Espaces vectoriels normes exercices.pdf analyse 3 -Analyse 3
Télécharger PDFExercices sur les Espaces Vectoriels Normés, Topologie et Continuité
Ce document propose une série d'exercices approfondis sur les espaces vectoriels normés, la topologie générale et la continuité, des concepts fondamentaux en analyse fonctionnelle et en algèbre linéaire. Il est conçu pour les étudiants souhaitant maîtriser ces domaines.
Topologie
Des normes
Exercice 1 : Inclusion de boules
Dans un espace vectoriel normé, caractériser l'inclusion B(x₀, r) ⊂ B(x₀₀, r₀) à l'aide de x₀, x₀₀, r et r₀.
Indice : Une condition courante pour l'inclusion d'une boule dans une autre est que la distance entre leurs centres plus le rayon de la première soit inférieure ou égale au rayon de la seconde : `‖x₀ - x₀₀‖ + r ≤ r₀`.
Exercice 2 : Norme subordonnée
Soit u ∈ L(E), avec E un espace vectoriel de dimension finie muni d'une norme `‖.‖`.
- Montrer que lorsque x décrit la sphère unité de E (`‖x‖ = 1`), `‖u(x)‖` possède un maximum. On le note `‖‖‖u‖‖‖`.
- Montrer que `‖‖‖u‖‖‖ = Max‖x‖≤1 ‖u(x)‖ = Maxx≠0 (‖u(x)‖ / ‖x‖) = Sup‖x‖<1 ‖u(x)‖`.
- Montrer que `‖‖‖u‖‖‖` définit une norme sur L(E) (l'espace des applications linéaires de E dans E).
Indice : Pour la première question, considérez la propriété des applications continues sur un fermé borné (théorème de Weierstrass).
Exercice 3 : Norme sur un espace de fonctions
On note E l'espace des fonctions de classe C² sur [0, 1] vérifiant f(0) = f(1) = 0. Pour f ∈ E, on définit N(f) = `‖f''‖∞`.
- Montrer que N est une norme.
- La comparer à `‖.‖∞`.
Indice : L'inégalité de Taylor-Lagrange peut être utile pour comparer les normes, notamment pour relier `‖f‖∞` à `N(f)`.
Exercice 4 : Densité et norme
Soit (uₙ) une suite à valeurs dans [0, 1]. On définit sur E = C([0, 1]) : `N(f) = ∑n=0+∞ |f(uₙ)| / 2n`.
- Donner une condition nécessaire et suffisante simple pour que N soit une norme.
- Lorsque cette condition est vérifiée, comparer `‖.‖∞` et N.
Clarification : N est une norme si et seulement si l'ensemble des points `{uₙ | n ∈ N}` est dense dans [0, 1]. Dans ce cas, une majoration simple est `N(f) ≤ 2 ‖f‖∞`. L'inégalité inverse n'est pas toujours vraie ; il est possible de construire des fonctions `f` avec `‖f‖∞ = 1` mais `N(f)` arbitrairement petit en évitant les premiers points `uₙ`.
Exercice 5 : Fonctions lipschitziennes
E est ici l'ensemble des fonctions f : [0, 1] → R lipschitziennes. On définit sur E :
`N(f) = ‖f‖∞ + Supx≠y |f(x) − f(y)| / |x − y|`,
et `N_a(f) = |f(a)| + Supx≠y |f(x) − f(y)| / |x − y|` pour un `a ∈ [0,1]` fixé.
- Vérifier que N et N_a sont des normes sur E.
- Sont-elles équivalentes ?
- N est-elle équivalente à `‖.‖∞` ?
Indice : Pour l'équivalence, on peut montrer que `N_a ≤ N ≤ 2N_a` et que `‖.‖∞ ≤ N`. Cependant, une inégalité du type `N ≤ K ‖.‖∞` n'est pas toujours vérifiée (pensez aux fonctions "pics").
Exercice 6 : Normes équivalentes
Soient x₀, ..., xₙ, n + 1 réels distincts. Montrer qu'il existe α > 0 tel que :
`∀P ∈ Rn[X], ∑i=0n |P(x_i)| ≥ α Supt ∈ [0,1] |P(t)|`.
Clarification : Cet exercice explore la notion d'équivalence des normes sur un espace vectoriel de dimension finie. Sur un tel espace, toutes les normes sont équivalentes. La somme des valeurs absolues d'un polynôme en des points distincts définit une norme.
