Examen mi p semestre 1 2013 2014 analyse 3 -Corr - Télécharg
Télécharger PDF1 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques AU :2013/2014 Option :MIP Module :M311 ====================================================================== Deuxi`eme partiel Janvier 2104 (S3) Dur´ee 1H 30
Exercice 0.0.1 (5 points). 1. Montrer que la forme diff´erentielle ω(x, y) = 2.x.eydx + (x2.ey + cos(y))dy, est exacte et d´eterminer une primitive. (1+2 pts) 2. End´eduire la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle : ¡x2.ey + cos(y))y0 = −2.x.ey. (2 pts)
Exercice 0.0.2 (6 points) 1. Repr´esenter les domaines et calculer les int´egrales suivantes : (a) I = Z 2 0 Z 2 2y2sin(xy)dxdy. (2 pts) x (b) Calculer directment et utlisant la formule de Green-Riemann : ZZ J = D (x − y2)dxdy, D : x2 + y2 ≤ 1; y ≥ 0. (2+2 pts) 2. Soient les surfaces (parabol¨ıdes) S1 et S2 d’´equations respectives z = x2 + y2 et z = 8 − (x2 + y2), et Ω le domaine limit´e par les surfaces S1 et S2. (a) Montrer que la projection de Ω est D : x2 + y2 ≤ 4. (1 pts) ZZ Z (b) Calculer I = Ω
Exercice 0.0.3 (6 points) dxdydz.( On pourra fixer x et y). (2 pts) Soit S+ la surface d’´equation x2 + y2 = z2, 1 ≤ z ≤ 2 orient´ee par −→n (x, y, −z). 1. Donner une param´etrisation de S+. (1 pts) Z Z Z 2. Calculer I = z2dxdydz.. (2 pts) Ω 3. Calculer l’int´egrale de surface I(a, R) = Z Z D+ xdy∧dz−3ydz∧dx+13z3dx∧dy, o`u : D : x2 + y2 ≤ R2, z = a orient´ee par −→k . (1 pts) 4. En utilisant la formule d’Orstogradsky, calculer J = Z Z S+ xdy ∧ dz − 3ydz ∧ dx +13z3dx ∧ dy. (2 pts) ====================================================================
Professeurs : M.HARFAOUI- S. SAJID