Espaces normes exercices corriges analyse 3

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Espaces Normés

Exercice 1

Soient N1 et N2 deux normes sur un R-espace vectoriel E.

a) On note B1 = {x ∈ E / N1(x) ≤ 1} et B2 = {x ∈ E / N2(x) ≤ 1} les boules unités fermées. Montrer que B1 = B2 implique N1 = N2.

b) Même question avec les boules ouvertes unitaires.

Exercice 2

Soient a1, ..., an des réels et N : K^n → R l'application définie par N(x1, ..., xn) = a1|x1| + ... + an|xn|. À quelle condition sur les a1, ..., an l'application N définit-elle une norme sur K^n ?

Exercice 3

Montrer que l'application N : R^2 → R définie par N(x1, x2) = sup_{t∈[0,1]} |x1 + tx2| est une norme sur R^2. Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à la norme `||.||_∞`.

Exercice 4

Soient f1, ..., fn : [0, 1] → R des fonctions continues. À quelle condition l'application N : (x1, ..., xn) → `||x1f1 + ... + xnfn||_∞` définit-elle une norme sur R^n ?

Exercice 5

Pour A = (ai,j) ∈ `M_{n,p}(K)`, on pose les normes suivantes :
`||A||_1 = ∑_{i=1}^n ∑_{j=1}^p |a_{i,j}|`
`||A||_2 = √(∑_{i=1}^n ∑_{j=1}^p |a_{i,j}|^2)`
`||A||_∞ = max_{1≤i≤n, 1≤j≤p} |a_{i,j}|`
Montrer que `||.||_1`, `||.||_2` et `||.||_∞` définissent des normes sur `M_{n,p}(K)`.

Exercice 6

Pour A = (ai,j) ∈ `M_n(R)`, on pose `||A|| = √(∑_{i,j=1}^n a_{i,j}^2)`. Montrer que `||.||` est une norme matricielle, c'est-à-dire que c'est une norme sur `M_n(R)` vérifiant ∀A, B ∈ `M_n(R)`, `||AB|| ≤ ||A|| ||B||`.

Exercice 7

Pour A = (ai,j) ∈ `M_n(C)`, on pose `||A|| = sup_{1≤i≤n} ∑_{j=1}^n |a_{i,j}|` (la norme de la somme des lignes).
a) Montrer que `||.||` définit une norme sur `M_n(C)`.
b) Vérifier que ∀A, B ∈ `M_n(C)`, `||AB|| ≤ ||A|| ||B||`.

Exercice 8

Pour A = (ai,j) ∈ `M_n(C)`, on pose `||A|| = sup_{1≤j≤n} ∑_{i=1}^n |a_{i,j}|` (la norme de la somme des colonnes).
a) Montrer que `||.||` est une norme d'algèbre sur `M_n(C)`.
b) Montrer que si λ est une valeur propre de A, alors |λ| ≤ `||A||`.

Exercice 9

Soient p > 1 et q > 1 tels que 1/p + 1/q = 1.
a) Montrer que pour a, b > 0, on a l'inégalité de Young : `ab ≤ (1/p)a^p + (1/q)b^q`.

Pour x = (x1, ..., xn) ∈ K^n et y = (y1, ..., yn) ∈ K^n, on pose :
`||x||_p = (∑_{i=1}^n |xi|^p)^(1/p)` et `||y||_q = (∑_{i=1}^n |yi|^q)^(1/q)`.

b) En utilisant l'inégalité de Young, établir l'inégalité de Hölder : `|∑_{i=1}^n xi yi| ≤ ||x||_p ||y||_q`.

c) En écrivant `(|xi| + |yi|)^p = |xi|(|xi| + |yi|)^(p-1) + |yi|(|xi| + |yi|)^(p-1)`, justifier l'inégalité de Minkowski : `||x + y||_p ≤ ||x||_p + ||y||_p`.

d) Conclure que `||.||_p` définit une norme sur K^n.

