Espaces vectoriels normes serie exercices psi analyse 3

Espaces vectoriels normes serie exercices psi analyse 3 -Cor

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Série d'exercices : Espaces vectoriels normés (PSI)

I. Normes et normes équivalentes

Exercice 1

On définit sur ℝ² l'application N : ℝ² → ℝ par N(x, y) = sup_0≤t≤1 |x + ty|.

Montrer que N est une norme sur ℝ².
Posons φ(t) = |x + ty| pour t ∈ [0, 1].
1. Montrer que φ² est convexe.
2. En déduire que N(x, y) ≤ 1 si et seulement si |x| ≤ 1 et |x + y| ≤ 1.
Tracer la boule unité fermée associée à N.

Exercice 2

Pour x = (x₁, x₂) ∈ ℝ², on pose ‖x‖ = 2|x₁| + 3|x₂|.

Vérifier que ‖.‖ est une norme sur ℝ². Tracer la boule unité associée à cette norme.
Trouver deux constantes α, β > 0 telles que α‖x‖ ≤ ‖x‖₂ ≤ β‖x‖.

Exercice 3

Soit E un espace vectoriel normé.

Montrer que : ∀x, y, z, t ∈ E; ‖x − t‖ + ‖y − z‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y − t‖ + ‖t − z‖ + ‖z − x‖.
Soient N₁, N₂ deux normes sur E. On désigne par B_i les boules ouvertes pour la norme N_i. Montrer que ∀ x ∈ E, N₁(x) ≤ k N₂(x) ⇔ B₂(0, 1) ⊂ B₁(0, k).

Exercice 4

Soient p > 1 et q > 1 tels que 1/p + 1/q = 1.

En utilisant la concavité d'une fonction bien choisie, montrer que pour a, b ≥ 0 : ab ≤ (1/p)a^p + (1/q)b^q.
Pour x = (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ, on pose N_p(x) = (∑_i=1ⁿ |x_i|^p)^1/p. Montrer que ∑_i=1ⁿ x_iy_i ≤ N_p(x)N_q(y).
Établir que N_p est une norme sur ℝⁿ. (Pour l'inégalité triangulaire utiliser l'inégalité (|x| + |y|)^p ≤ |x|(|x| + |y|)^p−1 + |y|(|x| + |y|)^p−1).
En déduire que l'ensemble des suites (x_m)_m telles que la série ∑|x_m|^p converge est un espace vectoriel.

Exercice 5

Soit E = { f ∈ C¹([0, 1], ℝ) | f(0) = 0 }. Pour f ∈ E, on pose ‖f‖ = sup_t∈[0,1]|f(t) + f'(t)|.

Montrer que ‖.‖ est une norme sur E.
Est-elle équivalente à la norme ‖.‖_∞ ? (On pourra considérer f_n : t → tⁿ, pour n ∈ ℕ.)
Pour g ∈ C([0, 1], ℝ), résoudre sur [0, 1] l'équation différentielle y' + y = g(t) par la méthode de variation des constantes.
Montrer qu'il existe k > 0 tel que, pour tout f ∈ E, ‖f‖_∞ ≤ k‖f‖.

Exercice 6

Norme de Frobenius : Pour tout A ∈ M_n(ℝ) on pose ‖A‖ = √tr(^tAA).

Montrer que ‖.‖ définit une norme euclidienne sur M_n(ℝ).
Soient A = (a_ij) et B = (b_ij) et AB = (c_ij).
1. Justifier que ‖AB‖² = ∑_i=1ⁿ ∑_j=1ⁿ c_ij².
2. Montrer pour tout x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n dans ℝ : ∑_k=1ⁿ x_ky_k ≤ ∑_k=1ⁿ x_k² ∑_k=1ⁿ y_k².
3. En déduire que ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖.
Soit N une norme quelconque sur M_n(ℝ). Montrer qu'il existe K > 0 tel que N(AB) ≤ K N(A) N(B).

II. Suites dans un EVN

Exercice 7

Soit (u_n)_n∈ℕ ∈ E^ℕ. On suppose que les trois suites extraites (u_2n)_n∈ℕ, (u_2n+1)_n∈ℕ et (u_3n)_n∈ℕ convergent. Montrer que (u_n)_n∈ℕ est convergente.

Exercice 8

Soit A la matrice
[[1, 2, 1],
[0, 1, 2]].
Calculer lim_n→+∞ Aⁿ.

