Examen mi p 2013 2014 analyse 3 -Analyse 3 - Télécharger pdf
Télécharger PDFFstm-Mohammedia Parcours MIP 2013-2014 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques AU:2013/2014 Option:MIP Module:M311 Partiel 2: dur´ee 1H 30 Session:Juin 2014
NB. Il sera tenu compte de la clart´e la rigueur du raisonement et du soin apport´e `a la copie. 1.5 points du bar`eme seront affect´es `a la r´edaction.
Exercice 0.1 On consid`ere la fonction ( 1 f(x,y) = 2xy ln(x2 + y2) si(x,y) 6= (0,0) 0 si(x,y) = (0,0) 1. D´eterminer les points critiques de f. (2 pts) 2. Etudier la nature des points critiques de f. (2 pts)
Exercice 0.2 On consid`ere la forme diff´erentielle ω d´efinie sur D = (R∗+)2par ω(x,y) = y2dx + x2dy xy2 + yx2 1. Montrer que ω est ferm´ee sur D (1 pts) 2. ω est-elle exacte? Justifier votre r´eponse. ( 1.5 pts) Z 3. Calculer
Exercice 0.3 ω, o`u C est une courbe ferm´ee de D. ( 1.5 pts) C On consid`ere le domaine D de R2 d´elimit´e par C1 : y = |x| et C2 le cercle de centre (0,0) et de rayon R. Soit ω la forme diff´erentielle d´efinie par ω(x,y) = −ydx + xdy. 1. Tra¸cer graphiquement D en pr´ecisant les sommets et leurs coordonn´ees. (1.5 pts) 2. Calculer la surface de D. (1 pts) Z 3. Soit ∂D+ le bord de D orient´e positivement. Calculer l’int´egrale I = ω ∂D+ (a) Directement. (1.5 pts) (b) En utilisant la formule de Green-Reimann. (1.5 pts) Analyse 2 1/2 D´epartement de Maths
Fstm-Mohammedia Parcours MIP 2013-2014
Exercice 0.4 Soit S1 et S2 les deux surfaces d´efinies par S1 : (x2 + y2 = z2 1 2≤ z ≤ 1et S2 : ½x2 + y2 = 1 1 ≤ z ≤ 2 1. V´erifier que le volume de Ω limit´e par les deux surfaces est V =3124π. (2 pts) Z Z Z 2. Calculer Ω (z2 + 1)dxdydz. (On pourra fixer z) (3 pts) ========================================================== Bon courage
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