Espaces vectoriels normes serie exercices psi analyse 3 -Cor
Télécharger PDFsérie d’exercices ´ Espaces vectoriels normes´ PSI I. NORMES , NORMES EQUIVALENTES ´
Exercice 1On definit sur ´ R2l’application N : R2 −→ R par N(x, y) = sup 0≤t≤1 1. Montrer que N est une norme sur R2. 2. Posons ϕ(t) = |x + ty| pour t ∈ [0, 1]. |x + ty|. a. Montrer que ϕ2est convexe . b. En deduire que ´ N(x, y) ≤ 1 si et seulement si 3. Trac¸er la boule unite ferm ´ ee associ ´ ee´ a` N.
Exercice 2Pour x = (x1, x2) ∈ R2, on pose kxk = 2|x1| + 3|x2|. |x| ≤ 1 |x + y| ≤ 1 1. Verifier que ´ k.k est une norme sur R2.Trac¸er la boule unite associ ´ ee´ a cette norme. ` 2. Trouver deux constantes α, β > 0 tels que αkxk ≤ kxk2 ≤ βkxk.
Exercice 3Soient E un espace vectoriel norme.´ 1. Montrer que : ∀x, y, z, t ∈ E; kx − tk + ky − zk ≤ kx − yk + ky − tk + kt − zk + kz − xk . 2. Soit N1, N2 deux normes sur E. On designe par ´ Biles boules ouvertes pour la norme Ni. Montrer que ∀ x ∈ E, N1(x) ≤ kN2(x) ⇐⇒ B2(0, 1) ⊂ B1(0, k)
Exercice 4Soient p > 1 et q > 1 tel que 1p+1q= 1. 1. En utilisant la concavite d’une fonction bien choisie , montrer que pour ´ a, b ≥ 0 : ab ≤1pap +1qbq 2. Pour x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, on pose Np(x) = n∑ i=1 |xi|p ! 1p . Montrer que n∑i=1xiyi ≤ Np(x)Nq(y). 3. Etablir que ´ Np est une norme sur Rn. (Pour l’inegalit ´ e triangulaire utiliser l’in ´ egalit ´ e´ (|x| + |y|)p ≤ |x|(|x| + |y|)p−1 + |y|(|x| + |y|)p−1). 4. En deduire que l’ensemble des suites ´ (xm)m telles que la série ´ ∑p|xm|pconverge est un espace vectoriel.
Exercice 5Soit E = { f ∈ C1([0, 1], R)| f(0) = 0} . Pour f ∈ E, on pose k f k =[0,1]| f(t) + f0(t)|. 1. Montrer que k.k est une norme sur E. 2. Est-elle equivalente ´ a la norme ` k.k∞ ? (On pourra considerer ´ fn : t −→ tn, pour n ∈ N.) 3. Pour g ∈ C([0, 1], R), resoudre sur ´ [0, 1] l’equation diff ´ erentielle ´ y0 + y = g(t) par la methode de variation des constantes. ´ 4. Montrer qu’il existe k > 0 tel que , pour tout f ∈ E , k f k∞ ≤ kk f k.
Exercice 6norme de Frobenius q Pour tout A ∈ Mn(R) on pose kAk = tr(tAA) 1. Montrer que k.k definit une norme euclidienne sur ´ Mn(R) lamine.elhoussain@gmail.com Page : 1/5 Tournez la page S.V.P.
série d’exercices ´ Espaces vectoriels normes´ PSI 2. Soient A = (aij)et B = (bij) et AB = (cij) a. Justifier que kABk2 =n∑ i=1 n∑ j=1 c2ij n∑ !2 n∑ ! n∑ ! b. Montrer pour tout x1, ..., xn, y1, ..., yn dans R ; c. En deduire que ´ kABk ≤ kAkkBk. k=1 xkyk ≤ k=1 x2k k=1 y2k 3. Soit N une norme quelconque sur Mn(R) . Montrer qu’il existe K > 0 tel que N(AB) ≤ K.N(A)N(B) II. SUITES DANS UN EVN
Exercice 7Soit (un)n∈N ∈ EN. On suppose que les trois suites extraites (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈N et ((u3n)n∈N)n convergent. Montrer que (un)n∈N est convergente.
