Examen mip m311 2008 2009 analyse 3 -Corr - Télécharger pdf
Télécharger PDF1 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques Ann´ee Universitaire :2008/2009 Option :MIP(Module :M311) M.Harfaoui et R.Morchadi Premier contrˆole Dur´ee : Une heure
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Exercice 0.0.1 (7 pts) Soit f la fonction d´efinie sur R2 par : f(x, y) = (x2 + y2 − 8)(x2 + y2) 1. D´eterminer les points stationnaires de f. (1 pt+2 pts) 2. Donner la nature des points trouv´es en 1. (1,5 pt+2,5 pts) ===================================================
Exercice 0.0.2 Soit f la fonction d´efinie sur R2 par : f(x, y) = y3 + (x2 + 1)y + x4 1. Montrer que l’´equation f(x, y) = 0 d´efinit implicitement y comme fonction de x sur R, qu’on notera ϕ(x). (2 pt) 2. D´eterminer en fonction de x et ϕ(x) la d´eriv´ee ϕ0(x) sur R. (1,5 pts) ===================================================
Exercice 0.0.3 soit f la fonction d´efinie par : f(x, y) = x3(y − 1)2 x4 + (y − 1)4, si (x, y) 6= (0, 1) f(0, 1) = 0 1. Donner Df le domaine de d´efinition. (0,5 pt) 2. Montrer que f est continue sur Df . (1 pts+1,5 pts) 3. Calculer ∂f ∂x(x, y) et∂f ∂y (x, y) pour tout (x, y) de Df . (1,5 pts+1,5 pts) 4. Etudier la diff´erentiabilit´e de ´ f sur Df . (1,5 pts+2 pts) ===================================================
Bon courage
2 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques Ann´ee Universitaire :2008/2009 Option :MIP(Module :M311) M.Harfaoui et R.Morchadi Premier contrˆole : Corrig´e Dur´ee : Une heure
=================================================== correction 0.0.1 Soit f la fonction d´efinie sur R2 par : f(x, y) = (x2 + y2 − 8)(x2 + y2) 1. D´eterminer les points stationnaires de f. (1 pt+2 pts) La fonction f est un polynˆome, donc elle est de classe C∞. Les points stationnaires de f sont les points (x, y) tels que ∂f ∂x(x, y) = 4x(x2 + y2 − 4) = 0 et∂f ∂y (x, y) = 4y(x2 + y2 − 4) = 0. Ces points sont l’origine O(0, 0) et tous les points du cercle de centre O et de rayon 2 (x2 + y2 = 4). 2. Donner la nature des points trouv´es en 1. (1,5 pt+2,5 pts) Les d´eriv´ees partielles secondes de f sont : ∂2f ∂x2(x, y) = 4(3x2 + y2 − 4),∂2f ∂x2(x, y) = 4(x2 + 3y2 − 4) et∂2f ∂x∂y (x, y) = 8xy. La matrice h´essienne est donc Hf (x, y) = µ4(3x2 + y2 − 4) 8xy ¶ 8xy 4(x2 + 3y2 − 4) et son d´eterminant est detHf (x, y) = 16(3x2 + y2 − 4).