Topologie td 2 analyse 3 -Analyse 3 - Télécharger pdf
Télécharger PDFTOPOLOGIE TO (PARTIE 2) $5 TD w.SMIA2.com www. SMIA2 TEAM 0777 est sature pour Ro e. L'adhérence de tout ensemble sature pour to est seture pour Po. 4. On suppose we relution to ouverte. Montrer qu'on a: a. Lour toute partie A de E saturée pour &, l'adherence (uspt L'interieur) de p(A) dows (E/6, 16) est p (A) (respt p (A)) b. Pour tout partie B de E/, p' (B) = p-' (B) = Réciproquement, montrer que che cune des deve propriétés a et b entraine que Rest ouverte.
Exercice 11Soit (EC) ull e.t. - On dit qu'une partie A de E est rare dans (Ę,2) si Å = & On dit qu'une partie B de E est maigre dous (EC) si B est uile reunion au plus dénombrable de parties raves dans (EC) 1 Soient A, B deve parties de E. a. Montrer que si A est nære, toute partie de A est nare. b. Montrer que si Best est maigre. maigre, to ute parte de B e. Montrer que toute neunion dénombrable de parties maigres est maigre 2. Montrer qu'on a équivalence en me : a. toute partie maigre est nare し 6 Pour toute suite (FO)DoN de fermes rares, UFn est mare AG AN e Pour toute suite (Un)neIN d'ouvert denses, F nt est dense. 16N Von e.t (x, 2) est sit de Braire, s'il verifie l'une des trois proprietes précédentes. 3. Montrer que tout ouvert d'une espece de Baire est un es prece de Bouire 4. L'ensemble IR, muni de he to pologie droite, est-il de Baire? Exeere 13: Soil (EC) un e.t. On dit que l'espece (EC) est accessible s: Va, b6E owec a + b it eerste V un voisinage de a a daus (Ę,2) tel que bø V. CO 1 Montrer que tout espace separe est accessible et tout espace accessible est un espece de Kolmogoroff. 2. Montrer qu'on a equivalence entre: 4. L'espace (EC) est accessible & 6 Toute partie de réduite à un point est fermet daus (E,C) e. L'intersection de tout les voisinages, d'un point a de E daus (EC) est réduite à a. 3. On suppose L'es for ce (E, C) est accessible. Solt A une partie de E. a. Soit a GA'. 'Montrer que tout vorsinage de a daus (EC) contient une infinité de points de A 6. Montrer que l'ensemble dérive A' de A, dous (E2), est un fermé de (EC). Montrer que l'intersection de tous les voisinages de A dans (EC) est égale à A. e F 1
Exercice 14Soit (EC) un e. t. 1. Montrer qu'on a équivalence entre: a. Tout point de E dvdmet un systeme fondamentel de voisinages fermes dans (EC). 0677 6 Lour toute porte femme de E, dans (E,C), est egale à l'intersection de tous ses voisinages felmes dans (E, C) e Lour tout filtre 7 sur E, qui eonverge vers un point a de E, le frètre: daws (EC) F = {ACE / J F6F: F CA}, converge (EC) vers le point a. dans 2. Montrer que tout espece de Kolmogoroff verifiant L'une des mois proprietes precedentes ext separé et par mute régulier, antes ext • Exeneree 15: Spient (EC) une.t, (F, 26) un es prece separé et fig: CE, C) -> (F, 26) dive applications continues. 1°. Montrer que l'euremble A = 2x6E/ f(x) = g(x)} est fenné dans (EC). = 2. Soil A will partie partout dans E Montrer que si: XX 6A, f(x) = g(x), f=g Xx sur E hout enter. 3. Menter est w le + que a graphe de f = a(t)= {(x, f(x)) /X6E fenné l'esforce produit EXF. • Exercia 16: Soit (E, 2) un es price régulier, A une partie compacte ste (EC) et B une partie fermer de (EC) to AnB = α montrer qu'il existe v un voisinage de A dam (EC), 12/ ull voisinage de B daws (EC) to VW = & 0077
Exercice 17Sorent A et B deux parties compactes d'un es pace separe to AnB = 4 1657 Montrer qu'il existe deus ouverts disjoint & et H tq ACG er BCH. •
Exercice 18Soit (Kn) une suite décroissante de compacts non vides d'un to prece sépare. Montrer que.a. K = Nkn n'est pas кс vide 6. Lour tout ouvert o te KCO, FRON HK, Co tę kn
Exercice 19Soit (EC) un et, A et B deve partes nor vides de E On suppose que: AnB = AnB = 4 Montrer que AUB n'est pas connell Reel for oquement, connexe montrer que si AUB n'est pas. ANB = ANB = & Exercia 20: Soit (EC) un e. t a et 6 dure points d On dit qu'une suite frau de parties de E; A1, A21-7 est une chaine surple joignant a àb si: a 6 A, b 6 An et Ain Aj = & sii | i-j/>1 Manter 16 An AinAj que si (E, C) est connell et it est un recouvrement ouvert de E, deve point quelconques de & peuvent ême relies par une chaîne suuple for mês d'élément de it.