Exercice 10

Pour x = (x1, ..., xn) ∈ K^n et p > 1, on pose `||x||_p = (∑_{i=1}^n |xi|^p)^(1/p)`. Montrer que `||x||_∞ = lim_{p→+∞} ||x||_p`.

Exercice 11

On définit sur E = `C^0([0, 1], R)` (l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R) une norme par `N(f) = ∫_0^1 |f(t)| dt`. Expliquer pourquoi N(f) est une norme.

Exercice 12

Soit (E, `||.||`) un espace vectoriel normé sur K (K = R ou C).
a) Montrer que pour tous x, y ∈ E, `||x|| + ||y|| ≤ 2 max {||x + y||, ||x - y||}`.
b) Montrer que l'on peut avoir l'égalité avec x ≠ 0 et y ≠ 0.
Désormais, la norme est euclidienne.
c) Montrer que pour tous x, y ∈ E, `||x|| + ||y|| ≤ √2 max {||x + y||, ||x - y||}`.
d) Peut-on améliorer la constante `√2` ?

Exercice 13

Soit n ∈ N avec n > 2. Existe-t-il une norme `||.||` sur `M_n(C)` invariante par conjugaison, c'est-à-dire telle que : ∀(A, P) ∈ `M_n(C)` × `GL_n(C)`, `||A|| = ||P^(-1)AP||` ?

Distance d’un vecteur à une partie

Exercice 14

On norme l'espace `l^∞(N, R)` des suites bornées par la norme infinie notée `||.||_∞`. Déterminer la distance de la suite e, constante égale à 1, au sous-espace vectoriel `c_0` des suites réelles convergeant vers 0.

Exercice 15

On norme l'espace `l^∞(N, R)` des suites bornées par la norme infinie notée `||.||_∞`. Déterminer la distance de la suite u = `((-1)^n)_{n∈N}` au sous-espace vectoriel `c` des suites réelles convergentes.

Exercice 16

On norme l'espace `l^∞(N, R)` des suites bornées par la norme infinie notée `||.||_∞`. Pour x ∈ `l^∞(N, R)`, on note ∆x la suite de terme général ∆x(n) = x(n + 1) - x(n), puis on forme F = {∆x / x ∈ `l^∞(N, R)`}. Déterminer la distance de la suite e, constante égale à 1, au sous-espace vectoriel F.

Comparaison de normes

Exercice 17

Soit E l'espace des fonctions continues de `[-1, 1]` vers `R`. On définit `N1, N2` et `N3` sur `E = C^1([-1, 1], R)` par :
`N1(f) = sup_{[-1,1]} |f|`
`N2(f) = |f(0)| + sup_{[-1,1]} |f'|`
`N3(f) = ∫_{-1}^1 |f(t)| dt`
a) Montrer que N1, N2 et N3 sont des normes sur E.
b) Comparer N1 et N2 d'une part, N1 et N3 d'autre part.

Exercice 18

Soit E l'espace des fonctions bornées de `[-1, 1]` vers `R` normé par `||f||_∞ = sup_{x∈[-1,1]} |f(x)|`. Déterminer la distance de la fonction `f : x → {1 si x ∈ ]0, 1] ; 0 si x = 0 ; -1 si x ∈ [-1, 0[}` au sous-espace vectoriel F de E formé des fonctions continues de `[-1, 1]` vers `R`.

Exercice 19

Soit E = `C^0([0, 1], R)`. On définit les normes `||.||_1`, `||.||_2` et `||.||_∞` par :
`||f||_1 = ∫_0^1 |f(t)| dt`
`||f||_2 = (∫_0^1 f(t)^2 dt)^(1/2)`
`||f||_∞ = sup_{[-1,1]} |f|`
a) Montrer que `||.||_∞` est plus fine que `||.||_1` et `||.||_2`, mais qu'elle n'équivaut ni à l'une ni à l'autre.
b) Comparer `||.||_1` et `||.||_2`.

