Examen mip hassan ii 2013 2014 analyse 3 -Corr - Télécharger
Télécharger PDFIntroduction
Ce document présente une série d'exercices corrigés en calcul différentiel et intégral, spécifiquement adaptés aux étudiants en Mathématiques, Informatique, Physique (MIP). Il couvre des sujets fondamentaux tels que les équations aux dérivées partielles, la continuité et la différentiabilité des fonctions à plusieurs variables, les développements limités et le théorème des fonctions implicites.
Exercice 1 : Équation aux Dérivées Partielles et Fonctions de Classe C¹
Soit `f` une fonction de deux variables de classe C¹ sur `(R*)²` vérifiant l'équation aux dérivées partielles :
`(E) : (1/x) * ∂f/∂x(x, y) + (1/y) * ∂f/∂y(x, y) = f(x, y) / (x² + y²)²`
Soit `f(x, y) = h(x² + y²)`, où `h` est une fonction d'une seule variable de classe C¹ vérifiant `h(1) = -4`.
- Calculer les dérivées partielles premières de `f` en fonction de celles de `h`.
- Donner une équation aux dérivées partielles `(E0)` vérifiée par `h`.
- Résoudre `(E0)` puis déterminer la fonction `f` solution de `(E)` en utilisant la condition `h(1) = -4`.
Correction 1
Soit l'équation aux dérivées partielles : `(E) : (1/x) * ∂f/∂x(x, y) + (1/y) * ∂f/∂y(x, y) = f(x, y) / (x² + y²)²`.
Soit `f(x, y) = h(x² + y²) = h(t)` où `h` est une fonction d'une seule variable de classe C¹. Si on pose `u(x, y) = x² + y²` alors `f = h ∘ u`.
- Calcul des dérivées partielles premières de `f` :
- Équation aux dérivées partielles `(E0)` vérifiée par `h` :
- Résolution de `(E0)` et détermination de `f` :
Pour tout `(x, y) ∈ (R*)²`, on a :
`∂f/∂x(x, y) = ∂(h∘u)/∂x (x, y) = (∂u/∂x)(x, y) * h'(u(x, y)) = 2x * h'(x² + y²) = 2x * h'(t)`
`∂f/∂y(x, y) = ∂(h∘u)/∂y (x, y) = (∂u/∂y)(x, y) * h'(u(x, y)) = 2y * h'(x² + y²) = 2y * h'(t)`
En remplaçant les dérivées partielles de `f` dans l'équation `(E)`, on obtient :
`(1/x) * (2x * h'(t)) + (1/y) * (2y * h'(t)) = h(t) / (x² + y²)²`
`2h'(t) + 2h'(t) = h(t) / t²`
`(E0) : 4h'(t) = h(t) / t²`
La solution générale de l'équation différentielle `(E0)` est trouvée comme suit :
`* h(t) = 0` est une solution triviale.
`*` Pour `h(t) ≠ 0`, on peut séparer les variables : `h'(t) / h(t) = 1 / (4t²)`.
En intégrant les deux côtés : `∫ (h'(t) / h(t)) dt = ∫ (1 / (4t²)) dt`
`ln(|h(t)|) = (-1 / (4t)) + C'`, où `C'` est une constante réelle.
Ainsi, la solution générale est `h(t) = K * e^(-1/(4t))`, où `K = ±e^(C')` ou `K=0` est une constante réelle.
En remplaçant `t` par `x² + y²`, la solution générale de l'équation `(E)` est :
`f(x, y) = K * e^(-1/(4(x² + y²)))`, pour tout `K ∈ R`.
Utilisons la condition `h(1) = -4` pour trouver la valeur spécifique de `K` :
`h(1) = K * e^(-1/(4*1)) = K * e^(-1/4)`
`-4 = K * e^(-1/4)`
`K = -4 * e^(1/4)`
Donc, la fonction `f` solution de `(E)` avec la condition donnée est :
`f(x, y) = -4 * e^(1/4) * e^(-1/(4(x² + y²))) = -4 * e^(1/4 - 1/(4(x² + y²)))`.
Exercice 2 : Continuité et Dérivées Partielles de Fonctions à Plusieurs Variables
Soit `f` la fonction de deux variables définie par :
`f(x, y) = xy² sin(x/y)`, si `y ≠ 1` (avec `y ≠ 0` implicite pour `sin(x/y)`)
`f(x, 1) = 0`, si `y = 1`
- Donner `D_f`, le domaine de définition de `f`, et montrer que `f` est continue sur `D_f`.
