Exercices espaces vectoriels normes corrige analyse 3

Exercices espaces vectoriels normes corrige analyse 3 -Corr

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Exercices de Mathématiques sur les Espaces Vectoriels Normés (Partie II)

Cette section regroupe des exercices fondamentaux, leurs indications et leurs corrigés détaillés, abordant des concepts clés des espaces vectoriels normés, essentiels en analyse fonctionnelle et en topologie.

Énoncés des exercices

Exercice 1

Soient E un espace vectoriel normé et F un sous-espace de E. On note F l'ensemble des points adhérents de F (l'adhérence de F). Montrer que F est un sous-espace vectoriel fermé de E.

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, et f un automorphisme de E. Montrer que ‖f‖ ‖f⁻¹‖ ≥ 1.

Exercice 3

E est l'espace vectoriel M_n(ℝ), muni d'une norme quelconque.

Montrer que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert de E.
Montrer que l'ensemble O(n) des matrices orthogonales est un compact de E.

Exercice 4

Soient E et F deux espaces vectoriels normés quelconques sur K. Soit f une application linéaire de E dans F. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

f est continue en 0.
∃α > 0, ∀x ∈ E, ‖f(x)‖ ≤ α ‖x‖.
f est lipschitzienne sur E.

Indications et Résultats

Indication pour l'exercice 1

Pour montrer que l'adhérence F d'un sous-espace F est un sous-espace vectoriel, prenez deux éléments x et y dans F. Par définition de l'adhérence, il existe des suites (x_n) et (y_n) d'éléments de F qui convergent respectivement vers x et y. Considérer alors la suite de terme général z_n = λx_n + µy_n et montrer que sa limite appartient à F. Rappelez également la nature topologique de l'adhérence.

Indication pour l'exercice 2

Rappelez pourquoi ‖f(x)‖ ≤ ‖f‖ ‖x‖ pour tout x de E, et quelle est la valeur de ‖Id‖, la norme de l'opérateur identité. Justifiez et utilisez l'inégalité de composition des normes : ‖g ◦ f‖ ≤ ‖g‖ ‖f‖ pour tous endomorphismes f, g.

Indication pour l'exercice 3

Justifiez et utilisez la continuité de l'application A ↦ det(A). Rappelez que l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert.
Justifiez et utilisez la continuité de l'application M ↦ M^tM. Montrez également que O(n) est une partie bornée de E. En dimension finie, un ensemble est compact si et seulement s'il est fermé et borné (théorème de Borel-Lebesgue).

Indication pour l'exercice 4

Pour (a) ⇒ (b) : Justifiez l'existence d'un δ > 0 tel que si ‖y‖ ≤ δ, alors ‖f(y)‖ ≤ 1. En déduire que ‖f(x)‖ ≤ (1/δ)‖x‖ pour tout x de E en considérant un vecteur normalisé.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Soient x et y deux éléments de F (l'adhérence de F). Soient λ et µ deux scalaires (éléments de K, le corps de l'espace vectoriel). Par définition de l'adhérence, il existe deux suites (x_n) et (y_n) d'éléments de F telles que lim_n→∞x_n = x et lim_n→∞y_n = y. Puisque F est un sous-espace vectoriel, pour tout entier n, le vecteur z_n = λx_n + µy_n est un élément de F. D'autre part, par linéarité de la limite dans un espace vectoriel normé, la suite de terme général (z_n) converge vers z = λx + µy. Comme (z_n) est une suite d'éléments de F qui converge vers z, alors z est un élément de F (par définition de l'adhérence). Ainsi, F est stable par combinaison linéaire. Puisque F contient le vecteur nul (limite de la suite nulle de F), F est bien un sous-espace vectoriel de E. De plus, par définition, l'adhérence d'un ensemble est toujours un ensemble fermé. Par conséquent, F est un sous-espace vectoriel fermé de E.

Corrigé de l'exercice 2

On sait que ‖f‖ est défini comme le suprémum des ‖f(x)‖ pour ‖x‖ ≤ 1. Cette norme est également le plus petit réel α tel que ‖f(x)‖ ≤ α ‖x‖, pour tout x de E. En particulier, on a toujours ‖f(x)‖ ≤ ‖f‖ ‖x‖.
L'opérateur identité Id est défini par Id(x) = x. Il est clair que ‖Id‖ = sup{‖Id(x)‖ : ‖x‖ ≤ 1} = sup{‖x‖ : ‖x‖ ≤ 1} = 1.
Pour tous endomorphismes f et g de E, on a ‖g ◦ f‖ ≤ ‖g‖ ‖f‖. Cela résulte en effet des inégalités : ‖(g ◦ f)(x)‖ = ‖g(f(x))‖ ≤ ‖g‖ ‖f(x)‖ ≤ ‖g‖ (‖f‖ ‖x‖) = (‖g‖ ‖f‖) ‖x‖. La norme d'opérateur ‖g ◦ f‖ est le plus petit des coefficients k tels que ‖(g ◦ f)(x)‖ ≤ k ‖x‖, d'où l'inégalité.
Puisque f est un automorphisme, son inverse f⁻¹ existe. En utilisant la propriété de composition des normes, nous avons : 1 = ‖Id‖ = ‖f⁻¹ ◦ f‖ ≤ ‖f⁻¹‖ ‖f‖. Ce qui démontre l'inégalité demandée ‖f‖ ‖f⁻¹‖ ≥ 1.