Exercice 20

a) Établir que `l^1(R) ⊂ l^2(R) ⊂ l^∞(R)`.
b) Comparer `||.||_1` et `||.||_∞` sur `l^1(R)`.
c) Comparer `||.||_1` et `||.||_2` sur `l^1(R)`.

Exercice 21

On note `R[N]` l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang. `R[N]` étant un sous-espace vectoriel de `l^1(R)`, de `l^2(R)` et de `l^∞(R)`, on peut y définir `||.||_1`, `||.||_2` et `||.||_∞`.
a) Comparer `||.||_1` et `||.||_∞`.
b) Comparer `||.||_1` et `||.||_2`.

Exercice 22

Sur `R[X]` (l'espace des polynômes à coefficients réels), on définit N1 et N2 par :
`N1(P) = ∑_{k=0}^{deg(P)} |P^(k)(0)|`
`N2(P) = sup_{t∈[-1,1]} |P(t)|`
a) Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur `R[X]`.
b) Étudier la convergence pour l'une et l'autre norme de la suite de terme général `P_n(X) = X^n / n!`.
c) Les normes N1 et N2 sont-elles équivalentes ?

Exercice 23

Soient l'espace `E = {f ∈ C^1([0, 1], R) / f(0) = 0}` et N l'application définie sur E par `N(f) = ||3f + f'||_∞`.
a) Montrer que (E, N) est un espace vectoriel normé, puis qu'il existe α > 0 tel que `||f||_∞ ≤ αN(f)`.
b) Les normes `||.||_∞` et N sont-elles équivalentes ?

Exercice 24

Soient `E = C^1([0, 1], R)` et `N : E → R^+` définie par `N(f) = √(f^2(0) + ∫_0^1 (f'(t))^2 dt)`.
a) Montrer que N définit une norme sur E.

b) Soit `(P_n)` une suite de polynômes éléments de E. Pour tout n ∈ N, on écrit `P_n(X) = ∑_{k=0}^d a_{k,n}X^k`. Établir que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite de fonctions `(P_n)` converge simplement sur R ;
(ii) la suite de fonctions `(P_n)` converge uniformément sur tout segment de R ;
(iii) pour tout k ∈ {0, ..., d}, la suite `(a_{k,n})` converge.

Équivalence de normes

Exercice 25

Soit N une norme sur `M_n(R)`. Montrer qu'il existe c > 0 tel que `N(AB) ≤ cN(A)N(B)`.

Exercice 26

Soient n ∈ N et E l'espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n. Montrer qu'il existe λ > 0 vérifiant ∀P ∈ E, `∫_0^1 |P(t)| dt ≥ λ sup_{t∈[0,1]} |P(t)|`.

Exercice 27

Pour d ∈ N, on pose `E = R_d[X]` l'espace des polynômes réels en l'indéterminée X de degré inférieur ou égal à d. Soit ξ = (ξ0, ..., ξd) une famille de d + 1 nombres réels distincts et P ∈ E, on pose `N_ξ(P) = ∑_{k=0}^d |P(ξk)|`. Montrer que `N_ξ` définit une norme sur E.

Exercice 28

Soit E un sous-espace vectoriel de dimension finie d > 1 de l'espace `C([0, 1], R)` de fonctions continues.
a) Établir l'existence de `(a1, ..., ad) ∈ [0, 1]^d` tel que l'application `N : f ∈ E → ∑_{i=1}^d |f(ai)|` soit une norme.
b) Soit `(f_n)` une suite de fonctions de E qui converge simplement vers une fonction `f : [0, 1] → R`. Montrer que f est élément de E et que la convergence est uniforme.

Exercice 29

Montrer que si `(P_n)` est une suite de fonctions polynomiales de degré inférieur à N convergeant simplement vers une fonction f sur R, alors f est une fonction polynomiale.

Exercice 30

Soit `E = {f ∈ C^2([0, π], R) / f(0) = f'(0) = 0}`. On définit `N : f → ||f + f''||_∞`.
a) Montrer que N est une norme sur E.
b) Montrer que N est équivalente à `ν : f → ||f||_∞ + ||f''||_∞`.

