Espaces vectoriels normes exercices corriges.pdf analyse 3

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Exercices Corrigés sur les Espaces Vectoriels Normés (Partie I)

Cette série d'exercices corrigés est dédiée aux espaces vectoriels normés, un concept fondamental en analyse fonctionnelle. Elle couvre des aspects essentiels tels que la définition d'une norme, la caractérisation des boules unitaires, les propriétés de compacité et de fermeture dans ces espaces, ainsi que la continuité des applications linéaires.

Énoncés des Exercices

Exercice 1 : Définition d'une norme et représentation d'une boule unité

Montrer que N : ℝ² → ℝ, définie pour u = (x, y) par N(u) = sup_0≤t≤1 |x + ty| est une norme. Représenter la boule unité fermée de centre 0.

Exercice 2 : Inégalité dans un espace vectoriel normé

Soient E un espace vectoriel normé, et x, y, z, t quatre vecteurs de E. Montrer que ||x − t|| + ||y − z|| ≤ ||x − y|| + ||y − t|| + ||t − z|| + ||z − x||.

Exercice 3 : Compacité et fermeture dans les espaces vectoriels normés

Soit E un espace vectoriel normé. Pour toutes parties A et B de E, on note A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}.

Montrer que si A et B sont compactes, alors A + B est compacte.
Montrer que si A est compacte et B fermée, alors A + B est fermée.

Exercice 4 : Continuité et orthogonalité dans un espace préhilbertien

Soit E un espace préhilbertien sur K.

Pour tout a de E, montrer que f_a définie par x → f_a(x) = < a, x > est continue.
Pour toute partie A de E, on rappelle que A^⊥ = {x ∈ E, ∀a ∈ A, < a, x >= 0}. Montrer que A^⊥ est un ensemble fermé (donner deux démonstrations).

Exercice 5 : Calcul de la norme d'une application linéaire

On munit E = M_n(ℝ) de l’une des trois normes usuelles : Pour toute matrice A = (a_ij) : ||A||₁ = ∑|a_ij|, ||A||₂ = √(∑a_ij²), ||A||_&infty; = sup |a_ij|. Dans chaque cas, calculer la norme de l’application linéaire "trace".

Indications pour Résoudre les Exercices

Indication pour l'Exercice 1

On montre facilement que N est une norme. Pour tout u = (x, y) ∈ ℝ², montrer que N(u) ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 et −x − 1 ≤ y ≤ −x + 1.

Indication pour l'Exercice 2

Appliquer quatre fois l’inégalité triangulaire : ||x − t|| ≤ ||x − y|| + ||y − t|| , ...

Indication pour l'Exercice 3

Se donner une suite (u_n = a_n + b_n) de A + B. Procéder à deux extractions de suites consécutives.
Se donner une suite (u_n = a_n + b_n) de A + B, convergente vers ℓ. Extraire une suite convergente de la suite (a_n).

Indication pour l'Exercice 4

Vérifier que f_a est lipschitzienne de rapport ||a||.
a) Soit (x_n) une suite de A^⊥, convergente vers ℓ. Montrer que ℓ ∈ A^⊥.

b) A^⊥ est l’intersection des {a}^⊥, pour a ∈ A, et les {a}^⊥ sont fermés car ce sont les images réciproques de singletons fermés par une application continue.

Indication pour l'Exercice 5

Avec la norme A → ||A||₁: Vérifier l’inégalité (non améliorable) |tr (A)| ≤ ||A||₁. Donc ||tr|| = 1.
Avec la norme A → ||A||₂: Appliquer Cauchy-Schwarz. En déduire ||tr|| = √n.
Avec la norme A → ||A||_&infty;: on trouve ||tr|| = n.

Corrigés Détaillés des Exercices

Corrigé de l'Exercice 1

Dans cette question u = (x, y) et v = (x₀, y₀) sont deux éléments quelconques de ℝ².

La borne supérieure N(u) existe car elle représente le maximum (atteint au moins pour une valeur t₀) de l’application t → |x + ty|, définie et continue sur [0, 1].
On a évidemment l’inégalité N(x, y) ≥ 0. D’autre part N(x, y) = 0 ⇒ ∀t ∈ [0, 1], x + ty = 0 ⇒ x = y = 0 (choisir t = 0 et t = 1.)
Pour tout réel λ : N(λu) = sup_0≤t≤1 |(λx) + t(λy)| = sup_0≤t≤1 |λ| |x + ty| = |λ| sup_0≤t≤1 |x + ty| = |λ| N(u).
Pour tout réel t de [0, 1], |(x + x₀) + t(y + y₀)| ≤ |x + ty| + |x₀ + ty₀| ≤ N(u) + N(v). On peut alors passer à la borne supérieure dans |(x + x₀) + t(y + y₀)| et écrire : N(u + v) ≤ N(u) + N(v).