Corrigé de l'exercice 3

L'application A ↦ det(A) (déterminant) est une application polynomiale par rapport aux coefficients de A. Toute application polynomiale entre espaces vectoriels normés de dimension finie (comme M_n(ℝ)) est continue. L'ensemble des matrices inversibles est l'image réciproque de l'ensemble ℝ* (l'ensemble des réels non nuls) par l'application déterminant. Or, ℝ* est un ouvert de ℝ. Puisque l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, il s'ensuit que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert de E.
Puisque nous sommes en dimension finie, pour montrer que O(n) est un compact, il suffit de démontrer qu'il est fermé et borné (théorème de Borel-Lebesgue).
- O(n) est fermé : L'application M ↦ M^tM est une application bilinéaire de E × E dans E. Comme E est de dimension finie, cette application est continue. L'ensemble O(n) est défini par O(n) = {M ∈ M_n(ℝ) : M^tM = I_n}, où I_n est la matrice identité. C'est donc l'image réciproque du singleton {I_n} par l'application M ↦ M^tM. Or, un singleton est un ensemble fermé dans un espace séparé (comme un espace vectoriel normé). Puisque l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé, O(n) est un fermé de E.
- O(n) est borné : Si nous choisissons de munir E de la norme définie par ‖A‖ = sup_i,j{|a_ij|} (norme infinie sur les coefficients), alors toute matrice orthogonale M vérifie ‖M‖ ≤ 1. En effet, les colonnes (ou les lignes) d'une matrice orthogonale sont des vecteurs de norme euclidienne 1. Par conséquent, chaque coefficient a_ij doit être compris entre -1 et 1, ce qui implique ‖M‖ ≤ 1. L'ensemble O(n) est donc borné.
Conclusion : O(n) est un fermé borné dans un espace de dimension finie, il est donc un compact de E.

Corrigé de l'exercice 4

(a) ⇒ (b) : Puisque f est linéaire, f(0) = 0. f étant continue en 0, par définition de la continuité, pour ε = 1, il existe un scalaire δ > 0 tel que pour tout y ∈ E, si ‖y‖ ≤ δ, alors ‖f(y)‖ ≤ 1. Pour tout x ≠ 0 de E, considérons le vecteur y = (δ/‖x‖)x. Ce vecteur vérifie ‖y‖ = (δ/‖x‖)‖x‖ = δ. D'après la condition de continuité en 0, on a ‖f(y)‖ ≤ 1. En substituant y, on obtient ‖f((δ/‖x‖)x)‖ ≤ 1. Par linéarité de f, (δ/‖x‖)‖f(x)‖ ≤ 1. D'où ‖f(x)‖ ≤ (1/δ)‖x‖. Cette inégalité est également évidente si x est nul, car ‖f(0)‖ = 0. Nous avons donc prouvé le résultat avec α = 1/δ. Puisque δ > 0, alors α > 0.
(b) ⇒ (c) : Supposons qu'il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ E, ‖f(x)‖ ≤ α ‖x‖. Pour tous x, y ∈ E, f étant linéaire, nous avons : ‖f(x) − f(y)‖ = ‖f(x − y)‖. En utilisant la condition (b) avec le vecteur (x - y), on obtient : ‖f(x − y)‖ ≤ α ‖x − y‖. Donc, ‖f(x) − f(y)‖ ≤ α ‖x − y‖. On constate que f est α-lipschitzienne sur E.
(c) ⇒ (a) : Si f est lipschitzienne sur E, cela signifie qu'il existe une constante de Lipschitz L > 0 telle que pour tous x, y ∈ E, ‖f(x) − f(y)‖ ≤ L ‖x − y‖. Cette condition implique directement la continuité de f sur tout E. En particulier, elle est continue en 0. Pour tout ε > 0, il suffit de choisir δ = ε/L. Alors, si ‖x-0‖ < δ, c'est-à-dire ‖x‖ < δ, on aura ‖f(x)-f(0)‖ = ‖f(x)‖ ≤ L ‖x‖ < L(ε/L) = ε, ce qui prouve la continuité en 0.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel (sur le corps des nombres réels ou complexes) muni d'une norme. Une norme est une fonction qui associe à chaque vecteur un nombre réel positif, représentant sa "longueur" ou sa "taille", et qui satisfait trois propriétés : elle est positive (nulle si et seulement si le vecteur est nul), homogène par rapport à la multiplication par un scalaire, et vérifie l'inégalité triangulaire.

Pourquoi l'ensemble des matrices inversibles est-il un ouvert ?

L'ensemble des matrices inversibles (appelé GL_n(ℝ) ou GL_n(ℂ)) est un ouvert car il est l'image réciproque de ℝ* (l'ensemble des nombres réels non nuls, qui est un ouvert) par l'application déterminant. L'application déterminant, étant une fonction polynomiale des coefficients de la matrice, est une application continue. Une propriété fondamentale des fonctions continues est que l'image réciproque d'un ensemble ouvert par une application continue est toujours un ensemble ouvert.

Quelle est l'importance de la continuité des applications linéaires dans les espaces normés ?

La continuité des applications linéaires est un concept central en analyse fonctionnelle. Dans les espaces de dimension finie, toutes les applications linéaires sont automatiquement continues. Cependant, dans les espaces de dimension infinie, ce n'est pas toujours le cas. La continuité garantit que de petites variations de l'entrée n'entraînent que de petites variations de la sortie, ce qui est crucial pour l'étude de la convergence, de la stabilité des solutions et des approximations numériques. De plus, une application linéaire est continue si et seulement si elle est bornée (sa norme d'opérateur est finie) et, comme vu dans l'exercice 4, équivalente à être lipschitzienne ou continue en 0.