Espaces normes exercices corriges analyse 3 -Corr - Téléchar
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Exercice 5[ 00457 ] [correction] Pour A = (ai,j ) ∈ Mn,p(K). On pose Normes
Exercice 1[ 00454 ] [correction] kAk1 =Xn i=1 Xp j=1 |ai,j |, kAk2 = vuutXn i=1 Xp j=1 |ai,j |2et kAk∞ = max 16i6n,16j6p|ai,j | Soient N1, N2 deux normes sur un R-espace vectoriel E. a) On note B1 = {x ∈ E/N1(x) 6 1} et B2 = {x ∈ E/N2(x) 6 1}. Montrer B1 = B2 ⇒ N1 = N2 b) Même question avec les boules unités ouvertes. Montrer que k . k1, k . k2et k . k∞ définissent des normes sur Mn,p(K).
Exercice 6[ 00459 ] [correction] Pour A = (ai,j ) ∈ Mn(R) on pose
Exercice 2[ 03248 ] [correction] Soient a1, . . . , an des réels et N : Kn → R l’application définie par kAk = Xn i,j=1 a2i,j 1/2 N(x1, . . . , xn) = a1 |x1| + · · · + an |xn| A quelle condition sur les a1, . . . , an, l’application N définit-elle une norme sur Kn ?
Exercice 3[ 00455 ] [correction] Montrer que l’application N : R2 → R définie par Montrer que k . k est une norme matricielle i.e. que c’est une norme sur Mn(R) vérifiant ∀A, B ∈ Mn(R), kABk 6 kAk kBk
Exercice 7[ 03625 ] [correction] Pour A = (ai,j ) ∈ Mn(C), on pose Xn N(x1, x2) = sup t∈[0,1] |x1 + tx2| kAk = sup 16i6n |ai,j | j=1 est une norme sur R2. Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à k . k∞.
Exercice 4[ 00456 ] [correction] Soient f1, . . . , fn : [0, 1] → R continues. A quelle condition l’application a) Montrer que k . k définit une norme sur Mn(C). b) Vérifier ∀A, B ∈ Mn(C), kABk 6 kAk kBk
Exercice 8[ 00460 ] [correction] Pour A = (ai,j ) ∈ Mn(C), on pose Xn N : (x1, . . . , xn) 7→ kx1f1 + · · · + xnfnk∞ kAk = sup 16i6n |ai,j | j=1 définit-elle une norme sur Rn ? a) Montrer que k . k est une norme d’algèbre sur Mn(C). b) Montrer que si λ est valeur propre de A alors |λ| 6 kAk. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 2
Exercice 9[ 00461 ] [correction] Soient p > 1 et q > 1 tel que 1/p + 1/q = 1. a) Montrer que pour a, b > 0
Exercice 11[ 02639 ] [correction] On définit sur E = C0([0, 1] , R) une norme par Z 1 ab 61pap +1qbq N(f) = 0 |f(t)| dt Pour x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn et y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn, on pose : a) Soient a, b > 0 et u, v > 0. Etablir que √a +√b = 1 ⇒1 kxkp = Xn i=1 |xi|p !1/p et kykq = Xn i=1 !1/q |yi|q u + v6au+bv b) Soient f, g ∈ E telles que f, g > 0. Montrer b) Etablir kxkpkykq61p|xi|p N((f + g)−1) 6N(f)2N(f−1) + N(g)2N(g−1) kxkpp+1q|yi|q kykqq et en déduire |xiyi| 6 kxkpkykq |xiyi| Xn (N(f) + N(g))2 c) En déduire que N(f + g)N((f + g)−1) 6 max(N(f)N(f−1), N(g)N(g−1)) c) En écrivant justifier i=1 (|xi| + |yi|)p = |xi|(|xi| + |yi|)p−1 + |yi|(|xi| + |yi|)p−1 kx + ykp 6 kxkp + kykp
Exercice 12Mines-Ponts MP [ 02766 ] [correction] Soit (E, kk) un espace vectoriel normé sur K (K = R ou C). a) Montrer que pour tous x, y ∈ E kxk + kyk 6 2 max {kx + yk , kx − yk} d) Conclure que k . kpdéfinit une norme sur Kn.
