Serie 5 d analyse 3 s mp s3 2015 2016 enonce corrige

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Série 5 d’Analyse 3 SMP - S3 (2015-16) Énoncé et Corrigé

Exercice 1 : Calcul d'intégrales doubles

Cet exercice se concentre sur le calcul d'intégrales doubles sur différents domaines en utilisant les coordonnées cartésiennes.

Calculer ∫∫_D f(x, y) dxdy où f(x, y) = e^-x-y et D est la surface du triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(0, 2).

Réponse : Par définition de l'ensemble D, nous avons :

(x, y) ∈ D ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 2 - x

Pour calculer ∫∫_D f(x, y) dxdy, on utilise une succession de deux intégrales :

∫∫_D e^-x-y dxdy = ∫₀² ∫₀^2-x e^-x-y dy dx = ∫₀² e^-x (∫₀^2-x e^-y dy) dx

En effectuant le calcul de l'intégrale intérieure, on obtient : [-e^-y]₀^2-x = -e^-(2-x) - (-e⁰) = 1 - e^-(2-x).

Ainsi, l'intégrale devient : ∫₀² e^-x(1 - e^-(2-x)) dx = ∫₀² (e^-x - e^-2) dx

= [-e^-x - xe^-2]₀² = (-e^-2 - 2e^-2) - (-e⁰ - 0) = -3e^-2 + 1.
Calculer ∫∫_D f(x, y) dxdy où f(x, y) = x et D = {(x, y) ∈ ℝ²: x > -1, 1 < y < 2, xy < 1}.

Réponse : On note que : (x, y) ∈ D ⇔ 1 < y < 2 et -1 < x < 1/y

Donc : ∫∫_D x dxdy = ∫₁² (∫_-1^1/y x dx) dy

= ∫₁² [x²/2]_-1^1/y dy = (1/2) ∫₁² ( (1/y)² - (-1)² ) dy = (1/2) ∫₁² (1/y² - 1) dy

= (1/2) [-1/y - y]₁² = (1/2) ((-1/2 - 2) - (-1 - 1)) = (1/2) (-5/2 + 2) = (1/2) (-1/2) = -1/4.
Calculer ∫∫_D f(x, y) dxdy où f(x, y) = |x - y| et D = {(x, y) ∈ ℝ²: |x| < 1, |y| < 1}.

Réponse : On a : (x, y) ∈ D ⇔ -1 < x < 1 et -1 < y < 1. Le domaine D est un carré (plein).

Donc : ∫∫_D |x - y| dxdy = ∫_-1¹ ∫_-1¹ |x - y| dx dy

Commençons par calculer l'intégrale intérieure. Pour -1 < y < 1 fixé, on a :

∫_-1¹ |x - y| dx = ∫_-1^y (y - x) dx + ∫_y¹ (x - y) dx

= [yx - x²/2]_-1^y + [x²/2 - yx]_y¹

= (y² - y²/2) - (-y - 1/2) + (1/2 - y) - (y²/2 - y²)

= y²/2 + y + 1/2 + 1/2 - y + y²/2 = y² + 1

On déduit alors que : ∫∫_D |x - y| dxdy = ∫_-1¹ (y² + 1) dy

= [y³/3 + y]_-1¹ = (1/3 + 1) - (-1/3 - 1) = 4/3 - (-4/3) = 8/3.

Exercice 2 : Changement de variables (linéaire)

En utilisant le changement de variables : u = x + y, v = x - y, calculer les intégrales suivantes.

∫∫_D1 (x - y)e^x+y dxdy où D1 = {(x, y) ∈ ℝ²: |x + y| < 1, |x - y| < 1}.

Réponse : En utilisant le changement de variables indiqué, on voit que :

(x, y) ∈ D1 ⇔ |u| < 1, |v| < 1 ⇔ (u, v) ∈ Δ₁ où Δ₁ = {(u, v) ∈ ℝ²: |u| < 1, |v| < 1}.

D'un autre côté, le jacobien du changement de variables est :

∂(x, y)/∂(u, v) = 1 / (∂(u, v)/∂(x, y))

Et : ∂(u, v)/∂(x, y) = det(
1 1
1 -1
) = (1)(-1) - (1)(1) = -2.

Donc, ∂(x, y)/∂(u, v) = -1/2.