L’application u → N(u) est donc une norme sur ℝ². Soit u = (x, y) un élément quelconque de ℝ², et soit φ définie sur [0, 1] par φ(t) = |x + ty|. L’application positive φ² est convexe sur [0, 1] (sa dérivée seconde est positive ou nulle). L’application φ² atteint donc son maximum en t = 0 ou en t = 1. Il en est de même de φ. On a donc : N(u) ≤ 1 ⇔ φ(0) ≤ 1 et φ(1) ≤ 1 ⇔ |x| ≤ 1 et |x + y| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 et −x − 1 ≤ y ≤ −x + 1.

On en déduit la forme de la boule unité fermée. Cette boule unité représente un polygone dans ℝ², dont les sommets sont déterminés par les conditions d'égalité des inégalités.

Corrigé de l'Exercice 2

On applique quatre fois l’inégalité triangulaire :

||x − t|| ≤ ||x − y|| + ||y − t||
||y − z|| ≤ ||y − t|| + ||t − z||
||x − t|| ≤ ||x − z|| + ||z − t||
||y − z|| ≤ ||y − x|| + ||x − z||

En additionnant ces inégalités et en remarquant que certains termes apparaissent en double, on obtient le résultat après simplification par 2 : ||x − t|| + ||y − z|| ≤ ||x − y|| + ||y − t|| + ||t − z|| + ||z − x||.

Corrigé de l'Exercice 3

Soit (u_n) une suite de A + B. Pour tout n de ℕ, il existe a_n dans A et b_n dans B tels que u_n = a_n + b_n. Puisque A est compact, il existe une application φ : ℕ → ℕ, strictement croissante, telle que la suite de terme général a'_n = a_φ(n) (extraite de la suite (a_n)) soit convergente vers un élément a de A. Considérons la suite de terme général b'_n = b_φ(n), extraite de la suite (b_n). De la suite (b'_n) du compact B, on extrait une suite (b''_n = b'_ψ(n)) convergente vers un élément b de B. De la suite convergente (a'_n), on extrait (a''_n = a'_ψ(n)), toujours convergente vers a ∈ A. Dans ces conditions, la suite de terme général u''_n = a''_n + b''_n est extraite de la suite initiale (u_n) de A + B, et elle converge vers l’élément a + b de A + B. On en déduit que A + B est une partie compacte de E. Ce résultat est une propriété importante des compacts dans les espaces vectoriels normés.
Soit (u_n) une suite de A + B. Pour tout n de ℕ, il existe a_n dans A et b_n dans B tels que u_n = a_n + b_n. On suppose que la suite (u_n) est convergente vers un élément ℓ de E. Il s’agit de montrer que ℓ ∈ A + B. De la suite (a_n) du compact A, on extrait une suite (a'_n = a_φ(n)) convergente vers un élément a de A. Pour tout entier n, on note alors b'_n = b_φ(n) et u'_n = u_φ(n). La suite (u'_n), extraite de la suite convergente (u_n), est elle-même convergente vers ℓ. On en déduit que la suite de terme général b'_n = u'_n − a'_n est convergente car elle est la différence de deux suites convergentes. Posons b = lim_n→&infty;b'_n. Puisque B est fermée, le vecteur b est un élément de B. On a alors ℓ = lim_n→&infty;(a'_n + b'_n) = lim_n→&infty;a'_n + lim_n→&infty;b'_n = a + b ∈ A + B. Conclusion : A + B est fermé. Ceci démontre que la somme d'un compact et d'un fermé est un fermé, une propriété utile en topologie.

