Espaces vectoriels normes td psi analyse 3 -Analyse 3 - Télé
Télécharger PDFDevoir libre Espaces vectoriels normes´ PSI EXERCICE 1 On note E = C([0, 1], R) et on definit pour ´ f ∈ E : k f k1 = Z 1 0 | f(t)|dt , k f k2 = Z 1 0 (f(t))2dt 12et k f k∞ = sup x∈[0,1] | f(x)| 1. Verifier que ce sont des normes sur ´ E. 2. Montrer que k.k1 ≤ k.k2 ≤ k.k∞ 3. Montrer que ces normes ne sont pas deux a deux ` equivalentes. ´ 4. Soit A = { f ∈ E/ f(0) = 0 et k f k∞ = 1} a. Verifier que ´ A est non vide. b. Montrer que A est bornee pour les normes ´ k f k1 et k f k2 c. Soit (fn)n≥1la suite de fonctions definie par ´ 0 si 0 ≤ x ≤n − 1 n nx + 1 − n si n − 1 n≤ x ≤ 1 i. Verifier que ´ ∀n ∈ N∗, fn ∈ A. fn(x) = ii. Representez graphiquement la fonction ´ fn. iii. Montrer que (fn) converge en moyenne (pour la norme k.k1) vers la fonction nulle notee 0 ´ d. Conclure que 0 est adherent ´ a` A pour k.k1. 5. Soit B = { f ∈ E/ ∃x0 ∈ [0, 1] f(x0) = 0} et soit (fn)n la suite definie par ´ fn(x) = 1 − (1 − x)n pour tout n ∈ N et tout x ∈ [0, 1]. a. Verifier que ´ fn ∈ B pour tout n ∈ N. b. Montrer que (fn) converge en moyenne (pour la norme k.k1) vers une fonction f qu’on determinera. ´ c. Deduire que ´ B n’est pas un ferme de ´ (E, k.k1). 6. Que peut on conclure quant a la partie ` C = { f ∈ E/ ∀x ∈ [0, 1] f(x) 6= 0} ? EXERCICE 2 Soit ϕ une forme lineaire sur un ´ K-espace vectoriel norme´ (E, k.k). 1. a. Que peut-on dire a propos de l’image r ` eciproque d’un ferm ´ e par une application continue ? ´ b. Deduire que si ´ ϕ est continue, alors Ker(ϕ) est un ferme.´ 2. On suppose dans cette question que Ker(ϕ) est un ferme de ´ E et que ϕ est non nulle. a. Montrer qu’il existe un vecteur non nul e ∈ E verifiant ´ ϕ(e) = 1. b. Montrer que H1 = e + Ker(ϕ) est un ferme.´ c. Justifier l’existence d’un reel ´ r strictement positif tel que ∀x ∈ B(0,r), on a : ϕ(x) 6= 1. d. On suppose qu’il existe x ∈ B(0,r) tel que ϕ(x) > 1. i. On pose y =x ϕ(x). Verifier que ´ y ∈ B(0,r) et calculer ϕ(y). ii. Conclure. e. Deduire que ´ ϕ est continue. 3. Deduire une condition n ´ ecessaire et suffisante pour qu’une forme lin ´ eaire soit continue. ´ www.laminehoucin.blogspot.com Page : 1/1 FIN