- Calculer les dérivées partielles premières par rapport à `x` et `y` en tout point `(x, y)` de `R²` pour `y ≠ 1` (et `y ≠ 0`).
- Calculer les dérivées partielles premières par rapport à `x` et `y` en tout point `(a, 1)` pour `a ∈ R`.
- Étudier la différentiabilité de `f` en `(0, 0)`.
Correction 2
- Domaine de définition et continuité :
- Si `y ≠ 0` et `y ≠ 1` : `f(x, y) = xy² sin(x/y)` est un produit et une composition de fonctions continues (polynômes, sinus, division), donc `f` est continue sur cet ensemble.
- Si `y = 1` : `f(x, 1) = 0`. Nous devons vérifier la continuité à la limite.
- Dérivées partielles premières pour `y ≠ 1` (et `y ≠ 0`) :
- Dérivées partielles premières en `(a, 1)` pour `a ∈ R` :
- Différentiabilité de `f` en `(0, 0)` :
Le terme `sin(x/y)` requiert `y ≠ 0`. La fonction est définie explicitement pour `y=1`. Par conséquent, le domaine de définition `D_f` est `R²` privé de la droite `y=0`. Soit `D_f = {(x, y) ∈ R² | y ≠ 0}`.
Pour la continuité :
Considérons la limite de `f(x, y)` lorsque `y` tend vers `1` (avec `y ≠ 0`).
`lim_(y→1) xy² sin(x/y) = x(1)² sin(x/1) = x sin(x)`.
Puisque `x sin(x)` n'est pas toujours égal à `f(x, 1) = 0` (sauf si `x=0` ou `x=kπ`), la fonction `f` telle que définie n'est pas continue sur la ligne `y=1` (sauf pour certains points). Il semble y avoir une incohérence dans l'énoncé de la continuité sur `D_f` ou dans la définition de `f` à `y=1` si le but était la continuité globale. Cependant, si le domaine est limité à `y ≠ 1` pour la première expression, et `y=1` pour la seconde, alors `f` est continue sur `{(x,y) | y ≠ 0, y ≠ 1}` et prend une valeur spécifique sur `y=1`. Pour qu'elle soit continue sur `D_f = {(x,y) | y ≠ 0}`, il faudrait que `x sin(x) = 0` pour tout `x` lorsque `y` tend vers `1`, ce qui n'est pas le cas.
Compte tenu de la question et des corrections précédentes, nous interprétons le problème comme posant la continuité sur l'ensemble où `y ≠ 1` (et `y ≠ 0`). Sur cet ensemble, `f(x,y)` est continue. La question sur la continuité sur `D_f` pourrait être mal formulée étant donné la définition de la fonction.
`∂f/∂x(x, y) = ∂/∂x (xy² sin(x/y))`
`= y² sin(x/y) + xy² * (cos(x/y) * (1/y))`
`= y² sin(x/y) + xy cos(x/y)`
`∂f/∂y(x, y) = ∂/∂y (xy² sin(x/y))`
`= x * (2y sin(x/y) + y² cos(x/y) * (-x/y²))`
`= 2xy sin(x/y) - x² cos(x/y)`
Pour calculer les dérivées partielles en `(a, 1)`, nous devons utiliser la définition avec la limite, car `y=1` est un point de raccordement.
`∂f/∂x(a, 1) = lim_(h→0) [f(a+h, 1) - f(a, 1)] / h`
`= lim_(h→0) [0 - 0] / h = 0`
`∂f/∂y(a, 1) = lim_(k→0) [f(a, 1+k) - f(a, 1)] / k`
`= lim_(k→0) [a(1+k)² sin(a/(1+k)) - 0] / k`
`= lim_(k→0) [a(1+2k+k²) sin(a/(1+k))] / k`
Lorsque `k→0`, `sin(a/(1+k))` tend vers `sin(a)`. Donc le terme est équivalent à `a sin(a) / k` si `a ≠ 0` ou `a ≠ kπ`. Cette limite n'existe que si `a sin(a) = 0`. Si `a = 0`, `f(0, 1+k) = 0`, donc `∂f/∂y(0, 1) = 0`.
Pour `a ≠ 0`, `sin(a/(1+k))` peut être développé : `sin(a/(1+k)) = sin(a(1-k+k²-...)) = sin(a - ak + O(k²))`.