La formule de changement de variables nous donne alors :

∫∫_D1 (x - y)e^x+y dxdy = ∫∫_Δ1 v e^u |-1/2| dudv = (1/2) ∫_-1¹ v dv ∫_-1¹ e^u du

L'intégrale ∫_-1¹ v dv = [v²/2]_-1¹ = 1/2 - 1/2 = 0.

Par conséquent, ∫∫_D1 (x - y)e^x+y dxdy = 0.
∫∫_D2 e^x-y / (x+y) dxdy où D2 = {(x, y) ∈ ℝ²: x > 0, y > 0, x + y < 1}.

Réponse : Nous avons : u = x + y et v = x - y ⇔ x = (u + v)/2 et y = (u - v)/2.

Les conditions (x, y) ∈ D2 se traduisent par :

x > 0 ⇔ u + v > 0

y > 0 ⇔ u - v > 0

x + y < 1 ⇔ u < 1

Ces conditions combinées donnent : u > 0, u + v > 0, u - v > 0 et u < 1.

Ce qui simplifie en : 0 < u < 1 et -u < v < u.

Notons : Δ₂ = {(u, v) ∈ ℝ²: 0 < u < 1 et -u < v < u}.

Alors : (x, y) ∈ D2 ⇔ (u, v) ∈ Δ₂.

Le jacobien du changement de variables est le même que celui ci-dessus : ∂(x, y)/∂(u, v) = -1/2. On prend sa valeur absolue pour l'intégration : 1/2.

La formule de changement de variables s'écrit alors :

∫∫_D2 e^x-y / (x+y) dxdy = ∫∫_Δ2 (e^v / u) (1/2) dudv

= (1/2) ∫₀¹ ∫_-u^u (e^v / u) dv du = (1/2) ∫₀¹ (1/u) [e^v]_-u^u du

= (1/2) ∫₀¹ (1/u) (e^u - e^-u) du = ∫₀¹ sinh(u)/u du.

Note : Le texte original contient une erreur de calcul à la fin, `ue1 − ue−1 du = sh12`, qui n'est pas cohérent avec l'intégrale ∫ sinh(u)/u du. L'intégrale ∫ sinh(u)/u du est l'intégrale du sinus hyperbolique (Shi), qui n'a pas de forme élémentaire. Si l'on suppose que le 'u' devant `ev/u` dans une étape intermédiaire était là pour simplifier, c'est-à-dire `u * (e^v/u) = e^v`, alors on aurait eu :

= (1/2) ∫₀¹ [e^v]_-u^u du = (1/2) ∫₀¹ (e^u - e^-u) du = ∫₀¹ sinh(u) du

= [cosh(u)]₀¹ = cosh(1) - cosh(0) = cosh(1) - 1. Le résultat `sh12` est étrange dans ce contexte. Si l'on suppose l'intégrale finale est `sinh(1)`, cela impliquerait d'autres simplifications non explicitées. Nous laissons l'expression sous sa forme simplifiée ∫₀¹ sinh(u)/u du, car le texte indique une erreur de calcul finale ou une simplification incorrecte.

Exercice 3 : Changement de variables en coordonnées polaires

En utilisant le changement de variables en coordonnées polaires, calculer les intégrales suivantes.

∫∫_D1 x √(1 - x² - y²) dxdy avec D1 = {(x, y) ∈ ℝ²: x ≥ 0, y ≥ 0, x² + y² ≤ 1}.

Réponse : Le changement de variables en coordonnées polaires est : x = r cos θ, y = r sin θ.

Le jacobien de ce changement de variables est :

∂(x, y)/∂(r, θ) = det(
cos θ -r sin θ
sin θ r cos θ
) = r cos²θ + r sin²θ = r.

Il est facile de voir que : (x, y) ∈ D1 ⇔ 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2.

Notons : Δ₁ = {(r, θ) ∈ ℝ²: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2}.

La formule de changement de variables implique que l'on a :

∫∫_D1 x √(1 - x² - y²) dxdy = ∫∫_Δ1 r cos θ √(1 - r²) r drdθ

= ∫∫_Δ1 r² cos θ √(1 - r²) drdθ = (∫₀^π/2 cos θ dθ) × (∫₀¹ r²√(1 - r²) dr)

Le premier terme : ∫₀^π/2 cos θ dθ = [sin θ]₀^π/2 = 1 - 0 = 1.

Pour calculer ∫₀¹ r²√(1 - r²) dr, on peut utiliser le changement de variables : r = sin t. Alors : dr = cos t dt. Lorsque r = 0, t = 0. Lorsque r = 1, t = π/2.