Exercice 21Montrer que tout whewalle de IR est Connele.
Exercice 22Soit A = {(x, sin I) | 0 < x < 1 } CIR2 1 Montrer que A est connere. A est connere 2x l'aleuter A 2. Montrer que A n'est pas las lement conneve. C Montrer que A n'est pas connexe por are. Fa A S5 TOT 141101 Topologie: TD Partie 2 •
Exercice 13Yoit (E,Z) un e. t. In dit que: - (E, 2) est de est de Kolmogoroff Si Sé6 14/11/2013 Vabe E avec a + b on a 3 VE&(a) tq bd v on 3 Wet (b) tq a&w - (E,Z) est accessible si: Va, b € E tq a+b -(E,Z) est séparé si 3 Vε & (a) tq b&v et 7 WE b(b) tq Va, beE avec 1). On suppose (E,Z) séparé " v^w = {{ } {P} ab a & W I VEL(a), 3Web (b) tq: MIA2.COM que (E, 2) est accessible. Montrons Porent a, b € E avec ab. Comme (E, 2) est séparé, 3 VEG (a), } WEB (b) tq vnw= {x} Comme bew on a De même a € V on a a & w D'où Va, bε E tq a‡b, 3 Vεb (a) tq b & v On suppose (E, 2) accessible Montrons que (E, Z) est de Kolmogoroff Poient a, bEE tq a + b Comme (E, 2) est accessible Par suite Ն l'une des 2 propositions: IVE & (a) tq b&v est vraie · D'où Ainsi (E,Z) sépare (E,Z) est de Kolmogoroff on a 3 VE b(a) tq b¢v on 3 WE b (b) tq a &w (E, 2) accessible = (E,Z) est de Kolmogoroff. S5 TOT 141102 2 a) b) In suppose (E, 7) accessible Montrons b) c-a-d montrer que VacE, {a} est un fermé de (E,Z) On c-a-d: {a} = {a} {a}c {a} Yoit be E tq ba Comme (E, 2) est accessible On a Par suite wn {a} = & b & {a} D'où V BEE, b‡ a C-a-d: be {a} = {a} 7 WE U(b) tq a & W ⇒ b & {a} b&{a} Watt&MIA2.com Yo't be {a} Donc ] WE b (b) tq, wn {a} # & + c-a-d € VWEG (b) Par suite: a = b car sinon I Wε b (b) tq a&w. Ce qui est faux. b) = c): supposons que VacE, {a} est fermé c-a-d: {a} = {a} Montrons que c) c-a-d: Va€ E nv = {a} VE &(a) On a {a} c n v Car aEV, VVEL (a) Vε & (a) Yoit bε E tq b‡a Comme {b} est fermé et aε{b}, 7 web (a) tq wn{b} = $ web(a) C-a-d 3 WE &(a) tq b&w D'où b ¢ 7 v Par suite = 11 Ve 2(a) VE 2(a) {a}. S5 TOT 141103 c) a) : Suppo Sens vérifiée c-a-d: VaE E Montrons que (E, 2) est accessible Yoient a, bε E tq a‡b. nv={a} VE2 (a) On a alors b & {a} = n v D'où (E, 2) est accessible. VE &(a) 3) On suppose (E,Z) accessible. Yoit A une partie de E 1 par suite JVεb(a) tq b&v a) Yoit a ε A. Montrons que tout ve Voisinage de points de A. C-à-d VVE U(a), Vn A est infini MA2.com contient une infinité de Supposons qu'il existe V un voisinage de a tq Vn A est fini Comme aε A' VWε b(a) Posons བ༡ On a alors: Vi = 1,.,n a+a; wnA-{a}+& VNA、{a} = {a, 921, an} Comme (E, Z) est accessible VIET JV; Ev (a) tq a; & V; Posons: W = W = n v1 on a Par suite i=1 wnA {a} = & D'où: V VE &(a) Conclusion: Dans Absurde VNA est infini. un et accessible (E, T). We b(a) et VjEI , aj &w. On a : a ε A ssi V Vε v(a) Vn A est infini. ssi VO ouvert contenant a On A est infini. 