Exercice 9

Sur E = ℝ[X] on considère les normes définies par : N₁(P) = ∑_k=0^deg(P) |a_k|, N₂(P) = ∑_k=0^deg(P) |a_k|², N_∞(P) = max_k=0...deg(P) |a_k| pour P = ∑_k=0^deg(P) a_kX^k. Et on pose P_n = ∑_k=1ⁿ X^k.

Calculer N₁(P_n), N₂(P_n) et N_∞(P_n).
Pour quelles valeurs de α la suite (n^αP_n)_n∈ℕ converge-t-elle vers 0 pour la norme N₁ ? Même question pour les autres normes.

Exercice 10

Soit (u_n)_n∈ℕ convergente et σ une bijection de ℕ dans ℕ. Montrer que (u_σ(n))_n∈ℕ est convergente.

Exercice 11

Soit (u_n)_n une suite d'entiers relatifs, convergente vers l.

Montrer (u_n)_n∈ℕ est stationnaire à partir d'un certain rang et que l ∈ ℤ.
Soit u_n la n^ième décimale de √2. (u_n)_n est-elle convergente ?

Exercice 12

On définit les suites (S_n)_n∈ℕ et (S'_n)_n∈ℕ par S_n = ∑_k=0ⁿ 1/k! et S'_n = S_n + 1/(n n!).

Montrer qu'elles convergent vers la même limite. On admet que cette limite est e.
On suppose e = p/q où p, q ∈ ℕ*.
1. Montrer qu'il existe N ∈ ℕ, tel que N < p q! < N + 1.
2. En déduire que e est irrationnel.

III. Ouverts, fermés, densité

Exercice 13

Soit a = (a₁, . . . , a_p) ∈ ℝ^p et r > 0. Montrer que B_∞(a,r) peut s'écrire comme produit de p intervalles de ℝ.
Soient F et G deux parties de ℝ^p. On suppose que F et G sont d'intérieur vide, montrer que F ∩ G est encore d'intérieur vide.

Exercice 14

Soit A une partie non vide d'un espace vectoriel normé E. Pour x ∈ E on définit la distance de x à A par : d(x, A) = inf_a∈A ‖x − a‖.

Montrer que ∀x, y ∈ E |d(x, A) − d(y, A)| ≤ ‖x − y‖.
Montrer que x ∈ A si et seulement si d(x, A) = 0.
Soit E = C([0, 1], ℝ) muni de la norme infinie ‖.‖_∞, on considère E₀ = { f ∈ E | f(0) = f(1) = 0, et ∫₀¹ f(t)dt = 1 }.
1. Montrer que E₀ est fermé.
2. Montrer que d(0, E₀) = 1, et que cette dernière distance n'est pas atteinte.

Exercice 15

Soit (E, ‖.‖) un K-espace vectoriel normé, λ ∈ K, A et B deux parties non vides de E. On note A + B = {a + b | (a, b) ∈ A × B} et λA = {λa | a ∈ A}. Montrer que :

Si A est fermé (resp. ouvert), il en est de même de λA.
Si A et B sont deux ouverts, il en est de même de A + B.
Examiner A + B si E = ℝ, A = πℤ, B = ℤ et conclure.

Exercice 16

Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?

A = {(x, y) ∈ ℝ² | xy = 1}.
B = {(x, y) ∈ ℝ² | x² + xy + y² < 1}.
C = {z ∈ ℂ | Re(z²) ≤ 1}.

Exercice 17

Soit A une partie convexe d'un EVN E.

Démontrer que A et A° sont aussi convexes.
Montrer que l'application x → d(x, A) est convexe (c'est-à-dire d(tx + (1 − t)y, A) ≤ td(x, A) + (1 − t)d(y, A)).

Exercice 18

Soit E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E tel que F ≠ E.

Montrer que F est un sev de E.
Montrer que F° = ∅.
En déduire que si O est un ouvert de E alors Vect(O) = E.

Exercice 19

Soient E un EVN de dimension finie n, H un sous-espace fermé de E et a ∈ E∖H.

Montrer que H + Ka est fermé dans E.
En déduire que si G est un sous-espace vectoriel de E alors H + G est un fermé de E.

IV. Limites et continuité

Exercice 20

Soit (E, ‖.‖) un espace vectoriel normé. On considère l'application f : E → E ; x → f(x) = x / (1 + ‖x‖). Montrer que f est continue et que f(E) = B(0, 1/2).