Exercice 31

On note `E = C^1([0, 1], R)`.
a) Pour f ∈ E, on pose `N(f) = ||f||_∞ + ||f'||_∞`. Montrer que N est une norme sur E. Est-elle équivalente à `||.||_∞` ?
b) Pour f ∈ E, on pose `N_0(f) = |f(0)| + ||f'||_∞`. Montrer que `N_0` est une norme sur E. Montrer qu'elle est équivalente à N.

Exercice 32

On note E le R-espace vectoriel des fonctions `f : [0, 1] → R` de classe `C^1` vérifiant `f(0) = 0`. Pour f ∈ E, on pose `N1(f) = sup_{x∈[0,1]} |f(x)| + sup_{x∈[0,1]} |f'(x)|` et `N2(f) = sup_{x∈[0,1]} |f(x) + f'(x)|`. Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur E et qu'elles sont équivalentes.

Exercice 33

Soient `E = C([0, 1], R)` et `E+` l'ensemble des fonctions de E qui sont positives et ne s'annulent qu'un nombre fini de fois. Pour toute fonction ϕ ∈ `E+` et pour toute fonction f ∈ E, on pose `||f||_ϕ = sup_{t∈[0,1]} {|f(t)|ϕ(t)}`.
a) Montrer que `||.||_ϕ` est une norme sur E.
b) Montrer que si `ϕ1` et `ϕ2` sont deux applications strictement positives de `E+`, alors les normes associées sont équivalentes.
c) Les normes `||.||_x` (avec `ϕ(t)=t`) et `||.||_{x^2}` (avec `ϕ(t)=t^2`) sont-elles équivalentes ?

Exercice 34

Soient `E = C([0, 1], R)` et `E+` l'ensemble des fonctions de E qui sont positives et ne s'annulent qu'un nombre fini de fois. Pour toute fonction ϕ ∈ `E+` et pour toute fonction f ∈ E, on pose `||f||_ϕ = ∫_0^1 |f(t)|ϕ(t) dt`.
a) Montrer que `||.||_ϕ` est une norme sur E.
b) Montrer que si `ϕ1` et `ϕ2` sont deux applications strictement positives de `E+`, alors les normes associées sont équivalentes.
c) Les normes `||.||_x` (avec `ϕ(t)=t`) et `||.||_{x^2}` (avec `ϕ(t)=t^2`) sont-elles équivalentes ?

Exercice 35

a) Quelles sont les valeurs de a ∈ R pour lesquelles l'application `(x, y) → N_a(x, y) = √(x^2 + 2axy + y^2)` définit une norme sur R^2 ?
b) Si `N_a` et `N_b` sont des normes, calculer `inf_{(x,y)≠0} (N_a(x, y) / N_b(x, y))` et `sup_{(x,y)≠0} (N_a(x, y) / N_b(x, y))`.

Exercice 36

On note `l^∞(N, R)` l'espace des suites réelles bornées normé par `||.||_∞`.
a) Soit `a = (a_n)` une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite a pour que l'application `N_a : x → ∑_{n=0}^{+∞} |a_n x_n|` définisse une norme sur `l^∞(N, R)`.
b) Comparer `N_a` et `||.||_∞`.

Exercice 37

Soient l'espace `E = {f ∈ C^1([0, 1], R) / f(0) = 0}` et N1, N2 les applications définies sur E par `N1(f) = ||f'||_∞` et `N2(f) = ||f + f'||_∞`.
a) Montrer que N1 et N2 définissent des normes sur E.
b) Montrer que N2 est dominée par N1 (c'est-à-dire qu'il existe C > 0 tel que `N2(f) ≤ C N1(f)` pour tout f ∈ E).
c) En exploitant l'identité `f(x) = e^(-x) ∫_0^x (f(t) + f'(t))e^t dt`, montrer que N1 est dominée par N2 (c'est-à-dire qu'il existe D > 0 tel que `N1(f) ≤ D N2(f)` pour tout f ∈ E).

