'un matériau soumis à une contrainte uniaxiale. Par exemple, lorsqu'une barre est étirée, elle s'amincit. Le coefficient de Poisson indique dans quelle mesure cet amincissement se produit. Il est sans dimension et varie généralement entre 0 et 0.5 pour la plupart des matériaux. Le coefficient de striction (Z%) mesure la réduction relative de la section transversale du matériau au point de rupture. C'est un indicateur de la ductilité du matériau : une valeur de Z% élevée signifie que le matériau peut s'étirer considérablement et s'amincir avant de se rompre, indiquant une bonne capacité à absorber l'énergie.