Donc : ∫₀¹ r²√(1 - r²) dr = ∫₀^π/2 sin²t × cos t × cos t dt = ∫₀^π/2 sin²t cos²t dt

= ∫₀^π/2 ( (sin(2t))/2 )² dt = (1/4) ∫₀^π/2 sin²(2t) dt

= (1/4) ∫₀^π/2 (1 - cos(4t))/2 dt = (1/8) [t - (sin(4t))/4]₀^π/2 = (1/8) (π/2 - 0) = π/16.

D'où : ∫∫_D1 x √(1 - x² - y²) dxdy = 1 × π/16 = π/16.
∫∫_D2 xy / (x² + y²) dxdy avec D2 = surface du triangle de sommets O(0, 0), A(a, a), B(a, 0) où a > 0.

Réponse : Prenons un point M ∈ D2 dont les coordonnées polaires sont r et θ. Le domaine D2 est défini en coordonnées cartésiennes par :

(x, y) ∈ D2 ⇔ 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ x (car la droite OA a pour équation y = x).

En passant aux coordonnées polaires (x = r cos θ, y = r sin θ), on déduit que :

0 ≤ y ≤ x ⇔ 0 ≤ r sin θ ≤ r cos θ ⇔ sin θ ≤ cos θ (pour r > 0).

Avec x ≥ 0, y ≥ 0, cela implique 0 ≤ θ ≤ π/4.

Pour la borne de r : le point M est sur le segment [O, C] où C est sur le côté AB du triangle. Ce côté est la droite x = a. Donc, r cos θ = a ⇔ r = a/cos θ.

Ainsi, (x, y) ∈ D2 ⇔ 0 ≤ θ ≤ π/4 et 0 ≤ r ≤ a/cos θ.

Notons Δ₂ = {(r, θ) ∈ ℝ²: 0 ≤ θ ≤ π/4 et 0 ≤ r ≤ a/cos θ}.

Alors la formule de changement de variables s'écrit (jacobien est r) :

∫∫_D2 xy / (x² + y²) dxdy = ∫∫_Δ2 (r cos θ sin θ) / r² × r drdθ

= ∫∫_Δ2 cos θ sin θ drdθ = ∫₀^π/4 (∫₀^{a/cos θ} cos θ sin θ dr) dθ

= ∫₀^π/4 [r cos θ sin θ]₀^{a/cos θ} dθ = ∫₀^π/4 (a/cos θ) cos θ sin θ dθ

= ∫₀^π/4 a sin θ dθ = a [-cos θ]₀^π/4 = a (-cos(π/4) - (-cos(0)))

= a (-√2/2 + 1) = a (1 - √2/2).

Note : Le calcul donné dans le texte original (`a22ˆ π4 0 sin t costdt`) semble avoir une erreur de simplification où `sin t / cos t` est devenu `sin t cos t`. Le résultat final `-a22log √22` correspond à un calcul différent avec tan(t). Le calcul correct est `a(1 - √2/2)`.

Exercice 4 : Intégrales triples

Calculer ∫∫∫_D z dxdydz avec D = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 1}.

Réponse : Soit (x, y, z) ∈ ℝ³, alors :

(x, y, z) ∈ D ⇔ 0 < x < 1, y > 0, z > 0 et y + z < 1 - x

⇔ 0 < x < 1, 0 < y < 1 - x et 0 < z < 1 - x - y

On déduit alors que : ∫∫∫_D z dxdydz = ∫₀¹ ∫₀^1-x ∫₀^1-x-y z dz dy dx

= ∫₀¹ ∫₀^1-x [z²/2]₀^1-x-y dy dx = ∫₀¹ ∫₀^1-x (1 - x - y)²/2 dy dx

Calcul de l'intégrale intérieure : ∫₀^1-x (1 - x - y)²/2 dy. Posons u = 1 - x - y, du = -dy.

= (1/2) ∫_1-x⁰ u² (-du) = (1/2) ∫₀^1-x u² du = (1/2) [u³/3]₀^1-x = (1/6) (1 - x)³.

Puis, ∫₀¹ (1/6) (1 - x)³ dx. Posons v = 1 - x, dv = -dx.

= (1/6) ∫₁⁰ v³ (-dv) = (1/6) ∫₀¹ v³ dv = (1/6) [v&sup4;/4]₀¹ = (1/6) × (1/4) = 1/24.
Calculer ∫∫∫_V x²y e^xyz dxdydz avec V = [0, 1]³.