1 S5 TOT 141104 b) Montrons Rappel (E,2) a€ E at A que A est un e.t S un ensemble fermé dans (E, Z) accessible. ACE 5 est un système fondamental de voisinage de a dans (E, Z) # Y VE ~(a) V^A = $ #VWES WNA + & VO ouvert de (E,Z) tq aε 0, onA aε A T VVE ~(a) 1 VNA~ {a} +$ # VWES, WAA1{a} + & # V8 ouvert de (E, 2) tq aεo, on A、 {a} + $. Pour cela, il suffit de montrer V bεE, b & A que: A Yoit bEE tq b & A'. Il existe alors I un ouvert de (E,Z) contenant b t.q on A est fini. Comme est un ouvert Denc Vxe 8 * ε A' puisque O est un ONA voisinage de chacun de ses points. est fini Alors on A2 = 4 Ainsi 30 30 un ouvert contenant b tq on A' = $ C-a-d: be A'. 9) Montrons que l'intersection de tous les voisinages de A dans (E, C) est égale à A. V VACE A = VE &(A) Yoit ACE S5 TOT 141105 Sé 7 21/11/2013 VVE P(E), VE (A) ssi 31 an ouvert de (E, 2) t.q ACU CV On a Done ACV, A c n v VEZ (A) VVE&(A) D'autre part, soit XEE t.q x&A Donc Vaε A a X Comme (E, 2) est accessible, VaE A Posons: 8= 3 da un ouvert Ja 7 on a O est un ouvert Ac 8 et X 8 t. q. a € O2 et X & Da 48 at A Ainsi O et un voisinage de A qui ne contient pas X Par suite x¢ nv VE L-(A) Ceci Vx A D'où: A = VER-(A) A = V • Exercice: On dira que: -(E, 2) vérifie le 1er axiome système fondamental dénombrable de voisinages dans (E,T) - (ε, 2) vérifie le pene admet une (E,Z) admet de dénombrabilité si: VxEE, x admet un axiome de dénombrabilité ou de type dénombrable si une partie dénombrable partout une base d'ouverts dénombrables. - (E, 2) est séparable s'il existe dans (E,Z) dense. 1) On Yo't XEE. premier axiome de dénombrabilité. suppose que (E, 2) vérifie le a) Montrer que X admet un système fondamental dénombrable (V1) EA WEIN S5 TOT 141106 voisinages tq VuEIN Vate CVn. b) En déduire qu'il existe (an)ME IN Vers X dans (E, 2) ie: (an) nei converge WEIN dans (E,Z) si 2) Vérifier que tout dénombrabilité. Vers X une suite d'éléments de E a dan's (E,?) où (an) nEAS 1 an ev VVEG(X), INEN" VnYN espace qui converge pour limite X de type de nombrable vérifie le 10 axiome de 3) Montrer tout que espace de type dénombrable est séparable. 4) Montrer naturelle sur IR, est séparable, que (IR, 4) où U est la où U est la topologie naturelle sur IR, et de type dénombrable. 5) Port E un Yoit ensemble non vide. E. Yoit I la topologie cofinie sur E a) Montrer que (E,Z) est séparable. on b) On suppose que E est infini Solution Montrer que (E, 2) n'est nor dénombrable. pas de type dénombrable 1) a) Comme (E, 2) vérifie le 1er axiome de dénombrabilité, VaEE, une base dénombrable de voisinages Yoit (Un)NEA dans (E,Z) une base dénombrable de voisinage de X dans (E, Z). Posons: V2 = U。 