Exercice 38

a) Montrer que `N_∞(u) = sup_{n∈N} |u_n|` et `N(u) = sup_{n∈N} |u_{n+1} - u_n|` définissent des normes sur l'espace E des suites réelles bornées `u = (u_n)_{n∈N}` telles que `u_0 = 0`.
b) Montrer que ∀u ∈ E, `N(u) ≤ 2N_∞(u)`. Déterminer une suite non nulle telle qu'il y ait égalité.
c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Suites de matrices

Exercice 39

Soient A, B ∈ `M_p(R)`. On suppose que la suite `(AB)^n` converge vers la matrice nulle `O_p`. Montrer que `(BA)^n` converge aussi vers `O_p`.

Exercice 40

Soient A, B ∈ `M_n(R)` telles que `(BA)^n` converge vers la matrice nulle `O_p`. Montrer que `(AB)^n` converge aussi vers `O_p`.

Exercice 41

Soit `(A_n)` une suite de matrices inversibles de `M_p(K)`. On suppose que la suite `A_n` converge vers A et la suite `A_n^(-1)` converge vers B. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.

Exercice 42

À quelle condition sur A ∈ `M_p(K)` existe-t-il une matrice M ∈ `M_p(K)` telle que `M^n` converge vers A quand `n → +∞` ?

Exercice 43

Soit A ∈ `M_p(C)`. On suppose que la suite `(A^n)_{n∈N}` converge vers B. Montrer que B est semblable à une matrice diagonale n'ayant que des 0 et des 1 sur sa diagonale.

Exercice 44

a) Soit A ∈ `M_p(R)` diagonalisable vérifiant `Spec(A) ⊂ ]-1, 1[`. Montrer que `A^n` converge vers la matrice nulle `O_p`.
b) Même question avec A trigonalisable au lieu de diagonalisable.

Exercice 45

Soit `(A_n)` une suite convergente d'éléments de `M_n(K)` et de limite `A_∞`. Montrer que pour n assez grand, `rg(A_n) ≥ rg(A_∞)`.

Exercice 46

Soient `(A_k)` et `(B_k)` deux suites de matrices de `M_n(C)` convergeant respectivement vers `P` et `Q`. Si, pour tout `k`, les matrices `A_k` et `B_k` commutent, montrer que `P` et `Q` commutent.

Exercice 47

Soit q ∈ `N^*`. On note `E_q` l'ensemble des A ∈ `GL_n(C)` telles que `A^q = I_n`.
a) Que dire de A ∈ `E_q` telle que 1 est la seule valeur propre de A ?
b) Montrer que `I_n` est un point isolé de `E_q`.

Exercice 48

Soit a ∈ R. Déterminer `lim_{n→+∞} A_n^n` avec `A_n = [[1, -a/n], [a/n, 1]]`.

Fonctions lipschitziennes

Exercice 49

Soit E l'espace formé des fonctions réelles définies sur `[a, b]`, lipschitziennes et s'annulant en a. Montrer que l'application `N : E → R` qui à f ∈ E associe le réel `N(f) = inf {k ∈ R^+ / ∀x, y ∈ [a, b] , |f(x) - f(y)| ≤ k |x - y|}` définit une norme sur E.

Exercice 50

Soient A une partie bornée non vide d'un espace vectoriel normé (E, N) et L le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de A dans E.
a) Montrer que les éléments de L sont des fonctions bornées.
b) Pour f ∈ L, soit `K_f = {k ∈ R^+ / ∀(x, y) ∈ A^2, N(f(x) - f(y)) ≤ k N(x - y)}`. Justifier l'existence de `c(f) = inf K_f` puis montrer `c(f) ∈ K_f`.
c) Soient a ∈ A et `N_a : L → R^+` définie par `N_a(f) = c(f) + N(f(a))`. Montrer que `N_a` est une norme sur L.
d) Soient a, b ∈ A. Montrer que les normes `N_a` et `N_b` sont équivalentes.