Exercice 8Soit A la matrice
Exercice 9121 012 .Calculer lim n→+∞An. deg (P) vuutdeg (P) ∑ Sur E = R[X] on considere les normes d ` efinies par : ´ N1(P) = k=0 |ak|, N2(P) = ∑ k=0 |ak|2, N∞(P) = max |ak| pour P = deg (P) ∑ k=0 akXk. Et on pose Pn =n∑ k=1 Xk 1. Calculer N1(Pn), N2(Pn) et N∞(Pn) . 2. Pour quelles valeurs de α la suite (nαPn)n∈N converge-t-elle vers 0 pour la norme N1 ? Meme question pour les autres normes. ˆ
Exercice 10Soit (un)n∈N convergente et σ une bijection de N dans N. Montrer que Donc ∀ ε > 0, ∃ N0 ∈ N, ∀ n ≥ N, uσ(n) − ` < ε
Exercice 11Soit (un)n une suite d’entiers relatifs, convergente vers l. uσ(n) n∈Nest convergente. 1. Montrer (un)n∈N est stationnaire a partir d’un certain rang et quel ` l ∈ Z 2. Soit un la nieme ` decimale de ´√2. (un)n est elle convergente ?
Exercice 12On definit les suites ´ (Sn)n∈N et S0n n∈Npar Sn =n∑k=01k!et S0n = Sn +1nn! 1. Montrer qu’elles convergent vers la meme limite. ˆ On admet que cette limite est e. 2. On suppose e =pqou` p, q ∈ N∗ a. Montrer qu’il existe N ∈ N, tel que N < pq! < N + 1 b. En deduire que ´ e est irrationnel. lamine.elhoussain@gmail.com Page : 2/5 Tournez la page S.V.P.
série d’exercices ´ Espaces vectoriels normes´ PSI III. OUVERTS , FERMES DENSITE ´
Exercice 13a. Soit a = (a1, . . . , ap) ∈ Rpet r > 0. Montrer que B∞(a,r) peut s’ecrire comme produit de ´ p intervalles de R . b. Soient F et G deux parties de Rp. On suppose que F et G sont d’interieur vide, montrer que ´ F ∩ G est encore d’interieur vide. ´
Exercice 14Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel norme´ E .Pour x ∈ E on definit la distance de ´ x a` A par : d(x, A) = inf a∈Akx − ak . 1. Montrer que ∀x, y ∈ E |d(x, A) − d(y, A)| ≤ kx − yk 2. Montrer que x ∈ A si et seulement si d(x, A) = 0. 3. Soit E = C ([0, 1], R) muni de la norme infinie ||.||∞, on considere ` E0 = { f ∈ E/ f(0) = f(1) = 0, et Z 10f(t)dt = 1}. a. Montrer que E0est ferme.´ b. Montrer que d(0, E0) = 1, et que cette derniere distance n’est pas atteinte. `
Exercice 15Soit (E, ||.||) un K- espace vectoriel norme , ´ λ ∈ K ,A et B deux parties non vides de E .On note A + B = {a + b , (a, b) ∈ A × B} et λA = {λa , a ∈ A}.Montrer que : 1. Si A est ferme (resp .ouvert) , il en est de m ´ eme de ˆ λA. 2. Si A et B sont deux ouverts , il en est de meme de ˆ A + B. 3. Examiner A + B si E = R , A = πZ ,B = Z et conclure.
Exercice 16Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermees ? born ´ ees ? ´ n 1. A = (x, y) ∈ R2, xy = 1o. 2. B = 3. C = n (x, y) ∈ R2, x2 + xy + y2 < 1o. n z ∈ C , Re(z2) ≤ 1o.
Exercice 17Soit A une partie convexe d’un evn E. 1. Demontrer que ´ A et◦A sont aussi convexes 2. Montrer que l’application x → d(x, A) est convexe (c.a.d. d(tx + (1 − t)y, A) ≤ td(x, A) + (1 − t)d(y, A)).
