Exercices espaces vectoriels normes corrige analyse 3 -Corr
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Enonc´es des exercices ´
Exercice 1[ Indication ] [ Correction ] Soient E un espace vectoriel norm´e et F un sous-espace de E. On note F l’ensemble des points adh´erents de F. Montrer que F est un sous-espace de E.
Exercice 2[ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie, et f un automorphisme de E. Montrer que kfk kf−1k ≥ 1.
Exercice 3[ Indication ] [ Correction ] E est l’espace vectoriel Mn(R), muni d’une norme quelconque. 1. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert de E. 2. Montrer que l’ensemble O(n) des matrices orthogonales est un compact de E.
Exercice 4[ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es quelconques sur K. Soit f une application lin´eaire de E dans F. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (a) f est continue en 0. (b) ∃α ∈ K, ∀x ∈ E, kf(x)k ≤ k kxk (c) f est lipschitzienne sur E. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (II) ´ Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ] Se donner x = limn→∞xn et y = limn→∞yn dans F, avec (xn, yn) ∈ F2. Consid´erer alors la suite de terme g´en´eral zn = λxn + µyn. Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ] Rappeler pourquoi kf(x)k ≤ kfk kxk pour tout x de E, et donner la valeur de kIdk. Justifier et utiliser l’in´egalit´e kg ◦ fk ≤ kgk kfk pour tous endomorphismes f, g. Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ] 1. Justifier et utiliser la continuit´e de l’application A 7→ det(A). 2. Justifier et utiliser la continuit´e de l’application M 7→ M tM. Montrer ´egalement que O(n) est une partie born´ee de E. Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ] Pour (a) ⇒ (b) : Justifier l’existence de δ > 0 tel que kyk ≤ δ ⇒ kf(y)k ≤ 1. En d´eduire kf(x)k ≤ 1δkxk pour tout x de E. Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (II) ´ Corrig´es
Corrig´es des exercices Corrige de l’exercice 1 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] Soient x et y deux ´el´ements de F. Soient λ et µ deux scalaires. Par d´efinition, il existe deux suites (xn),(yn) de F telles que limn→∞xn = x et limn→∞yn = y. Pour tout entier n, le vecteur zn = λxn + µyn est un ´el´ement de F. D’autre part, la suite de terme g´en´eral (zn) converge vers z = λx + µy. On en d´eduit que z est un ´el´ement de F, ce qu’il fallait d´emontrer. Corrige de l’exercice 2 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] – On sait que kfk = sup{kf(x)k , kxk ≤ 1}. kfk est aussi le r´eel minimum k tel que kf(x)k ≤ k kxk, pour tout x de E. En particulier, on a toujours kf(x)k ≤ kfk kxk. – Il est clair que kIdk = 1. – Pour tous endomorphismes f et g de E, on a kg ◦ fk ≤ kgk kfk. Cela r´esulte en effet des in´egalit´es : k(g ◦ f)(x)k ≤ kgk kf(x)k ≤ kgk kfk kxk – On en d´eduit 1 = kIdk = kf−1 ◦ fk ≤ kfk kf−1k. Corrige de l’exercice 3 ´ [ Retour `a l’´enonc´e ] 1. L’application A 7→ det(A) est une application continue. En effet c’est une application polynˆomiale relativement aux diff´erents coefficients de A, c’est-`a-dire relativement aux composantes de A dans la base canonique. Or l’ensemble des matrices inversibles de A est l’image r´eciproque de l’ouvert R∗ par cette application. Il s’ensuit que cet ensemble est un ouvert de E. 2. Puisqu’on est en dimension finie, il suffit de montrer que O(n) est ferm´e et born´e. L’application M 7→ M tM est bilin´eaire de E × E dans lui-mˆeme. Comme E est de dimension finie, cette application est donc continue. Il s’ensuit que O(n), qui est l’image r´eciproque du singleton (donc du ferm´e) {In} par cette application, est un ferm´e de E. D’autre part, si on choisit de munir E de la norme d´efinie par kAk = sup{aij}, alors toute matrice orthogonale M v´erifie kMk ≤ 1. L’ensemble O(n) est donc born´e. Conclusion : O(n) est un compact de E. Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
Exercices de Mathematiques ´ Espaces vectoriels normes (II) ´ Corrig´es
Corrige de l’exercice 4 ´ – (a) ⇒ (b) [ Retour `a l’´enonc´e ] Puisque f est lin´eaire, on a ´evidemment f(0) = 0. f ´etant continue en 0, il existe un scalaire δ > 0 tel que kyk ≤ δ ⇒ kf(y)k ≤ 1. Pour tout x 6= 0 de E, on peut consid´erer le vecteur y =δkxkx, qui v´erifie kyk = δ. On en d´eduit kf(y)k ≤ 1 et donc kf(x)k ≤ 1δkxk. Cette derni`ere ´egalit´e est ´evidente si x est nul, ce qui prouve le r´esultat avec k =1δ. – (b) ⇒ (c) Pour tous x, y, f ´etant lin´eaire : kf(x) − f(y)k = kf(x − y)k ≤ k kx − yk. On constate donc que f est k-lipschitzienne sur E. – (c) ⇒ (a) Si f est lipschitzienne sur E, elle est continue sur E, donc continue en 0. Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.