Ouverts et fermés ; intérieur et adhérence
Exercice 7 : Intérieur d'un sous-espace
Soit F un sous-espace strict de E (i.e., F ≠ E). Montrer que F est d'intérieur vide.
Indice : Si F avait un intérieur non vide, il contiendrait une boule ouverte. Par translation, on pourrait montrer qu'il contient une boule centrée en 0, ce qui par dilatation impliquerait E ⊂ F, contredisant la définition de F comme sous-espace strict.
Exercice 8 : Adhérence et intérieur d'un convexe
Soient E un espace vectoriel normé réel et C une partie convexe de E. Montrer que l'adhérence de C est convexe, puis (plus difficile) que l'intérieur de C est convexe.
Indice : Pour l'adhérence, utilisez la caractérisation séquentielle : si a, b ∈ &overline;C et λ ∈ [0, 1], il existe des suites (aₙ) et (bₙ) dans C qui convergent respectivement vers a et b. La convexité de C implique que λaₙ + (1-λ)bₙ ∈ C, et la continuité des opérations vectorielles permet de conclure. Pour l'intérieur, si B(a, ρ₁) ⊂ C et B(b, ρ₂) ⊂ C, et si `c = λa + (1-λ)b`, montrez qu'il existe une boule autour de c incluse dans C.
Exercice 9 : Polynômes scindés
Déterminer l'intérieur et l'adhérence dans `R₂[X]` (l'espace des polynômes de degré au plus 2) de l'ensemble X des polynômes scindés sur R.
Clarification : Un polynôme de degré 2 est scindé sur R si son discriminant Δ est supérieur ou égal à 0. L'ensemble `X` est caractérisé par la condition `Δ ≥ 0`. L'intérieur de `X` est l'ensemble des polynômes de discriminant strictement positif (`Δ > 0`).
Exercice 10 : Adhérence et intérieur dans C([0, 1], R)
Calculer l'adhérence et l'intérieur dans (C([0, 1], R), `‖.‖∞`) de :
- l'ensemble des fonctions f ∈ E nulles en 0 et en 1 ;
- l'ensemble des fonctions strictement positives ;
- l'ensemble des fonctions strictement croissantes.
Indices :
- Pour le premier ensemble (X₁), son adhérence est X₁ lui-même, et son intérieur est vide.
- Pour le deuxième ensemble (X₂), son adhérence est l'ensemble des fonctions à valeurs positives (au sens large, `f(x) ≥ 0` pour tout x), et son intérieur est X₂ lui-même.
- Pour le troisième ensemble (X₃), son adhérence est l'ensemble des fonctions croissantes (non nécessairement strictement), et son intérieur est vide (considérez des fonctions `fₙ(x) = f(x) + (1/n)x` pour une fonction `f` strictement croissante).
Exercice 11 : Représentation binaire
Déterminer l'adhérence et l'intérieur de l'ensemble X des nombres `x ∈ [0, 1[` dont la représentation binaire satisfait une certaine propriété.
Indice : Pour un tel ensemble X, souvent sa fermeture est `[0, 1]` et son intérieur est vide. Cela implique que X est dense dans `[0, 1]` mais ne contient aucune boule ouverte.
Exercice 12 : Somme d'un ouvert et d'un fermé
Soient Ω et F deux parties respectivement ouverte et fermée d'un espace vectoriel normé. Montrer que Ω + F = `{a + b | a ∈ Ω et b ∈ F}` est un ouvert.
Indice : Pour tout `(a₀, b₀) ∈ Ω × F`, il existe `ρ > 0` tel que `B(a₀, ρ) ⊂ Ω`. Vous pouvez alors montrer que `B(a₀ + b₀, ρ)` est inclus dans `Ω + F`.
Topologie des matrices
Exercice 13 : Matrices diagonalisables denses
Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans `Mn(C)` (l'espace des matrices carrées complexes d'ordre n).
Indice : Pensez à la trigonalisation d'une matrice et à la perturbation des valeurs propres sur la diagonale.
Exercice 14 : GLn(R) ouvert et dense
Montrer que `GLn(R)` (l'ensemble des matrices inversibles réelles d'ordre n) est un ouvert dense de `Mn(R)`.