Exercice 51

Soient E un espace vectoriel normé et `T : E → E` définie par `T(u) = u` si `||u|| ≤ 1` et `T(u) = u/||u||` sinon. Montrer que T est au moins 2-lipschitzienne.

Exercice 52

Soit E un espace vectoriel réel normé. On pose `f(x) = (1 / max(1, ||x||))x`. Montrer que f est 2-lipschitzienne. Montrer que si la norme sur E est hilbertienne, alors f est 1-lipschitzienne.

Limite et continuité

Exercice 53

Étudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes :
a) `f(x, y) = (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2)`
b) `f(x, y) = xy` (ceci est une fonction simple, la question est implicite: qu'est-ce que sa limite en (0,0)?)
c) `f(x, y) = x^2y / (x^4 + y^4)`
d) `f(x, y) = xy / (x^4 + y^2)`

Exercice 54

Soit `f : R^+ × R^+^* → R` définie par `f(x, y) = x^y` pour x > 0 et `f(0, y) = 0`.
a) Montrer que f est une fonction continue sur son domaine de définition.
b) Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur `R^+ × R^+` ?

Exercice 55

Soient E un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. Pour x ∈ E, on pose `d(x, A) = inf {||x - a|| / a ∈ A}`. Montrer que l'application `x → d(x, A)` est définie et continue sur E.

Exercice 56

Soient `g : R^2 → R` continue et C un cercle de centre O et de rayon R > 0.
a) Montrer qu'il existe deux points A et B de C diamétralement opposés tels que g(A) = g(B).
b) Montrer qu'il existe deux points C et D de C, se déduisant l'un de l'autre par un quart de tour, tels que g(C) = g(D).

Exercice 57

Déterminer l'ensemble des morphismes continus de (U, ×) dans lui-même, où U est le cercle unité dans le plan complexe (`{z ∈ C : |z|=1}`) muni de la multiplication complexe.

Continuité des applications linéaires

Exercice 58

Soit u un endomorphisme continu d'un espace vectoriel normé E. Montrer que ∀λ ∈ Spec(u) (spectre de u), |λ| ≤ `||u||`.

Exercice 59

Soient E et F deux espaces vectoriels normés. On suppose qu'une suite `(f_n)` d'éléments de `LC(E, F)` (opérateurs linéaires continus de E dans F) converge vers `f ∈ LC(E, F)` (au sens de la norme subordonnée) et qu'une suite `(x_n)` d'éléments de E converge vers x ∈ E. Établir que `f_n(x_n)` converge vers `f(x)`.

Exercice 60

Soient E et F deux espaces vectoriels normés et `f ∈ L(E, F)` (opérateur linéaire de E dans F). On suppose que pour toute suite `(u_n)` tendant vers 0, `f(u_n)` est bornée. Montrer que f est continue.

Exercice 61

Montrer que N1 et N2 normes sur E sont équivalentes si, et seulement si, `Id_E` est bicontinue de (E, N1) vers (E, N2).

Exercice 62

Soit `u ∈ LC(E, F)`. Montrer que `||u|| = sup_{||x||_E < 1} ||u(x)||_F`.

Exercice 63

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel normé de dimension finie E vérifiant `∀x ∈ E, ||u(x)|| ≤ ||x||`. Montrer que les espaces `ker(u - Id)` et `Im(u - Id)` sont supplémentaires.

Exercice 64

Soit E une algèbre de dimension finie non nulle. On désire établir que E peut être muni d'une norme d'algèbre. Soit `||.||` une norme sur E. Pour tout x ∈ E, on pose `N(x) = sup_{a∈E, ||a||=1} ||ax||`.
a) Justifier que N(x) existe dans R.
b) Établir que N est une norme d'algèbre sur E.

Exercice 65

Soit f une forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel normé E. Montrer que si `x ∉ ker f`, alors `d(x, ker f) = |f(x)| / ||f||`.

Exercice 66

Soient d un entier naturel et `(f_n)` une suite de fonctions polynomiales de R dans R de degré au plus d. On suppose que cette suite converge simplement. Montrer que la limite est polynomiale de degré au plus d, la convergence étant de plus uniforme sur tout segment.

