Espaces vectoriels normes exercices corriges.pdf analyse 3 -
Télécharger PDFExercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (I) ´ Enonc´es ´
Enonc´es des exercices ´
Exercice 1[ Indication ] [ Correction ] Montrer que N : R2 → R, d´efinie pour u = (x, y) par N(u) = sup |x + ty| est une norme. Repr´esenter la boule unit´e ferm´ee de centre 0. 0≤t≤1
Exercice 2[ Indication ] [ Correction ] Soient E un espace vectoriel norm´e, et x, y, z, t quatre vecteurs de E. Montrer que kx − tk + ky − zk ≤ kx − yk + ky − tk + kt − zk + kz − xk.
Exercice 3[ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel norm´e. Pour toutes parties A et B de E, on note A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}. 1. Montrer que si A et B sont compactes, alors A + B est compacte. 2. Montrer que si A est compacte et B ferm´ee, alors A + B est ferm´ee.
Exercice 4[ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur K. 1. Pour tout a de E, montrer que fa d´efinie par x 7→ fa(x) =< a, x > est continue. 2. Pour toute partie A de E, on rappelle que A⊥ = {x ∈ E, ∀a ∈ A, < a, x >= 0}. Montrer que A⊥ est un ensemble ferm´e (donner deux d´emonstrations.)
Exercice 5[ Indication ] [ Correction ] On munit E = Mn(R) de l’une des trois normes usuelles : Pour toute matrice A = (aij ) : kAk1 =P|aij |, kAk2 =qPa2ij , kAk∞ = sup |aij | Dans chaque cas, calculer la norme de l’application lin´eaire “trace”. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (I) ´ Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ] On montre facilement que N est une norme. Pour tout u = (x, y) ∈ R2, montrer que N(u) ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1 −x − 1 ≤ y ≤ −x + 1 Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ] Appliquer quatre fois l’in´egalit´e triangulaire : kx − tk ≤ kx − yk + ky − tk , · · · Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ] 1. Se donner une suite (un = an + bn) de A + B. Proc´eder `a deux extractions de suites cons´ecutives. 2. Se donner une suite (un = an + bn) de A + B, convergente vers `. Extraire une suite convergente de la suite (an). Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ] 1. V´erifier que fa est lipschitzienne de rapport kak. 2.a) Soit (xn) une suite de A⊥, convergente vers `. Montrer que ` ∈ A⊥. b) A⊥ est l’intersection des {a}⊥, pour a ∈ A, et les {a}⊥ sont ferm´es car... Indication pour l’exercice 5 – Avec la norme A → kAk1: [ Retour `a l’´enonc´e ] V´erifier l’in´egalit´e (non am´eliorable) |tr (A)| ≤ kAk1. Donc ktr k = 1. – Avec la norme A → kAk2: Appliquer Cauchy-Schwarz. En d´eduire ktr k =√n. – Avec la norme A → kAk∞ : on trouve ktr k = n. Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (I) ´ Corrig´es
Corrig´es des exercices Corrige de l’exercice 1 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] Dans cette question u = (x, y) et v = (x0, y0) sont deux ´el´ements quelconques de R2. – La borne sup´erieure N(u) existe car elle repr´esente le maximum (atteint au moins pour une valeur t0) de l’application t → |x + ty|, d´efinie et continue sur [0, 1]. – On a ´evidemment l’in´egalit´e N(x, y) ≥ 0. D’autre part N(x, y) = 0 ⇒ ∀t ∈ [0, 1], x + ty = 0 ⇒ x = y = 0 (choisir t = 0 et t = 1.) – Pour tout r´eel λ : N(λu) = sup 0≤t≤1 |(λx) + t(λy)| = sup 0≤t≤1 |λ| |x + ty| = |λ| sup 0≤t≤1 |x + ty| = |λ| N(u) – Pour tout r´eel t de [0, 1], |(x + x0) + t(y + y0)| ≤ |x + ty| + |x0 + ty0| ≤ N(u) + N(v). On peut alors passer `a la borne sup´erieure dans |(x + x0) + t(y + y0)| et ´ecrire : N(u + v) ≤ N(u) + N(v) L’application u → N(u) est donc une norme sur R2. Soit u = (x, y) un ´el´ement quelconque de R2, et soit ϕ d´efinie sur [0, 1] par ϕ(t) = |x + ty|. L’application positive ϕ2est convexe sur [0, 1] (sa d´eriv´ee seconde est positive ou nulle). L’application ϕ2 atteint donc son maximum en t = 0 ou en t = 1. Il en est de mˆeme de ϕ. On a donc : N(u) ≤ 1 ⇐⇒ ϕ(0) ≤ 1 ϕ(1) ≤ 1⇐⇒ |x| ≤ 1 |x + y| ≤ 1⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1 −x − 1 ≤ y ≤ −x + 1 On en d´eduit la forme de la boule unit´e ferm´ee : Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (I) ´ Corrig´es