Exercice 10[ 00462 ] [correction] Pour x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn et p > 1 on pose b) Montrer que l’on peut avoir l’égalité avec x 6= 0 et y 6= 0. Désormais la norme est euclidienne. c) Montrer que pour tous x, y ∈ E kxk + kyk 6√2 max {kx + yk , kx − yk} d) Peut-on améliorer la constante√2 ? !1/p Montrer kxkp = Xn i=1 |xi|p
Exercice 13X MP [ 00795 ] [correction] Soit n ∈ N avec n > 2. Existe-t-il une norme k . k sur Mn(C) invariante par kxk∞ = lim p→+∞kxkp conjugaison, c’est-à-dire telle que : ∀(A, P) ∈ Mn(C) × GLn(C), kAk =P−1AP Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 3 Distance d’un vecteur à une partie
Exercice 14[ 03272 ] [correction] On norme l’espace `∞(N, R) des suites bornées par la norme infinie notée k . k∞. Déterminer la distance de la suite e constante égale à 1 au sous-espace vectoriel C0 des suites réelles convergeant vers 0.
Exercice 15[ 03273 ] [correction] On norme l’espace `∞(N, R) des suites bornées par la norme infini notée k . k∞. Déterminer la distance de la suite u = ((−1)n)n∈N au sous-espace vectoriel C des suites réelles convergentes.
Exercice 16[ 00470 ] [correction] On norme l’espace `∞(N, R) des suites bornées par la norme infini notée k . k∞. Pour x ∈ `∞(N, R), on note ∆x la suite de terme général ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) puis on forme F = {∆x/x ∈ `∞(N, R)}. Déterminer la distance de la suite e constante égale à 1 au sous-espace vectoriel F.
Exercice 17[ 03463 ] [correction] a) Montrer que k . k∞ est plus fine que k . k1et k . k2 mais qu’elle n’équivaut ni à l’une, ni à l’autre. b) Comparer k . k1et k . k2.
Exercice 19[ 00469 ] [correction] a) Etablir `1(R) ⊂ `2(R) ⊂ `∞(R). b) Comparer k . k1et k . k∞ sur `1(R) b) Comparer k . k1et k . k2sur `1(R)
Exercice 20[ 00468 ] [correction] On note R(N)l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. R(N) étant un sous-espace vectoriel de `1(R), de `2(R) et de `∞(R), on peut y définir k . k1, k . k2et k . k∞. a) Comparer k . k1et k . k∞. b) Comparer k . k1et k . k2.
Exercice 21[ 00467 ] [correction] Soit E = C1([−1, 1] , R). On définit N1, N2 et N3 par Z 1 Soit E l’espace des fonctions bornées de [−1, 1] vers R normé par N1(f) = sup [−1,1] |f| , N2(f) = |f(0)| + sup [−1,1] |f0| et N3(f) = |f| −1 kfk∞ = sup x∈[−1,1] Déterminer la distance de la fonction |f(x)| a) Montrer que N1, N2 et N3 sont des normes sur E. b) Comparer N1 et N2 d’une part, N1 et N3 d’autre part. f : x 7→ 1 si x ∈ ]0, 1] 0 si x = 0 −1 si x ∈ [−1, 0[
Exercice 22[ 00473 ] [correction] Sur R [X] on définit N1 et N2 par : au sous-espace vectoriel F de E formé des fonctions continues de [−1, 1] vers R. Comparaison de normes +∞ N1(P) = X k=0 P(k)(0) et N2(P) = sup t∈[−1,1] |P(t)|
Exercice 18[ 00466 ] [correction] Soit E = C0([0, 1] , R). On définit les normes k . k1, k . k2et k . k∞ par : a) Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur R [X]. b) Etudier la convergence pour l’une et l’autre norme de la suite de terme général Pn =1nXn kfk1 = Z 1 0 |f(t)| dt, kfk2 = Z 1 0 f(t)2dt 1/2 et kfk∞ = sup [0,1] |f| c) Les normes N1 et N2 sont-elles équivalentes ? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Exercice 23Centrale MP [ 02412 ] [correction] Soient l’espace E = f ∈ C1([0, 1] , R)/f(0) = 0 et N l’application définie sur E par N(f) = N∞(3f + f0) a) Montrer que (E, N) est un espace vectoriel normé puis qu’il existe α > 0 tel que N∞(f) 6 αN(f). b) Les normes N∞ et N sont-elles équivalentes ?