Exercice 67

Soient E un espace normé de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant `∀x ∈ E, ||u(x)|| ≤ ||x||`. Montrer que `ker(u - Id)` et `Im(u - Id)` sont supplémentaires.

Exercice 68

Soient E un espace vectoriel normé non réduit à {0} et `u, v ∈ L(E)` (opérateurs linéaires) continus tels que `u o v - v o u = αId_E` pour un certain `α ∈ R`.
a) Établir que pour tout n ∈ N, `u o v^(n+1) - v^(n+1) o u = (n + 1)αv^n`.
b) En déduire que `α = 0`.

Exercice 69

On munit `E = M_p(C)` de la norme `||M|| = max_{1≤i,j≤p} |m_{i,j}|`.
a) Soient X fixé dans `C^p` et P fixé dans `GL_p(C)`. Montrer que `φ(M) = MX` et `ψ(M) = P^(-1)MP` définissent des applications continues.
b) Établir que `f(M, N) = MN` définit une application continue.
c) Soit A ∈ `M_p(C)` telle que la suite `(||A^n||)` soit bornée ; montrer que les valeurs propres de A sont de module inférieur ou égal à 1.
d) Soit B ∈ `M_p(C)` telle que la suite `(B^n)` tende vers une matrice C. Montrer que `C^2 = C` ; que conclure à propos du spectre de C ? (Les valeurs propres de C sont 0 ou 1).

Calcul de norme d’application linéaire

Exercice 70

On note `E = l^∞(R)` l'espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la norme `N_∞`. Pour `u = (u_n) ∈ l^∞(R)`, on pose `T(u)` et `∆(u)` les suites définies par `T(u)_n = u_{n+1}` et `∆(u)_n = u_{n+1} - u_n`.
a) Montrer que les applications T et ∆ sont des endomorphismes continus de E.
b) Calculer leur norme.

Exercice 71

Soient `E = C^0([0, 1], R)` et `F = C^1([0, 1], R)`. On définit N1 et N2 par `N1(f) = ||f||_∞` et `N2(f) = ||f||_∞ + ||f'||_∞`.
a) On définit `T : E → F` par : pour tout `f : [0, 1] → R`, `T(f) : [0, 1] → R` est définie par `T(f)(x) = ∫_0^x f(t) dt`. Montrer que T est une application linéaire continue.
b) Calculer la norme de T.

Exercice 72

Soit `E = C^0([0, 1], R)` muni de `||.||_∞` définie par `||f||_∞ = sup_{[-1,1]} |f|`. Étudier la continuité de la forme linéaire `ϕ : f → f(1) - f(0)` et calculer sa norme.

Exercice 73

On munit l'espace `E = C^0([0, 1], R)` de la norme `||.||_2` (norme `L^2`). Pour f et ϕ éléments de E, on pose `T_ϕ(f) = ∫_0^1 f(t)ϕ(t) dt`. Montrer que `T_ϕ` est une forme linéaire continue et calculer sa norme.

Exercice 74

Soit `E = C^0([0, 1], R)` muni de `||.||_1` définie par `||f||_1 = ∫_0^1 |f(t)| dt`. Étudier la continuité de la forme linéaire `ϕ : f → ∫_0^1 tf(t) dt` et calculer sa norme.

Exercice 75

Soient `E = C([0, 1], R)` et u l'endomorphisme de E qui envoie f ∈ E sur la fonction `u(f) : x → f(x) - f(0)`.
a) Montrer que pour E muni de `||.||_∞`, l'endomorphisme u est continu et calculer sa norme.
b) Montrer que pour E muni de `||.||_1`, l'endomorphisme u n'est pas continu.