Clarification : L'ensemble `GLn(R)` est ouvert car la fonction déterminant `det : Mn(R) → R` est continue, et `GLn(R)` est la préimage de `R*` (l'ensemble des réels non nuls) par `det`. Pour la densité, on peut approcher toute matrice A par une suite `(A - (1/p)In)` pour `p` assez grand tel que `1/p` ne soit pas valeur propre de A.
Exercice 15 : On(R) compact
Montrer que `On(R)` (le groupe orthogonal réel d'ordre n) est fermé et borné.
Indice : Pour la bornitude, considérez une norme matricielle comme `‖.‖∞`. Pour la fermeture, utilisez la continuité de l'application `M ↦ tMM` (où `tM` est la transposée de M).
Exercice 16 : Matrices de rang donné
Soit `p ∈ [1, n]`. Montrer que l'ensemble X des matrices de rang `p` n'est pas un fermé, mais que l'ensemble Y des matrices de rang majoré par `p` en est un. Montrer enfin que X est dense dans Y.
Indices :
- Pour montrer que X n'est pas fermé, trouvez une suite de matrices de rang `p` qui converge vers une matrice de rang strictement inférieur (par exemple, vers la matrice nulle).
- Pour la fermeture de Y, utilisez la continuité des déterminants des sous-matrices. Si une suite `(YN)` dans Y converge vers L, et si L avait un rang `M > p`, on pourrait construire un déterminant non nul pour `YN` pour N assez grand, ce qui conduirait à une contradiction.
- Pour la densité de X dans Y, toute matrice de rang `k ≤ p` peut être approchée par une matrice de rang `p` (par exemple, en perturbant légèrement les valeurs nulles).
Exercice 17 : Propriétés d'une matrice triangulaire supérieure
Soit M ∈ `Mn(C)` triangulaire supérieure, avec `α ∈ C` comme unique valeur propre. Montrer l'équivalence entre :
- `|α| < 1` ;
- `Mp → 0` lorsque `p → +∞` ;
- `∑i=1p Mi` converge lorsque `p → +∞`.
Indice : Utilisez la décomposition `M = αI + N` où N est une matrice nilpotente, et développez `Mp` avec la formule du binôme.
Exercice 18 : Matrices nilpotentes
- Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de `Mn(C)` est un fermé de `Mn(C)`.
- Montrer que si M ∈ `Mn(C)`, alors 0 est adhérent à la classe de similitude de M si et seulement si M est nilpotente.
Clarification :
- La condition de nilpotence (Mk = 0 pour un certain k) peut être exprimée à l'aide de polynômes caractéristiques ou minimaux, dont les coefficients sont des fonctions continues des entrées de la matrice, ce qui aide à prouver la fermeture.
- Si M est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale (forme de Jordan). Par une transformation de base appropriée (mettant en jeu des scalaires `λ` tendant vers 0), on peut montrer que la matrice nulle est dans l'adhérence de sa classe de similitude. Réciproquement, si la matrice nulle est adhérente à la classe de similitude de M, la continuité du polynôme caractéristique implique que 0 doit être la seule valeur propre de M, ce qui caractérise les matrices nilpotentes dans `Mn(C)`.
Continuité
Exercice 19 : Distance à un ensemble
Pour une partie A d'un espace vectoriel normé E et `x ∈ E`, on définit `d(x, A) = infa∈A ‖x - a‖`.
- Montrer que d est 1-lipschitzienne (et donc continue).
- Expliciter un exemple pour lequel `d(x, A) = 0` avec `x ∉ A`.
- Supposons A fermée. Montrer : `d(x, A) = 0` si et seulement si `x ∈ A`.
- On suppose que `d(x, A) = 0` si et seulement si `x ∈ A`. Montrer que A est fermée.
Indice : Pour prouver que d est 1-lipschitzienne, utilisez l'inégalité triangulaire pour montrer que `|d(x, A) - d(y, A)| ≤ ‖x - y‖`.
Exercice 20 : Intersection dénombrable d'ouverts
Montrer que tout fermé d'un espace vectoriel normé peut être décrit comme une intersection dénombrable d'ouverts. Énoncer le résultat dual.
Indice : Pour un fermé F, considérez la suite d'ouverts `Ωn = {x ∈ E | d(x, F) < 1/n}` (référence à l'exercice précédent sur la fonction distance).