Corrigé de l'Exercice 4

Pour tous vecteurs x et y de E, |f_a(x) − f_a(y)| = |< a, x − y >| ≤ ||a|| ||x − y|| (par l'inégalité de Cauchy-Schwarz). L’application f_a est donc lipschitzienne de rapport ||a|| : elle est continue sur E. Il est important de noter que cette propriété de continuité est générale et ne dépend pas de la dimension finie de E.
– Première démonstration : Soit (x_n) une suite convergente de E, formée d’éléments de A^⊥. Soit ℓ sa limite. Pour tout a de A, et parce que f_a est continue, on a < a, ℓ > = lim_n→&infty;< a, x_n > = 0. La limite ℓ est donc un élément de A^⊥. Il s’ensuit que cet ensemble est un fermé de E. Cette méthode est la démonstration séquentielle de la fermeture d'un ensemble.

– Deuxième démonstration : On peut aussi dire que pour tout a de A, l’ensemble a^⊥ (l'orthogonal de {a}) est un fermé de E, car c’est l’image réciproque d’un fermé de ℝ (le singleton {0}) par l’application continue f_a. Or A^⊥ est l’intersection des {a}^⊥, pour tous les a de A. On en déduit que A^⊥ est un fermé de E (toute intersection d'ensembles fermés est un fermé).

Corrigé de l'Exercice 5

Il faut trouver le réel minimum positif λ tel que, pour toute matrice A, on ait : |tr (A)| ≤ λ ||A||. Ce λ représente la norme de l'application linéaire "trace".

Avec la norme A → ||A||₁ (somme des valeurs absolues des éléments) : |tr (A)| = ∑_i=1ⁿ a_ii ≤ ∑_i=1ⁿ |a_ii| ≤ ∑_i,j |a_ij| = ||A||₁. On en déduit l’inégalité |tr (A)| ≤ ||A||₁. Ce résultat n’est pas améliorable car il y a égalité par exemple si A = I_n (matrice identité). Donc ||tr|| = 1. L'application trace est donc 1-lipschitzienne pour cette norme.
Avec la norme A → ||A||₂ (norme de Frobenius) : On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz : (tr (A))² = (∑_i=1ⁿ a_ii)² = (∑_i=1ⁿ (1 · a_ii))² ≤ (∑_i=1ⁿ 1²) (∑_i=1ⁿ a_ii²) = n (∑_i=1ⁿ a_ii²). On en déduit (tr (A))² ≤ n ∑_i=1ⁿ a_ii² ≤ n ∑_i,j=1ⁿ a_ij². Autrement dit |tr (A)| ≤ √n ||A||₂. Cette inégalité ne peut pas être améliorée car c’est une égalité par exemple si A = I_n. On en déduit ||tr|| = √n. L'utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est courante pour établir des bornes sur des sommes ou des intégrales.
Avec la norme A → ||A||_&infty; (norme du maximum) : |tr (A)| = ∑_i=1ⁿ a_ii ≤ ∑_i=1ⁿ |a_ii| ≤ n sup{|a_ii| , i = 1 ··· n} ≤ n sup{|a_ij| , i, j = 1 ··· n} = n ||A||_&infty;. On en déduit l’inégalité |tr (A)| ≤ n ||A||_&infty;. Cette inégalité ne peut pas être améliorée car c’est une égalité par exemple si A = I_n. On en déduit ||tr|| = n. Cette norme est souvent plus simple à manipuler pour des majorations.

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Espaces Vectoriels Normés

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel sur lequel est définie une fonction appelée "norme", qui associe à chaque vecteur un nombre réel positif. Cette norme satisfait trois propriétés clés : elle est positive (nulle seulement pour le vecteur nul), elle est homogène par rapport à la multiplication scalaire, et elle respecte l'inégalité triangulaire. Elle permet de mesurer la "taille" ou la "longueur" des vecteurs.

Pourquoi la compacité est-elle importante dans les espaces vectoriels normés ?

La compacité est une propriété topologique forte. Dans les espaces vectoriels normés, un ensemble compact est toujours fermé et borné. Elle est cruciale car de nombreuses fonctions continues sur des compacts atteignent leurs bornes (théorème de Weierstrass) et une suite d'éléments d'un compact admet toujours une sous-suite convergente (propriété de Bolzano-Weierstrass généralisée), ce qui simplifie les démonstrations d'existence et de convergence.

Quelle est la relation entre une norme et une distance ?

Toute norme sur un espace vectoriel E induit naturellement une distance d sur E, définie par d(x, y) = ||x − y|| pour tous vecteurs x, y de E. Cette distance vérifie les axiomes d'une métrique : elle est positive, symétrique, et satisfait l'inégalité triangulaire. Ainsi, un espace vectoriel normé est toujours un espace métrique.