Examen mi p 2013 2014 analyse 3 -Analyse 3 - Télécharger pdf
Télécharger PDFExamen d'Analyse 2 - FSTM Mohammedia (2013-2014)
Université Hassan II-Mohammedia, Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques - Année Universitaire : 2013/2014
Option : MIP (Mathématiques, Informatique, Physique) - Module : M311
Partiel 2 : Durée 1h30 - Session : Juin 2014
Note : Il sera tenu compte de la clarté, de la rigueur du raisonnement et du soin apporté à la copie. 1.5 points du barème seront affectés à la rédaction.
Exercice 1 : Étude d'une fonction à plusieurs variables
On considère la fonction f définie par :
f(x,y) = {2xy ln(x² + y²) si (x,y) ≠ (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)
Déterminer les points critiques de f.
Étudier la nature des points critiques de f.
Exercice 2 : Formes différentielles
On considère la forme différentielle ω définie sur D = (ℝ*+)² par :
ω(x,y) = y²dx + x²dy⁄xy² + yx²
Montrer que ω est fermée sur D.
ω est-elle exacte ? Justifier votre réponse.
Calculer ∫C ω, où C est une courbe fermée de D.
Exercice 3 : Intégrales curvilignes et formule de Green-Riemann
On considère le domaine D de ℝ² délimité par C₁ : y = |x| et C₂ le cercle de centre (0,0) et de rayon R.
Soit ω la forme différentielle définie par ω(x,y) = -ydx + xdy.
Tracer graphiquement D en précisant les sommets et leurs coordonnées.
Calculer la surface de D.
Soit ∂D+ le bord de D orienté positivement. Calculer l'intégrale I = ∫∂D+ ω.
Directement.
En utilisant la formule de Green-Riemann.
Exercice 4 : Calcul de volumes et intégrales triples
Soient S₁ et S₂ les deux surfaces définies par :
- S₁ : x² + y² = z² pour 1⁄2 ≤ z ≤ 1
- S₂ : x² + y² = 1 pour 1 ≤ z ≤ 2
Vérifier que le volume de Ω limité par les deux surfaces est V = 31⁄24π.
Calculer ∭Ω (z² + 1)dxdydz. (On pourra fixer z)
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un point critique en calcul à plusieurs variables ?
Un point critique d'une fonction de plusieurs variables est un point où le gradient de la fonction est nul, ou indéfini. Ces points sont des candidats potentiels pour les extrema locaux (maximums, minimums) ou les points selles.
Quelle est la différence entre une forme différentielle exacte et fermée ?
Une forme différentielle est dite "fermée" si sa dérivée extérieure est nulle. Elle est dite "exacte" si elle est la dérivée extérieure d'une autre forme différentielle. Sur un domaine simplement connexe, toute forme fermée est exacte (Théorème de Poincaré).
Quand utiliser le théorème de Green-Riemann ?
Le théorème de Green-Riemann est utilisé pour relier une intégrale de ligne (curviligne) autour d'une courbe plane fermée à une intégrale double sur la région délimitée par cette courbe. Il est particulièrement utile pour calculer des aires ou des intégrales de ligne complexes en les convertissant en intégrales de surface plus simples.