Exercice 21 : Applications linéaires continues
E = `C∞([0, 1], R)` est muni de `‖.‖∞`.
- Soit `φ` définie par : `∀f ∈ E, φ(f) = ∫01/2 f(t) dt − ∫1/21 f(t) dt`. Montrer que `φ` est continue ; calculer sa norme (la borne supérieure de `‖φ(f)‖` pour `f` de norme 1), et montrer qu'elle n'est pas atteinte.
- Même question avec `ψ` définie par : `∀f ∈ E, ψ(f) = ∑n>1 ((-1)n / 2n) f(1/n)`.
Indice : Les normes de `φ` et `ψ` sont égales à 1.
Exercice 22 : Continuité de fonctions de R² dans R
Étudier la continuité des applications suivantes de `R²` dans `R` :
- `f₁ : (x, y) ↦ Max(x, y)` ;
- `f₂ : (x, y) ↦ { x⁴y / (x⁶ + y⁴) si (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 sinon }` ;
- `f₃ : (x, y) ↦ √(|x| + |y|)` ;
- `f₄ : (x, y) ↦ ln(1 + √(x² + y²))` .
Indices :
- `f₁` peut être réécrite comme `( |x - y| + x + y ) / 2`, ce qui aide à analyser sa continuité.
- Pour `f₂`, explorez les limites le long de chemins spécifiques, par exemple `y = x²`, pour voir si la limite en (0,0) est égale à `f₂(0,0)`.
- `f₃` et `f₄` sont des compositions et sommes de fonctions continues, simplifiant leur étude.
Exercice 23 : Maximum sur un simplexe
Montrer que lorsque (x, y, z) décrit l'ensemble des triplets de réels positifs et de somme égale à 1 (`x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 1`), le produit `xy²z³` possède un maximum.
Indice : Les mots-clés ici sont "application continue", "ensemble fermé" et "ensemble borné". Le simplexe est un ensemble compact.
Exercice 24 : Ensemble sous le graphe d'une fonction
Soit f ∈ C([a, b], R). Montrer que `{(x, y) ∈ R² | a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)}` est un fermé borné de `R²`.
Indice : Pour prouver qu'il est fermé et borné, utilisez la caractérisation séquentielle de la fermeture et les propriétés de bornitude des fonctions continues sur un intervalle compact.
Exercice 25 : Surface
Soit f ∈ C([a, b] × [c, d], R). Montrer que `{(x, y, z) ∈ R³ | a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d et z = f(x, y)}` est un fermé borné de `R³` d'intérieur vide.
Indice : La caractérisation séquentielle est utile pour la fermeture. La bornitude découle de la continuité de f sur un compact. Pour montrer que l'intérieur est vide, considérez qu'une surface dans R³ est de dimension 2, donc ne peut pas contenir de boule ouverte de R³.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?
Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel sur lequel est définie une fonction appelée "norme". Cette norme assigne une "longueur" ou une "taille" à chaque vecteur, respectant certaines propriétés comme la positivité, l'homogénéité (mise à l'échelle des vecteurs) et l'inégalité triangulaire. C'est le cadre naturel pour définir des notions de distance, de convergence et de continuité en analyse.
Pourquoi la notion de norme est-elle importante en analyse ?
La norme permet de généraliser la notion de distance euclidienne de `Rⁿ` à des espaces vectoriels plus abstraits, comme les espaces de fonctions ou de matrices. Elle est essentielle pour définir la topologie d'un espace (ouverts, fermés, convergence des suites) et, par conséquent, les concepts clés de continuité, de dérivabilité et d'intégrabilité dans ces espaces. L'étude des normes est fondamentale pour comprendre la complétude des espaces et l'équivalence des différentes manières de mesurer la "taille" des vecteurs.
Qu'est-ce que l'adhérence et l'intérieur d'un ensemble ?
Dans un espace topologique, l'adhérence d'un ensemble A, notée `&overline;A`, est le plus petit ensemble fermé qui contient A. Elle inclut tous les points de A ainsi que tous ses points "limites". L'intérieur d'un ensemble A, noté `int(A)` ou `A°`, est le plus grand ensemble ouvert contenu dans A. Il est constitué de tous les points de A qui ont un voisinage entièrement inclus dans A. Ces concepts sont cruciaux pour caractériser la "forme" et les propriétés topologiques des ensembles.