Réponse : Le calcul ici est simple, puisque V est un cube :

∫∫∫_V x²y e^xyz dxdydz = ∫₀¹ ∫₀¹ ∫₀¹ x²y e^xyz dz dy dx

L'intégrale intérieure par rapport à z : ∫₀¹ x²y e^xyz dz = [x e^xyz]₀¹ = x e^xy - x e⁰ = x e^xy - x.

Puis, l'intégrale par rapport à y : ∫₀¹ (x e^xy - x) dy = [e^xy - xy]₀¹ = (e^x - x) - (e⁰ - 0) = e^x - x - 1.

Enfin, l'intégrale par rapport à x : ∫₀¹ (e^x - x - 1) dx = [e^x - x²/2 - x]₀¹

= (e¹ - 1²/2 - 1) - (e⁰ - 0 - 0) = (e - 1/2 - 1) - 1 = e - 5/2.
Calculer ∫∫∫_V dxdydz avec V = {(x, y, z) ∈ ℝ³: z² - 2xy ≤ 0, √x + √y ≤ 1}.

Réponse : Notons que la définition de V implique que, si (x, y, z) ∈ V, on doit avoir x ≥ 0 et y ≥ 0.

Utilisons le changement de variables : u = √x, v = √y et z = z. Alors u ≥ 0 et v ≥ 0 et x = u², y = v².

En outre, on a : (x, y, z) ∈ V ⇔ u ≥ 0, v ≥ 0, u + v ≤ 1 et z² ≤ 2u²v²

⇔ 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 - u et -√2 uv ≤ z ≤ √2 uv

Posons : Δ = {(u, v, z) ∈ ℝ³: 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 - u et -√2 uv ≤ z ≤ √2 uv}.

La formule de changement de variables s'écrit alors : ∫∫∫_V dxdydz = ∫∫∫_Δ ∂(x, y, z)/∂(u, v, z) dudvdz

Mais le jacobien du changement de variables est :

∂(x, y, z)/∂(u, v, z) = det(
2u 0 0
0 2v 0
0 0 1
) = 4uv.

Donc : ∫∫∫_V dxdydz = ∫∫∫_Δ 4uv dudvdz

= ∫₀¹ du ∫₀^1-u dv ∫_{-√2 uv}^{√2 uv} 4uv dz

= ∫₀¹ du ∫₀^1-u 4uv [z]_{-√2 uv}^{√2 uv} dv = ∫₀¹ du ∫₀^1-u 4uv (2√2 uv) dv

= ∫₀¹ du ∫₀^1-u 8√2 u²v² dv = 8√2 ∫₀¹ u² [∫₀^1-u v² dv] du

= 8√2 ∫₀¹ u² [v³/3]₀^1-u du = 8√2 ∫₀¹ u² (1-u)³/3 du

= (8√2/3) ∫₀¹ (u² - 3u³ + 3u&sup4; - u&sup5;) du

= (8√2/3) [u³/3 - 3u&sup4;/4 + 3u&sup5;/5 - u&sup6;/6]₀¹

= (8√2/3) (1/3 - 3/4 + 3/5 - 1/6) = (8√2/3) (20/60 - 45/60 + 36/60 - 10/60)

= (8√2/3) (1/60) = 8√2/180 = 2√2/45.

Noter que cette quantité est le volume du domaine V. Le calcul de l'intégrale ci-dessus peut se faire directement, sans changement de variables, et conduit au même résultat.

Exercice 5 : Changement de variables pour intégrales triples

En utilisant un changement de variables convenable, calculer :

I = ∫∫∫_D x² + y² dxdydz avec D = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² ≤ 1, 0 < z < x² + y²}.

Réponse : Le changement de variables que l'on va utiliser est celui des coordonnées cylindriques :

x = r cos t, y = r sin t, z = z.

Le jacobien de ce changement de variables est : ∂(x, y, z)/∂(r, t, z) = r.

Les conditions sur D se traduisent en coordonnées cylindriques par :

x² + y² ≤ 1 ⇔ r² ≤ 1 ⇔ 0 ≤ r ≤ 1.

0 < z < x² + y² ⇔ 0 < z < r².

Et l'angle t (ou θ) parcourt 0 ≤ t ≤ 2π.

Notons : Δ = {(r, t, z) ∈ ℝ³: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π et 0 < z ≤ r²}.

