Espaces vectoriels normes exercices.pdf analyse 3 -Analyse 3
Télécharger PDFPsi 945 2016/2017 http://blog.psi945.fr Exercices Espaces vectoriels normés
1 Topologie 1.1 Des normes
Exercice 1Centrale 2010 Dans un espace vectoriel normé, caractériser l'inclusion B(x0, r) ⊂ B(x00, r0) à l'aide de x0, x00, r et r0.
Exercice 2Norme subordonnée Soit u ∈ L(E), avec E un espace vectoriel de dimension nie muni d'une norme k k. 1. Montrer que lorsque x décrit la sphère unité de E, ku(x)k possède un maximum. On le note |||u||| ku(x)k 2. Montrer que |||u||| = Max kxk61ku(x)k = Max x6=0 kxk= Sup kxk<1 ku(x)k. 3. Montrer que ||| ||| dé nit une norme sur L(E).
Exercice 3Mines 2009 On note E l'espace des fonctions de classe C2sur [0, 1] véri ant f(0) = f(1) = 0. Pour f ∈ E, on dé nit N(f) = kf00k∞. 1. Montrer que N est une norme. 2. La comparer à k k∞.
Exercice 4Mot-clé : densité Soit u une suite à valeurs dans [0, 1]. On dé nit sur E = C([0, 1]) : +∞ N(f) = X n=0 |f(un)| 2n· 1. Donner une condition nécessaire et su sante simple pour que N soit une norme. 2. Lorsque cette condition est véri ée, comparer k k∞ et N.
Exercice 5Sur les fonctions lipschitziennes E est ici l'ensemble des fonctions f : [0, 1] → R lipschitziennes. On dé nit sur E : N(f) = kfk∞ + Sup x6=y f(x) − f(y) x − y , et Na(f) = |f(a)| + Sup x6=y f(x) − f(y) x − y 1. Véri er que N et Na sont des normes sur E. 2. Sont-elles équivalentes ? 3. N est-elle équivalente à k k∞ ?
Exercice 6Hum... histoire de normes équivalentes ? Soient x0, ..., xn n + 1 réels distincts. Montrer qu'il existe α > 0 tel que : ∀P ∈ Rn[X],Xn i=0 1
|P(xi)| > α Sup [0,1] |P| . 1.2 Ouverts et fermés ; intérieur et adhérence
Exercice 7Intérieur d'un sous-espace Soit F un sous-espace strict de E. Montrer que F est d'intérieur vide.
Exercice 8Adhérence et intérieur d'un convexe Soient E un espace vectoriel normé réel et C une partie convexe de E. Montrer que l'adhérence puis (plus di cile) que l'intérieur de C sont convexes.
Exercice 9Polynômes scindés Déterminer l'intérieur et l'adhérence dans R2[X] de l'ensemble X des polynômes scindés sur R.
Exercice 10Dans C([0, 1], R) Calculer l'adhérence et l'intérieur dans (C([0, 1], R), k k∞) de : 1. l'ensemble des f ∈ E nulles en 0 et en 1 ; 2. l'ensemble des fonctions strictement positives ; 3. l'ensemble des fonctions strictement croissantes.
Exercice 11Représentation décimale Déterminer l'adhérence et l'intérieur de : ) , avec x =X ( x ∈ [0, 1[ εk(x) 1nXn k=1 εk(x) −→n→+∞12 k∈N∗ 2kl'écriture en base 2.
Exercice 12Ouvert + fermé Soient Ω et F deux parties respectivement ouverte et fermée d'un espace vectoriel normé. Montrer que Ω + F = {a + b | a ∈ Ω et b ∈ F} est un ouvert. 2 Topologie des matrices
Exercice 13Diagonalisables denses Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C).
Exercice 14GLn(R) ouvert dense Montrer que GLn(R) est un ouvert dense de Mn(R).
Exercice 15On(R) compact Montrer que On(R) est fermé et borné.
Exercice 16Matrices de rang donné (plus di cile) Soit p ∈ [[1, n]]. Montrer que l'ensemble X des matrices de rang p n'est pas un fermé, mais (di cile) que l'ensemble Y des matrices de rang majoré par p en est un. Montrer en n que X est dense dans Y .