(x2 + 3y2 − 4) − 64x2y2. Natures des points stationnaires : (a) Pour le point O, puisque detHf (0, 0) = 162 > 0 et∂2f admet un maximum en O qui est f(0, 0) = −8 ∂x2(0, 0) − 16 < 0, f (b) Pour les points du cercle de centre O et de rayon 2 (x2 +y2 = 4), puisque detHf (x, y) = 0, le th´eor`eme ne s’applique pas. On utilise donc le formule de Taylor `a l’ordr 2. En effet, pour tout point (a, b) du cercle on a : f(a + h, b + k) − f(a, b)) = 12(∂2f ∂x2(a, b)h2 + 2∂2f ∂x∂y (a, b)hk +∂2f ∂y2(a, b)k2) + (h2 + k2)²(h, k) = Q(h, k) + (h2 + k2)²(h, k) ∂x2(a, b) = 8a2,∂2f Mais a2 + b2 = 4 donc ∂2f ∂x∂y (a, b) = 16ab et∂2f ∂y2(a, b) = 8b2et donc Q(h, k) = 8a2h2 + 16abhk + 8b2k2 = 8(ah + bk)2 ≥ 0
3 Ce qui prouve que f admet un minimum en tout point du cercle. =================================================== correction 0.0.2 Soit f la fonction d´efinie sur R2 par : f(x, y) = y3 + (x2 + 1)y + x4 1. Montrer que l’´equation f(x, y) = 0 d´efinit implicitement y comme fonction de x sur R, qu’on notera ϕ(x). (2 pt) La fonction f est de classe C∞ sur R. Comme ∂f ∂y (x, y) = 3y2 + x2 + 1 6= 0 pour tout x de R alors d’apr`es le th’or`eme des fonctions implicites l’´equation f(x, y) = 0 d´efinit implicitement y comme fonction de x sur R. 2. D´eterminer en fonction de x et ϕ(x) la d´eriv´ee ϕ0(x) sur R. (1,5 pts) ∂f Pour tout x de R on a : ϕ0(x) = − ∂x(x, y) ∂f ∂y (x, y) = −2xϕ(x) + 4(ϕ(x))2 + 1 3(ϕ(x))3 + x2 + 1 =================================================== correction 0.0.3 soit f la fonction d´efinie par : f(x, y) = x3(y − 1)2 x4 + (y − 1)4, si (x, y) 6= (0, 1) f(0, 1) = 0 1. Donner Df le domaine de d´efinition. (0,5 pt) Df = {(x, y) ∈ R2/(x, y) 6= (0, 1)}S{(0, 1)} = R2 2. Montrer que f est continue sur Df . (1 pts+1,5 pts) (a) Pour (x, y) 6= (0, 1) la fonction est une fonction rationnelle de domaine de d´efinition R2 − {(0, 1)}, donc f est continue sur R2 − {(0, 1)}. (b) Pour (x, y) = (0, 1) on a : | f(x, y) − f(0, 1) |=|x3(y − 1)2 x4 + (y − 1)4|. On sait que ab ≤12(a2 + b2) donc | x3(y − 1)2|=| x2(y − 1)2| . | x |≤ 12(x4 + (y − 1)4). | x | et on a alors : | f(x, y) − f(0, 1) |≤| x | et lim (x,y)→(0,1)| x |= 0 d’o`u la continuit´e de f (0, 1). 3. Calculer ∂f ∂x(x, y) et∂f ∂y (x, y) pour tout (x, y) de Df . (1,5 pts+1,5 pts)
4 (a) Pour (x, y) 6= (0, 1) faire les calculs. (b) Pour (x, y) = (0, 1) on a : ∂f ∂x(0, 1) = lim h→0 et∂f f(h, 1) − f(0, 1) h= 0 f(0, 1 + k) − f(0, 1) ∂y (0, 1) = lim h→0 k= 0 4. Etudier la diff´erentiabilit´e de ´ f sur Df . (1,5 pts+2 pts) (a) Pour (x, y) 6= (0, 1) f est diff´erentiables car les fonction ∂f ∂x et∂f ∂y sont continues pour tout (x, y) 6= (0, 1). (b) Pour (x, y) = (0, 1) on a : f(h, 1 + k) − f(0, 1) −∂f ∂x(0, 1)h −∂f ∂y (0, 1)k √h2 + k2|=|h3(k − 1)2 (h4 + (k − 1)4)(√h2 + k2)| | dont la limite, quand (h, k) tend vers (0, 0), n’est pas nulle. Ce qui prouve que la fonction n’est pas diff´erentiable en (0, 1). ===================================================