Corrige de l’exercice 2 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] kx − tk ≤ kx − yk + ky − tk On applique quatre fois l’in´egalit´e triangulaire : ky − zk ≤ ky − tk + kt − zk kx − tk ≤ kx − zk + kz − tk ky − zk ≤ ky − xk + kx − zk On ajoute ces ´egalit´es et on obtient le r´esultat en simplifiant par 2 : kx − tk + ky − zk ≤ kx − yk + ky − tk + kt − zk + kz − xk Corrige de l’exercice 3 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] 1. Soit (un) une suite de A + B. Pour tout n de N, il existe an dans A et bn dans B tels que un = an + bn. Puisque A est compact, il existe une application ϕ : N → N, strictement croissante, telle que la suite de terme g´en´eral a0n = aϕ(n) (extraite de la suite (an)) soit convergente vers un ´el´ement a de A. Consid´erons la suite de terme g´en´eral b0n = bϕ(n), extraite de la suite (bn). De la suite (b0n) du compact B on extrait une suite (b00n = b0ψ(n)) convergente vers un ´el´ement b de B. De la suite convergente (a0n), on extrait (a00n = a0ψ(n)), toujours convergente vers a ∈ A. Dans ces conditions, la suite de terme g´en´eral u00n = a00n +b00nest extraite de la suite initiale (un) de A + B, et elle converge vers l’´el´ement a + b de A + B. On en d´eduit que A + B est une partie compacte de E. 2. Soit (un) une suite de A + B. Pour tout n de N, il existe an dans A et bn dans B tels que un = an + bn. On suppose que la suite (un) est convergente vers un ´el´ement ` de E. Il s’agit de montrer que ` ∈ A + B. De la suite (an) du compact A on extrait une suite (a0n = aϕ(n)) convergente vers un ´el´ement a de A. Pour tout entier n, on note alors b0n = bϕ(n) et u0n = uϕ(n). La suite (u0n), extraite de la suite convergente (un), est elle-mˆeme convergente vers `. On en d´eduit que la suite de terme g´en´eral b0n = u0n − a0nest convergente car elle est la diff´erence de deux suites convergentes. Posons b = limn→∞b0n. Puisque B est ferm´e, le vecteur b est un ´el´ement de B. On a alors ` = limn→∞(a0n + b0n) = limn→∞a0n + limn→∞b0n = a + b ∈ A + B. Conclusion : A + B est ferm´e. Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (I) ´ Corrig´es
Corrige de l’exercice 4 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] 1. Pour tous vecteurs x et y de E, |f(x) − f(y)| = |< a, x − y >| ≤ kak kx − yk. L’application fa est donc lipschitzienne de rapport kak : elle est continue sur E. NB : L’´enonc´e ne pr´ecise pas que E est de dimension finie (dans ce cas la lin´earit´e de fa suffirait en effet `a assurer sa continuit´e.) 2. – Premi`ere d´emonstration : Soit (xn) une suite convergente de E, form´ee d’´el´ements de de A⊥. Soit ` sa limite. Pour tout a de A, et parce que fa est continuite, on a < a, ` > = limn→∞< a, xn > = 0. La limite ` est donc un ´el´ement de A⊥. Il s’ensuit que cet ensemble est un ferm´e de E. – Deuxi`eme d´emonstration : On peut aussi dire que pour tout a de A, l’ensemble a⊥ est un ferm´e de E, car c’est l’image r´eciproque d’un ferm´e de R (le singleton {0}) par l’application continue fa. Or A⊥ est l’intersection des {a}⊥, pour tous les a de A. On en d´eduit que A⊥ est un ferm´e de E (intersection quelconque de ferm´es.) Corrige de l’exercice 5 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] Il trouver le r´eel minimum positif λ tel que, pour toute matrice A, on a ait : |tr (A)| ≤ λ kAk. – Avec la norme A → kAk1: |tr (A)| = Pn i=1 aii ≤Pn i=1 |aii| ≤ Pn i,j |aij | = kAk1. On en d´eduit l’in´egalit´e |tr (A)| ≤ kAk1. Ce r´esultat n’est pas am´eliorable car il y a ´egalit´e par exemple si A = In. Donc ktr k = 1. – Avec la norme A → kAk2: On applique Cauchy-Schwarz : tr (A)2 = Pn aii 2= Pn (1 · aii) 2≤Pn 12 Pn a2ii On en d´eduit tr (A)2 ≤ nPn a2ii ≤ nPn i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i,j=1 a2ij . Autrement dit |tr (A)| ≤ √n kAk2. Cette in´egalit´e ne peut pas ˆetre am´elior´ee car c’est une ´egalit´e par exemple si A = In. On en d´eduit ktr k =√n. – Avec la norme A → kAk∞ : |tr (A)| = Pn i=1 aii ≤Pn i=1 |aii| ≤ n sup{|aii| , i = 1 · · · n} ≤ n sup{|aij | , i, j = 1 · · · n} On en d´eduit l’in´egalit´e |tr (A)| ≤ n kAk∞. Cette in´egalit´e ne peut pas ˆetre am´elior´ee car c’est une ´egalit´e par exemple si A = In. On en d´eduit ktr k = n. Page 5 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.