Exercice 24Centrale MP [ 00465 ] [correction] Soient E = C1([0, 1] , R) et N : E → R+ définie par Montrer que Nξ définit une norme sur E. b) Soit (Pn) une suite de polynômes éléments de E. Pour tout n ∈ N, on écrit Pn =Xd ak,nXk k=0 Etablir que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) la suite de fonctions (Pn) converge simplement sur R ; (ii) la suite de fonctions (Pn) converge uniformément sur tout segment de R ; (iii) pour tout k ∈ {0, . . . , d}, la suite (ak,n) converge. N(f) = s f2(0) + Z 1 0 f02(t)dt
Exercice 28Mines-Ponts MP [ 02768 ] [correction] Soit E un sous-espace vectoriel de dimension finie d > 1 de l’espace C([0, 1] , R) de fonctions continues. a) Montrer que N définit une norme sur E. b) Comparer N et k . k∞. Equivalence de normes
Exercice 25[ 00458 ] [correction] Soit N une norme sur Mn(R). Montrer qu’il existe c > 0 tel que N(AB) 6 cN(A)N(B)
Exercice 26[ 03146 ] [correction] Soient n ∈ N et E l’espace des polynômes réels de degrés inférieurs à n. Montrer qu’il existe λ > 0 vérifiant Z 1 a) Etablir l’existence de (a1, . . . , ad) ∈ [0, 1]dtel que l’application N : f ∈ E 7→Xd |f(ai)| i=1 soit une norme. b) Soit (fn) une suite de fonctions de E qui converge simplement vers une fonction f : [0, 1] → R. Montrer que f est élément de E et que la convergence est uniforme.
Exercice 29[ 01582 ] [correction] Montrer que si (Pn) est une suite de fonctions polynomiales de degré inférieur à N convergeant simplement vers une fonction f sur R alors f est une fonction polynomiale. ∀P ∈ E, 0 |P(t)| dt > λ sup t∈[0,1] |P(t)|
Exercice 30Centrale MP [ 02411 ] [correction]
Exercice 27[ 00474 ] [correction] Pour d ∈ N, on pose E = Rd [X] l’espace des polynômes réels en l’indéterminée X de degrés inférieurs ou égaux à d. Soit a) Montrer que E = f ∈ C2([0, π] , R)/f(0) = f0(0) = 0 N : f 7→ kf + f00k∞ a) Pour ξ = (ξ0, . . . , ξd) famille de d + 1 nombres réels distincts et P ∈ E, on pose Nξ(P) = Xd |P(ξk)| k=0 est une norme sur E. b) Montrer que N est équivalente à ν : f 7→ kfk∞ + kf00k∞ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 5
Exercice 31[ 00463 ] [correction] On note E = C1([0, 1] , R). a) Pour f ∈ E, on pose N(f) = kfk∞ + kf0k∞ Montrer que N est une norme sur E. Est-elle équivalente à k . k∞ ? b) Pour f ∈ E, on pose
Exercice 35Centrale MP [ 02409 ] [correction] a) Quelles sont les valeurs de a ∈ R pour lesquelles l’application (x, y) 7→ Na(x, y) = px2 + 2axy + y2 définit une norme sur R2. b) Si Na et Nb sont des normes, calculer N0(f) = |f(0)| + kf0k∞ Montrer que N0est une norme sur E. Montrer qu’elle est équivalente à N. inf (x,y)6=0 Na(x, y) Nb(x, y)et sup (x,y)6=0 Na(x, y) Nb(x, y)
Exercice 32[ 00464 ] [correction] On note E le R-espace vectoriel des fonctions f : [0, 1] → R de classe C1 vérifiant f(0) = 0. Pour f ∈ E, on pose
Exercice 36[ 03265 ] [correction] On note `∞(N, R) l’espace des suites réelles bornées normé par k . k∞. a) Soit a = (an) une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur N1(f) = sup x∈[0,1] |f(x)| + sup x∈[0,1] |f0(x)| et N2(f) = sup x∈[0,1] |f(x) + f0(x)| la suite a pour que l’application +∞ Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur E et qu’elles sont équivalentes.