et V1 = ~ Up ทั น. Comme VIEN, Un est un voisinage de x P=0 dans (E,Z) a ddmet S5 TOT 14 1107 Vn est un voisinage de X dans (E, C) car finie de VNEN X.-up (A4) U... Up P=0 =P V., กบ c Vn n+1 Un c V Voisinages de X. D'autre part, & Ve~(x), 3nEAN tq: Өг D'où Ainsi VnEIN, V2 C Un Vn V VE ~(x), 3nEN, Vn C V (Va)acay at um système fondamental dénombrable d NEIN est est un dans (E, 2) tq VnE V с n+1 b) VIỆN de voisinage de X VnEIN, parmi les éléments de Vn, choisissons par an ww Alors la suite (an) converge vers un et un seul qu'on notera X dans (E,Z) puisque (Vn) new est un soit Ve~(x), 3 nεN t.q V12 CV Car système fondamental de fondamental de voisinage de X On a alors VnETN, ny, n => an E V1 C V no CV D'où VVEN(X), 3n CN tq √ny no, an ev c-a-d: (an) converge vers X dans (E, Z). 2) On suppose (E, 2) de type dénombrable. Yoit alors: B une base dénombrable d'ouverts de (E, Z). Bx = { Bε B / XE B} Yoit XEE, posens Bx BE S5 TOT 14 1108 X On a By at est dénombrable car Bx C B et B est dénombrable. Soit VE ~(x), 30 ouvert de (E,Z) tq XE OCV. D'autre part, Comme B est une base d'ouverts, I BE B tq X E B C O CV Ainsi VE (x), JB ¢ Bx tq BC V D'où le résultat. 3) On suppose que (E, 2) est de type dénombrable. Yoit B = (Bn) NEM = une base dénombrable d'ouverts de (E, Z) avec B +0,√2Ent VIÊN, Bat WEIN VnEN, choisissens. et un seul élément de Bn qu'on notera par On a A est dénombrable. Posons A= {an / MEN}. On a A On a: A = E Il existe n A = E, en effet Par suite: WE IN t.q B Soit un ouvert non vide de E со ท En a a & An B AMB n $ + A A B C And. an D'où 9 ouvert non vide de (E,Z) 80A +4 4) On a Q est dénombrable Q est dénombrable et Q = IR la pour topologie naturelle. Donc (R, U) est séparable. Rappel : (x, z) un e.t В съ On a équivalence entre. 19) B est une base d'ouverts de 2°) VXEE, la famille Bx de voisinage de X dans (E,Z). (E,Z) où Bx = {Be B / X 6 B} est une base S5 TOT 14 1109 Posons: B = {]t, s [ / r,se Q, r<s} = {]r, x[} ((11) € Q2 On a B est une base d'ouverts de (R, U) Pour le vérifier, il suffit avec 5x <5x vérifiant (r,s) r<s de montrer que VXEE, V VE 4 (X), 3 гx, 5x € QR, E X ε ] Tx, Sx [ c V Toit XER, soit VE &(x), 3 a, bε R, avec Car (Ja, b[) a, ber On a alors bER a <b a <b tq xe] a, b [c v est une base d'ouverts de (IR, U) (R,U) ]a, x[nQ + ¢ ]x,b[nQ+4 Car a < x <b ww Yoit rx € Ja, x[ n Q Ja, x[nQ In a alors , Sx € ] x, b [ n Q Xε ]rx, sx [ c ]a, b [cv Ainsi : V VE ~(X), 3 B tq X E B C V c-a-d: B et une base d'ouverts de (R, U). Comme: Q2 = Q x Q est dénombrable. В est dénombrable. Ainsi (R, U) est de type dénombrable. 