Exercice 21

Soit E = C⁰([−α, α], ℝ) muni de la norme infinie et a, b deux nombres réels avec |a| < 1 et |b| < 1. Soit T l'endomorphisme de E définie par T(f)(x) = f(x) + a f(bx).

Montrer qu'il existe M ≥ 0 tel que : ∀ f ∈ E; ‖T(f)‖ ≤ M‖f‖.
Montrer que T est continue en 0 et en déduire que T est continue sur E.
Montrer que T est injective.

Exercice 22

Soit D_n(K) l'ensemble des matrices diagonalisables de M_n(K).

Montrer que D_n(ℂ) est dense dans M_n(ℂ).
On se propose de montrer que D₂(ℝ) n'est pas dense dans M₂(ℝ). On considère A = [[0, -1], [1, 0]] et l'application Δ : M₂(ℝ) → ℝ, M ↦ (tr M)² − 4det M.
1. Montrer que Δ est continue.
2. Soit (A_n)_n une suite de D₂(ℝ), vérifier que Δ(A_n) ≥ 0, ∀n ∈ ℕ, puis en déduire que A ∉ D₂(ℝ).

Exercice 23

Soit A une matrice de M₂(K), on note S_K(A) = {PAP^-1 | P ∈ GL₂(K)} la classe de similitude de A.

On suppose que A est nilpotente. Montrer que A est semblable à J₂ = [[0, 1], [0, 0]] et en déduire que la matrice nulle O₂ est dans S_K(A).
Réciproquement, si O₂ ∈ S_K(A), soit (A_k)_k une suite de S_K(A) convergente vers O₂. Montrer que la trace (resp. le déterminant) de A_k convergent vers la trace (resp. le déterminant) de O₂.
Déduire que A est nilpotente.
Conclure.

Exercice 24

CCP 2005 MP : Étude topologique de Rac(A). Soit A une matrice de M_n(ℝ), on dit qu'une matrice R de M_n(ℝ) est une racine carrée de A si R² = A. On note Rac(A) l'ensemble des racines carrées de A, c'est-à-dire Rac(A) = {R ∈ M_n(ℝ) | R² = A}. Si A est une matrice de M_n(ℝ) qui a pour coefficients (a_i,j)_1≤i,j≤n, on définit une norme en posant N(A) = max_1≤i,j≤n|a_i,j|. On munit M_n(ℝ) de cette norme N.

Montrer que l'application R → R² de M_n(ℝ) dans M_n(ℝ) est continue.
Montrer que Rac(A) est une partie fermée de M_n(ℝ).
Étude du caractère borné de Rac(I_n).
1. Pour tout entier naturel q, on pose S_q = [[1, 0], [q, -1]]. Calculer S_q². Rac(I₂) est-elle une partie bornée de M₂(ℝ) ?
2. Rac(I_n) est-elle une partie bornée de M_n(ℝ) pour n ≥ 3 ?
3. Application : pour cette question, n ≥ 2. Montrer qu'il n'existe pas de norme ‖.‖ "surmultiplicative" sur GL_n(ℝ), c'est-à-dire vérifiant pour tous A et B dans GL_n(ℝ), ‖AB‖ ≥ ‖A‖‖B‖.

FAQ sur les espaces vectoriels normés

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel sur lequel est définie une norme, c'est-à-dire une fonction qui associe à chaque vecteur une longueur ou une taille, appelée sa norme. Cette fonction doit satisfaire certaines propriétés : elle doit être positive, nulle si et seulement si le vecteur est le vecteur nul, homogène par rapport à la multiplication par un scalaire, et satisfaire l'inégalité triangulaire.

Pourquoi l'équivalence des normes est-elle importante ?

L'équivalence des normes est cruciale car elle signifie que deux normes différentes sur un même espace vectoriel de dimension finie induisent la même topologie. En d'autres termes, les mêmes notions de convergence de suites, d'ouverts, de fermés ou de continuité d'applications restent valides quel que soit le choix de la norme équivalente. Cela simplifie de nombreuses démonstrations et garantit la cohérence des résultats topologiques.

Quel est le lien entre les espaces vectoriels normés et la topologie ?

Les espaces vectoriels normés sont intrinsèquement liés à la topologie car la norme définit une distance, qui à son tour permet de définir des concepts topologiques fondamentaux tels que les boules ouvertes, les ensembles ouverts, les ensembles fermés, la convergence de suites et la continuité des fonctions. La topologie induite par une norme permet d'étudier les propriétés "géométriques" et de "voisinage" au sein de l'espace.