La formule de changement de variables s'écrit :

∫∫∫_D x² + y² dxdydz = ∫∫∫_Δ r² × r drdtdz = ∫∫∫_Δ r³ drdtdz

= ∫₀¹ ∫₀^2π ∫₀^r² r³ dz dt dr

= ∫₀¹ ∫₀^2π [r³z]₀^r² dt dr = ∫₀¹ ∫₀^2π r&sup5; dt dr

= ∫₀¹ [r&sup5;t]₀^2π dr = ∫₀¹ 2πr&sup5; dr = 2π [r&sup6;/6]₀¹ = 2π × (1/6) = π/3.
J = ∫∫∫_D 1/(x²+y²+z²) dxdydz avec D = {(x, y, z) ∈ ℝ³: a² < x² + y² + z² < R² où 0 < a < R}.

Réponse : Pour calculer cette intégrale, on utilise le changement en coordonnées sphériques :

x = r cos θ sin φ

y = r sin θ sin φ

z = r cos φ

Le jacobien de ce changement de variables est : ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ) = r² sin φ.

En outre, on a : (x, y, z) ∈ D ⇔ a² < r² < R², 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π

⇔ a < r < R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π.

Notons Δ = {(r, θ, φ) ∈ ℝ³: a < r < R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π}.

La formule de changement de variables s'écrit alors :

∫∫∫_D 1/(x² + y² + z²) dxdydz = ∫∫∫_Δ (1/r²) × r² sin φ drdθdφ

= ∫∫∫_Δ sin φ drdθdφ = (∫_a^R dr) × (∫₀^2π dθ) × (∫₀^π sin φ dφ)

= (R - a) × (2π) × [-cos φ]₀^π

= (R - a) × (2π) × (-(-1) - (-1)) = (R - a) × (2π) × 2 = 4π(R - a).

Exercices de soutien

Exercice 1 : Intégrales doubles avec changements de variables spécifiques

En utilisant un changement de variables convenable, calculer : ∫∫_D1 x dxdy avec D1 = {(x, y) ∈ ℝ²: (x - 1)² + y² ≤ 1, x > 1}.

Réponse : Pour calculer cette intégrale, on utilise le changement de variables (en coordonnées polaires décalées) :

x - 1 = r cos t, y = r sin t

Alors x = 1 + r cos t. Le jacobien du changement de variables est r.

La condition (x - 1)² + y² ≤ 1 ⇔ r² ≤ 1 ⇔ 0 ≤ r ≤ 1.

La condition x > 1 ⇔ 1 + r cos t > 1 ⇔ r cos t > 0. Puisque r ≥ 0 (et r ≠ 0 pour l'inégalité stricte), on doit avoir cos t > 0, ce qui signifie -π/2 < t < π/2.

Notons : Δ₁ = {(r, t) ∈ ℝ²: 0 ≤ r ≤ 1, -π/2 < t < π/2}.

La formule de changement de variables s'écrit alors :

∫∫_D1 x dxdy = ∫∫_Δ1 (1 + r cos t) × r drdt = ∫_-π/2^π/2 ∫₀¹ (r + r² cos t) dr dt

= ∫_-π/2^π/2 [r²/2 + r³/3 cos t]₀¹ dt = ∫_-π/2^π/2 (1/2 + 1/3 cos t) dt

= [t/2 + 1/3 sin t]_-π/2^π/2 = (π/4 + 1/3 sin(π/2)) - (-π/4 + 1/3 sin(-π/2))

= (π/4 + 1/3) - (-π/4 - 1/3) = π/4 + 1/3 + π/4 + 1/3 = π/2 + 2/3.
En utilisant le changement de variables en coordonnées polaires, calculer : ∫∫_D2 1/(x²+y²)^3/2 dxdy avec D2 = {(x, y) ∈ ℝ²: x² + y² ≤ 1, x + y > 1, x < y}.

Réponse : On nous demande d'utiliser le changement de variables en coordonnées polaires.

On pose : x = r cos t, y = r sin t avec r ≥ 0 et 0 ≤ t ≤ 2π. Le jacobien est r.

Les conditions sur D2 se traduisent par :

x² + y² ≤ 1 ⇔ r² ≤ 1 ⇔ 0 ≤ r ≤ 1.

x < y ⇔ r cos t < r sin t ⇔ cos t < sin t. Pour 0 ≤ t ≤ 2π, cela est vrai pour π/4 < t < 5π/4.

x + y > 1 ⇔ r(cos t + sin t) > 1.

