Espaces vectoriels normes td psi analyse 3 -Analyse 3 - Télé
Télécharger PDFExercice 1 : Espaces Vectoriels Normés
On note E = C([0, 1], R) et on définit pour f ∈ E :
k f k1 = ∫₀¹ |f(t)|dt
k f k2 = ∫₀¹ (f(t))²dt
et k f k∞ = sup x∈[0,1] |f(x)|
1. Vérification des normes
Vérifier que ce sont des normes sur E.
2. Relations entre les normes
Montrer que k.k1 ≤ k.k2 ≤ k.k∞.
Explication : Cette question invite à démontrer des inégalités importantes qui lient ces trois normes usuelles sur l'espace des fonctions continues.
3. Équivalence des normes
Montrer que ces normes ne sont pas deux à deux équivalentes.
Clarification : Deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie, c'est-à-dire que la convergence des suites est la même pour les deux normes.
4. Propriétés d'un sous-ensemble A
Soit A = { f ∈ E / f(0) = 0 et k f k∞ = 1}.
a. Vérifier que A est non vide.
b. Montrer que A est bornée pour les normes k f k1 et k f k2.
c. Soit (fn)n≥1 la suite de fonctions définie par :
fn(x) =
- 0 si 0 ≤ x ≤ (n-1)/n
- nx + 1 - n si (n-1)/n ≤ x ≤ 1
i. Vérifier que ∀n ∈ N*, fn ∈ A.
ii. Représenter graphiquement la fonction fn.
iii. Montrer que (fn) converge en moyenne (pour la norme k.k1) vers la fonction nulle, notée 0.
d. Conclure que 0 est adhérent à A pour k.k1.
5. Propriétés d'un sous-ensemble B
Soit B = { f ∈ E / ∃x₀ ∈ [0, 1] f(x₀) = 0} et soit (fn)n la suite définie par :
fn(x) = 1 - (1 - x)ⁿ pour tout n ∈ N et tout x ∈ [0, 1].
a. Vérifier que fn ∈ B pour tout n ∈ N.
b. Montrer que (fn) converge en moyenne (pour la norme k.k1) vers une fonction f qu’on déterminera.
c. Déduire que B n’est pas un fermé de (E, k.k1).
Rappel : Un sous-ensemble est fermé s'il contient toutes les limites de ses suites convergentes.
6. Conclusion sur la partie C
Que peut-on conclure quant à la partie C = { f ∈ E / ∀x ∈ [0, 1] f(x) ≠ 0} ?
Exercice 2 : Formes Linéaires Continues
Soit ϕ une forme linéaire sur un K-espace vectoriel normé (E, k.k).
1. Image réciproque et continuité
a. Que peut-on dire à propos de l’image réciproque d’un fermé par une application continue ?
b. Déduire que si ϕ est continue, alors Ker(ϕ) est un fermé.
Définition : Le noyau (Ker) d'une forme linéaire est l'ensemble des vecteurs dont l'image par cette forme est zéro.
2. Caractérisation de la continuité d'une forme linéaire
On suppose dans cette question que Ker(ϕ) est un fermé de E et que ϕ est non nulle.
a. Montrer qu’il existe un vecteur non nul e ∈ E vérifiant ϕ(e) = 1.
b. Montrer que H1 = e + Ker(ϕ) est un fermé.
c. Justifier l’existence d’un réel r strictement positif tel que ∀x ∈ B(0,r), on a : ϕ(x) ≠ 1.
d. On suppose qu’il existe x ∈ B(0,r) tel que ϕ(x) > 1.
i. On pose y = x/ϕ(x). Vérifier que y ∈ B(0,r) et calculer ϕ(y).
ii. Conclure.
e. Déduire que ϕ est continue.
3. Condition nécessaire et suffisante
Déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’une forme linéaire soit continue.
Synthèse : Cette question cruciale permet d'établir un critère pratique pour déterminer la continuité d'une forme linéaire.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?
Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel sur lequel est définie une norme. Cette norme permet de mesurer la "longueur" des vecteurs et d'introduire des notions topologiques comme la distance, la convergence et la continuité.
Comment la continuité est-elle liée aux ensembles fermés ?
Une application est continue si l'image réciproque de tout ensemble fermé est un ensemble fermé. C'est une propriété fondamentale en topologie et analyse fonctionnelle qui permet de caractériser la continuité d'une fonction.
Pourquoi est-il important de savoir si des normes sont équivalentes ou non ?
L'équivalence des normes sur un espace vectoriel indique qu'elles définissent la même topologie, c'est-à-dire que les notions de convergence, de boule ouverte, de compacité et de continuité sont les mêmes quelle que soit la norme choisie parmi les normes équivalentes. Si les normes ne sont pas équivalentes, ces propriétés peuvent varier considérablement.