Exercice 33[ 03262 ] [correction] Soient E = C([0, 1] , R) et E+ l’ensemble des fonctions de E qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonction ϕ ∈ E+ et pour toute fonction f ∈ E on pose Na : x 7→X n=0 définit une norme sur `∞(N, R). b) Comparer Na et k . k∞.
Exercice 37[ 03267 ] [correction] an |xn| kfkϕ = sup t∈[0,1] {|f(t)| ϕ(t)} Soient l’espace E = f ∈ C1([0, 1] , R)/f(0) = 0 et N1, N2 les applications a) Montrer que k . kϕest une norme sur E b) Montrer que si ϕ1 et ϕ2 sont deux applications strictement positives de E+ alors les normes associées sont équivalentes. c) Les normes k . kxet k . kx2 sont elles équivalentes ?
Exercice 34Mines-Ponts MP [ 02767 ] [correction] définies sur E par N1(f) = kf0k∞ et N2(f) = kf + f0k∞ a) Montrer que N1 et N2 définissent des normes sur E. b) Montrer que N2 est dominée par N1. c) En exploitant l’identité Soient E = C([0, 1] , R)et E+ l’ensemble des fonctions de E qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonction ϕ ∈ E+ et pour toute f(x) = e−x Z x 0 (f(t) + f0(t)) et dt fonction f ∈ E on pose kfkϕ = Z 1 0 |f(t)| ϕ(t) dt montrer que N1 est dominée par N2. a) Montrer que k . kϕest une norme sur E b) Montrer que si ϕ1 et ϕ2 sont deux applications strictement positives de E+
Exercice 38CCP MP [ 00039 ] [correction] a) Montrer que alors les normes associées sont équivalentes. c) Les normes k . kxet k . kx2 sont elles équivalentes ? N∞(u) = sup n∈N |un| et N(u) = sup n∈N |un+1 − un| Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 6 définissent des normes sur l’espace E des suites réelles bornées u = (un)n∈N telles que u0 = 0. b) Montrer que ∀u ∈ E, N(u) 6 2N∞(u) Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité. c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes. Suites de matrices
Exercice 39[ 03143 ] [correction] Soient A, B ∈ Mp(R). On suppose (AB)n → Op
Exercice 43[ 03010 ] [correction] Soit A ∈ Mp(C). On suppose que la suite (An)n∈N converge vers B. Montrer que B est semblable à une matrice diagonale n’ayant que des 0 et des 1.
Exercice 44[ 03022 ] [correction] a) Soit A ∈ Mp(R) diagonalisable vérifiant Sp(A) ⊂ ]−1, 1[. Montrer An → Op. b) Même question avec trigonalisable au lieu de diagonalisable.
Exercice 45[ 03036 ] [correction] Soit (An) une suite convergente d’éléments de Mn(K) et de limite A∞. Montrer que pour n assez grand Montrer que
Exercice 40[ 01670 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn(R) telles que (BA)n → Op rg(An) > rg(A∞)
Exercice 46X MP [ 03475 ] [correction] Soit (Ak) une suite de matrice de Mn(C) convergeant vers A ∈ Mn(C). Ak −−−−−→ k→+∞P et Bk −−−−−→ k→+∞Q On suppose que les matrices A et B commutent. Montrer que les matrices P et Q commutent.