On sait que cos t + sin t = √2 cos(t - π/4).

La condition r √2 cos(t - π/4) > 1 implique que cos(t - π/4) doit être positif, donc - π/2 < t - π/4 < π/2. Combiné avec π/4 < t < 5π/4, cela donne :

0 ≤ t - π/4 < π/4 ⇔ π/4 ≤ t < π/2.

De plus, r > 1/(cos t + sin t).

On déduit alors que : (x, y) ∈ D2 ⇔ π/4 < t < π/2, 1/(cos t + sin t) < r ≤ 1.

Notons : Δ₂ = {(r, t) ∈ ℝ²: π/4 < t < π/2, 1/(cos t + sin t) < r ≤ 1}.

Alors la formule de changement de variables s'écrit :

∫∫_D2 1/(x² + y²)^3/2 dxdy = ∫∫_Δ2 (1/r³) × r drdt = ∫∫_Δ2 1/r² drdt

= ∫_π/4^π/2 (∫_{1/(cos t + sin t)}¹ 1/r² dr) dt

= ∫_π/4^π/2 [-1/r]_{1/(cos t + sin t)}¹ dt = ∫_π/4^π/2 (-1 - (-(cos t + sin t))) dt

= ∫_π/4^π/2 (cos t + sin t - 1) dt

= [sin t - cos t - t]_π/4^π/2

= (sin(π/2) - cos(π/2) - π/2) - (sin(π/4) - cos(π/4) - π/4)

= (1 - 0 - π/2) - (√2/2 - √2/2 - π/4) = 1 - π/2 - 0 + π/4 = 1 - π/4.

Exercice 2 : Calcul du volume de domaines

D1 = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² + z² < 1, x² + y² - x ≤ 0}.

Réponse : Le volume de D1 est par définition : V(D1) = ∫∫∫_D1 dxdydz.

Pour calculer cette intégrale, on peut utiliser un changement de variables en coordonnées cylindriques :

x = r cos t, y = r sin t, z = z avec r ≥ 0, -π ≤ t ≤ π, z ∈ ℝ.

Alors, le jacobien de ce changement de variables est : ∂(x, y, z)/∂(r, t, z) = r.

En outre, on a :

x² + y² - x ≤ 0 ⇔ r² cos²t + r² sin²t - r cos t ≤ 0 ⇔ r² - r cos t ≤ 0 ⇔ r ≤ cos t.

Puisque r ≥ 0, il faut que cos t ≥ 0, ce qui implique -π/2 ≤ t ≤ π/2.

x² + y² + z² < 1 ⇔ r² + z² < 1 ⇔ |z| < √(1 - r²).

Notons : Δ₁ = {(r, t, z) ∈ ℝ³: -π/2 ≤ t ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ cos t, |z| < √(1 - r²)}.

La formule de changement de variables s'écrit alors :

V(D1) = ∫∫∫_Δ1 r drdtdz = ∫_-π/2^π/2 ∫₀^{cos t} ∫_-√(1-r²)^√(1-r²) r dz dr dt

= ∫_-π/2^π/2 ∫₀^{cos t} r [z]_-√(1-r²)^√(1-r²) dr dt = ∫_-π/2^π/2 ∫₀^{cos t} 2r√(1 - r²) dr dt.

Pour continuer le calcul, on pose dans l'intégrale intérieure u = 1 - r². Alors du = -2r dr. Quand r = 0, u = 1. Quand r = cos t, u = 1 - cos²t = sin²t.

∫₀^{cos t} 2r√(1 - r²) dr = ∫₁^sin²t -√u du = ∫_sin²t¹ √u du = [(2/3) u^3/2]_sin²t¹

= (2/3) (1 - (sin²t)^3/2) = (2/3) (1 - |sin t|³).

Puisque -π/2 ≤ t ≤ π/2, sin t peut être négatif, donc |sin t| est nécessaire. Cependant, la symétrie de l'intervalle permet de calculer de 0 à π/2 et multiplier par 2.

V(D1) = ∫_-π/2^π/2 (2/3) (1 - |sin t|³) dt = 2 × (2/3) ∫₀^π/2 (1 - sin³t) dt.

Calcul de ∫₀^π/2 sin³t dt : ∫₀^π/2 sin t (1 - cos²t) dt = ∫₀^π/2 (sin t - sin t cos²t) dt

= [-cos t + cos³t/3]₀^π/2 = (0 + 0) - (-1 + 1/3) = 1 - 1/3 = 2/3.