En utilisant `sin(A-B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)` avec `A=a` et `B=ak`:
`sin(a - ak) ≈ sin(a)(1 - (ak)²/2) - cos(a)(ak)` pour `k` petit.
`sin(a/(1+k)) ≈ sin(a) - ak cos(a)`.
Donc, `∂f/∂y(a, 1) = lim_(k→0) [a(1+2k)(sin(a) - ak cos(a))] / k`
`= lim_(k→0) [a(sin(a) - ak cos(a) + 2k sin(a) - 2ak² cos(a))] / k`
`= lim_(k→0) [a sin(a) / k - a² cos(a) + 2a sin(a) - 2a²k cos(a)]`
Pour que cette limite existe, `a sin(a)` doit être `0`. Donc `a=0` ou `a=nπ` pour `n ∈ Z`. Dans ce cas, la dérivée partielle est `0 - a² cos(a) + 0 - 0 = -a² cos(a)`.
Si `a=0`, alors `∂f/∂y(0,1) = 0`.
Donc, les dérivées partielles n'existent pas pour tous les `a` en `(a,1)`.
D'abord, vérifions la continuité en `(0, 0)`. `f(0, y) = 0` pour `y ≠ 1` (et `y ≠ 0`). `f(x, 0)` n'est pas défini par la première expression, mais la fonction serait `0` si on la prolonge. Si `y → 0`, `xy² sin(x/y)`. Si `x=0`, `f(0,y)=0`. Donc `f(0,0)=0` par extension.
Calculons les dérivées partielles en `(0, 0)` :
`∂f/∂x(0, 0) = lim_(h→0) [f(h, 0) - f(0, 0)] / h`. Si on définit `f(x,0) = 0`, alors `∂f/∂x(0,0)=0`.
`∂f/∂y(0, 0) = lim_(k→0) [f(0, k) - f(0, 0)] / k = lim_(k→0) [0 - 0] / k = 0` (car `f(0,k)=0` pour `k≠1`).
Pour la différentiabilité en `(0, 0)`, nous devons vérifier si :
`lim_((h,k)→(0,0)) [f(h, k) - f(0, 0) - (∂f/∂x(0,0))h - (∂f/∂y(0,0))k] / sqrt(h²+k²) = 0`
`lim_((h,k)→(0,0)) [hk² sin(h/k)] / sqrt(h²+k²) = 0`
Pour `k ≠ 0` : `|hk² sin(h/k)| / sqrt(h²+k²) <= |hk²| / sqrt(h²+k²)`. Utilisons des coordonnées polaires : `h = r cosθ`, `k = r sinθ`.
`[r cosθ (r sinθ)² sin(cosθ/sinθ)] / r`
`= r² cosθ sin²θ sin(cotθ)`
Cette expression tend vers `0` lorsque `r→0`, car `r²` tend vers `0` et les autres termes sont bornés (en supposant que `sin(cotθ)` est borné, ce qui est le cas). Donc `f` est différentiable en `(0, 0)`.
Exercice 3 : Dérivées Partielles de Fonctions Composées
Soit la fonction `f : R² → R` définie par `(x, y) ↦ f(x, y)` et soit `g : R² → R` définie par :
`g(x, y) = sin(x + f(y², x))`.
Calculer les dérivées partielles premières de `g` au moyen de celles de `f`.
Exercice 4 : Développement Limité et Théorème des Fonctions Implicites
Soit `f` la fonction définie sur `R²` par : `f(x, y) = x ln(1 + y²) - y e^x`.
- Calculer le développement limité à l'ordre 2 de `f` en `(1, 0)`.
- Soit l'équation `x ln(1 + y²) - y e^x = 0`.
- Démontrer l'existence d'une fonction implicite `y = φ(x)` au voisinage de `(1, 0)`.
- Calculer `φ'(x)` au voisinage de `1`.
Correction 4
- Développement limité à l'ordre 2 de `f` en `(1, 0)` :
- Le développement limité de `ln(1 + Y²)` à l'ordre 2 en `Y=0` est `Y² + o(Y²)`.
- Donc `(1 + X) (Y² + o(Y²)) = Y² + XY² + o(X²+Y²) = Y² + o(X²+Y²)`.
- Le développement limité de `e^X` à l'ordre 2 en `X=0` est `1 + X + (X²/2) + o(X²)`.
- Donc `Y e (1 + X + (X²/2) + o(X²)) = eY + eXY + (e/2) X²Y + o(X²Y)`.