Exercice 41[ 00471 ] [correction] Soit (An) une suite de matrices inversibles de Mp(K). On suppose que les Ak sont tous de rang p donné. Montrer que rgA 6 p.
Exercice 47[ 03413 ] [correction] Soit q ∈ N?. On note Eq l’ensemble des A ∈ GLn(C) telles que Aq = In On suppose An → A et A−1 n → B a) Que dire de A ∈ Eq telle que 1 est seule valeur propre de A ? b) Montrer que In est un point isolé de Eq. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 42[ 00472 ] [correction] A quelle condition sur A ∈ Mp(K) existe-t-il une matrice M ∈ Mp(K) telle que Mn −−−−−→ n→+∞A ?
Exercice 48Mines-Ponts MP [ 03851 ] [correction] Soit a ∈ R. Déterminer lim n→+∞Ann avec 1 −a/n An = a/n 1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 7 Fonctions lipschitziennes
Exercice 49[ 00475 ] [correction] Soit E l’espace formé des fonctions réelles définies sur [a, b], lipschitziennes et s’annulant en a. Montrer que l’application N : E → R qui à f ∈ E associe le réel Limite et continuité
Exercice 53[ 00478 ] [correction] Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f(x, y) = x3 + y3 x2 + y2b) f(x, y) = xy N(f) = inf k ∈ R+/∀x, y ∈ [a, b] , |f(x) − f(y)| 6 k |x − y| c) f(x, y) = x2y x4 + y4 définit une norme sur E.
Exercice 50[ 03052 ] [correction] Soient A une partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé (E, N) et L le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de A dans E. a) Montrer que les éléments L sont des fonctions bornées. b) Pour f ∈ L, soit Kf = k ∈ R+/∀(x, y) ∈ A2, N(f(x) − f(y)) 6 kN(x − y) Justifier l’existence de c(f) = inf Kf puis montrer c(f) ∈ Kf . c) Soient a ∈ A et Na : L → R+ définie par Na(f) = c(f) + N(f(a)) Montrer que Na est une norme sur L. d) Soient a, b ∈ A. Montrer que les normes Na et Nb sont équivalentes.
Exercice 51[ 00476 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé et T : E → E définie par u si kuk 6 1 x4 + y2d) f(x, y) = xy x − y
Exercice 54[ 00480 ] [correction] Soit f : R+ × R+? → R définie par f(x, y) = xy pour x > 0 et f(0, y) = 0. a) Montrer que f est une fonction continue. b) Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur R+ × R+ ?
Exercice 55[ 00481 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. Pour x ∈ E, on pose d(x, A) = inf {kx − ak /a ∈ A} Montrer que l’application x 7→ d(x, A) est définie et continue sur E.
Exercice 56[ 00482 ] [correction] Soient g : R2 → R continue et C un cercle de centre O et de rayon R > 0. a) Montrer qu’il existe deux points A et B de C diamétralement opposés tels que g(A) = g(B). b) Montrer qu’il existe deux points C et D de C, se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour tels que g(C) = g(D). T(u) = u kuksinon Montrer que T est au moins 2-lipschitzienne.
Exercice 52Centrale MP [ 00477 ] [correction] Soit E un espace vectoriel réel normé. On pose f(x) = 1 max(1, kxk)x Montrer que f est 2-lipschitzienne. Montrer que si la norme sur E est hilbertienne alors f est 1-lipschitzienne.
Exercice 57Mines-Ponts MP [ 02769 ] [correction] Déterminer l’ensemble des morphismes continus de (U, ×) dans lui-même. Continuité des applications linéaires
Exercice 58[ 00483 ] [correction] Soit u un endomorphisme continu d’un espace vectoriel normé E. Montrer que ∀λ ∈ Sp(u), |λ| 6 kuk Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 8
Exercice 59[ 00484 ] [correction] Soient E et F deux espace vectoriels normés. On suppose qu’une suite (fn) d’éléments de LC(E, F) converge vers f ∈ LC(E, F) (au sens de la norme subordonnée) et qu’une suite (xn) d’éléments de E converge vers x ∈ E. Etablir que fn(xn) → f(x).