Donc : V(D1) = (4/3) ∫₀^π/2 (1 - sin³t) dt = (4/3) [t - 2/3]₀^π/2 = (4/3) (π/2 - 2/3) = 2π/3 - 8/9.
D2 = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² + z² < a², x² + y² ≤ z², z ≥ 0} avec a > 0.

Réponse : Le volume de D2 est par définition : V(D2) = ∫∫∫_D2 dxdydz.

Notons que : (x, y, z) ∈ D2 ⇔ x² + y² < a², x² + y² ≤ z² < a² - (x² + y²), z ≥ 0.

Pour que la condition x² + y² ≤ z² < a² - (x² + y²) soit satisfaite, il faut que :

x² + y² < a² - (x² + y²) ⇔ 2(x² + y²) < a² ⇔ x² + y² < a²/2.

Donc : (x, y, z) ∈ D2 ⇔ x² + y² < a²/2, √(x² + y²) ≤ z < √(a² - (x² + y²)) (car z ≥ 0).

On déduit alors que : V(D2) = ∫∫_C (∫_√(x²+y²)^{√(a²-(x²+y²))} dz) dxdy

où C = {(x, y) ∈ ℝ²: x² + y² < a²/2}.

V(D2) = ∫∫_C (√(a² - (x² + y²)) - √(x² + y²)) dxdy.

Maintenant, sur C, on utilise le changement de variables en coordonnées polaires : x = r cos t, y = r sin t avec r ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 2π. Le jacobien est r.

(x, y) ∈ C ⇔ 0 ≤ r ≤ a/√2, 0 ≤ t ≤ 2π.

La formule de changement de variables implique alors :

V(D2) = ∫₀^2π ∫₀^a/√2 (√(a² - r²) - r) r dr dt

= 2π ∫₀^a/√2 (r√(a² - r²) - r²) dr

= 2π [ -(1/3)(a² - r²)^3/2 - r³/3 ]₀^a/√2

= 2π ( (-(1/3)(a² - a²/2)^3/2 - (a/√2)³/3) - (-(1/3)(a²)^3/2 - 0) )

= 2π ( -(1/3)(a²/2)^3/2 - a³/(3×2√2) + (1/3)a³ )

= 2π ( -(1/3)(a³/(2√2)) - a³/(6√2) + a³/3 )

= 2π ( -a³/(6√2) - a³/(6√2) + a³/3 ) = 2π ( -2a³/(6√2) + a³/3 )

= 2π ( -a³/(3√2) + a³/3 ) = 2π (a³/3) (1 - 1/√2) = (2πa³/3) (1 - √2/2).
D3 = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² - z ≥ 0, x² + y² - a² ≤ 0, z ≥ 0} avec a > 0.

Réponse : Le volume de D3 est par définition : V(D3) = ∫∫∫_D3 dxdydz.

Pour calculer cette intégrale triple, on utilise le changement de variables en coordonnées cylindriques :

x = r cos t, y = r sin t, z = z.

Le jacobien de ce changement de variables est : ∂(x, y, z)/∂(r, t, z) = r.

D'un autre côté, on a :

x² + y² - z ≥ 0 ⇔ r² - z ≥ 0 ⇔ z ≤ r².

x² + y² - a² ≤ 0 ⇔ r² - a² ≤ 0 ⇔ 0 ≤ r ≤ a.

z ≥ 0.

L'angle t (ou θ) parcourt 0 ≤ t ≤ 2π.

Notons Δ₃ = {(r, t, z) ∈ ℝ³: 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ r², 0 ≤ t ≤ 2π}.

Alors : V(D3) = ∫∫∫_Δ3 r drdtdz = ∫₀^2π ∫₀^a ∫₀^r² r dz dr dt

= ∫₀^2π ∫₀^a [rz]₀^r² dr dt = ∫₀^2π ∫₀^a r³ dr dt

= ∫₀^2π [r&sup4;/4]₀^a dt = ∫₀^2π (a&sup4;/4) dt

= [a&sup4;t/4]₀^2π = a&sup4;(2π)/4 = πa&sup4;/2.

Exercice 3 : Intégrales triples avec changements de variables multiples

En utilisant un changement de variables convenable, calculer :

I = ∫∫∫_D x² + y² + z² dxdydz avec D = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² + z² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

Réponse : Le changement le plus naturel pour calculer I est celui en coordonnées sphériques :

x = r cos θ sin φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos φ.

avec r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π. Le jacobien est r² sin φ.