Exercice 76

Sur `R[X]`, on définit N1 et N2 par :
`N1(P) = ∑_{k=0}^{deg(P)} |P^(k)(0)|`
`N2(P) = sup_{t∈[-1,1]} |P(t)|`
a) Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur `R[X]`.
b) Montrer que la dérivation est continue pour N1 et calculer sa norme.
c) Montrer que la dérivation n'est pas continue pour N2.
d) N1 et N2 sont-elles équivalentes ?

Exercice 77

On munit l'espace `E = C([0, 1], R)` de la norme `||.||_∞`. Pour f et ϕ éléments de E, on pose `T_ϕ(f) = ∫_0^1 f(t)ϕ(t) dt`. Montrer que `T_ϕ` est une forme linéaire continue et calculer sa norme. On pourra pour cela introduire les fonctions `f_ε : t → ϕ(t) / (|ϕ(t)| + ε)`.

Exercice 78

Soit `E = C([0, 1], R)` muni de `||.||_∞`.
a) Soit φ une fonction continue bornée. Montrer que l'application `u : f → φf` définit un endomorphisme continu de E.
b) Montrons que l'application `u : f → u(f)` où `u(f)(x) = f(0) + x(f(1) - f(0))` est un endomorphisme continu de E et calculer sa norme.

Exercice 79

Soit `E = C([0, 1], R)` muni de `||.||_∞`.
a) Montrer que pour toute fonction f ∈ E, il existe une unique primitive F de f vérifiant `∫_0^1 F(t) dt = 0`.
b) Établir que l'application `u : f → F` est un endomorphisme continu.
c) Calculer `||u||`.

Exercice 80

Pour `a = (a_n) ∈ l^∞(R)` et `u = (u_n) ∈ l^1(R)`, on pose `〈a, u〉 = ∑_{n=0}^{+∞} a_n u_n`. Justifier l'existence de cette somme.

Exercice 81

Soit `E = C([0, 1], R)` (fonctions continues sur [0,1]) muni de la norme `||.||_∞`. Soit u l'endomorphisme de E défini par `u(f)(x) = f(0) + x(f(1) - f(0))`. Montrer que u est un endomorphisme continu et calculer sa norme.

Exercice 82

On note E l'espace des fonctions réelles définies et continues sur [0, 1]. On note `E_∞` cet espace muni de la norme `||.||_∞ : f → sup_{t∈[0,1]} |f(t)|` et `E_1` cet espace muni de la norme `||.||_1 : f → ∫_0^1 |f(t)| dt`. Soit u l'endomorphisme de E défini par `u(f)(x) = ∫_0^x tf(t) dt`. Étudier la continuité de u pour les normes `||.||_∞` et `||.||_1`.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une norme sur un espace vectoriel ?

Une norme est une application qui associe à chaque vecteur d'un espace vectoriel un nombre réel positif. Elle mesure la "longueur" ou la "taille" d'un vecteur et doit satisfaire trois propriétés : la séparation (seul le vecteur nul a une norme de zéro), l'homogénéité (multiplier un vecteur par un scalaire multiplie sa norme par la valeur absolue du scalaire), et l'inégalité triangulaire (la norme de la somme de deux vecteurs est inférieure ou égale à la somme de leurs normes).

Pourquoi l'équivalence des normes est-elle importante en dimension finie ?

En dimension finie, toutes les normes sur un espace vectoriel sont équivalentes. Cela signifie que pour deux normes quelconques N1 et N2, il existe des constantes positives m et M telles que `m N2(x) ≤ N1(x) ≤ M N2(x)` pour tout vecteur x. Cette propriété est fondamentale car elle implique que des concepts topologiques comme la convergence, la continuité et la compacité sont indépendants du choix de la norme en dimension finie.

Comment la continuité d'une application linéaire est-elle liée aux normes ?

Une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés est continue si et seulement si elle est bornée. Cela signifie qu'il existe une constante M telle que `||f(x)|| ≤ M ||x||` pour tout x dans l'espace de départ. La plus petite de ces constantes M est appelée la norme de l'opérateur (ou norme subordonnée) et est une mesure de "l'amplification" maximale qu'un opérateur peut exercer sur la longueur d'un vecteur.