Exercice 60[ 00485 ] [correction] Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f ∈ L(E, F). On suppose que pour toute suite (un) tendant vers 0, f(un) est bornée. Montrer que f est continue.
Exercice 61[ 00486 ] [correction] Montrer que N1 et N2 normes sur E sont équivalentes si, et seulement si, IdE est bicontinue de (E, N1) vers (E, N2).
Exercice 62[ 00487 ] [correction] Soit u ∈ LC(E, F). Montrer
Exercice 65X MP [ 00490 ] [correction] Soit f une forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel normé E. Montrer que si x /∈ ker f alors d(x, ker f) = |f(x)| kfk
Exercice 66Mines-Ponts MP [ 02832 ] [correction] Soient d un entier naturel et (fn) une suite de fonctions polynomiales de R dans R de degré au plus d. On suppose que cette suite converge simplement. Montrer que la limite est polynomiale de degré au plus d, la convergence étant de plus uniforme sur tout segment.
Exercice 67[ 03282 ] [correction] Soient E un espace normé de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant ∀x ∈ E, ku(x)k 6 kxk kuk = sup kxkE<1
Exercice 63[ 00488 ] [correction] ku(x)kF Montrer que les espaces ker(u − Id) et Im(u − Id) sont supplémentaires.
Exercice 68[ 03717 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé non réduit à {0} et u, v ∈ L(E) continus tels que u ◦ v − v ◦ u = αIdE pour un certain α ∈ R. a) Etablir que pour tout n ∈ N, u ◦ vn+1 − vn+1 ◦ u = (n + 1)αvn b) En déduire que α = 0.
Exercice 64[ 00489 ] [correction] Soit E une algèbre de dimension finie non nulle. On désire établir que E peut être muni d’une norme d’algèbre. Soit k . k une norme sur E. Pour tout x ∈ E, on pose E désigne un espace vectoriel normé par N. Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. On suppose kp − qk < 1 (où k . k désigne la norme subordonnée à N) Montrer que p et q sont de même rang.
Exercice 69CCP MP [ 03786 ] [correction] On munit E = Mp(C) de la norme kMk = max 16i,j6p|mi,j | a) Soient X fixé dans Cpet P fixé dans GLp(C); montrer que N(x) = sup a∈E,kak=1 a) Justifier que N(x) existe dans R. kaxk φ(M) = MX et ψ(M) = P−1MP définissent des applications continues. b) Montrer que b) Etablir que N est une norme d’algèbre sur E. f(M, N) = MN Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 Enoncés 9 définit une application continue. c) Soit A ∈ Mp(C) telle que la suite (kAnk) soit bornée ; montrer que les valeurs
Exercice 73[ 00494 ] [correction] On munit l’espace E = C([0, 1] , R) de la norme k . k2. Pour f et ϕ éléments de E propres de A sont de module inférieur à 1. d) Soit B ∈ Mp(C) telle que la suite (Bn) tende vers une matrice C. Montrer que C2 = C ; que conclure à propos du spectre de C ? on pose Tϕ(f) = Z 1 0 f(t)ϕ(t) dt Montrer que les valeurs propres de B sont de module au plus égal à 1 Calcul de norme d’application linéaire
Exercice 70[ 00491 ] [correction] On note E = `∞(R) l’espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la Montrer que Tϕ est une forme linéaire continue et calculer sa norme.
Exercice 74[ 00495 ] [correction] Soit E = C ([0, 1] , R) muni de k . k1définie par Z 1 norme N∞. Pour u = (un) ∈ `∞(R) on pose T(u) et ∆(u) les suites définies par kfk1 = |f(t)| dt 0 T(u)n = un+1 et ∆(u)n = un+1 − un a) Montrer que les applications T et ∆ sont des endomorphismes continus de E. b) Calculer leur norme.