Exercice 18Soit E un espace vectoriel norme et ´ F un sous espace vectoriel de E tel que F 6= E . 1. Montrer que F est un sev de E. 2. MontreroF= ∅ 3. En deduire que si ´ O est un ouvert de E alors Vect(O) = E
Exercice 19Soient E un evn de dimension finie n, H un sous- espace ferme de E et ´ a ∈ E\H 1. Montrer que H + K.a est ferme dans ´ E 2. En deduire que si G est un sous espace vectoriel de E alors H + G est un ferme de ´ E lamine.elhoussain@gmail.com Page : 3/5 Tournez la page S.V.P.
série d’exercices ´ Espaces vectoriels normes´ PSI IV. LIMITES ET CONTINUITE´
Exercice 20Soit (E k.k) un espace vectoriel norme. On consid ´ ere l’application ` f : E → E ; x → f(x) = x 1 + kxkMontrer que f est continue et que f(E) = B(0, 12)
Exercice 21Soit E = C0([−α, α], R) muni de la norme infinie et a, b deux nombres reels avec ´ |a| < 1 et |b| < 1. Soit T l’endomorphisme de E definie par ´ T(f)(x) = f(x) + a f(bx) 1. Montrer qu ’il existe M ≥ 0 tel que : ∀ f ∈ E; kT(f)k ≤ M.k f k 2. Montrer que T est continue en 0 et en deduire que T est continue sur E 3. Montrer que T est injective
Exercice 22Soit Dn(K) l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(K). 1. Montrer que Dn(C) est dense dans Mn(C). 2. On se propose de montrer que D2(R) n’est pas dense dans M2(R). On considere ` A = 0 −1 1 0 et l’application ∆ : ( M2(R) → R M 7→ (trM)2 − 4detM. a. Montrer que ∆ est continue . b. Soit (An)n une suite de D2(R) ,verifier que ´ ∆(An) ≥ 0, ∀n ∈ N , puis en deduire que que ´ A ∈/ D2(R).
Exercice 23Soit A une matrice de M2(K) , on note SK(A) = {PAP−1/P ∈ GL2(K)}la classe de similitude de A 1. On suppose que A est nilpotente, Montrer que A est semblable a` An = dans SK(A) 01n 0 0 ! et en deduire que la matrice nulle ´ O2 est 2. Reciproquement, si ´ O2 ∈ SK(A) , soit (Ak)k une suite de SK(A) convergente vers O2 . Montrer que tkla trace (resp dkle determinant ) de ´ Akconvergent vers la trace (resp le determinant) de ´ O2. 3. Deduire que ´ A est nilpotente 4. Conclure
Exercice 24CCP 2005 MP : Etude topologique de Rac(A) Soit A une matrice de Mn(R), on dit qu’une matrice R de Mn(R) est une racine carrees de ´ A si R2 = A. On note Rac(A) l’ensemble des racine carrees de ´ A, c’est a dire ` Rac(A) = {R ∈ Mn(R)/ R2 = A} Si A est une matrice de Mn(R) qui a pour coefficients (ai,j)1≤i,j≤n, on definit une norme en posant ´ N(A) = max 1≤i,j≤n|ai,j|. On munit Mn(R) de cette norme N. 1. Montrer que l’application R → R2 de Mn(R) dans Mn(R) est continue . 2. Montrer que Rac(A) est une partie fermee de ´ Mn(R). 3. Etude du caractere born ` e de ´ Rac(In). a. Pour tout entier naturel q, on pose Sq = 1 0 q −1 . Calculer S2q. Rac(I2) est-elle une partie bornee de ´ M2(R) ? b. Rac(In) est-elle une partie bornee de ´ Mn(R) pour n ≥ 3 ? c. Application : pour cette question, n ≥ 2. Montrer qu’il n’existe pas de norme k.k “surmultiplicative” sur GLn(R), c’est a dire v ` erifiant pour tous ´ A et B dans GLn(R), kABk ≥ kAk.kBk. lamine.elhoussain@gmail.com Page : 4/5 Tournez la page S.V.P.