5) (E,Z) un espace cofini. a) Si E est dénombrable Ceci V XEE Comme E = E E=E en prend dans A= E. S5 TOT 141110 non dénombrable partie infini dénombrable (ie de m card Supposons E non dénombrable c-a-d infini Donc E contient une Lait A cette partie. n=0 → aε E n = 1 n=2 。 at E. {a} E que To a2 = {-{a, an? IN) 。a, ( Ê、」རྗ。,, , - , སཾཝབཏཱརོ an-x} Car le seul fermé de (E, 2) contenant A est E, puisque les fermés de (E, 2) sont: 4, E et les parties finies de E Ainsi (E, 2) est séparable. b) On Suppose Σ infini Montrons non dénombrable mit A2.com que (E, 2) n'est pas de type dénombrable. Il suffit de montrer que (E, 2) ne satisfait pas le 1t axiome de dénombrabilité tate, suppos dans (E, 2) que a admet une base dénombrable de ve voisinages Yoit (Bm)nEIN cette base. VnEN VIÊN Bnella) Bn & b(a) 1 On donc a € Bn, V n Vn EIN, 70n un ouvert de (E, 2) tq a € On C B2 E n I est un ouvert non vide de (E,Z) coffin i Donc [2 On est fini Par suite Posons 1 VnEIN, CE B2 est fini. U D= L [ε B2 HEIN S5 TOT 141111 On a D est dénombrable Car réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. Donc : D‡E puisque E est infini non dénombrable. Yoit alors be E tq b & D et b‡a. On a alors: VnEIN, b¢ [ε Bn c-a-d: VnE bε B n Or at b donc W = E \ {b} eet un ouvert qui contient a -, c'est un Voisinage Par suite de a 1 7 no E IN tq Bno CW et donc Absurde: www.SMIA2 ьєв, Ch cw = E、 {b} S5 TOT 14 11 12 • Sé 8 28/11/2013 Exercice: Yoit I la famille des parties de IR2 de la forme : &, R2 et: DE = {(X, Y) = R2 / X>Y+k} où: KER (resp = G2 = {(x, y) ER2 / X < Y + £}) 1) Montrer que 2 est une topologie Sur Rε Yoit kεR. Représentation dans le plan Df (respt Gp) 2) Yoit (a, b) ER Déterminer {(a, b)} 3) Yoit E le triangle défini par les points A2.com A1 = (-1,0), A2-(1,0) et A3-(1,1) Déterminer une son adhérence Ē. droite d'équation 4) Yoit Dp Déterminer Dp Solation: 1) Yoit (08) 86 K K étant une www une partie Comme VREK, On a Y = X-P PER. famille d'éfts de Z= {, IR2 } non vide de R Of ‡ & et Of + R 2 VkEK, Of = Df= O f = D & = {(x, y) € 1R2 / X-k > Y } UDE ? Il y a deux cas : REK er cas: K minorée. On a alors (X, Y) € Dk Comme K + $ inf K existe. V (X, Y) ER2, V REK ➡ X >Y + k > Y + inf & → X>Y + infk = S5 TOT 14 11 13 Ainsi VREK, DR C Dinf(K) Par suite UJ DR C Dinf(K) REK D'autre part, soit (X, Y) € Dinf(x) On a alors X-Y > inf K ème Cas: D'après la 2ème caractérisation de inf, 3k, E K tq X - Y > ko > inf x Ainsi (X, Y) E DR C D'on: U DR REK U DR LEK = Ding(K) K est non minorée. $12.com c-a-d: Vmε R звек ta tq k<m Ainsi : V (X, Y) E R 2 ] &€ K <X-Y Jk CK tq (X, Y) € Dk U DR R22 ε r REK c-a-d: V (X, Y) E IR2, Par suite: * Jk E tq Yoit k, k' deux éléments dans K. Montrons que D2 1 D2 = Dmax (E,&') Car: Va, b € R, Ετ K ab → Db c Da Car: x>Y+b 4> X > Y+ a Ainsi est une