Exercice 71[ 00492 ] [correction] Soient E = C0([0, 1] , R) et F = C1([0, 1] , R). On définit N1 et N2 par Etudier la continuité de la forme linéaire Z 1 ϕ : f 7→ 0 et calculer sa norme.
Exercice 75[ 00496 ] [correction] tf(t) dt N1(f) = kfk∞ et N2(f) = kfk∞ + kf0k∞ a) On définit T : E → F par : pour tout f : [0, 1] → R, T(f) : [0, 1] → R est Soient E = C([0, 1] , R) et u l’endomorphisme de E qui envoie f ∈ E sur la fonction u(f) : x 7→ f(x) − f(0) définie par T(f)(x) = Z x 0 f(t) dt a) Montrer que pour E muni de k . k∞ l’endomorphisme u est continu et calculer sa norme. b) Montrer que pour E muni de k . k1l’endomorphisme u n’est pas continu. Montrer que T est une application linéaire continue. b) Calculer la norme de T.
Exercice 76[ 00497 ] [correction] Sur R [X] on définit N1 et N2 par :
Exercice 72[ 00493 ] [correction] Soit E = C ([0, 1] , R) muni de k . k∞ définie par +∞ N1(P) = X P(k)(0) et N2(P) = sup |P(t)| kfk∞ = sup |f| k=0 t∈[−1,1] [0,1] Etudier la continuité de la forme linéaire ϕ : f 7→ f(1) − f(0) et calculer sa norme. a) Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur R [X]. b) Montrer que la dérivation est continue pour N1 et calculer sa norme. c) Montrer que la dérivation n’est pas continue pour N2. d) N1 et N2 sont-elles équivalentes ? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Exercice 77[ 00498 ] [correction] On munit l’espace E = C([0, 1] , R) de la norme k . k∞. Pour f et ϕ éléments de E
Exercice 81CCP MP [ 03266 ] [correction] Soit E l’espace des fonctions continues de carré intégrable sur R normé par on pose Tϕ(f) = Z 1 0 f(t)ϕ(t) dt N2(f) = Z +∞ −∞ f2 1/2 Montrer que Tϕ est une forme linéaire continue et calculer sa norme. On pourra pour cela introduire les fonctions fε : t 7→ϕ(t) |ϕ(t)| + ε
Exercice 78[ 00499 ] [correction] Soit E = C([0, 1] , R) muni de k . k∞. a) Soit φ une fonction continue bornée. Montrer que l’application u : f 7→ φf définit un endomorphisme continue de E. b) Soient x0 fixé dans R et fn la fonction continue valant 1 en x0, affine sur [x0 − 1/n, x0] et [x0, x0 + 1/n] et nulle ailleurs. Montrer que pour une fonction g Montrons que l’application u : f 7→ u(f) où u(f)(x) = f(0) + x(f(1) − f(0)) est un endomorphisme continue de E et calculer sa norme. définie continue sur R, lim n→+∞ R Rf2ng R Rf2n= g(x0)
Exercice 79[ 00500 ] [correction] Soit E = C([0, 1] , R) muni de k . k∞. a) Montrer que pour toute fonction f ∈ E, il existe une unique primitive F de f vérifiantZ 1 F(t) dt = 0 0 b) Etablir que l’application u : f 7→ F est un endomorphisme continu. c) Calculer la norme de l’endomorphisme u défini à la première question.
Exercice 82CCP MP [ 03300 ] [correction] On note E l’espace des fonctions réelles définies et continues sur [0, 1]. On note E∞ cet espace muni de la norme c) Justifier F(x) = d) Calculer kuk. Z 1 0 Z x t f(u) du dt k . k∞ : f 7→ sup t∈[0,1] et E1 cet espace muni de la norme Z 1 |f(t)|
Exercice 80[ 01012 ] [correction] Pour a = (an) ∈ `∞(R) et u = (un) ∈ `1(R), on pose +∞ k . k1: f 7→ Soit u l’endomorphisme de E défini par |f(t)| dt 0 Z x ha, ui =X n=0 anun u(f)(x) = 0 tf(t) dt a) Justifier l’existence