Exercice 17Mines Soit M ∈ Mn(C) triangulaire supérieure, avec a ∈ C comme unique valeur propre. Montrer l'équivalence entre : 1. |a| < 1 ; 2. Mp −→p→+∞0 ; Pp 3. P p Mpconverge (au sens : i=1 Mi p∈N converge). 2
Exercice 18Mines 2010 1. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de Mn(C) est un fermé de Mn(C). 2. Montrer que si M ∈ Mn(C), alors 0 est adhérent à la classe de similitude de M si et seulement si M est nilpotente. 3 Continuité
Exercice 19Distance à un ensemble Pour une partie A d'un espace vectoriel normé E et x ∈ E, on dé nit : d(x, A) = inf a∈Akx − ak. 1. Montrer que d est 1-lipschitzienne (donc continue !). 2. Expliciter un exemple pour lequel d(x, A) = 0 avec x 6∈ A. 3. Supposons A fermée. Montrer : d(x, A) = 0 si et seulement si x ∈ A. 4. On suppose que d(x, A) = 0 si et seulement si x ∈ A. Montrer que A est fermée.
Exercice 20Intersection d'ouverts Montrer que tout fermé d'un espace vectoriel normé peut être décrit comme intersection dénombrable d'ouverts. Énoncer le résultat dual.
Exercice 21Des applications linéaires continues ; exercice limite-limite... E = C∞([0, 1], R) est muni de k k∞. 1. Soit ϕ dé nie par : ∀f ∈ E, ϕ(f) = Z 1/2 0 f − Z 1 1/2 f. Montrer que ϕ est continue ; calculer sa norme (au sens hors-programme : la borne supérieure des kϕ(f)k, pour f de norme 1), et montrer qu'elle n'est pas atteinte. 2. Même question avec ψ dé nie par : (−1)n 2nf(1/n).
Exercice 22Dans R2 ∀f ∈ E, ψ(f) = X n>1 Étudier la continuité des applications suivantes de R2 dans R : 1. f1 : (x, y) 7→ Max(x, y); 2. f2 : (x, y) 7→ x4y x6 + y4si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon 3. f3 : (x, y) 7→p|x| + |y| ; 4. f4 : (x, y) 7→ ln(1 + px2 + y2).
Exercice 23Sur le simplexe Montrer que lorsque (x, y, z) décrit l'ensemble des triplets de réels positifs et de somme égale à 1, le produit xy2z3 possède un maximum.
Exercice 24Sous le graphe Soit f ∈ C([a, b], R). Montrer que {(x, y) ∈ R2; a 6 x 6 b et 0 6 y 6 f(x)} est un fermé borné de R2.
Exercice 25Une surface Soit f ∈ C([a, b] × [c, d], R). Montrer que {(x, y, z) ∈ R3; a 6 x 6 b et c 6 y 6 d et z = f(x, y)} est un fermé borné de R3 d'intérieur vide. 3
4 Des indications
Exercice 1: j'imagine qu'on attend (après avoir fait un dessin) : kx0 − x00k + r 6 r0...
Exercice 2: application continue sur un fermé borné.
Exercice 3: bien entendu, t 7→ sin(nπt) interdit l'un des deux contrôles. L'autre est assuré par l'inégalité de Taylor-Lagrange (obtenue après la formule de Taylor avec reste intégral...) entre 0 et le point de [0, 1/2] où kfk∞ est atteinte), fournissant kfk∞ 618N(f), atteint pour x(1 − x).
Exercice 4: c'est une norme si et seulement si {un | n ∈ N} est dense dans [0, 1]. Lorsque c'est le cas, on a N(f) 6 2 kfk∞, avec aucune inégalité dans l'autre sens : si ε > 0, on peut construire f telle que N(f) 6 ε et kfk∞ = 1 (prendre un pic évitant les premiers un...).
Exercice 5: Na 6 N 6 2Na et k k∞ 6 N, mais ( pics ) pas de contrôle du type N 6 K k k∞.