topologie Sur R& respt: Z= {P, R2 } U{GR}RGZ * Yoit K une U G? partie non vide de Z REZ S5 TOT 1411 14 1er cas K est majoréc Comme toute partie majorée et non vide (resp. minorée et non vide) de Z admet un plus grand élt (respt un plus petit élt) K admet un plus grand élément. Toit ko ce plus grand élt on a alors: V&EK, GR C Gk, Car: V (X, Y) € R 2, X ≤ Y + k Par suite LIG REK € 71 eme 2 cas: Alors tq 10 K non majorée VMER, M < k Par suite M n'est 4 X & Y + ko $142.com pas majorant de K c-a-d: VMER, FREK V (X, Y) ε IR2 JkEK tq X-Y < k c-a-d: V (X, Y) e R2, FREK tq (X, Y) € GR Don R2 = U G2 € Z. Yoit &, &'EK. REK ετ On a G2 NG2, = Gmin (k, b') CZ Donc est une topologie Représentation graphique: Sur R2 Y Y = X-R های DR S5 TOT 14 1115 2) Yoit (a, b) € R 2 √(x, B) € R2, Représentation graphique. เ {(a, b)} ? (x, B) € {(a, b)} ssi VV VV voisinage de (A, B) dans (R2, Z), Vn {(a, b)}+& ssi & 8 ouvert de (122, 2) contenant (x,B), on {{a, b)}+& ssi Wo ouvert de (R2, 7) contenant (α, B), & contient (a, b) E ssi V & E R tq (x, B) ε Dp, on a (a, b) E DR ssi VkEIR tq (x, B) E DR, Ssi VKER tq (x, p) € D& (dp) a-b> k Darb CDk de droite d'équation: Y=X-R (a, b) € de ssi b=a-k ssi: k=a-b ww.SMIA?.com Chl D'où: y = x-(a - b) Ainsi : {(a, b)} {(a, b)} = {(x, y) = IR2 / x < Y + a-b} A = {(x, y) = TR2 / Y= x_k} = df Ā = {(0, -£)} = {(x, y) € 1R2 / X < Y + & } 4) Yoit PER, les fermés de (IR2, 2) sont: $, 1R2 et les parties G& GR = { (X, Y) € R2 / X / Y + & } avec kε R. V (X, Y) € Dp en a Y = x - P donc X - Y = P Yeit RER ( On cherche les fermés qui contiennent Dp Dp) S5 TOT 14 11 16 Gk Dp C GR On a : Dp ssi V (X, Y) € Dp , (X, Y) € GR ssi: V (X, Y) € Dp, X < Y+ k ssi: V (X, Y) € Dp X-Y≤ k ssi : P < k Ainsi les fermés contenant Dp sont les Ge point (a, b) de Dp) Comme On a : Par suite kyp P V (X, Y) E Gp a vec STNIA2.com' X { Y + P < Y + k Gp C GR Ainsi 6 est le plus (resp Gerit fermé contenant Dp (resp (a,b)) (A2 qui va contenir les 3 points) un D'où Dp 3) D'après 4) {A2 } = G12 Car 1 X = 1, Y= O X-Y=1 Yoit & ε R tq E C GR alers A2 C GR et par suite: GC GR. Montrons que: E C G1 Yoit (X, Y) € E\ { A2} E\{A2 Yoit Dx-y la droite qui passe par (X-Y) Dx-y // D1 et Dx-Y se trouve au-dessous de D1. DX-Y: Y = X - (X-Y) le point B: (1,(1-(X-X))) S5 TOT 141117 On a : On en 0 < 1-(1-(X- Y)) 1 X X-Y A2 & Dx-y C déduit que ECG1 Yoit (X, Y) € E\ { A2} Gx-y= {(x-Y)} GX-Y on a X { Y+ (X-Y) Y +1 Dx-y 11 DA et DX-Y se trouve au 5) Yoit C le cercle d'équation * Déterminer alors c. (X, Y) € Gx-y Xcom ➡ (X, Y) € G1 - Car: dessus de D1. (x-1)2 + (7-1)2 = 1 (Y 2 = Déterminer les droites Dp rencontrant C en un et un seul point. * Yoit pε R On a C rencontre Dp ssi: 3M (X, Y) € R2 3M (X, Y) € R2, M ε C N D p Ssi: 3 (X, Y) ER2 √(x-1)2 + (7-1)2 = 1 Y = x - P ssi: 3 (X, Y) € R2, ((x-2)2 + (x-(p + 1))2 = 1 Y = X-P S5 TOT 14 1118 ssi: le système | (x-1)2 + ( x − (p+ 1)) 2 √(x-1)2 Y = X - P admet au au moins meins une solution. = 1 ssi: le système admet au Ssi : l'équation 2x2 - 2x (p + 2) + (p+1) 2 = 0 X Y = X-P moins une solution admet au moins 2x2 - 2x (p+ 2) + (p+1) 2 = 0 une solution. ssi Δ' 2 P+ 2 0 : Ainsi Dp rencontre C Cen un et un D√2 et D√2 sont les seules droites. Dr et C se rencontrent au Dp P+2 seul point ssi: A=0 qui point: P+2 , ssi: p= ± √ε! +1 rencontrent C en un seul point. (뿔, 오뿔-9) 2+ √√2 2 √2 P) D√ (1115, 1-4) 1+ 2 √2 2 D1 (1,4, 1-2) 2 P = √2 S5 TOT 141119 * Montrons C = G que √√2 G12 = {(1, 2, 1-2)} (+플, Yoit F un fermé de (R2, C) contenant C Donc F contient B par suite G C F CF √2 D'autre part, soit (X, Y) € C on a Dru nc + 4 car: (X, Y) ε DX-Y Dx-y et (X, Y) € C. € Par suite Dx-Y , pour qu'une droite rencontre le point C, il faut que: X-YE [-ve, ve] D'où : Ainsi : USMIN'?.com www X < Y + √√2 ē c-a-d: (X, Y) € G√2 T.D de Topologie: SMAS Exercia : Soient (E, 2) un et et A will partie de Ē - On appelle recouvrement ouvert (R.0) de a toure famille (Oi) if I, d'ensembles ouverts de (Ea), telle que : - ACUO; i6I On dira qu'un R. O, (0i)iGI, contient un sous- rcsurement fini (upt dénombrable) si : I June partie time (ropt dénombrable) de I telle que: A CUO JEJ - On dire que A est un sous-espace de Lindelof (nexpt (E, 2) est un espace de Lindelof low que A=E si tour R.0 de A contient un sous-recouvrement dinombrable On dire qu'un point a de E est un point de Condensation au A si tout voisinage content wu wfinite n de A. di a finite non denombrable de points 1°. On suppose CE, Ĉ) de type dénombrable a. Montrer que A est un-sour 5 Montrer - es pa a di Lindelöf que toute base d'ouverts de CE, 2.) contient une bare denombrable d'ouvert de (E,E) 2. On suppose que (E, 2) est un espace de Lindelof a. Montrer que tout ensemble fermé de (IE, 2) est un sous-espace de Lindelöf. ми b. Soit fi (EZ) →) (X, Y) une application Continue où (x, 26) est un e.t ой Montrer que f(E) est un sous-to prece de Lindelöf c. Montrer que toute réunion denombrable de sous-expeces de Lindelof est un sous-expect de Lindelof. Com 3. Soit B L'ensemble des points de condensation de A. a. Montrer que B est un ensemble fermé ou (E, 2) b. On suppose que (E,2) est un espace accessible dans lequel tout en semble ouvert soit un espace de hinde töf i) Montrer que L'enteшbli Best parfait ie: fermé sans points voles ii) Montrer que An CB est dénombrable S5 TOT 14 11 22 569 05/12/2013 Solution: 1) On suppose que l'espace (E, Z) de type dénombrable. Yoit B = (BR) NEA une base dénombrable d'ouverts de (E,Z) A est un sous-espace de Lindelöf de (E, Z) a) Montrons que Yon't (0;) iε I un Ro de A on a AC UO; ie I Yoit at A. Fie I tq a € O; aε 1일 est un ouvert de (E,Z), Comme B est une base d'ouverts de (E,Z) et VRE I I nEIN tq a € B12 CO; Parmi les entiers n tq at B12 CO; choisissons an et et an On a alors ає в сві Parmi les indices i dans I t.q at Bn Coi CO; choisissons notera ia On alors a E W Bra Coia. Considérons la famille B' = { B12 / a € A} dn a C B'c B Bra donc B' est dénombrable D'autre part, l'application 4: B; un seul et qu'on notera na seal qu'on Bra {d: /ie1} 0;. tq Bna C Oia Y est injective, donc c'est une bijection de B' sur Y (B') = { εia / a€ A} Ainsi { Dia / a€ A} est dénombrable De plus, VxEA, 3 nx & N EN t.q χε x ε Bmx C Oix Ic-a-d: AC U Bir ΝΕΑ D'où le résultat. Remarque: (E, 2) est du type dénombrable # (E, 2) est de Lindelöf S5 TOT 14 1123 b) Yoit O une base d'ouverts de (E,Z) WnEIN, Bn est un ouvert de (E,Z) et est une base d'ouverts de (E,T). Dome tq Bn 860 Or (E, 2) est de type dénombrable donc Bn est un sous sous-espace de Linde löf. Done: VnE IN C avec O dénombrable tq: Bn B2 = U 0 θε θε de nombrable base d'ouverts de (E,Z) réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. ouvert de (E,Z) Monteens maintenant 0 = U 0% est une que WEIN O' est dénombrable Car Yoit U un Comme B = (Bn) ne N Ainsi U = U Bj je J コロ est une base d'ouverts de (E,Z), JC N t .q U = U Bj jeJ www ப U θευο jej d 2) On suppose que (E, 2) est de Lindelöf a) Yoit F un ensemble fermé de (E, Z). Montrons que Yoit (0;);EI F est de Lindelöf un R.O de F Posons: U= [2 F E 이 avec Loco' je J C On a U est un ouvert de (E,T). Comme: FC U 8; EC (10.) UU 161 Ainsi la famille (Oi)ics U {u} est un R. 8 de Eu de un es pace Lindelof. S5 TOT 14 11 24 Donc JJCI, J dénombrable t.q: E c UO; U {u} D'on: FC UO;. JEJ jEJ b) Yoit: f: (E,Z) (x, u) une application continue. Montrons que f(E) que f(E) est de Lindelöf Yoit (0;);ES une сид; famille d'ouverts de (x, 21) t.q f(E) cu 8; Comme of est continue, Vic I, E I Z). fr (0;) est un ouvert de (E,Z) 117) de E = f ( {(E)) c f2 (10.) Et on a Ainsi: (61 (0:1); EI est JJCI, J dénombrable t. Par suite f(E) C Car: VBC X { (uo;) = U f2 (0;) R.O de E espace de Lindelöf ECU ( (0;) コミコ || {(0,1) = \ { (6 *(0;)) < 10; JEJ 8 (6 (B)) = B c) C'est facile à démontrer. jεJ d'où le résultat. 3) at E at E, a est ssi: V Vε v(a), VNA est infini Ssi: Vo ouvert contenant a point de condensation de A: B = l'ensemble des points de condensation de A Je J non dénombrable on A est infini non dénombrable.. Best fermé dans (E,Z) [P Yoit Xε [2B xe donc X n'est pas un point de condensation de A. a) Montrons qu