- En négligeant les termes d'ordre supérieur à 2, on obtient `eY + eXY + o(X²+Y²)`.
- Théorème des fonctions implicites :
- Existence de la fonction implicite `y = φ(x)` au voisinage de `(1, 0)` :
- `F(1, 0) = 1 ln(1 + 0²) - 0 e^1 = 0`. La condition `F(x₀, y₀) = 0` est satisfaite.
- La fonction `F(x, y)` est de classe C¹ au voisinage de `(1, 0)` car c'est une combinaison de fonctions C¹ (polynômes, logarithme, exponentielle).
- Calculons la dérivée partielle de `F` par rapport à `y` :
`∂F/∂y(x, y) = x * (2y / (1 + y²)) - e^x`. - Évaluons cette dérivée en `(1, 0)` :
`∂F/∂y(1, 0) = 1 * (2*0 / (1 + 0²)) - e^1 = 0 - e = -e`. - Comme `∂F/∂y(1, 0) = -e ≠ 0`, toutes les conditions du théorème des fonctions implicites sont satisfaites.
- `φ(1) = 0`
- Pour tout `x ∈ V₁`, `F(x, φ(x)) = 0`.
- Calcul de `φ'(x)` au voisinage de `1` :
La fonction est `f(x, y) = x ln(1 + y²) - y e^x`. Nous cherchons le développement limité autour de `(x₀, y₀) = (1, 0)`. Soit `X = x-1` et `Y = y`.
Pour le terme `x ln(1 + y²) = (1 + X) ln(1 + Y²)` :
Pour le terme `y e^x = Y e^(1 + X) = Y e e^X` :
En combinant les deux parties :
`f(x, y) = (Y² + o(X²+Y²)) - (eY + eXY + o(X²+Y²))`
`f(x, y) = -eY + Y² - eXY + o(X²+Y²) `
En remplaçant `X` par `(x-1)` et `Y` par `y` :
`f(x, y) = -ey + y² - e(x-1)y + o((x-1)² + y²) `.
L'équation est `F(x, y) = x ln(1 + y²) - y e^x = 0`.
Vérifions les conditions du théorème des fonctions implicites :
Donc, il existe un voisinage `V₁` de `1`, un voisinage `V₀` de `0` et une fonction unique `φ : V₁ → V₀`, de classe C¹, tels que :
D'après le théorème des fonctions implicites, `φ'(x) = - (∂F/∂x(x, φ(x))) / (∂F/∂y(x, φ(x)))`.
Calculons `∂F/∂x(x, y)` :
`∂F/∂x(x, y) = ln(1 + y²) - y e^x`.
En substituant `y = φ(x)` :
`∂F/∂x(x, φ(x)) = ln(1 + φ(x)²) - φ(x) e^x`.
`∂F/∂y(x, φ(x)) = x * (2φ(x) / (1 + φ(x)²)) - e^x`.
Donc, `φ'(x) = - (ln(1 + φ(x)²) - φ(x) e^x) / (x * (2φ(x) / (1 + φ(x)²)) - e^x)`.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une fonction de classe C¹ ?
Une fonction de classe C¹ (ou continûment différentiable) est une fonction dont toutes les dérivées partielles premières existent et sont continues. Cette propriété est essentielle en calcul multivariable pour garantir des comportements "lisses" de la fonction, comme l'existence d'un plan tangent.
Quand utilise-t-on le théorème des fonctions implicites ?
Le théorème des fonctions implicites est utilisé pour déterminer si une équation de la forme `F(x, y) = 0` peut être localement résolue pour `y` en fonction de `x` (ou inversement), c'est-à-dire si elle définit une fonction `y = φ(x)`. Il est particulièrement utile lorsque l'on ne peut pas exprimer `y` explicitement en termes de `x` mais que l'on a besoin de connaître l'existence et les propriétés (comme la dérivabilité) d'une telle fonction.
À quoi sert un développement limité d'une fonction à plusieurs variables ?
Un développement limité (DL) permet d'approximer une fonction complexe par un polynôme à plusieurs variables au voisinage d'un point donné. Il est utilisé pour simplifier les calculs, étudier le comportement local de la fonction (minima, maxima, points selle), calculer des limites ou évaluer la différentiabilité. Le développement limité d'ordre 2, par exemple, fournit une approximation quadratique qui inclut des informations sur la courbure de la surface.