Exercice 6: n'y aurait-il pas deux normes sur un même espace de dimension nie ?
Exercice 7: si F était d'intérieur non vide, on trouverait par translation une boule centrée en 0 incluse dans F, puis E ⊂ F par dilatation.
Exercice 8: si a, b ∈C et λ ∈ [0, 1], il existe (an),(bn) ∈ CN telles que an −→n→+∞a et bn −→n→+∞b. On a alors λan+(1−λ)bn ∈ C et λan+(1−λ)bn −→n→+∞λa+(1−λ)b. Pour l'intérieur, si B(a, ρ1) ⊂ C, B(b, ρ2) ⊂ C et c = λa+ (1−λ)b, alors en prenant ρ = λρ1 + (1−λ)ρ2, on a ce qu'on peut espérer.
Exercice 9: X est caractérisée par la condition continue fermée ∆ > 0. On montre sans mal que ◦X est l'ensemble des trinômes de discriminant strictement positif.
Exercice 10: notant X1, X2 et X3 les trois ensembles considérés, on a X1 = X1,◦X1= ∅, X2 est l'ensemble des fonctions à valeurs positives (au sens large),◦X2= X2, X3 est l'ensemble des fonctions croissantes (pour l'inclusion non triviale, considérer fn = f +1nId), et en n◦X3= ∅.
Exercice 11: chercher un habitant x0 de l'ensemble X considéré, puis un habitant de son complé mentaire proche de x0, puis un habitant de X proche de 12· Il vient alors :◦X= ∅ et X = [0, 1].
Exercice 12: on xe (a0, b0) ∈ Ω × F. Il existe ρ > 0 tel que B(a0, ρ) ⊂ Ω, et on a alors B(a0 + b0, ρ/2) ⊂ Ω + F (et on se che du caractère fermé de F ; c'était un piège !).
Exercice 13: trigonaliser et ajouter des petits trucs sur la diagonale...
Exercice 14: ouvert (det(−1)(R∗)), dense car A −1pIn −→p→+∞A et 1p6∈ Sp(A) ÀPCR.
Exercice 15: borné pour k k∞ par exemple ; et continuité de M 7→ tMM.
Exercice 16: tout d'abord, X 31NJr −→ N→+∞0 ∈/ X donc X n'est pas fermé. Pour la fermeture de Y , on prend des YN ∈ Y convergeant vers L et on suppose que L est de rang M strictement plus grand que r. On peut supposer que les M premières colonnes de L sont libres, et que dans la matrice extraite (n, M) correspondante de rang L, les M premières lignes le sont également. Si on note δN le déterminant de la matrice extraite (M, M) correspondante dans YN , alors δN a une limite non nulle, donc est non nul ÀPCR, etc. Pour la densité de X dans Y , on peut se contenter d'approcher toute matrice Jk (pour k 6 r) par une matrice de rang r, ce qui est facile.
Exercice 17: M = aI + N ; binôme...
Exercice 18: la condition Mn est bien entendu fermée. Si M est nilpotent, alors M est semblable à une matrice triangulaire supérieure N à éléments diagonaux nuls, et un changement de base de la forme fk := λkek prouve qu'une telle matrice N est semblable à 1λN, donc 0 est dans l'adhérence de la classe de similitude de N donc de M. Réciproquement, si 0 est adhérent à la classe de similitude de M, alors la seule valeur propre possible pour M est 0 (continuité de M 7→ χM) donc M est nilpotente.
Exercice 19: il s'agit de montrer : d(x, F) − d(y, F) 6 kx − yk et d(y, F) − d(x, F) 6 kx − yk...
Exercice 20: Ωn = {x ∈ E; d(x, F) < 1/n} (cf exercice précédent).
Exercice 21: |||ϕ||| = |||ψ||| = 1.
Exercice 22: f1(x, y) = |x − y| + x + y f3 et f4. 2; f2(x, x2) −→x→01 6= f2(0, 0). Sommes et compositions pour
Exercice 23: keywords : continue, fermée, bornée.
Exercice 24et 25 : caractérisation séquentielle de la fermeture. 4