Les conditions sur D se traduisent par :

x² + y² + z² ≤ 1 ⇔ r² ≤ 1 ⇔ 0 ≤ r ≤ 1.

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (premier octant) ⇔ 0 ≤ θ ≤ π/2 et 0 ≤ φ ≤ π/2.

On déduit alors que : Δ = {(r, θ, φ) ∈ ℝ³: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2}.

L'intégrande est x² + y² + z² = r².

La formule de changement de variables s'écrit alors :

I = ∫∫∫_Δ r² × r² sin φ drdθdφ = ∫₀¹ r&sup4; dr × ∫₀^π/2 dθ × ∫₀^π/2 sin φ dφ

= [r&sup5;/5]₀¹ × [θ]₀^π/2 × [-cos φ]₀^π/2

= (1/5) × (π/2) × (0 - (-1)) = (1/5) × (π/2) × 1 = π/10.

En déduire la valeur de l'intégrale : J = ∫∫∫_D0 x² + y² + z² dxdydz où D0 = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x²/a² + y²/b² + z²/c² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

Réponse : Pour calculer J, on utilise le changement de variables évident :

x = au, y = bv, z = cw.

Le jacobien de ce changement de variables est clairement : ∂(x, y, z)/∂(u, v, w) = abc.

Et l'on a : (x, y, z) ∈ D0 ⇔ u² + v² + w² ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0, w ≥ 0.

Ce domaine en (u, v, w) est exactement D. Donc l'intégrale J devient :

J = ∫∫∫_D ((au)² + (bv)² + (cw)²) abc dudvdw

= abc ∫∫∫_D (a²u² + b²v² + c²w²) dudvdw

= abc ( a²∫∫∫_D u² dudvdw + b²∫∫∫_D v² dudvdw + c²∫∫∫_D w² dudvdw ).

Comme le domaine D est invariant par toute permutation des variables (u, v, w), on a par symétrie :

∫∫∫_D u² dudvdw = ∫∫∫_D v² dudvdw = ∫∫∫_D w² dudvdw.

De plus, la somme de ces trois intégrales est :

∫∫∫_D (u² + v² + w²) dudvdw = I = π/10.

Ainsi, chaque intégrale est égale à I/3 = (π/10)/3 = π/30.

En remplaçant dans l'expression de J, on déduit que :

J = abc ( a²(π/30) + b²(π/30) + c²(π/30) )

= abc (a² + b² + c²) (π/30).

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un jacobien et à quoi sert-il dans le calcul d'intégrales multiples ?: Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne, qui est une matrice des dérivées partielles d'une transformation de coordonnées. Dans le calcul d'intégrales multiples, le jacobien (ou sa valeur absolue) est un facteur de mise à l'échelle qui permet de passer d'un élément de volume (ou de surface) dans un système de coordonnées à un élément de volume (ou de surface) dans un autre système. Il est crucial pour transformer correctement les intégrales lors d'un changement de variables, garantissant que la valeur de l'intégrale reste inchangée.
Pourquoi utiliser les coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques plutôt que les coordonnées cartésiennes ?: Ces systèmes de coordonnées alternatifs sont utilisés pour simplifier le calcul d'intégrales, surtout lorsque le domaine d'intégration ou l'intégrande possède une symétrie particulière. Les coordonnées polaires sont idéales pour les régions circulaires en 2D, les cylindriques pour les régions cylindriques en 3D, et les sphériques pour les régions sphériques ou coniques en 3D. Elles transforment des bornes d'intégration complexes en bornes plus simples (souvent des constantes) et simplifient les fonctions, rendant les calculs plus gérables.
Comment délimiter correctement les bornes d'intégration lors d'un changement de variables ?: Pour délimiter correctement les bornes, il faut exprimer les contraintes du domaine d'intégration original dans le nouveau système de coordonnées. Cela implique de substituer les expressions des anciennes variables en fonction des nouvelles dans toutes les inégalités définissant le domaine. Il est souvent utile de visualiser le domaine dans les deux systèmes de coordonnées pour s'assurer que les nouvelles bornes couvrent exactement la même région. Les étapes sont généralement de déterminer la plage des angles (pour les coordonnées polaires/cylindriques/sphériques), puis la plage des rayons ou des variables restantes en fonction des angles déjà définis.